BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN TUẤN KIỆT MÔĐUN ĐỐI BUCHSBAUM luËn v¨n th¹c sü to¸n häc Nghệ An - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN TUẤN KIỆT MÔĐUN ĐỐI BUCHSBAUM luËn v¨n th¹c sü to¸n häc CHUYÊN NGA ̀ NH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 Người hướng dẫn khoa học TS. NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN Nghệ An - 2012 MỤC LỤC Mục lục……………………………………………………… .…… 1 Mở đầu…………………… …………………………………………… 2 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị………………………………………… 5 1.1 Chiều Krull, hệ tham số và số bội của môđun Noether 5 1.2 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m- adic 7 1.3 Giá của môđun 8 1.4 Biểu diễn thứ cấp 9 1.5 Chiều Noether, hệ tham số và số bội của môđun Artin 10 1.6 Môđun đối đồng điều địa phương 13 1.7 Đồng điều địa phương 14 1.8 Dãy đối chính quy và môđun đối Cohen-Macaulay 15 Chương 2. Môđun đối Buchsbaum 17 2.1 Môđun Buchsbaum 17 2.2 Môđun đối Buchsbaum trên vành địa phương 18 2.3 Môđun đối Buchsbaum trên vành không nhâ ́ t thiê ́ t địa phương 30 Kết luận………………………………………………………………… 32 Tài liệu tham khảo………………………………….…………………. 33 1 MỞ ĐẦU Trong phạm trù các môđun Noether, môđun Cohen - Macaulay, môđun Buchsbaum và môđun Cohen - Macaulay suy rộng là ba lớp môđun quen thuộc trong Đại số giao hoán và có nhiều ứng dụng trong Hình học Đại số. Cho (R, m) là vành Noether, địa phương với iđêan tối đại duy nhất là m và M là một − R môđun hữu hạn sinh với chiều Krull là d ; x = ( ) 1 , ., d x x là một hệ tham số của M. Đặt ( ) ; ( / ) ( ; )I x M M xM e x M = − l , trong đó ( / )l M xM là độ dài của môđun thương M/xM; ( ; )e x M là số bội của M ứng với hệ số tham số x . Chú ý rằng ( ; )I x M luôn là số nguyên không âm. M được gọi là môđun Cohen - Macaulay nếu nếu tồn tại một hệ tham số x = ( ) 1 , ., d x x của M sao cho ( ; )I x M = 0 (khi đó ( ; )I x M = 0 với mọi hệ tham số x của M). M được gọi là môđun Buchsbaum nếu ( ; )I x M = c là hằng số với mọi hệ tham số x của M. M là môđun Cohen - Macaulay suy rộng nếu ( ; )I x M < ∞ với mọi hệ tham số x của M. Trong phạm trù các môđun Artin, lớp môđun đóng vai trò quan trọng như lớp môđun Cohen-Macaulay đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu là lớp môđun đối Cohen-Macaulay. Cấu trúc của môđun đối Cohen – Macaulay đã được biết đến thông qua các tính chất của hệ tham số, dãy đối chính qui, tập các iđêan nguyên tố gắn kết, đồng điều địa phương…. Cho (R, m) là vành Noether, địa phương với iđêan tối đại duy nhất là m và A là một R-môđun Artin. Với mỗi hệ tham số x của A trong m đặt I(x; A) = l R (0: A x R) – e(x; R) 2 và I(A) = sup x I(x; A), trong đó cận trên lấy trên tập tất cả các hệ tham số của A. Khi đó I(x; A) luôn nhận giá trị nguyên không âm và A là môđun đối Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu I(A) = 0. Tương tự như trong phạm trù các môđun Noether, trong [4], Nguyễn Tự Cường, Nguyễn Thị Dung và Lê Thanh Nhàn đã nghiên cứu lớp những môđun Artin A thỏa mãn tính chất I(x; A) = c là hằng số với mọi hệ tham số x của A và họ gọi những môđun này là môđun đối Buchsbaum. Rõ ràng lớp môđun này chứa thực sự lớp môđun đối Cohen-Macaulay. Mục đích của Luận văn là dựa vào bài báo [4] của Nguyễn Tự Cường, Nguyễn Thị Dung và Lê Thanh Nhàn để trình bày về định nghĩa và một số tính chất của môđun đối Buchsbaum. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận văn được chia thành hai chương. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm của Đại số giao hoán nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của Luận văn ở Chương 2. Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có dưới dạng những mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau. Chương 2: Môđun đối Buchsbaum. Trong chương này chúng tôi trình bày những nội dung sau đây. 2.1. Môđun Buchsbaum: Trong phần này chúng tôi trình bày về khái niệm và một số tính chất của môđun Buchsbaum dựa theo [13] nhằm mục đích so sánh với khái niệm môđun đối Buchsbaum sẽ trình bày ở các phần tiếp theo. 2.2. Môđun đối Buchsbaum trên vành địa phương: Trong phần này chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất của môđun đối Buchsbaum trên vành địa phương theo [4]. 3 2.3. Môđun đối Buchsbaum trên vành không nhất thiết địa phương: Trong phần này chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất của môđun đối Buchsbaum trên vành không nhất thiết địa phương theo [4]. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Thị Hồng Loan - người đã hướng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm khắc trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Bộ môn Đại số và Lý thuyết số, Khoa Toán học và Phòng Đào tạo Sau đại học thuộc Trường Đại học Vinh; phòng QLKH&SĐH trường Đại học Đồng Tháp; các đồng nghiệp trường THPT Châu Thành 1 đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Tác giả xin cảm ơn các anh chị, các bạn trong lớp cao học 18 - Đại số và Lý thuyết số đã giúp đỡ động viên tác giả trong suốt quá trình học tập. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những sai sót. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Nghệ An, tháng 10 năm 2012 Tác giả 4 CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm của Đại số giao hoán nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của Luận văn ở Chương 2. Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có dưới dạng những mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau. 1.1. Chiều Krull, hệ tham số và số bội của môđun Noether 1.1.1. Chiều Krull. Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành R : 0 1 . n ⊃ ⊃ ⊃ p p p được gọi là một xích nguyên tố có độ dài n . Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R, cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố với 0 = p p được gọi là độ cao của p , ký hiệu là ( ) ht p . Nghĩa là: ( ) ht p = sup {độ dài các xích nguyên tố với 0 = p p } Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong R được gọi là chiều Krull của vành R , ký hiệu là dim R . Cho M là một R − môđun. Khi đó ( ) dim / Ann R R M được gọi là chiều Krull của môđun M, ký hiệu là dim M. 1.1.2. Hệ tham số. Cho R là một vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan tối đại duy nhất là m; M là một R -môđun hữu hạn sinh có chiều Krull > 0dim M d= . Một hệ gồm d phần tử 1 : ( , ., ) d x x x= của m được gọi là một hệ tham số của M nếu 1 ( /( , . ) ) R d M x x M < ∞l . ( ( ) ∗ l là kí hiệu độ dài của R -môđun). Sau đây là một số tính chất cơ bản của hệ tham số. (i) Mọi hoán vị của một hệ tham số của M cũng là một hệ tham số của .M 5 (ii)Nếu 1 : ( , ., ) d x x x= là một hệ tham số của M thì với mọi 1,2, .,i d= ta có 1 ( /( , ., ) ) i dim M x x M d i= − . (iii) 1+ ∉ i x p với 1 ( / ( , ., ) )∈ i Ass M x x Mp thỏa mãn / = −dim R d ip với 1, .,i d∀ = (iv) Nếu 1 : ( , ., ) d x x x= là một hệ tham số của môđun M và 1 : ( , ., ) d n n n= là một bộ gồm d số nguyên dương thì 1 1 ( ): ( , ., ) d n n d x n x x= cũng là một hệ tham số của môđun .M 1.1.3. Số bội. Cho R là một vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại duy nhất m; M là một R-môđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim 0= >M d . Một hệ các phần tử 1 2 : ( , , ., ) t x x x x= của m sao cho 1 ( /( , ., ) ) t M x x M < ∞l được gọi là một hệ bội của ;M ở đây nếu 0t = thì ta hiểu điều kiện này có nghĩa là ( ) .M < ∞l Chú ý rằng mỗi hệ tham số cũng là một hệ bội nhưng điều ngược lại nói chung là không đúng. Ta luôn có t d≥ . Khi đó ký hiệu bội ( ; )e x M của môđun M đối với hệ bội x được định nghĩa qui nạp theo t như sau: Giả sử 0t = , đặt ( ; ) ( ).e M M∅ = l Với 0t > , đặt 1 1 0: { 0}. M x m mx= = Khi đó 1 0: M x là một môđun con M . Vì 1 ( /( , ., ) ) t M x x M < ∞l ta dễ dàng suy ra 1 2 1 ((0: ) /( , ., )(0 : )) , M t M x x x x < ∞l tức 2 ( , ., ) t x x là hệ bội của môđun con 1 0: M x . Vậy theo giả thiết qui nạp thì 2 1 ( , ., ; / ) t e x x M x M và 2 1 ( , ., ; 0 ) t M e x x x đã được xác định. Khi đó ta định nghĩa: 2 2 1 2 1 ( , ., ; ) ( , ., ; / ) ( , ., ; 0: ). t t t M e x x M e x x M x M e x x x= − Sau đây là một tính chất cơ bản của số bội ( ; )e x M . (i) 1 1 0 ( , ., ; ) ( /( , ., ) ). t t e x x M M x x M≤ ≤ l 6 Đặt biệt, nếu tồn tại i sao cho 0 n i x M = với n là một số tự nhiên nào đó thì 1 ( , ., ; ) 0. t e x x M = (ii) Cho dãy khớp ngắn các R -môđun ' " 0 0M M M→ → → → Ta có, x là hệ bội của M khi và chỉ khi x là hệ bội của ' M và " .M Hơn nữa ' " ( ; ) ( ; ) ( ; ).e x M e x M e x M= + (iii) 1 ( , ., ; ) 0 t e x x M = khi và chỉ khi .t d> (iv) 1 1 1 1 ( , ., ; ) , ., ( , ., ; ) t n n t t t e x x M n n e x x M= với 1 , ., t n n là các số nguyên dương. (v) Giả sử 1 ( , ., ) t q x x R= là iđêan sinh bởi bội 1 ( , ., ) t x x . Khi đó 1 ( ) ( / ) n q F n M q M + = l là một hàm theo biến ,n hàm này được gọi là hàm Hilbert-Samuel. 1.2. Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m- adic Cho ( ) , mR là một vành địa phương. Ta xét R như một vành tôpô với cơ sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan m t , với t = 0,1,2 Chú ý rằng cơ sở lân cận của một phần tử tuỳ ý ∈ r R gồm các lớp ghép + m t r với t = 0, 1,2 Khi đó vành đầy đủ theo tôpô −m adic của R ký hiệu bởi µ R được định nghĩa bằng cách thông thường theo ngôn ngữ dãy Cauchy như sau: Một dãy Cauchy trong R là một dãy ( ) n r các phần tử của R sao cho với mọi t > 0, tồn tại số tự nhiên 0 n để − ∈ m t n m r r với mọi 0 , > n m n . Dãy ( ) n r được gọi là hội tụ về dãy không nếu với mọi t > 0 tồn tại số tự nhiên 0 n để 0 − = ∈ m t n n r r với mọi 0 > n n . 7 Hai dãy Cauchy ( ) n r và ( ) n s được gọi là hai dãy tương đương, ký hiệu là ( ) ( ) : n n r s nếu dãy ( ) − n n r s là dãy không. Khi đó quan hệ ∼ trên tập các dãy Cauchy là quan hệ tương đương. Ta ký hiệu µ R là tập các lớp tương đương của các dãy Cauchy. Chú ý rằng nếu ( ) n r và ( ) n s là các dãy Cauchy thì các dãy ( ) + n n r s , ( ) n n r s cũng là các dãy Cauchy và lớp tương đương của các dãy ( ) + n n r s , ( ) n n r s là không phụ thuộc vào việc chọn các đại diện của các lớp tương đương của các dãy ( ) n r và ( ) n s , tức là nếu ( ) ( ) , : n n r r và ( ) ( ) , : n n s s thì ( ) ( ) , , + + : n n n n r s r s và ( ) ( ) , , : n n n n r s r s . Vì thế µ R được trang bị hai phép toán hai ngôi + và . đồng thời cùng với hai phép toàn này, µ R lập thành một vành. Mỗi phần tử ∈ r R có thể đồng nhất với lớp tương đương của dãy Cauchy mà tất cả các phần tử trong dãy đều là r. Vì thế ta có một đơn cấu tự nhiên giữa các vành µ ( ) , → a R R r r trong đó ( ) r là dãy mà tất cả các phần tử của nó đều là r. Định nghĩa tương tự cho môđun M với cơ sở lân cận của phần tử 0 là { } t Mm . Khi đó ¶ M là một µ R -môđun với phép nhân vô hướng như sau: cho ( ) µ = ∈ 1 2 , , .a a a R , ( ) µ = ∈ 1 2 , , .x x x M . Ta có ( ) µ = ∈ 1 1 2 2 , , .ax a x a x M . 1.3. Giá của môđun 8 . Cohen-Macaulay 15 Chương 2. Môđun đối Buchsbaum 17 2.1 Môđun Buchsbaum 17 2.2 Môđun đối Buchsbaum trên vành địa phương 18 2.3 Môđun đối Buchsbaum trên vành không nhâ. môđun Artin 10 1.6 Môđun đối đồng điều địa phương 13 1.7 Đồng điều địa phương 14 1.8 Dãy đối chính quy và môđun đối Cohen-Macaulay 15 Chương 2. Môđun đối