Mục lục Trang A. Phần Mở đầu B. phần nội dung Chơng I: Cơ sở lý luận của đề tài 7 1.1. Một số khái niệm liên quan . 7 1.2. Vai trò ý nghĩa của Tổ hợp . 8 1.3. Cơ sở lý luận . 9 Chơng II: Một số sai lầm của học sinh khi học chủ đề Đại số tổ hợp và một số cách khắc phục 13 2.1. Thực trạng học chủ đề Đại số tổ hợp của học sinh THPT hiện nay . 13 2.2. Một số sai lầm phổ biến của học sinh khi học chủ đề Đại số tổ hợp 18 2.3. Một số cách khắc phục sai lầm của học sinh khi học chủ đề Đại số tổ hợp 39 2.3.1. Một số yêu cầu trong quá trình phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh 39 2.3.2. Một số cách khắc phục sai lầm 41 Chơng III: Thực nghiệm s phạm 56 3.1. Mục đích thực nghiệm 56 3.2. Nội dung thực nghiệm 56 3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm 57 C. Phần kết luận Tài liệu tham khảo 2 A. Phần mở đầu 1. Lí do chọn đề tài 1.1. Chúng ta đang sống trong một xã hội hiện đại, khi nền khoa học kĩ thuật phát triển nh vũ bão, đòi hỏi ngời lao động phải có kiến thức sâu rộng, tay nghề vững, có khả năng linh hoạt giải quyết mọi tình huống thực tiễn. Đặc điểm này của thời đại đòi hỏi nền giáo dục không ngừng đổi mới về cả nội dung và phơng pháp nhằm đáp ứng mục tiêu: Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có tri thức và có tay nghề, có năng lực thực hành, tự chủ, năng động và sáng tạo, có đạo đức cách mạng, tinh thần yêu nớc, yêu chủ nghĩa xã hội.(Văn kiện đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ 7 của Đảng Cộng Sản Việt Nam). Quan điểm chung về đổi mới phơng pháp dạy học ở trờng phổ thông hiện nay là: Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t duy sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.(Luật giáo dục 1998, chơng 1, điều 24). 1.2. Trong nhà trờng phổ thông việc tăng cờng mạch toán ứng dụng và ứng dụng toán học là góp phần thực hiện lý luận liên hệ với thực tiễn, học đi đôi với hành, nhà trờng gắn liền với xã hội. Các bài toán ở trờng phổ thông là một phơng tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế đợc trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào cuộc sống. Hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích của dạy học Toán. Do đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải toán có vai trò quyết định đối với chất lợng dạy học toán. Tuy nhiên, thực tiễn cho thấy chất lợng dạy học toán ở trờng phổ thông có chỗ còn cha tốt, biểu hiện qua việc năng lực giải toán của học sinh còn hạn chế do học sinh còn mắc nhiều sai lầm. Một trong những nguyên nhân quan trọng là giáo viên cha chú ý đúng mức việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa các sai lầm cho học sinh ngay trong giờ học Toán. 1.3. Đã có nhiều quan điểm hoặc ý kiến đợc nêu ra xoay quanh vấn đề sai lầm trong cuộc sống cũng nh trong nghiên cứu khoa học. Chẳng hạn, I.A.Komensky đã 3 khẳng định: Bất kì một sai lầm nào cũng có thể làm cho học sinh học kém đi nếu nh giáo viên không chú ý ngay tới sai lầm đó, bằng cách hớng dẫn học sinh tự nhận ra và sửa chữa, khắc phục sai lầm. J.Piaget còn nhấn mạnh: chỉ có sự hoạt động đ- ợc giáo viên thờng xuyên định hớng và khích lệ nhng vẫn luôn luôn tự do trong việc mò mẫm và ngay cả những sai lầm mới có thể đa tới sự độc lập về mặt trí tuệ. Viện sĩ A.N.Kôlmôgôrôv viết: Năng lực bình thờng của học sinh trung học đủ để các em nắm đợc toán học trong nhà trờng phổ thông nếu có sự hớng dẫn tốt của thầy giáo. Nh vậy có thể khẳng định rằng các sai lầm của học sinh trong giải toán là cần và có thể khắc phục đợc. 1.4. Lý thuyết về đại số tổ hợp đợc hình thành từ rất sớm trong lịch sử phát triển của toán học, là một công cụ để nghiên cứu xác suất, giải quyết nhiều bài toán trong thực tế. Nó góp phần bồi dỡng t duy logic cho học sinh. Vì vậy, việc dạy học nội dung chủ đề Đại số tổ hợp ở trờng phổ thông có một ý nghĩa rất lớn. Thực tế cho thấy học toán tổ hợp luôn là việc khó đối với học sinh. Học sinh th- ờng phân vân khi sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân hay thờng nhầm lẫn trong việc dùng công thức tính số tổ hợp, chỉnh hợp Để dạy học phần Đại số tổ hợp có hiệu quả đòi hỏi ngời giáo viên phải đề ra đợc những biện pháp hợp lí về cách thức chọn nội dung và phơng pháp: Dạy cái gì? dạy nh thế nào để học sinh tiếp thu bài giảng một cách có hiệu quả, làm thế nào để học sinh không bị nhầm lẫn kiến thức khi làm bài tập? .là những vấn đề đợc nhiều ngời quan tâm và nghiên cứu. Chính từ các yêu cầu cấp bách và nhận thức trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là: Một số sai lầm thờng gặp của học sinh khi học chủ đề Đại số tổ hợp . 2. Mục đích nghiên cứu. Tìm hiểu khó khăn của học sinh khi giải toán tổ hợp, phân tích các sai lầm phổ biến và nguyên nhân dẫn đến sai lầm của học sinh trung học phổ thông. Từ đó nghiên cứu, đề xuất một số cách sửa chữa, khắc phục sai lầm cho học sinh khi giải toán tổ hợp, góp phần nâng cao chất lợng dạy học môn toán trong trờng trung học phổ thông. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu. 4 Nhiệm vụ nghiên cứu của khoá luận bao gồm: 3.1. Bớc đầu làm sáng tỏ một số khó khăn và sai lầm của học sinh trong quá trình học Đại số tổ hợp. 3.2. Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm. 3.3. Nghiên cứu và đề xuất một số vấn đề cơ bản về cách khắc phục sai lầm. 3.4. Tổ chức thực nghiệm s phạm nhằm kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của những đề xuất. 3.5. Đa ra những kết luận cần thiết. 4. Giả thuyết khoa học. Nếu trong dạy học Toán nói chung và dạy học Đại số tổ hợp nói riêng, ngời giáo viên biết cách phát hiện, dự đoán những sai lầm phổ biến của học sinh, đồng thời biết cách phân tích và sử dụng các biện pháp dạy học thích hợp để hạn chế và sửa chữa các sai lầm đó thì sẽ góp phần giảm các sai lầm cho học sinh trong giải toán, từ đó chất lợng dạy học toán sẽ đợc nâng cao. 5. Phơng pháp nghiên cứu. 5.1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, những tài liệu về phơng pháp dạy học toán, các tài liệu về tâm lý học, giáo dục học, các công trình nghiên cứu có liên quan đến đề tài của một số tác giả, các sách tham khảo, 5.2. Điều tra tìm hiểu: Tiến hành tìm hiểu về các số liệu thông qua giáo viên toán ở các trờng phổ thông, qua bài kiểm tra học sinh trung học phổ thông. 5.3. Thực nghiệm s phạm: Tiến hành thực nghiệm một số tiết ở trờng trung học phổ thông. 6. Đóng góp của khóa luận. 6.1. Khoá luận đa ra đợc cơ sở lý luận của việc dự đoán các sai lầm phổ biến trong giải toán của học sinh. 6.2. Khoá luận làm sáng tỏ đợc một số sai lầm thờng gặp của học sinh trung học phổ thông khi giải toán tổ hợp. 6.3. Khoá luận nêu đợc một số cách hạn chế và khắc phục sai lầm của học sinh trong giải toán tổ hợp ở trờng phổ thông. 7. Cấu trúc của khoá luận. 5 Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các tài liệu tham khảo, khoá luận gồm có 3 chơng: Chơng 1: Cơ sở lý luận của đề tài. Chơng 2: Một số sai lầm của học sinh khi học chủ đề Đại số tổ hợp và cách khắc phục. Chơng 3: Thực nghiệm s phạm. 6 B. Phần nội dung Ch ơng I : Cơ sở lý luận của đề tài 1.1. Một số khái niệm liên quan. 1.1.1. Bài toán và hoạt động giải bài tập toán. Theo Polya: Giải một bài toán là một nghệ thuật do thực hành mà có, giống nh việc bơi chẳng hạn. Vậy mà sự khéo léo thực hành lại có đợc bằng cách bắt chớc và thí nghiệm. Còn theo A.N.Leonchiep: Bài toán là mục đích đã cho trong những điều kiện nhất định, đòi hỏi chủ thể (ngời giải toán) cần phải hành động, tìm kiếm cái cha biết trên cơ sở mối liên quan với cái đã biết. Nh vậy khái niệm bài toán đợc gắn liền với hoạt động của chủ thể. Có 4 bớc chính trong quá trình giải một bài toán: Bớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài. Bớc 2: Nắm đợc mối quan hệ giữa các yếu tố khác nhau của bài toán, giữa cái cha biết với những cái đã biết để tìm cách giải. Bớc 3: Trình bày lời giải. Bớc 4: Nhìn lại cách giải đã thu đợc một lần nữa, nghiên cứu và phân tích nó. Bài tập toán có vai trò quan trọng trong môn toán. Thông qua giải bài tập, học sinh thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay phơng pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Tuân thủ theo 4 bớc trong quá trình giải bài tập toán, học sinh có thể tránh đợc sai lầm bằng cách thử lại từng bớc. Một phần lớn những kết quả hay của bài toán có thể mất đi, nếu học sinh không xem xét lại, không nghiên cứu và phân tích lại cách giải bài toán. Để phát huy tác dụng của bài tập toán, trớc hết cần nắm vững các yêu cầu của lời giải. Nghĩa là bài toán phải đợc giải quyết một cách trọn vẹn, khoa học và chính 7 xác. Tác giả Nguyễn Bá Kim trong cuốn: Phơng pháp dạy học môn toán đã cụ thể các yêu cầu đó là: - Kết quả đúng, kể cả các bớc trung gian. - Lập luận chặt chẽ. - Lời giải đầy đủ. - Ngôn ngữ chính xác. - Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật. - Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn và hợp lí nhất. - Nghiên cứu giải những bài toán tơng tự, mở rộng hay lật ngợc vấn đề. Trong đó bốn yêu cầu đầu là các yêu cầu cơ bản, yêu cầu thứ năm là yêu cầu về mặt trình bày, hai yêu cầu cuối là những yêu cầu đề cao. 1.1.2. Sai lầm. Theo từ điển Tiếng Việt thì sai lầm là: Trái với yêu cầu khách quan, lẽ phải, dẫn đến hậu quả không hay. Phổ biến là: có tính chất chung, có thể áp dụng cho cả một tập hợp, hiện tợng, sự vật. 1.2. Vai trò ý nghĩa của tổ hợp. 1.2.1. Vai trò của tổ hợp trong hoạt động thực tiễn. Ông X.M.Nikôlxki đã nói về khái niệm giải tích tổ hợp: Là ngành toán học nghiên cứu những vấn đề khác nhau liên quan đến việc sắp xếp các bộ phận khác nhau của một tập hợp đã cho, thờng là tập hữu hạn. Một dạng cơ bản của chủ đề tổ hợp là bài toán chọn, một lớp bài toán ứng dụng nhiều trong các hoạt động của con ngời. Chẳng hạn, trong một nhà máy cần thực hiện n công việc nào đó (chế tạo máy, kế toán, bảo vệ, quản lý, ).Để thực hiện công việc ng ời ta tuyển một số ngời, mỗi ngời có thể thực hiện đợc một số công việc. Nhà máy muốn tuyển ít ngời mà vẫn có thể đảm bảo tiến trình công việc. Từ đó đặt ra câu hỏi: có thể chọn tối thiểu bao nhiêu ngời để có thể đảm bảo tiến trình công việc?. Đây là một trong những dạng của bài toán tổ hợp. 1.2.2. Vai trò của tổ hợp với t cách là môn học. 8 Tiến sĩ khoa học Vũ Đình Hòa khẳng định: Sự chuyển hớng xây dựng toán học hiện đại trên cơ sở của lý thuyết tập hợp đợc mở ra ở cuối thế kỷ XIX. Một trong những ảnh hởng mạnh mẽ nhất của lý thuyết tập hợp là lý thuyết tính toán với tập hợp hữu hạn: tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp, các bài toán trong hình học tổ hợp . Các bài toán tổ hợp là một bộ phận quan trọng của toán học có nội dung phong phú và nhiều ứng dụng trong thực tiễn khoa học kỹ thuật cũng nh trong đời sống hàng ngày của chúng ta. Trong nhiều đề thi quốc gia và quốc tế cũng xuất hiện những bài toán tổ hợp, một dạng toán khó không những đối với học sinh nớc ta mà cả đối với học sinh quốc tế nói chung. Hòa chung với xu thế đổi mới tiến bộ trên thế giới, cải cách chơng trình sách giáo khoa là yêu cầu cấp thiết. Từ cuối thế kỷ XX nhiều quốc gia đã tiến hành cải cách giáo dục nhằm hớng tới mục tiêu nâng cao chất lợng giáo dục, góp phần cải thiện nguồn nhân lực, tạo sự hứng thú say mê học tập cho học sinh. Đối với nớc ta, trong nghị quyết hội nghị của Ban Chấp Hành Trung Ương Đảng Cộng Sản lần 2 khoá 8 năm 1997 đã chỉ rõ: Phải đổi mới phơng pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp t duy sáng tạo của ngời học, từng bớc áp dụng phơng pháp tiên tiến và phơng tiện hiện đại vào quá trình dạy học đảm bảo điều kiện, thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, nhất là sinh viên đại học. 1.3. Cơ sở lý luận. Phơng pháp dạy học là tổng hợp các cách thức hoạt động phối hợp của giáo viên và học sinh, trong đó phơng pháp dạy chỉ đạo phơng pháp học, nhằm giúp học sinh chiếm lĩnh hệ thống kiến thức khoa học và hình thành hệ thống kỹ năng, kỹ xảo thực hành sáng tạo. Học sinh là trung tâm của mọi sự cố gắng, mọi cải tiến về nội dung và phơng pháp dạy học, là trung tâm của mọi tìm tòi về cách tổ chức quá trình dạy học. Chính vì vậy mà ngời ta tiến hành quá trình dạy học bằng cách khơi dậy tiềm năng trí tuệ của học sinh, nghĩa là quá trình học tập đợc tiến hành bởi học sinh. 9 Học sinh vừa là mục tiêu, vừa là động lực của quá trình dạy học. Đó chính là bản chất của quan điểm: Dạy học lấy học sinh làm trung tâm, một quan điểm dạy học hiện đại, là cơ sở lý luận để tiến hành các hoạt động dạy học có hiệu quả. Nghiên cứu những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải toán là rất cần thiết, bởi vì thực tiễn s phạm cho thấy học sinh còn mắc nhiều kiểu sai lầm. Từ những sai lầm về tính toán đến những sai lầm về suy luận, có nhiều kiểu sai lầm rất tinh vi, khó phát hiện. Đã có rất nhiều nhà khoa học nhấn mạnh tới vai trò của việc sửa chữa sai lầm cho học sinh trong quá trình giảng dạy toán. Chẳng hạn, G.Polia cho rằng: Con ngời phải biết học ở những sai lầm và thiếu sót của mình. A.A.Stôliar phát biểu: Không đợc tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh. Tâm lí học đã khẳng định rằng: Mọi trẻ em bình thờng không có bệnh tật gì đều có khả năng đạt đợc học vấn toán học phổ thông cơ bản dù cho chơng trình toán đã hiện đại hóa. Nh vậy có thể thấy rằng các sai lầm của học sinh khi giải toán là cần và có thể khắc phục đợc. Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: Phơng pháp dạy học cần hớng vào tổ chức cho ngời học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo. Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với những hoạt động nhất định. Phát hiện những hoạt động trong một nội dung là vạch ra con đờng để ngời học chiếm lĩnh nội dung đó. Các cách sửa chữa và khắc phục sai lầm của học sinh đợc đa ra dựa trên quan điểm hoạt động trong phơng pháp dạy học của Nguyễn Bá Kim với các t tởng chủ đạo sau: Cho học sinh thực hiện và luyện tập những hoạt động và hoạt động thành phần tơng thích với nội dung và mục tiêu dạy học. Gợi động cơ cho các hoạt động học tập. Dẫn dắt học sinh kiến tạo tri thức, đặc biệt là tri thức phơng pháp nh phơng tiện và kết quả của hoạt động. Phân bậc hoạt động làm căn cứ điều khiển quá trình dạy học. Các biện pháp sửa chữa sai lầm cho học sinh phải phản ánh đợc cấu trúc bên ngoài và cấu trúc bên trong, đặc biệt là đối với cấu trúc bên trong phải chỉ ra đợc các thao tác trí tuệ, cách tổ chức logic của sự nhận thức và lĩnh hội của học sinh. Sai lầm 10 của học sinh tạo ra mâu thuẫn và chính những mâu thuẫn này là động lực thúc đẩy quá trình nhận thức của học sinh. Sai lầm của học sinh xuất hiện sẽ gợi hoạt động học tập mà học sinh sẽ đợc hớng đích, gợi động cơ để tìm ra sai lầm và đi tới lời giải đúng. Phát hiện ra cái sai trong quá trình giải toán giúp học sinh chiếm lĩnh tri thức một cách trọn vẹn hơn. Tuy nhiên, cách tốt nhất là để học sinh tự mình khám phá ra sai lầm, giáo viên hớng dẫn gợi ý cho học sinh cách khắc phục sai lầm. Từ đó học sinh sẽ nắm kiến thức sâu sắc hơn. Đã có nhiều quan điểm khác nhau đối với việc chỉ ra các sai lầm cho học sinh. Chẳng hạn R.A.Axanôp cho rằng: Việc tiếp thu tri thức một cách có ý thức đợc kích thích bởi việc tự học sinh phân tích một cách có suy nghĩ nội dung của từng sai lầm mà học sinh phạm phải, giải thích nguồn gốc của các sai lầm này và t duy, lý luận về bản chất của các sai lầm. A.A.Stôliar đã khẳng định: Cần có biện pháp nhằm dạy học môn toán dựa trên các sai lầm, khi các sai lầm của học sinh xuất hiện. Thuyết hành vi quan niệm rằng: sai lầm của học sinh là một hiện tợng tiêu cực, có hại cho việc lĩnh hội kiến thức và do đó cần tránh và nếu gặp thì cần khắc phục. Nhà giáo dục ngời Đức Aphơgut Lai cho rằng: Việc chú ý tới các sai lầm của học sinh trong giờ học có ảnh hởng xấu tới việc tiếp thu bài giảng. Quan điểm này đề nghị không viết lại lời giải sai lên bảng vì điều này làm củng cố thêm sai lầm trong ý thức học sinh. Còn nguyên nhân dẫn đến sai lầm là do học sinh nắm kiến thức không vững, do không cẩn thận khi giải toán hoặc có thể do giáo viên dạy quá nhanh hay giải thích không rõ ràng Theo quan điểm này thì xu hớng dạy học là: S phạm từng bớc nhỏ. Tức là truyền đạt kiến thức dần dần, từ đơn giản đến phức tạp mà không phạm sai lầm nào. Nếu lỡ sai lầm thì cách khắc phục là dạy lại, cung cấp các kiến thức bổ trợ cho đến khi học sinh có lời giải đúng. Nh vậy thuyết hành vi nhấn mạnh vai trò chủ đạo của giáo viên. Đối lập với thuyết hành vi, thuyết kiến tạo thì lại cho rằng: sai lầm không chỉ đơn giản do thiếu hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh ra mà còn là hậu quả của kiến thức trớc giờ không thích hợp nữa. Theo quan điểm đó thì sai lầm là sự thể hiện của một kiến thức (tự phát hay đã có từ trớc) của học sinh, kiến thức cần thay thế bởi những kiến thức thích ứng hơn. Sai lầm đóng vai trò quan trọng trong học tập, và vấn 11