Lực quán tính Lời nói đầu Chúng ta đã biết, các định luật Niutơn đợc nghiệm đúng và có dạng nh nhau trong các hệ quy chiếu quán tính. Vì vậy, để nghiên cứu các chuyển động cơ học ngời ta thờng sử dụng các hệ quy chiếu quán tính. Nhng trong thực tế ta lại thờng gặp cả những hệ quy chiếu không quán tính. Hệ quy chiếu không quán tính là hệ quy chiếu chuyển động cógia tốc so với hệ quy chiếu quán tính. Các dạng đơn giản nhất của hệ quy chiếu không quán tính là hệ quy chiếu chuyển động thẳng có gia tốc và hệ quy chiếu chuyển động quay so với hệ quy chiếu quán tính. Để mô tả các định luật cơ học trong hệ quy chiếu không quán tính, chúng ta phải làm rõ các tính chất không gian và thời gian trong hệ này. Không gian và thời gian trong hệ quy chiếu quán tính là đồng nhất. Còn ở trong hệ quy chiếu không quán tính vấn đề lại khác hẳn. Do đó việc xây dựng các định luật cơ học trong các hệ quy chiếu không quán tính là rất phức tạp, bởi vì nó liên quan đến quan niệm không gian và thời gian. Để khắc phục tình trạng này ngời ta đã giả thiết rằng: Tốc độ của hệ quy chiếu không quán tính đủ nhỏ sao cho ta có thể bỏ qua các hiệu ứng của thuyết tơng đối. Phơng pháp này cho phép ta dễ dàng mô tả các định luật cơ học, nhng phải mở rộng khái niệm về lực, bên cạnh lực tơng tác giữa các vật thể chúng ta phải đa thêm vào khái niệm lực quán tính do tính chất không quán tính (chuyển động có gia tốc) của hệ gây ra. Việc đa vào khái niệm lực quán tính cho ta khả năng mô tả chuyển động của các vật trong hệ quy chiếu bất kỳ bằng các phơng trình chuyển động có dạng giống nhau và khi sử dụng chúng ta có thể giải trực tiếp một số bài toán đối với hệ quy chiếu không quán tính đơn giản hơn so với cách giải đối với hệ quy chiếu quán tính. Nhng trên thực tế chúng ta đã biết những hệ quy chiếu nào có thể coi là hệ quy chiếu quán tính? Bằng thực nghiệm quan trắc thiên văn và nghiên cứu cấu tạo của vũ trụ, các nhà khoa học đã chứng minh đợc hệ Nhật tâm ( Gốc ở tâm Mặt Trời và ba trục hớng về ba ngôi sao cố định nào đó) với độ chính xác khá cao đợc coi là hệ quy chiếu quán tính. Khi xét chuyển động của vật trong khoảng thời gian không quá vài giờ thì hệ quy chiếu gắn liền với Trái Đất có thể coi gần đúng là hệ quy chiếu quán tính. Hệ quy chiếu gắn liền với Trái Đất thực chất là hệ quy chiếu không quán tính, bởi vì Trái Đất tự quay xung quanh trục của nó và đồng thời quay xung quanh Mặt Trời. Các lực quán tính trong hệ quy chiếu gắn liền với Trái Đất rất gần gũi với đời sống của chúng ta và chúng có ảnh hởng đáng kể đến các hiện tợng cơ học xảy ra trên Trái Đất . Chẳng hạn nh- : chúng ta bị nghiêng ngã ngời khi đi tàu, đi xe, sự quay mặt phẳng dao động của con lắc Phucô, sự thay đổi của gia tốc trọng trờng theo vĩ độ địa lý . , sự lệch về hớng Đông của các vật rơi tự do hay sự lệch về hớng Tây của vật ném lên 3 Lực quán tính theo phơng thẳng đứng ở vùng xích đạo, hiện tợng mòn lở các bờ sông; hiện t- ợng mòn vẹt các đờng ray xe lửa một chiều, hiện tợng gió mùa . Tuy nhiên, tác dụng của các lực quán tính cha đợc nhiều ngời quan tâm. Bởi vì nếu xét trong một thời gian ngắn thì ảnh hởng của chúng là không đáng kể, nhng nếu xét trong một thời gian dài thì phải quan tâm đến ảnh hởng của chúng một cách đầy đủ và tỉ mỉ. Xuất phát từ ảnh hởng và tầm quan trọng rộng lớn của các lực quán tính nh đã nêu ở trên, mà tôi có ý tởng nghiên cứu một cách chi tiết các lực quán tính, các ảnh hởng của nó đến các hiện tợng cơ học xảy ra trên Trái Đất và khảo sát các vật trong các hệ quy chiếu không quán tính. Để thực hiện đợc ý tởng đó, tôi đã chọn đề tài "Lực quán tính và ảnh hởng của chúng đến các hiện tợng cơ học xảy ra trên Trái Đất". Đề tài này chủ yếu nghiên cứu các vấn đề sau : 1. Trình bày tóm tắt lý thuyết về các lực quán tính và tính chất của chúng trong các hệ quy chiếu không quán tính. 2. Giải thích ảnh hởng của các loại lực quán tính đến các hiện tợng cơ học xảy ra trên Trái Đất. 3. Lựa chọn, phân loại và giải chi tiết các bài toán trong các hệ quy chiếu không quán tính. Nội dung đề tài bao gồm Chơng I. Lực quán tính trong các hệ quy chiếu không quán tính 1-1. Hệ quy chiếu không quán tính. 1-2. Lực quán tính và tính chất của chúng trong hệ quy chiếu không quán tính. 1- 3. Sự tơng đơng giữa trờng lực hấp dẫn và trờng lực quán tính. Chơng II. ảnh hởng của lực quán tính đến các hiện tợng cơ học xảy ra trên Trái Đất 2-1. Sự quay mặt phẳng dao động của con lắc Phucô. 2-2. Sự phụ thuộc của gia tốc trọng trờng vào vĩ độ địa lý. 2-3. Sự rơi tự do lệch về hớng Đông. 2-4. Sự lệch về hớng Tây khi bắn viên đạn theo phơng thẳng đứng từ dới lên ở vùng xích đạo. 2-5. Một số ảnh hởng khác do lực quán tính Côriolit gây ra. Chơng III. Giải các bài toán trong hệ quy chiếu không quán tính 3-1. Giải các bài toán trong hệ quy chiếu chuyển động thẳng có gia tốc. 4 Lùc qu¸n tÝnh 3-2. Gi¶i c¸c bµi to¸n trong hÖ quy chiÕu chuyÓn ®éng quay ®Òu.  5 Lực quán tính Mục lục Trang Lời nói đầu 3 chơng I. Lực quán tính trong các hệ quy chiếu không quán tính 1.1- Hệ quy chiếu không quán tính .7 . . . . 6 1.2- Lực quán tính và tính chất của chúng trong các hệ quy chiếu không quán tính 7 . . . . . . 6 1.3- Sự tơng đơng giữa trờng lực hấp dẫn và trờng lực quán tính .16 chơng II. ảnh hởng của các lực quán tính đến các hiện tợng cơ học xảy ra trên quả đất 2.1- Sự quay mặt phẳng dao động của con lắc Phucô .18 . 17 2.2- Sự phụ thuộc của gia tốc trọng trờng vào vĩ độ địa lý. . 19 2.2- Sự phụ thuộc của gia tốc trọng trờng vào vĩ độ dịa lí 20 . 17 2.2- Sự phụ thuộc của gia tốc trọng trờng vào vĩ độ địa lý. . 19 2.3- Sự rơi tự do lệch về hớng Đông 24 2.4- Sự lệch về hớng Tây khi bắn viên đạn theo phơng thẳng đứng từ dới lên ở vùng xích đạo .25 2.5-Một số ảnh hởng khác do lực quán tính 6 Lực quán tính Côriolit gây ra. 26 .24hơng III: Giải các bài toán trong hệ quy chiếu 2.5- Một số ảnh hởng khác do lực Côriolit gây ra 27 . 17 2.2- Sự phụ thuộc của gia tốc trọng trờng vào vĩ độ địa lý. . 19 Chơng III. Giải các bài toán trong hệ quy chiếu không quán tính 3.1- Giải các bài toán trong hệ quy chiếu chuyển động thẳng có gia tốc .29 3.2- Giải các bài toán trong hệ quy chiếu chuyển động quay đều 38 Kết luận .48 . . . . . . . 47 Phụ lục .49 . . . . . . . . 48 Tài liệu tham khảo .52 . . . . . . 52 7 Lực quán tính Chơng I lực quán tính trong các hệ quy chiếu không quán tính 1.1 Hệ quy chiếu không quán tính 1.1.1-Hệ quy chiếu - Định nghĩa. Hệ vật quy ớc đứng yên dùng làm mốc để xác định vị trí, v , a của vật chuyển động đợc gọi là hệ quy chiếu. 1.1.2- Hệ quy chiếu quán tính. Có thể hiểu hệ quy chiếu quán tính theo các cách sau: a- Hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu trong đó một vật không chịu tác dụng của ngoại lực sẽ giữ nguyên trạng thái đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều. b- Trong hệ quy chiếu quán tính không gian là đồng nhất và đẳng hớng, thời gian là đồng nhất. c- Trong hệ quy chiếu quán tính các định luật Niutơn đợc nghiệm đúng và có dạng nh nhau. 1.1.3- Hệ quy chiếu không quán tính a- Định nghĩa : Hệ quy chiếu không quán tính là hệ quy chiếu chuyển động có gia tốc so với hệ quy chiếu quán tính. - Trong hệ quy chiếu không quán tính có không gian không đồng nhất, không đẳng hớng và thời gian không đồng nhất. - Trong hệ quy chiếu không quán tính các định luật Niutơn không đợc nghiệm đúng. b- Các loại hệ quy chiếu không quán tính - Hệ quy chiếu chuyển động thẳng có gia tốc đối với hệ quy chiếu quán tính. - Hệ quy chiếu chuyển động quay đối với hệ quy chiếu quán tính. 1.2 - Lực quán tính và tính chất của chúng trong các hệ quy chiếu không quán tính Theo các định luật Niutơn thì nguyên nhân duy nhất làm cho vật chuyển động có gia tốc là do vật khác tác dụng lên nó một lực nào đó, các vật này chuyển động trong hệ quy chiếu quán tính. Ngợc lại đối với hệ quy chiếu không quán tính, các vật có thể nhận đợc gia tốc mà không chịu tác dụng của một vật nào khác. Ví dụ: một ôtô đang chuyển động thẳng đều bỗng nhiên dừng lại thì mọi ngời trên ôtô khi đó có một gia tốc 8 Lực quán tính hớng về phía trớc ứng với một lực tác dụng lên ngời hớng về phía trớc. Rõ ràng là không có một vật cụ thể nào khác tác dụng lên ngời mà chỉ do ôtô chuyển động chậm dần trong khoảng thời gian bắt đầu hãm phanh cho đến khi dừng lại gây nên. Trong khoảng thời gian này, ôtô chuyển động có gia tốc và do đó hệ quy chiếu gắn liền với ôtô là hệ quy chiếu không quán tính. Nh vậy, gia tốc mà các vật thể nhận đợc trong hệ quy chiếu không quán tính khi chúng không bị tác động bởi vật thể nào khác chỉ đợc xác định bởi chính tính chất không quán tính của hệ quy chiếu ( tính chất chuyển động không thẳng và không đều của hệ quy chiếu). Gia tốc này ứng với lực đặc biệt, gọi là lực quán tính qt F do tính chất không quán tính của hệ quy chiếu gây nên. Để xây dựng biểu thức lực quán tính qt F , trớc hết ta xét định lý cộng vận tốc và cộng gia tốc trong các hệ quy chiếu không quán tính. 1.2.1- Định lý cộng vận tốc và định lý cộng gia tốc trong các hệ quy chiếu không quán tính Xét chất điểm M chuyển động trong hệ quy chiếu không quán tính K 0 (oxyz) và K 0 chuyển động so với hệ quy chiếu quán tính K (OXYZ) đợc quy ớc là đứng yên. Chuyển động của chất điểm M đối với hệ quy chiếu không quán tính K 0 gọi là chuyển động tơng đối. Chuyển động của chất điểm M đối với hệ quy chiếu quán tính K gọi là chuyển động tuyệt đối, khi chất điểm M đứng yên đối với hệ quy chiếu không quán tính K 0 nhng cùng với hệ quy chiếu K 0 chuyển động đối với hệ quy chiếu K gọi là chuyển động kéo theo. Gọi M r là bán kính véctơ xác định vị trí của chất điểm M đối với hệ quy chiếu quán tính K, r là bán kính véctơ xác định vị trí của chất điểm M đối với hệ quy chiếu không quán tính K 0 , 0 r là bán kính véctơ xác định vị trí gốc o của hệ quy chiếu K 0 đối với hệ quy chiếu K (hình 1). )1.( nhih Z Y X x y z O o 0 r M r M r i j k Từ hình vẽ 1 ta có kzjyixrrrr M +++=+= 00 (1.1) trong đó x, y, z là ba hình chiếu của véctơ r trên các trục x,y,z của hệ quy chiếu không quán tính K 0 và i , j , k là ba véctơ đơn vị đặt trên các trục x,y,z. Vì hệ quy chiếu K 0 chuyển động bất kỳ đối với hệ quy chiếu K nên trong trờng hợp tổng quát, các véctơ đơn vị i , j , k có phơng thay đổi theo thời gian. Khi chất điểm M chuyển động, một ngời quan sát đứng yên đối với hệ quy chiếu K 0 sẽ 9 Lực quán tính thấy các vị trí của chất điểm M luôn thay đổi theo thời gian, nghĩa là x,y,z thay đổi theo thời gian t, nhng các véctơ đơn vị i , j , k vẫn còn đứng yên đối với ngời quan sát. Vận tốc t v và gia tốc t a của chất điểm M đối với hệ quy chiếu không quán tính K 0 gọi là vận tốc và gia tốc tơng đối, chúng đợc tính theo các biểu thức : k dt dz j dt dy i dt dx dt rd v t ++== (1.2) k dt zd j dt yd i dt xd dt vd a t t 2 2 2 2 2 2 ++== (1.3) Vận tốc v và gia tốc a của chất điểm M đối với hệ quy chiếu quán tính K gọi là vận tốc và gia tốc tuyệt đối, chúng đợc tính theo các biểu thức: ( ) kzjyixr dt d dt rd v M +++== 0 ( ) kzjyix dt d dt rd +++= 0 ( ) kzjyix dt d v +++= 0 dt kd zk dt dz dt jd yj dt dy dt id xi dt dx v ++++++= 0 (1.4) ( ) +++== kzjyix dt d v dt d dt vd a 0 ( ) kzjyix dt d dt vd +++= 2 2 0 ( ) kzjyix dt d a +++= 2 2 0 (1.5) Trong đó: dt rd v 0 0 = ; và dt vd a 0 0 = ; là vận tốc và gia tốc của gốc o của hệ K 0 đối với hệ K. Ta hãy tìm mối liên hệ giữa v và t v , giữa a và t a . Khi hệ quy chiếu K 0 chuyển động thẳng đối với hệ quy chiếu K thì các véctơ đơn vị i , j , k luôn song song với chính nó, nghĩa là không thay đổi theo thời gian: 0 = dt id ; 0 = dt jd ; 0 = dt kd Khi đó theo (1.4) và (1.5) ta có: t vvk dt dz j dt dy i dt dx vv +=+++= 00 (1.6) 10 Lực quán tính to aak dt zd j dt yd i dt xd aa +=+++= 0 2 2 2 2 2 2 (1.7) Công thức (1.6) và (1.7) là công thức tính vận tốc và gia tốc của vật khi hệ quy chiếu K 0 chuyển động thẳng với gia tốc 0 a so với hệ quy chiếu K. Khi gốc o trùng với O và hệ K 0 quay xung quanh một trục nào đó đi qua oO với vận tốc góc thì 00 00 == vr ; 0 0 = a Khi đó theo (1.4) và (1.5) ta có: ( ) kzjyix dt d v ++= dt kd z dt jd y dt id xk dt dz j dt dy i dt dx +++++= (1.8) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dt kd z dt jd y dt id xk dt zd j dt yd i dt xd dt vd a +++++== +++ dt kd dt dz dt jd dt dy dt id dt dx 2 (1.9) Các véctơ đơn vị i , j , k có độ lớn không đổi, và bằng đơn vị, còn phơng chiều luôn thay đổi theo thời gian t. Để tính đạo hàm dt id ta hãy theo dõi dịch chuyển đầu mút N của véctơ i . Khi hệ K 0 quay xung quanh một trục cố định với vận tốc góc thì đầu mút N của véctơ đơn vị i vạch một đờng tròn có tâm I nằm trên trục quay có bán kính NIR = (hình 2 ). O N v I id d idsd = N i idi + R Hình 2 Trong chuyển động tròn, vận tốc dài N v của điểm N liên hệ với vận tốc góc bằng hệ thức đơn giản: R dt id dt sd v N === . Vì và IO cùng phơng nên ( ) 0 = IO và do đó ta có: ( ) iIOiIOiR === Vậy i dt id v N == Các đạo hàm dt jd và dt kd cũng đợc tính tơng tự nh trên. Vậy khi hệ K 0 quay xung quanh một trục đi qua gốc O với vận tốc góc ta có : i dt id = ; j dt jd = ; k dt kd = ; (1.10) Đạo hàm theo thời gian hai vế của ( 1.10 ) ta đợc : 11 Lực quán tính ( ) ( ) ( ) +=+= +=+= +=+= kk dt kd k dt kd jj dt jd j dt jd ii dt id i dt id 2 2 2 2 2 2 (1.11) trong đó: dt d = là gia tốc góc. Đặt (1.10) và (1.11) vào (1.8) và (1.9) với sự chú ý của biểu thức t v , t a ta tìm đợc: ( ) ( ) ( ) +++= += tt t vrraa rvv 2 ( ) ( ) 13.1 12.1 Công thức (1.12) và (1.13) là công thức tính vận tốc và gia tốc của vật khi hệ quy chiếu K 0 chuyển động quay đối với hệ quy chiếu K. Chuyển động bất kỳ của hệ quy chiếu không quán tính K 0 đối với hệ quy chiếu quán tính K đợc khảo sát nh chuyển động thẳng cùng với gốc o và chuyển động quay xung quanh một trục nào đó đi qua O với vận tốc góc . Vì vậy, trong trờng hợp tổng quát ta có công thức tính vận tốc và gia tốc của vật nh sau: ++= += ckt kt aaaa vvv ( ) ( ) 15.1 14.1 Trong đó: ( ) ( ) ( ) = ++= += tc k k va rraa rvv 2 0 0 (1.16) k v - gọi là vận tốc kéo theo k a - gọi là gia tốc kéo theo c a - gọi là gia tốc Côriolit. Rõ ràng là khi chất điểm M đứng yên đối với hệ quy chiếu K 0 thì : 0 = t v ; 0 = t a và khi đó : . k vv = ; k aa = . 12