Mở đầu Tập hợp các phép biến đổi trên một tập cùng với phép nhân ánh xạ là một nửa nhóm. Đây là lớp nửa nhóm có nhiều tính chất phong phú và có nhiều ứng dụng trong đại số nói riêng và toán học hiện đại nói chung. Luận văn này tập trung nghiên cứu các tính chất của lớp nửa nhóm đó, đặc biệt mô tả các tơng đẳng trên chúng. Các kết quả chính của luận văn này là mệnh đề 1.2.5, định lý 1.3.10, định lý 3.4, định lý 2.1, định lý 2.2, định lý 2.5, định lý 2.7, định lý 2.9, định lý 3.4 và hệ quả 3.3. Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn nhiệt tình của thầy giáo TS. Lê Quốc Hán. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, ngời đã đặt cho tôi bài toán thú vị và đã giúp đỡ tôi giải quyết trọn vẹn bài toán này, đồng thời đã góp cho tôi nhiều ý kiến quý giá trong quá trình tập dợt nghiên cứu khoa học. Tôi cũng chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Đại số và các bạn sinh viên khoa Toán đã động viên tôi hoàn thành bản luận văn. Vì trình độ và thời gian có hạn nên luận văn chắc chắn còn nhiều thiếu sót, mong đợc sự góp ý chỉ bảo của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp. Vinh, 5/2002 Tác giả 3 Chơng 1 Nửa nhóm các phép biến đổi trên một tập Trong chơng này sẽ trình bày các khái niệm cơ bản từ phép toán hai ngôi, sau đó xây dựng phỏng nhóm, nửa nhóm, các phần tử khả nghịch, nửa nhóm ngợc . để đi đến nửa nhóm đầy đủ các phép biến đổi trên một tập. Đ1. các khái niệm cơ bản 1.1. Định nghĩa và các tính chất đặc trng. 1.1.1. Định nghĩa. Ta gọi phép toán hai ngôi trên một tập S là một ánh xạ từ S ì S vào S. Nếu ánh xạ đó đợc ký hiệu là (.) thì: (.) : S ì S S (a, b) a.b Để ký hiệu phép toán hai ngôi ngời ta cũng dùng các dấu +, , ì, . - Một phép toán hai ngôi bộ phận trên tập S là một ánh xạ từ một tập con khác rỗng của tập S ì S S. Một phỏng nhóm bộ phận là một hệ thống S (.) gồm một tập S khác rỗng và một phép toán hai ngôi bộ phận trên nó. 1.1.2. Các tính chất. Phép toán hai ngôi (.) trên S đợc gọi là kết hợp nếu: a.(bc) = (ab).c với mọi a, b, c S. Nửa nhóm là một phỏng nhóm S (.) trong đó phép toán (.) kết hợp. Phép biến đổi của một tập X là một ánh xạ từ tập X vào chính nó: : X X x (x) Phép biến đổi của một tập X là một ánh xạ từ X vào chính nó. ảnh của phần tử x X qua phép biến đổi hoặc ánh xạ là x : X X, x x . 4 Tích (hay hợp thành) của hai phép biến đổi và của tập X là phép biến đổi đợc định nghĩa nh sau: ( )(x) = ( (x)) x X Khi đó ta cũng có ( ) = ( ) Thật vậy, với mọi x X ta có: ( ( ))x = (( )(x)) = ( )( (x)) = ( )( (x)) = (( ) )(x) nên ( ) = ( ) Do đó tập X tất cả các phép biến đổi của tập X là một nửa nhóm đối với phép hợp thành. Ta gọi X là nửa nhóm đầy đủ các phép biến đổi trên X. Nhận xét: Ta nói ánh xạ : X Y là ánh xạ lên (hay còn gọi là toàn ánh) nếu mỗi phần tử thuộc Y là ảnh của ít nhất một phần tử thuộc X. Ta nói ánh xạ : X Y là ánh xạ một - một (hay là đơn ánh) nếu các phần tử khác nhau thuộc X có ảnh qua là các phần tử khác nhau thuộc Y. ánh xạ một-một từ tập X lên chính nó đợc gọi là một phép thế của tập X, ngay cả khi X vô hạn. Tập X tất cả các phép thế của tập X với phép nhân đợc gọi là nhóm đối xứng trên X. Tập con T của một phỏng nhóm đợc gọi là phỏng nhóm con của nó nếu từ a T, b T ab T. Giao của một họ tuỳ ý các phỏng nhóm con hoặc là hoặc là phỏng nhóm con. Nếu A , A S thì giao của tất cả các phỏng nhóm con của S chứa A là một phỏng nhóm con A của phỏng nhóm S chứa A và đợc chứa trong mọi 5 phỏng nhóm con của S chứa A và nói A là phỏng nhóm con của phỏng nhóm S sinh bởi A. Nếu A = S thì ta gọi A là tập sinh của phỏng nhóm S. Nếu S là nửa nhóm thì phỏng nhóm con của S cũng là nửa nhóm và dùng từ nửa nhóm con thay cho từ phỏng nhóm con. Nếu S là phỏng nhóm, thì lực lợng |S| của tập S đợc gọi là cấp của S. Phần tử e thuộc phỏng nhóm S đợc gọi là đơn vị trái (phải) nếu ea = a (ae = a) a S. Phần tử e thuộc phỏng nhóm S đợc gọi là đơn vị hai phía (hay đơn vị) nếu e vừa là đơn vị trái vừa là đơn vị phải. Nếu S chứa đơn vị trái e và đơn vị phải f thì e = f. Phần tử z thuộc phỏng nhóm S đợc gọi là phần tử không bên trái (phải) nếu za = z (az = z) a Z. Phần tử z thuộc phỏng nhóm S đợc gọi là phần tử không nếu z vừa là phần tử không bên trái, vừa là phần tử không bên phải nếu z 1 là phần tử không bên trái, z 2 là phần tử không bên phải thì z 1 = z 2 . tập tất cả các phần tử a thuộc phỏng nhóm S kết hợp đợc với mọi phần tử thuộc S theo nghĩa x(ay) = (xa)y với x,y S tuỳ ý là một nửa nhóm con của phỏng nhóm S. Chứng minh: Thật vậy, giả sử a,b là các phần tử nh vậy thuộc S tức x(ay) = (xa)y x(by) = (xb)y x((ab)y) = x(a(by)) = (xa)(by) = ((xa)b)y = (x(ab))y ab S. Vậy từ a, b S ab S đpcm. 6 1.2. Phần tử khả nghịch của nửa nhóm các phép biến đổi. 1.2.1. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử đơn vị 1. Nếu p và q là các phần tử thuộc S sao cho pq = 1, thì ta gọi p là nghịch đảo bên trái của q, còn q là nghịch đảo bên phải của p. 1.2.2. Định nghĩa. Phần tử khả nghịch bên phải (trái) thuộc S đợc định nghĩa là phần tử thuộc S có một nghịch đảo nên phải (trái) thuộc S. Vậy nếu pq = 1 thì p khả nghịch bên phải, còn q khả nghịch bên trái. 1.2.3. Định nghĩa. Phần tử khả nghịch thuộc S là một phần tử vừa khả nghịch bên trái vừa khả nghịch bên phải. 1.2.4. Định lý. Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử đơn vị 1. Khi đó ta có: (i) Tập P[Q] tất cả các phần tử khả nghịch bên phải (trái) của S là một nửa nhóm con với luật giản ớc phải (trái) và chứa 1. (ii) Tập U tất cả các phần tử khả nghịch thuộc S là một nhóm con của S và U = P Q. Mỗi phần tử khả nghịch có một phần tử nghịch đảo hai phía duy nhất thuộc U và không có nghịch đảo bên trái và bên phải nào thuộc tập đó . (iii) Mỗi nhóm con của S chứa 1 đều đợc chứa trong U. Chứng minh. (i) Nếu pq = p q = 1 thì (pp)(qq) = 1 P và Q là các nửa nhóm con của nửa nhóm S. Vậy chúng chứa 1. + Nếu ap = bp, (a, b S) và p P thì p có nghịch đảo bên phải q và a = a.1 = apq = bpq = b.1 = b. Tơng tự với Q là nửa nhóm với luật giản ớc bên trái. (ii) Ta có U = P Q (hiển nhiên) U là nửa nhóm con của nửa nhóm S. Nếu u U, thì tồn tại các phần tử x, y S sao cho xu = uy = 1. Giả sử x, y S. Khi đó x = x.1 = xuy = 1.y = y. 7 Do đó mọi phần tử nghịch đảo bên trái của u bằng phần tử nghịch đảo bên phải tùy ý. Vậy u có phần tử nghịch đảo hai phía duy nhất là u và không có các phần tử nghịch đảo bên phải và bên trái khác. Theo định nghĩa ta có u.u = u .u = 1 u U U là một nhóm. (iii) Giả sử G là một nhóm con tuỳ ý của nửa nhóm S, G chứa 1 và a G. Giả sử a -1 là phần tử nghịch đảo của aG. Từ đó ta có aa -1 = a -1 a =1 a U G U. Từ các định nghĩa và định lý ta có các mệnh đề sau: 1.2.5. Mệnh đề. Giả sử X là nửa nhóm đầy đủ các phép biến đổi trên tập X thì nửa nhóm con các phần tử khả nghịch bên phải trong X gồm tất cả các ánh xạ (một-một) từ X vào X. Chứng minh. Giả sử f: X X khả nghịch phải g: X X ; g.f = 1. Ta chứng minh f đơn ánh. Thật vậy, nếu f(x) = f(y) g[f(x)] = g[f(y)] 1 X (x) = 1 X (y) x = y f đơn ánh. Ngợc lại f đơn ánh, ta chứng minh khả nghịch phải. f : X X đơn ánh x f(x) Ta xây dựng ánh xạ g: X X nh sau: y = f(x) x (do f đơn) y f(X) a 0 (với a 0 là phần tử cố định thuộc X ) Khi đó g f = 1 X khả nghịch phải. 1.2.6. Mệnh đề. (i) Các phần tử không bên trái của nửa nhóm X các phép biến đổi của tập X, chính là các phép biến đổi biến mọi phần tử của X thành một phần tử cố định 8 đối với phép biến đôỉ đó. (ii) Nếu |X| > 1 thì X không chứa phần tử không bên phải. Chứng minh. (i)() Nếu tồn tại a X, sao cho (x) = a với mọi x X thì với mọi X ta có: (x) = [ (x)] = a = (x) () Đảo lại, nếu tồn tại x 1 , x 2 X sao cho (x 1 ) = a; (x 2 ) = b và a b. Khi đó ta lập ánh xạ : X X mà (x 1 ) = x 2 Thế thì (x 1 ) = (x 2 ) = b a = (x 1 ). Do đó và không phải là phần tử không bên trái trong X . (ii) Giả sử |X| > 1 và X tuỳ ý. Giả sử x X ta có (x) = a X. Khi đó tồn tại một phần tử b X, b a, do đó ta có thể lập ánh xạ : X X mà (a) = b. Lúc đó ta có: ( )(x) = (a) = b a = (x) Vậy không phải là phần tử không bên phải trong X . 1.3. Phần tử chính quy và nửa nhóm ngợc. Trong tiết này ta đa ra một số định nghĩa, định lý về phần tử chính quy và nửa nhóm ngợc để đi đến định lý 1.3.10. 1.3.1. Định nghĩa. Phần tử a thuộc nửa nhóm S đợc gọi là phần tử chính quy, nếu a aSa, hay nói khác đi axa = a với x thuộc S. Nửa nhóm S đợc gọi là chính quy nếu mỗi phần tử của nó là chính quy. 1.3.2. Nhận xét. (i) Nếu a là phần tử chính quy thuộc nửa nhóm S, chẳng hạn axa = a, với x S thì ta có ít nhất một phần tử ngợc với nó, chẳng hạn phần tử xax. Chứng minh. Giả sử b = xax, khi đó ta có 9 bab = a(xax)a = ax(axa) = (axa)xa = axa = a bab = (xax)a(xax) = x(axa)(xax) = xa(xax) = x(axa) = xax = b. Do đó b ngợc với a. (ii) Hai phần tử thuộc một nửa nhóm S là nghịch đảo của nhau trong một nhóm con nào đó của S khi và chỉ khi chúng ngợc nhau và giao hoán với nhau. 1.3.3. Định nghĩa. Nửa nhóm ngợc là nửa nhóm trong đó mỗi phần tử có một phần tử ngợc duy nhất. 1.3.4. Bổ đề. Nếu e, f, ef và fe là các lũy đẳng thuộc nửa nhóm S, thì ef và fe ngợc nhau. Chứng minh. Ta có (ef)(fe)(ef) = ef 2 e 2 f = ef.ef = (ef) 2 = ef Tơng tự ta có (fe)(ef)(fe) = fe ef và fe ngợc nhau. 1.3.5. Định lý. Ba điều kiện sau đối với một nửa nhóm là tơng đơng: (i) S chính quy và hai lũy đẳng bất kỳ của nó giao hoán với nhau. (ii) Mỗi iđêan chính phải và mỗi iđêan chính trái của S có một phần tử sinh lũy đẳng duy nhất. (iii) S là nửa nhóm ngợc (tức là mỗi phần tử thuộc S có một phần tử ngợc duy nhất. Chứng minh. (i) (ii): Vì e và f là các lũy đẳng cùng sinh ra một iđêan chính phải tức eS = fS ef = f và fe = e. Nhng theo (i) ta có: ef = fe nên e = f . (ii) (iii): Ta có phần tử a thuộc nửa nhóm S là chính quy khi và chỉ khi iđêan chính phải (trái) của nửa nhóm S sinh bởi một lũy đẳng e nào đó, tức aS 1 = eS 1 [S 1 a = S 1 e] nên suy ra nửa nhóm S chính quy. Bây giờ ta chỉ cần chứng minh duy nhất của phần tử ngợc. Thật vậy, giả sử b và c ngợc với a. Khi đó ta có aba = a ; bab = b ; cac = c Từ đó abS = aS = acS và Sba = Sa = Sca, nên ab = ac và ba = ca. 10 Do đó b = bab = bac = cac = a. (iii) (i). Rõ ràng một nửa nhóm ngợc là chính quy. Ta chỉ cần chứng minh hai lũy đẳng bất kỳ giao hoán với nhau. Trớc hết ta chứng minh tích ef của hai lũy đẳng e và f là một lũy đẳng. Thật vậy, giả sử a là phần tử ngợc (duy nhất) của ef. Khi đó ta có: (ef)a(ef) = ef ; a(ef)a = a. Đặt b = ae (ef)b(ef) = (ef)ae(ef) = efae 2 f = afaef = ef ; b(ef)b = ae 2 fae = aefae = ae = b. b là phần tử ngợc của ef, theo (iii) ae = b = a. Nhng một lũy đẳng là phần tử ngợc với chính nó, và theo (iii) ta suy ra a = ef ef là lũy đẳng. Bây giờ giả sử e và f là hai lũy đẳng bất kỳ. Theo trên ta có ef và fe là lũy đẳng, nên theo bổ đề 1.3.4 ta có chúng ngợc nhau. Vậy ef và fe đều ngợc với ef, do đó ef = fe (đpcm). 1.3.6. Định nghĩa. Ta gọi phép biến đổi bộ phận một-một của tập X là một ánh xạ một-một, từ một tập con Y của X lên tập con Y = Y của X: Ký hiệu -1 : Y Y y -1 = y (y Y; y Y) y = y . - Giả sử X là tập tất cả các phép biến đổi bộ phận một-một của tập X, bao gồm cả ánh xạ từ tập rỗng lên chính nó. Phép biến đổi rỗng đó ta sẽ ký hiệu là 0. 1.3.7. Bổ đề. Tích của hai phần tử , X đợc định nghĩa nh sau: Giả sử Y và Z là các miền xác định tơng ứng của và . Nếu Y Z = thì ta đặt = 0. Ngợc lại, giả sử W = (Y Z) -1 là cái hợp thành của các phép biến đổi | W và | W theo nghĩa thông thờng. Khi đó ta có là ánh xạ một-một từ 11 tập con W lên W . Do đó nó thuộc X X là một nửa nhóm gọi là nửa nhóm ngợc đối xứng trên tập X. 1.3.8. Bổ đề. Đối với các phần tử a, b tuỳ ý thuộc một nửa nhóm ngợc S có các hệ thức: (i) (a -1 ) -1 = a (ii) (ab) -1 = b -1 a -1 Chứng minh. i) Ta có (a -1 ) -1 = a (hiển nhiên) ii) Ta có (ab)(b -1 a -1 )(ab) = a(bb -1 )(a -1 a)b = a(a -1 a)(bb -1 )b = ab. (b -1 a -1 )(ab)(b -1 a -1 ) = b -1 (a -1 a)(bb -1 )a -1 = b -1 (bb -1 )(a -1 a)a -1 = b -1 a -1 Vậy b -1 a -1 ngợc với ab (đpcm). 1.3.9. Bổ đề. Nếu e và f là các lũy đẳng của nửa nhóm ngợc S thì Se Sf = Sef (= Sfe). Chứng minh. Nếu a Se Sf thì ae = af = a Nên aef = af = a a Sef. Ngợc lại nếu a Sef (= Sfe) thì aef = afe = a ae = af = a tức a Se Sf . (đpcm) 1.3.10. Định lý. Mỗi nửa nhóm ngợc tuỳ ý S đẳng cấu với một nửa nhóm con ngợc của nửa nhóm ngợc đối xứng S tất cả các phép biến đổi bộ phận một-một của tập S. Chứng minh. Với mỗi a S, ta xác định ánh xạ a : Sa -1 (= Saa -1 ) Sa -1 a (=Sa) x x a = xa Khi đó a -1 : Sa (= Sa -1 a) Saa -1 (= Sa -1 ). Nếu x Saa -1 = và y Sa -1 a thì a a a -1 = xaa -1 = x y a -1 a = ya -1 a = y . Vì mọi lũy đẳng e là đơn vị phải trong iđêan Se. Do đó a và a -1 là các ánh xạ một-một ngợc nhau. 12