- 1 - bộ giáo dục và đào tạo Trờng Đại học Vinh ----------------------- đờng hải hùng một số tính chất của các tập lồi trong không gian véc tơ Chuyên ngành: Hình học - Tôpô Mã số: 60.46.10 luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: TS. Phạm ngọc bội Vinh - 2005 Lời nói đầu 1.Tập lồi là khái niệm toán học có nhiều ứng dụng trong hình học, giải tích và nhiều ngành khoa học khác. Các kết quả tổng quan về tập lồi đã đợc các nhà toán học nh Frederick A.Valentine, L.Klee, C.Caratheodory, H.Minkowski trình bày. Các cấu trúc trên các tập lồi, các quan hệ giữa chúng, giao của các tập lồi, các điều kiện để một tập hợp trở thành tập lồi và tính hội tụ của dãy tập lồi đã đợc nhiều tài liệu và giáo trình cơ sở đề cập đến. Chúng tôi sẽ tiếp tục trình bày các vấn đề đó một cách chi tiết và các ứng dụng của chúng. 2. Luận văn sẽ hệ thống và phát triển các tính chất của tập lồi và các ứng dụng của nó. Nội dung chính luận văn sẽ trình bày các tính chất về lân cận ở gốc của không gian vectơ tôpô, các quan hệ giữa các tập lin, core, lõi, phần trong, bao đóng của một tập hợp, giao của các tập lồi, các phép toán bảo toàn tập lồi, vị trí tơng đối của tập lồi với siêu phẳng, tính hội tụ của dãy tập lồi, từ đó đa ra một số điều kiện để một tập hợp trở thành tập lồi và các ứng dụng của định lí Hêli, định lí Caratheodory. Kết quả của luận văn là đã hệ thống các tính chất cơ bản của các lân cận ở gốc không gian vectơ tôpô, chứng minh chi tiết các tính chất về bao hàm của các tập lin, core, lõi, phần trong, bao đóng của một tập hợp, giao của các tập lồi, các phép toán bảo toàn tập lồi, vị trí tơng đối của tập lồi với siêu phẳng, dãy tập lồi hội tụ và các ứng dụng của định lí Hêli về giao khác rỗng của các tập lồi, các đờng tròn, các đoạn thẳng nh các ví dụ trong mục 1.1.3.2 và ứng dụng định lí Caratheodory về bao lồi của hệ n+1 điểm độc lập để mô tả bao lồi của các tập lồi, nh định lí 2.1.3.2 và xét vị trí tơng đối của một điểm và bao lồi của một tập hợp. 3. Nội dung luận văn đợc trình bày theo hai chơng. Chơng 1.Trình bày các khái niệm cơ bản về không gian vectơ tôpô, không gian Minkowski và tập lồi nhằm sử dụng vào chơng 2. Nội dung chính của chơng 1, phần thứ nhất, trình bày các khái niệm và một số tính chất cơ bản của tập lồi. Phần thứ hai, trình bày các khái niệm hàm khoảng cách, không gian - 2 - Minkowski và quan hệ giữa tập lồi và tính cộng tính dới của hàm khoảng cách Minkowski. Phần thứ ba,trình bày các khái niệm cần thiết trong không gian tôpô, các tính chất của lân cận ở gốc của không gian vectơ tô pô và các tính chất của ánh xạ liên tục. Chơng 2. Phần thứ nhất, trình bày các tính chất tôpô của bao lồi, mô tả bao lồi của một tập hợp, biểu thị đơn hình dới dạng tổ hợp lồi các đỉnh của nó và trình bày các điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc bao lồi của một tập hợp. Phần thứ hai, trình bày tính chất lồi của hạch, lin, bao đóng, phần trong, phần lõi của một tập hợp, các quan hệ bao hàm giữa chúng và một số tính chất về mặt nón. Phần thứ ba, trình bày vị trí tơng đối của tập lồi và siêu phẳng.Từ các tính chất giao của các tập lồi, tính chất tách tựa các tập lồi của siêu phẳng, nhằm tìm các điều kiện cần và đủ để một tập hợp trở thành tập lồi, quan hệ giữa tính lồi của các tập với siêu phẳng và ứng dụng của định lí Caratheodory vào xét tính chất điểm và bao lồi. Phần thứ t, trình bày tính lồi của hàm khoảng cách, tập song song và mêtric trên các tập lồi, nhằm sử dụng vào việc xét tính hội tụ của dãy tập lồi trong không gian Minkowski. Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của thầy giáo TS. Phạm Ngọc Bội. Nhân dịp hoàn thành luận văn, chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy giáo PGS.TS. Nguyễn Hữu Quang, PGS.TS. Nguyễn Huỳnh Phán, TS. Nguyễn Duy Bình,TS. Nguyễn Việt Hải, TS. Phan Thành An và các thầy cô giáo trong khoa toán Đại học Vinh đã tận tình giúp đỡ chúng tôi trong quá trình học tập. Tác giả - 3 - Mục lục Trang Lời nói đầu 1 Chơng 1. Các khái niệm cơ bản 3 1.1. Tập lồi trong không gian vectơ . .3 1.1.1. Các khái niệm tập lồi, bao lồi . . 3 1.1.2. Các phép toán bảo toàn tập lồi 4 1.1.3. Giao của các tập lồi trong không gian Euclide . 6 1.2. Không gian tôpô . . .10 1.2.1. Các khái niệm . . 10 1.2.2. Các tính chất của ánh xạ liên tục . . 11 1.2.3. Các tính chất của lân cận ở gốc của không gian vectơ tô pô . 12 1.3. Không gian Minkowski . 14 1.3.1. Hàm khoảng cách Minkowski . 14 1.3.2. Định nghĩa không gian Minkowski . .15 Chơng 2. tính chất của Các tập lồi trong không gian vectơ tôpô 17 2.1. Bao lồi của một tập hợp . 17 2.1.1. Vài tính chất tôpô của baolồi . . 17 2.1.2. Các định lí mô tả bao lồi của một tập hợp . .18 2.1.3. Các định lí về bao lồi của hợp các tập lồi . 19 2.1.4. Các điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc bao lồi của một tập hợp 21 2.2. Hạch, lin, baođóng, phần trong, lõi của tập hợp và các tính chất của chúng 23 - 4 - 2.2.1. Hạch của tập hợp . 23 2.2.2. Các tập có quan hệ sao đối với một điểm . .24 2.2.3. Quan hệ giữa lin, bao đóng, phần trong và phần lõi của một tập hợp 25 2.2.4. Tính lồi của phần trong, bao đóng, lin, lõi của một tập hợp . . .26 2.2.5. Tính chất của thể lồi 27 2.2.6. Bao đóng của hình nón lồi . 28 2.2.7. Phần bù của một tập hợp không có đoạn cắt . 28 2.3. Vị trí tơng đối của tập lồi và siêu phẳng 29 2.3.1. Siêu phẳng và một số tính chất của nó .29 2.3.2. Tính chất của hai tập lồi bù nhau .30 2.3.3. Các định lí tách các tập lồi .32 2.3.4. Các định lí về siêu phẳng tựa thể lồi 33 2.3.5. Định lí về mặt phẳng tựa mặt nón trong không gian vectơ tôpô lồi địa phơng . .35 2.4. Tập lồi trong không gian Minkowski .35 2.4.1. Tính lồi của hàm khoảng cách Minkowski 35 2.4.2. Tính lồi của tập song song .36 2.4.3. Mêtric trên các tập lồi 37 2.4.4. Dãy tập lồi hội tụ trong không gian Minkowski . .37 Kết luận . 40 Tài liệu tham khảo . 41 - 5 - - 6 - chơng 1. Các khái niệm cơ bản Trong chơng này chúng tôi sẽ trình bày ba nội dung chính, nội dung thứ nhất, nêu khái niệm tập lồi, bao lồi, tổ hợp lồi và chứng minh các định lí về các phép toán bảo toàn tập lồi, ứng dụng của định lí Hêli để giải bài toán về giao khác rỗng của các tập lồi trong không gian Euclide. Nội dung thứ hai, nêu các khái niệm cần thiết trong không gian tôpô, các tính chất của lân cận ở gốc và các tính chất của ánh xạ liên tục của không gian vectơ tôpô. Nội dung thứ ba, nêu các định nghĩa hàm khoảng cách và không gian Minkowski, nêu và chứng minh định lí về quan hệ giữa tập lồi và tính chất cộng tính dới của hàm khoảng cách Minkowski. 1.1. Tập lồi trong không gian vectơ 1.1.1. Các khái niệm tập lồi, bao lồi 1.1.1.1. Định nghĩa. Kí hiệu L là không gian vectơ trên R. Nếu x L, y L thì đoạn thẳng xy nối x và y là tập tất cả các điểm có dạng 0,0,1,yx =++ . Tập S L gọi là tập lồi, nếu mỗi cặp điểm x S, y S thì xy S . Một tập S đợc gọi là sao đối với điểm xL, nếu với mỗi yS thì xyS. Các tập linS = ( ) { } Sxy,yx,Sx\y 0 , linS =S linaS . Điểm x S là điểm lõi của S nếu mỗi điểm y L, y x, tồn tại một điểm z(xy) 0 sao cho xz S. Tập tất cả các điểm lõi của S kí hiệu là coreS. Trong không gian vectơ L, bao lồi của tập S là giao của tất cả các tập lồi chứa S và đợc kí hiệu là coS. Bao lồi của tập xác định n +1 điểm x 1 , x 2 , , x 1 + n trong không gian vectơ L đợc gọi là một đơn hình n- chiều, nếu phẳng có chiều nhỏ nhất là n chứa , các điểm x i , i = 1,1 + n đợc gọi là các đỉnh của đơn hình . Vectơ xL đợc gọi là tổ hợp lồi của các vectơ x 1 , x 2 , , x n L, nếu i 0 (i= 1,2, ,n), = = n 1i i 1 sao cho x = = n 1i ii x . - 7 - 1.1.1.2. Hệ quả. coS là tập lồi nhỏ nhất chứa S và S là tập lồi khi và chỉ khi coS = S. Chứng minh. S là lồi, thì coS S và theo định nghĩa bao lồi thì S coS, vậy coS =S. Ngợc lại coS = S, thì hiển nhiên S là tập lồi. 1.1.1.3. Định lí. Cho tập lồi A trong không gian vectơ L, lấy x 1 , x 2 , , x m A. Khi đó, A chứa tất cả các tổ hợp lồi của x 1 ,x 2 , ,x m . Chứng minh. Xét m = 2, với mọi 1 , 2 > 0, 1 + 2 =1, x 1 , x 2 A, do A là tập lồi nên 1 x 1 + 2 x 2 A. Giả sử định lí đúng với m k. Ta sẽ chứng minh với mọi x 1 , x 2 , , x k+1 A, mọi i 0 (i = 1, 2, , k + 1), + = = 1k 1i i 1 thì x = 1 x 1 + 2 x 2 + + k x k + k+1 x k+1 A. Có thể xem k+1 <1, vì nếu k+1 =1, thì 1 = 2 = = k = 0 và ta có ngay x A. Khi đó, 1 - k+1 = 1 + 2 + + k > 0, 1k i 1 + 0 (i =1, , k). Vì = + k 1i 1k i 1 =1, nên theo giả thiết qui nạp ta có: y= Ax 1 .x 1 k 1k k 1 1k 1 ++ ++ . Với các điểm yA và x k+1 A, ta có: 1 - k+1 > 0, (1 - k+1 ) + k+1 =1, do đó x = (1 - k+1 )y + k+1 x k+1 A. Nghĩa là, A chứa tất cả các tổ hợp lồi của x 1 , x 2 , , x m . 1.1.1.4. Định lí. coA trùng với tất cả các tổ hợp lồi của A. Chứng minh. Từ hệ quả 1.1.1.2, ta có coA lồi. Vì A coA, nên coA chứa tất cả các tổ hợp lồi của A. Mặt khác, tập tất cả các tổ hợp lồi của A là tập lồi chứa A, do đó nó chứa coA. 1.1.2. Các phép toán bảo toàn tập lồi Trong phần này, ta chỉ nêu ra phép giao, phép tịnh tiến, phép nhân vô h- ớng, tổ hợp hữu hạn các tập lồi, tích Đề các của các tập lồi, ảnh và nghịch ảnh - 8 - của tập lồi qua ánh xạ tuyến tính là các phép toán bảo toàn tập lồi. Những phép toán bảo toàn tập lồi khác, sẽ đợc trình bày ở các phần tiếp theo. 1.1.2.1. Định lí. Trong không gian vectơ L, giao của các tập lồi là tập lồi. Chứng minh. Gọi S i là các tập lồi có giao khác rỗng, i = 1, 2, 3, . Lấy x y,S i i i i S , thì x S i , y S i , i = 1, 2, . nên xy S i , i =1, 2 . Vậy xy i i S và i i S là tập lồi. 1.1.2.2. Hệ quả. Trong không gian vectơ L, tập S là lồi khi và chỉ khi S V lồi với mọi không gian con thực sự V của L và S V . Chứng minh. Vì S V , nên mọi x S V, y VS thì x ,S Sy suy ra xy S (Do S lồi) và với x Vy,V , ta cũng có xy V , vì V là không gian con của L. Vậy S xyV và S V là tập lồi. Ngợc lại S V là tập lồi, với mọi không gian con thực sự V của L. Xét yx à+ , à+ =1, Sy S,x mọi với à 0,0 suy ra x V, y V. Vì S V là lồi, nên lồi. tập làS và Syx à+ 1.1.2.3. Định lý. Trong không gian vectơ L, phép tịnh tiến và phép nhân vectơ với một lợng vô hớng biến tập lồi thành tập lồi. Chứng minh. Gọi S là tập lồi, giả sử phép tịnh tiến biến tập S thành tập a +S, aL, phép nhân vectơ với lợng vô hớng biến S thành S, R. Lấy Say,Sax ++ . Xét yx à+ , à+ =1, 0,0 à với mọi S,x + a Sy + a . Ta có x = a + x 1 , y = a + y 1 với x 1 S, y 1 S và ( ) ( ) ( ) ( ) =à++à+=+à++=à+ 1111 yxayaxayx a+ ( ) 11 yx à+ a+S, do S lồi nên 0.0,1, với à=à+à+ Syx 11 Vậy tập a + S lồi. Tơng tự, ta cũng chứng minh đợc tập S ( R) là lồi nếu S lồi. - 9 - 1.1.2.4. Định lí. Trong không gian vectơ L , cho các tập lồi A i , i R (i=1, , m). Khi đó, tập A = 1 A 1 + 2 A 2 + + m A m là lồi. Chứng minh. Lấy bất kì x, y A. Khi đó, x = 1 a 1 + + m a m và y= 1 b 1 + + m b m , với a i , b i A i , i R (i = 1, , m). Ta có x + y = ( 1 a 1 + + m a m ) + ( 1 b 1 + + m b m ) = 1 (a 1 + b 1 ) + + m (a m + b m ) A, do A i là các tập lồi. Vậy A là tập lồi. 1.1.2.5. Định lí. Giả sử L i là các không gian vectơ, cho các tập A i là các tập lồi (i=1,2, , m). Khi đó tích đề các m21 A .AA ììì là tập lồi trong L 1 ì L 2 ì ì L m . Chứng minh. Gọi A= m21 A .AA ììì , lấy bất kì x,y A, 0, 0, + =1 và xét x + y = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , , a m + b m ) A, vì A i (i=1,2, , m) là các tập lồi và x = (a 1 ,a 2 , ,a m ), y = (b 1 ,b 2 , ,b m )A. Vậy A là tập lồi. 1.1.2.6. Định lí. Giả sử L 1 , L 2 là các không gian vectơ, ánh xạ T: L 1 L 2 là tuyến tính. Khi đó: a. A L 1 lồi, thì T(A) lồi. b. B L 2 lồi, thì nghịch ảnh T -1 (B) của B là tập lồi. Chứng minh. Lấy bất kì x,yT(A). Khi đó tồn tại n, mA sao cho x=T(n), y = T(m) và x + y = T(n) + T(m) = T(n + m) T(A), vì n+mA do A là tập lồi (, 0, + = 1). Vậy T(A) là tập lồi. Tơng tự, ta có T -1 (B) là tập lồi khi B là tập lồi trong L 2 . 1.1.3. Giao của các tập lồi trong không gian Euclide Ngoài giao của các tập lồi là một tập lồi, ta tiếp tục xét một tính chất giao khác rỗng của các tập lồi, với một điều kiện cho trớc trong không gian E - 10 -