B GIáO DC Và đàO TO TRUNG I HC VINH nguyễn trờng sơn RèN LUYệN CHO HọC SINH KHá, GIỏI Kỹ NĂNG GIảI QUYếT CáC VấN Đề LIÊN QUAN ĐếN PHƯƠNG TRìNH Và BấT PHƯƠNG TRìNH Có CHứA THAM Số TRONG DạY HọC TOáN TRUNG HọC PHổ THÔNG Chuyên ngành: LL & PPDH Bộ MÔN TOáN MÃ số: 60.14.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GI¸O DỤC HỌC Người hướng dẫn khoa hc: TS Nguyễn văn thuận NGH AN - 2011 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Giả thuyết khoa học Đóng góp luận văn Cấu trúc luận văn Chương CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .10 1.1 Kĩ .10 1.1.1 Khái niệm kĩ 10 1.1.2 Sự hình thành kĩ .12 1.2 Về chủ đề phương trình bất phương trình trường THPT 16 1.3 Những tình điển hình liên quan đến phương trình, bất phương trình có chứa tham số .21 1.3.1 Giải biện luận 22 1.3.2 Tìm điều kiện tham số để nghiệm phương trình thỏa mãn tính chất cho trước 27 1.3.3 Tìm điều kiện tham số để tam thức không đổi dấu miền .49 1.3.4 Tìm điều kiện tham số để nghiệm hệ phương trình thỏa mãn tính chất cho trước 50 1.4 Một số khó khăn sai lầm học sinh giải vấn đề liên quan đến phương trình bất phương trình có chứa tham số dạy học Tốn THPT 58 1.4.1 Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng 59 1.5 Kết luận chương 69 Chương NHỮNG BIỆN PHÁP NHẰM RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI KỸ NĂNG GIẢI QUYẾT CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA THAM SỐ TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở THPT 70 2.1 Biện pháp 1: Giúp học sinh hiểu chất, vai trị tham số tốn 70 2.1.1 Tham số gì? .70 2.1.2 Giúp học sinh ý thức tác động tham số đến toán 76 2.2 Biện pháp 2: Làm cho học sinh ý thức việc phân chia trường hợp hình thành kĩ phát tiêu chí để phân chia trường hợp toán giải biện luận 78 2.2.1 Giúp cho học sinh ý thức việc phân chia trường hợp toán giải biện luận 78 2.2.2 Rèn luyện cho học sinh khả phát tiêu chí nhằm phân chia trường hợp toán giải biện luận .81 2.3 Biện pháp 3: Hình thành khả phát tương ứng để từ rèn luyện kĩ chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu toán .87 2.3.1 Chỉ rõ cho học sinh thấy tầm quan trọng việc tìm điều kiện cho ẩn phụ .88 2.3.2 Khắc sâu mối tương quan ẩn ban đầu ẩn phụ 92 2.3.3 Rèn luyện cho học sinh khả chuyển đổi ngơn ngữ, cách phát biểu tốn 97 2.4 Biện pháp 4: Trang bị kiến thức phép biến đổi tương đương cho học sinh, giúp học sinh ý thức diễn biến tập nghiệm trình biến đổi 100 2.4.1 Giúp học sinh hiểu sử dụng phép biến đổi thường dùng dạy học phương trình, bất phương trình 100 2.4.2 Hình thành kĩ biến đổi phương trình, bất phương trình 107 2.4.3 Giúp học sinh ý thức diễn biến tập hợp nghiệm biến đổi phương trình 114 2.5 Biện pháp 5: Hình thành khả nhận dạng, định hướng phương pháp giải phương trình bất phương trình có chứa tham số 116 2.5.1 Giúp học sinh có nhìn tổng quan phương pháp 117 2.5.2 Rèn luyện cho học sinh khả phân tích tốn để từ định hình phương pháp giải 119 2.6 Kết luận chương 121 Chương THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .123 3.1 Mục đích thực nghiệm 123 3.2 Tổ chức nội dung thực nghiệm 123 3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 123 3.2.2 Nội dung thực nghiệm 124 3.3 Đánh giá kết thực nghiệm .126 3.3.1 Đánh giá định tính 126 3.3.2 Đánh giá định lượng 128 3.4 Kết luận chung thực nghiệm .128 KẾT LUẬN 130 TÀI LIỆU THAM KHẢO 131 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ở trường phổ thông, theo A A Stoliar, dạy Toán dạy hoạt động tốn học Đối với học sinh, xem giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động tốn học Dạy học giải Tốn có vai trị đặc biệt dạy học Tốn trường phổ thơng Các tốn phương tiện có hiệu khơng thể thay việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ kĩ xảo Rèn luyện lực giải toán nhiệm vụ q trình dạy tốn, học Tốn Do đó, tổ chức có hiệu việc dạy giải Tốn có vai trị định chất lượng dạy học Toán Dạy học giải tập Toán xem tình điển hình dạy học mơn Tốn Khối lượng tập Tốn trường phổ thông vô nhiều phong phú, đa dạng Có tốn có thuật giải phần lớn tốn chưa có khơng có thuật giải Đứng trước tốn đó, giáo viên gợi ý dẫn dắt, hướng dẫn học sinh để giúp họ giải tốn vấn đề quan trọng Tuy nhiên, vấn đề khó khăn đề gợi ý hợp lý, lúc, chỗ nghệ thuật sư phạm người giáo viên Với tốn, học sinh khơng dừng lại việc tìm kết mà đưa cách chứng minh khác qua thể hiện khả tư duy, suy luận sáng tạo để học tốt mơn Trong chương trình Tốn phổ thơng có nhiều tốn phương trình, bất phương trình, hệ phương trình hệ bất phương trình chứa tham số Khơng tốn đặt dạng giải biện luận, mà nhiều dạng khác nữa, chẳng hạn như: tìm điều kiện tham số để phương trình, bất phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước; tìm điều kiện để hai phương trình tương đương với nhau; v.v Thực tiễn sư phạm cho thấy, đứng trước phương trình bất phương trình chứa tham số, học sinh thường gặp nhiều khó khăn lúng túng, đồng thời nhiều mắc phải sai lầm Rất nhiều giáo viên có kinh nghiệm đúc kết rằng: “Những tốn có tham số ln khơng dễ học sinh thân học sinh sau nhiều lần mắc phải sai lầm thường có tâm lý e ngại, chí sợ sệt dạng Tốn này” Giáo viên nhiều người có tâm lý lảng tránh phương trình bất phương trình chứa tham số trình dạy, địi hỏi lập luận tương đối phức tạp học sinh Dạy Toán dạy kiến thức, kỹ năng, tư tính cách (Nguyễn Cảnh Tồn); dạy kỹ có vị trí đặc biệt quan trọng, khơng có kỹ khơng phát triển tư không đáp ứng nhu cầu giải vấn đề Kỹ giải vấn đề liên quan đến phương trình bất phương trình có chứa tham số thiết thực học sinh THPT Nếu có kỹ hiệu học tập mơn Tốn nâng cao; ngược lại, kỹ bị hạn chế học sinh gặp phải nhiều khó khăn việc chiếm lĩnh kiến tạo tri thức Toán học Việc giải vấn đề liên quan đến phương trình bất phương trình chứa tham số chứa đựng nhiều tiềm phát triển loại hình tư tốn học Thơng qua tốn đó, học sinh có dịp rèn luyện nhiều hoạt động trí tuệ, ngược lại hoạt động trí tuệ, học sinh có khả giải vấn đề (Đó hoạt động tư hàm nhằm phát nghiên cứu tương ứng; hoạt động ngôn ngữ - lôgic; hoạt động phân chia trường hợp; hoạt động nhận dạng thể hiện; v.v ) Một đặc điểm chương trình tốn THPT là: Đi sâu nghiên cứu phương trình bất phương trình chứa tham số (Cịn phương trình bất phương trình khơng chứa tham số bắt đầu học từ bậc THCS) Phần phương trình bất phương trình lặp lại theo chiều hướng nâng cao sâu vào vấn đề có chứa tham số Đối với học sinh khá, giỏi tốn chứa tham số lại có vai trò quan trọng Thực tiễn dạy học Tốn trường phổ thơng địi hỏi phải có cơng trình nghiên cứu nhằm đưa thủ pháp dạy học, hướng dẫn sư phạm để giúp người giáo viên giảng dạy tốt kiến thức chương trình, kiến thức tương đối phức tạp giàu tính ứng dụng điển hình Mặc dù có nhiều cơng trình liên quan đến rèn luyện kỹ năng, chưa có cơng trình nghiên cứu việc rèn luyện kỹ giải vấn đề liên quan tới phương trình, bất phương trình chứa tham số Vì lí đây, chọn đề tài nghiên cứu luận văn là: “Rèn luyện cho học sinh khá, giỏi kỹ giải vấn đề liên quan đến phương trình bất phương trình có chứa tham số dạy học Tốn Trung học phổ thơng” Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu việc rèn luyện cho học sinh kỹ giải vấn đề liên quan đến phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình có chứa tham số dạy học Đại số Giải tích bậc THPT Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn có nhiệm vụ giải đáp câu hỏi khoa học sau đây: 3.1 Kỹ gì? Cơ chế hình thành kỹ nào? 3.2 Những tình điển hình thường gặp trình giải vấn đề liên quan đến phương trình bất phương trình chứa tham số? 3.3 Trong trình giải vấn đề liên quan đến phương trình bất phương trình chứa tham số, học sinh thường gặp khó khăn sai lầm nào? 3.4 Những biện pháp sư phạm sử dụng để rèn luyện cho học sinh kỹ giải vấn đề liên quan đến phương trình bất phương trình có chứa tham số? 3.5 Kết thực nghiệm sư phạm nào? Phương pháp nghiên cứu Trong trình nghiên cứu, luận văn sử dụng phương pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm Giả thuyết khoa học Nếu đề xuất thực biện pháp, hướng dẫn sư phạm thích hợp rèn luyện cho học sinh THPT kỹ giải vấn đề liên quan đến phương trình bất phương trình chứa tham số, góp phần nâng cao hiệu dạy học Toán trường phổ thơng Đóng góp luận văn Nêu lên khác biệt nội dung phương trình, bất phương trình hai cấp học THPT THCS, đồng thời khó khăn sai lầm mà học sinh thường gặp phải trình giải nội dung liên quan đến phương trình bất phương trình có chứa tham số Xây dựng biện pháp sư phạm theo quan điểm hoạt động, nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ giải vấn đề liên quan đến phương trình bất phương trình có chứa tham số Cấu trúc luận văn Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung Luận văn gồm có chương: Chương Một số vấn đề sở lý luận thực tiễn Chương Những biện pháp nhằm rèn luyện cho học sinh khá, giỏi kỹ giải vấn đề liên quan đến phương trình bất phương trình có chứa tham số dạy học Tốn Trung học phổ thơng Chương Thực nghiệm sư phạm 10 Chương CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Kĩ 1.1.1 Khái niệm kĩ Thực tiễn sống đặt nhiệm vụ nhận thức hay thực hành định cho người Để giải công việc người vận dụng vốn hiểu biết, kinh nghiệm, nhằm tách mặt thực chất nhiệm vụ thực biến đổi dẫn tới chỗ giải nhiệm vụ Với q trình người dần hình thành cho cách thức (kĩ năng) để giải vấn đề đặt Theo giáo trình Tâm lí học đại cương thì: “Kĩ năng lực sử dụng kiện, tri thức hay khái niệm có, lực vận dụng chúng để phát thuộc tính chất vật giải thành cơng nhiệm vụ lí luận hay thực hành xác định” [23, tr 149] Theo Từ điển tiếng Việt thì: “Kĩ khả vận dụng kiến thức thu nhận lĩnh vực vào thực tế” [40, tr 462] Nói chung, dù phát biểu khái niệm góc độ nào, tác giả thống kĩ khả vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp, ) để giải nhiệm vụ Tuy nhiên thực tiễn giáo dục chứng tỏ học sinh gặp nhiều khó khăn việc vận dụng khái niệm nguyên tắc lĩnh hội vào việc giải nhiệm vụ cụ thể Học sinh thường khó tách chi tiết thứ yếu, khơng chất khỏi đối tượng nhận thức, đồng thời không phát mối liên hệ chất tri thức đối tượng Trong trường hợp tri thức không biến thành công cụ hoạt động nhận thức mà chúng trở thành khối tri thức chết, không gắn liền với thực tiễn không biến thành sở kĩ 123 Chương THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1 Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi hiệu biện pháp rèn luyện cho học sinh kĩ giải vấn đề liên quan đến phương trình, bất phương trình chứa tham số; kiểm nghiệm tính đắn Giả thuyết khoa học 3.2 Tổ chức nội dung thực nghiệm 3.2.1 Tổ chức thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm tiến hành trường THPT Kỳ Anh, Thị trấn Kỳ Anh, Hà Tĩnh Lớp thực nghiệm: 10 A1 Giáo viên dạy lớp thực nghiệm: Cô Phạm Thị Liên Lớp đối chứng: 10 A2 Giáo viên dạy lớp đối chứng: Thầy Nguyễn Ngọc Phổ Được đồng ý Ban Giám hiệu Trường THPT Kỳ Anh, chúng tơi tìm hiểu kết học tập lớp khối 10 trường nhận thấy trình độ chung mơn Tốn hai lớp 10 A1 10 A2 tương đương Đặc biệt, hai lớp 10 A1 10 A2 lớp chọn khối A trường, nên hầu hết học sinh có học lực mơn Tốn trở lên Chúng tơi đề xuất thực nghiệm lớp 10 A1 lấy lớp 10 A2 làm lớp đối chứng Ban Giám hiệu Trường, thầy (cơ) Tổ trưởng tổ Tốn thầy cô dạy hai lớp 10 A 10 A2 chấp nhận đề xuất tạo điều kiện thuận lợi cho tiến hành thực nghiệm 124 3.2.2 Nội dung thực nghiệm Thực nghiệm tiến hành 13 tiết Chương Phương trình bất phương trình bậc hai Sau dạy thực nghiệm, chúng tơi cho học sinh làm kiểm tra Sau nội dung đề kiểm tra: Đề kiểm tra (thời gian 60 phút) Câu I: a) Giải biện luận phương trình: (m - 1) x2 + (2m - 3)x + m + = (1) b) Không giải phương trình, nêu kết luận nghiệm phương trình (1) với m = -30 Câu II: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: x4 - 2mx2 + 3m - = (2) Câu III: Cho phương trình: x − + m x + = x2 − (3) Tìm m để phương trình có nghiệm? Việc đề hàm chứa dụng ý sư phạm, tất nhiên Đề kiểm tra dành cho học sinh có học lực trở lên hai lớp thực nghiệm đối chứng Xin phân tích rõ điều đồng thời đánh giá sơ chất lượng làm học sinh Đề kiểm tra khơng q khó khơng q dễ so với trình độ học sinh Có thể nói với mức độ đề phân hóa trình độ học sinh, đồng thời đưa cho giáo viên đánh giá xác mức độ nắm kiến thức học sinh Cả ba câu đề kiểm tra khơng nặng tính tốn, mà chủ yếu kiểm tra khả suy luận, vận dụng kiến thức học phương trình bất phương trình bậc hai Đối với Câu I (a): Giải biện luận phương trình: (m - 1) x2 + (2m - 3)x + m + = 125 Dụng ý sư phạm câu kiểm tra kiến thức học sinh việc biện luận phương trình dạng bậc hai Đây kiến thức bản, làm quen nhiều trình giảng dạy lớp nên học sinh không mắc phải sai lầm, tất học sinh lớp thực nghiệm lớp đối chứng đưa lời giải Câu I (b) toán học sinh cần dựa vào kết biện luận phương trình câu I (a) có kết tốn mà không cần thay giá trị m = - 30 vào phương trình giải phương trình bậc hai Câu nhằm kiểm tra mức độ nắm bắt ý nghĩa toán giải biện luận, khả vận dụng toán giải biện luận vào trường hợp cụ thể tham số Qua toán học sinh hiểu ý nghĩa tham số thuật ngữ “giải biện luận” Tất học sinh hai lớp thực nghiệm đối chúng đưa lời giải Câu II dụng ý sư phạm nhằm kiểm tra đánh giá khả tìm điều kiện cho ẩn phụ, phát biểu chuyển đổi toán Hầu hết, học sinh hai lớp thực nghiệm đối chứng biết cách đặt ẩn phụ là: t = x 2, điều kiện ẩn phụ là: t ≥ đưa phương trình (2) dạng: t2 - 2mt + 3m - = (2’) Khá nhiều học sinh mắc phải sai lầm cách phát biểu chuyển đổi toán cho rằng: “Phương trình (2) có nghiệm phân biệt phương trình (2’) có nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' = m2 - (3m - 2) > ⇔ m2 - 3m + > ⇔ m > m