BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH MAI THỊ PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ VẤN ĐỀ ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN THEO MƠ HÌNH BLACK-SCHOLES Chun ngành: Tốn giải tích LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN HUY CHIÊU VINH - 2012 MỤC LỤC Trang Mở đầu ……………………………………………….……… Chương Các kiến thức chuẩn bị …………………….……………… §1 Khơng gian xác suất tích phân Stieltjes……….…………… §2 Tích phân vi phân ngẫu nhiên Ito……………… …………… 10 Chương Phương trình vi phân ngẫu nhiên……… …………………14 §1 Các khái niệm định lý tồn nghiệm……… 14 §2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính…….……………….…20 Chương Định giá quyền chọn theo mơ hình Black-Scholes….………24 §1 Thị trường quyền chọn……………………………… ……………24 §2 Mơ hình định giá quyền chọn Black – Scholes…….… …….… 27 Kết luận………………….…………………………………… ……….35 Tài liệu tham khảo……… …… ……………………………………….36 MỞ ĐẦU 1.Lí chọn đề tài Phương trình vi phân đóng vai trị quan trọng kĩ thuật, vật lý, kinh tế số ngành khoa học khác Sự đời xuất phát từ nhu cầu xác định mối quan hệ bên đại lượng biến thiên liên tục với bên độ biến thiên đại lượng Các mối quan hệ xuất thường xuyên ứng dụng thực tế Giải tích ngẫu nhiên bao gồm tích phân ngẫu nhiên, phương trình vi phân ngẫu nhiên tính tốn ngẫu nhiên ngày chứng tỏ giá trị phương diện lý thuyết ứng dụng Nó diện chủ đề thời giải tích, xác suất sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác bên ngồi Tốn học Tính tốn ngẫu nhiên trở thành công cụ quan trọng cần xử lý, phân tích mơ hình hóa tượng có nhân tố ngẫu nhiên (xem [3], [4], [5], [6], [8], [9], [10], [12], [13], [14]) Toán học tài lý thuyết tốn học thị trường tài chính, nghiên cứu thành phần, đặc điểm, cấu trúc thị trường tài nhằm xây dựng mơ hình tốn học ứng dụng chúng vào việc tính tốn sản phẩm tài thị trường Đây lĩnh vực quan tâm nghiên cứu năm gần Việt nam (xem [2], [3], [7]) Sự phát triển vượt bậc lý thuyết tài đánh dấu báo “The Pricing of Options and Corporate Liabilities” [Jounal of Polictical Economy Vol 81 (1973), pp 637 – 654] Black Scholes (xem [10]) Hai ơng tìm cơng thức để tính số tiền mà người mua cần phải trả cho người bán để có quyền mua bán loại cổ phiếu thời điểm tương lai với giá trị định trước (cơng thức Black-Scholes nhiều giải vấn đề cốt lõi Tốn tài chính, Định giá tài sản phái sinh) Ngay lập tức, công thức áp dụng rộng rãi thị trường tài (xem [11], [12], [13], [14]) Ngày nay, mơ hình Black–Scholes với mở rộng giữ vai trị quan trọng việc phân tích thị trường tài Mặc dù hình thành phát triển 10 năm, thị trường chứng khoán Việt Nam chưa có sản phẩm phái sinh tài Sự biến động lớn VN-Index đặt yêu cầu cấp bách phải hình thành thị trường phái sinh tài chính, nhằm hạn chế rủi ro cho nhà đầu tư đảm bảo thị trường chứng khoán hoạt động ổn định Ngoài việc bổ sung hành lang pháp lý, định giá sản phẩm phái sinh (bao gồm Quyền chọn) thiếu việc xây dựng vận hành thị trường phái sinh tài Vì lý nêu trên, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: “Phương trình vi phân ngẫu nhiên vấn đề định giá quyền chọn theo mơ hình Black- Scholes” Mục đích nghiên cứu Mục đích khóa luận tiếp cận hướng nghiên cứu ứng dụng giải tích ngẫu nhiên vào việc phân tích thị trường tài Trên sở tài liệu tham khảo, chúng tơi tổng hợp, phân tích trình bày chi tiết số vấn đề phương trình vi phân ngẫu nhiên ứng dụng chúng việc định giá quyền chọn theo mơ hình Black-Scholes: chứng minh tồn nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên; giải số lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính; trình bày mơ hình Black-Scholes (lịch sử ảnh hưởng mơ hình thị trường tài chính, cách xây dựng công thức để định giá quyền chọn mua bán theo mơ hình Black-Scholes số trường hợp đơn giản nhất) Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận gồm chương Chương trình bày số kiến thức giải tích ngẫu nhiên nhằm chuẩn bị cho chương Chương trình bày chứng minh chi tiết định lý tồn nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên giải số lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính Chương trình bày cách khái quát thị trường quyền chọn, mơ hình Black-Scholes, xây dựng cơng thức định giá quyền chọn BlackScholes Khóa luận thực trường Đại Học Vinh hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Huy Chiêu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, người bảo, giúp đỡ tác giả suốt trình thực đề tài Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy Cô giáo Khoa Tốn nhiệt tình giảng dạy suốt thời gian học tập Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân bạn bè người giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng xong luận văn tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý Thầy Cô giáo bạn để tác giả hồn thiện khóa luận tốt Vinh, tháng năm 2012 Mai Thị Phương Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhắc lại số khái niệm tính chất độ đo, xác suất tích phân ngẫu nhiên Ito Thơng tin chi tiết tìm thấy tài liệu [5], [6], [8], [9] §1 Khơng gian xác suất tích phân Stieltjes Mục trình bày số khái niệm tính chất lý thuyết xác suất lý thuyết tích phân cần dùng chương 1.1.1 Định nghĩa Cho Ω tập hợp khác rỗng Họ  tập Ω gọi σ − đại số tập Ω có tính chất sau: (i) ∅ ∈  Ω ∈ ; (ii) A∈  Ω \ A ∈ ; ∞ (iii) A1 , A2 , ∈  ⇒ U Ai ∈  i =1 Khi đó, cặp ( Ω ,) gọi không gian đo tập  gọi tập đo (hoặc biến cố) 1.1.2 Định nghĩa Cho ( Ω ,) khơng gian đo Ta nói hàm P :  → ¡ độ đo xác suất (trên ) thỏa mãn điều kiện sau: (i) P( A) ≥ với A∈ ; ∞  ∞ An ∈  (n=1,2,…) Ai ∩ Aj = ∅ với i ≠ j P  U An ÷ = ∑ P ( An ) ; (ii)  n =1  n =1 (iii) P(Ω) = Bộ ba ( Ω ,, P) gọi không gian xác suất 1.1.3 Định lý (Bổ đề Borel – Cantell) Cho (En) dãy biến cố không gian xác suất Khi đó, ∞ ∑ P( E ) < ∞ ) n =1 n ( ) P lim sup En = x →∞ 1.1.4 Định nghĩa Cho ( Ω ,, P) không gian xác suất Hàm −1 X : Ω → ¡ n gọi  - đo X (U ) = { ω ∈ Ω, X (ω ) ∈ U } ∈  Ta gọi hàm - đo X : Ω → ¡ n véctơ ngẫu nhiên (n chiều) Một véctơ ngẫu nhiên chiều ( n = 1) gọi biến ngẫu nhiên Để đơn giản việc khảo sát, từ trở đi, giả thiết ( Ω ,, P) không gian xác suất P độ đo đủ (nghĩa là, A có độ đo khơng tập đo được) 1.1.5 Định nghĩa Cho { X n , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên xác định ( Ω ,, P) (i) Ta nói { X n , n ≥ 1} hội tụ hầu chắn (hoặc hội tụ hầu khắp h c c → nơi) đến biến ngẫu nhiên X, kí hiệu X n  X , { } P ω : lim X n (ω ) = X (ω ) = n →∞ (ii) Ta nói { X n } hội tụ theo xác suất (hoặc hội tụ theo độ đo) đến P → biến ngẫu nhiên X, kí hiệu X n  X lim P { ω : X n (ω ) − X (ω ) ≥ ε } = , x →∞ với ε > (iii) Giả sử { X n } ⊂ Lp , p ∈ ( 0, +∞ ) Ta nói { X n } hội tụ trung bình p → cấp p đến X, kí hiệu X n  X lim E X n − X = , ký hiệu EY x →∞ để kỳ vọng biến ngẫu nhiên Y (tức tích phân Lebesgue biến ngẫu nhiên Y Ω theo độ đo xác suất P) Lp Ta có mối liên hệ loại hội tụ đề cập sau: h c c P • X n  X ⇒ X n  X → → { } h c c h c c • X n  X ⇒ ∃ X nk ⊂ { X n } : X nk  X → → P p • X n  X , p ∈ ( 0, +∞ ) ⇒ X n  X → → L 1.1.6 Định nghĩa Cho tập số thời gian I (I tập tập số thực không âm, đếm liên thông) X= { X (t )} t∈I họ biến ngẫu nhiên xác định ( Ω ,, P) Khi đó: - Nếu I liên thơng ta nói { X (t )} t∈I trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục - Nếu I đếm ta nói { X (t )} t∈I q trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc Quá trình ngẫu nhiên X ký hiệu X(t) hay Xt với t ∈ I 1.1.7 Định nghĩa Một họ σ − đại số (t, t ≥ )  (t ⊂ ) gọi lọc thỏa mãn điều kiện thông thường thỏa mãn điều kiện: (i) Tăng theo thời gian: s ⊂ t với s < t; I (ii) Liên tục phải theo nghĩa t= ε >0 t+ ε ; (iii) Nếu A∈  P(A) = A∈ 0 1.1.8 Định nghĩa Cho trình ngẫu nhiên X = (X t, t ≥ ) Ký hiệu tX σ − đại số sinh tất biến ngẫu nhiên X s với s ≤ t , tức tX = σ ( X s , s ≤ t ) (nó phản ánh thơng tin diễn biến q khứ q trình X thời điểm t) Ta gọi tX trường thông tin X 1.1.9 Định nghĩa Cho lọc (t, t ≥ ) ( Ω , ) Quá trình ngẫu nhiên X gọi thích nghi với lọc Xt đo σ − đại số t Một không gian xác suất ( Ω ,, P) có lọc (t) t ≥ gọi không gian xác suất lọc, kí hiệu ( Ω , , (t), P) 1.1.10 Định nghĩa Cho ( Ω ,, P) không gian xác suất, X : Ω → ¡ n véctơ ngẫu nhiên cho E ( X ) < ∞  σ − đại số  ( ⊂ ) Khi đó, véctơ ngẫu nhiên Z gọi kỳ vọng có điều kiện X σ − đại số , kí hiệu E(X|), thỏa mãn: (i) Z véctơ ngẫu nhiên đo ; (ii) Với A∈ , ta có ∫ ZdP = ∫ XdP A A • Một số tính chất kỳ vọng có điều kiện: Giả sử X , Y : Ω → ¡ n hai véctơ ngẫu nhiên với E ( X ) < ∞, E (Y ) < ∞ 1) Nếu = { ∅, Ω} E(X|) = EX E(X+Y|) = E(X|) + E(Y|) E(cX|) = c E(X|), với c số Nếu 1 ⊂ 2 E(E(X|2)|1) =E(X|1) Nói riêng ra, E(E(X|)) = EX Nếu g hàm lồi tập I ⊂ ¡ X véctơ ngẫu nhiên lấy giá trị I thì: g(E(X|)) ≤ E(g(X)|) 6) Nếu X n ≥ E (lim inf X n |) ≤ lim inf E ( X n |) (bổ đề Fatou) n n 2) 3) 4) 5) ( ) 7) Nếu P lim X n = X = X n ≤ Y ; EY < ∞ lim E ( X n |) = E(X|) (sự hội x →∞ x →∞ tụ bị chặn kỳ vọng có điều kiện) 1.1.11 Định nghĩa Cho không gian xác suất lọc ( Ω ,,(t), P) trình ngẫu nhiên X = (Xt, t ≥ ) thích nghi với lọc (t), khả tích với t ≥ (tức E X t < ∞, ∀t ≥ ) Khi đó, (i) Nếu E ( X t |t ) ≤ X s với s, t ≥ thỏa mãn s ≤ t , X gọi martingale với lọc (t, t ≥ ); (ii) Nếu E ( X t |t ) ≥ X s với s, t ≥ thỏa mãn s ≤ t , X gọi martingale với lọc (t, t ≥ ); (iii) Nếu E ( X t |t ) = X s với s, t ≥ thỏa mãn s ≤ t , X gọi martingale lọc (t, t ≥ ) 1.1.12 Định lý (Bất đẳng thức Kolmogorov) Nếu ( X n ,n, n= 0,…,N) p martingale với E X n < ∞ với n= 0,…,N ≤ p < ∞ ( ) P max X n ≥ λ ≤ 0≤ n ≤ N E Xn với λ > λp p , 1.1.13 Định nghĩa Quá trình ngẫu nhiên W = ( Wt , t ≥ ) gọi trình Wiener hay chuyển động Brown tiêu chuẩn nếu: (i) W0=0 hầu chắn; (ii) Hiệu Wt − W0 biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng 0, phương sai (t-s); (iii) Với n ≥ phân hoạch hữu hạn ≤ t0 ≤ t1 ≤ ≤ tn , Wt − Wt , r = 0, n biến ngẫu nhiên độc lập; (iv) W trình liên tục, tức hầu hết quỹ đạo W liên tục Nếu điều kiện (ii) phương sai Wt − Ws σ (t − s ) (các kiện khác giữ ngun), ta nói W chuyển động Brown r r −1 • Một vài tính chất quan trọng chuyển động Brown: Wt martingale lọc tự nhiên (tW) Hầu chắn Wt không khả vi theo t Hầu chắn Wt khơng có biến phân bị chặn khoảng hữu hạn t W tuân theo luật logarit - lặp: lim sup x →∞ E ( Wt ) = 0, E ( Wt ) = t , ∀t ≥ Wt =1 2t ln ln t 1.1.14 Định nghĩa Cho không gian xác suất lọc ( Ω ,,(t) t ≥ , P) Giả sử T tập Borel ¡ , Borel tập T ∩ ( −∞, t ] Quá đo lũy tiến lọc ( T ∩ ( −∞, t ] ) × Ω đo theo ( s, ω ) kí hiệu Bt σ − đại số tất tập trình ngẫu nhiên X = (Xt) gọi (t) với t ∈ T , X s (ω ) tập σ − đại số Bt × t Giả sử T tập Borel Ta đưa vào không gian T × Ω , σ − đại số B gồm tất tập A ⊆ T × Ω cho ∀t ∈ T , tập A ∩ ( ( −∞, t ] × Ω ) đo Bt × t Khi đó, q trình đo lũy tiến đo B 1.1.15 Định nghĩa Ta định nghĩa σ − đại số khả đoán σ − đại số nhỏ tập ¡ + × Ω mà q trình liên tục trái đo được, kí hiệu P 1.1.16 Định nghĩa Q trình khả đốn (t) q trình ngẫu nhiên X = ( X ( t , ω ) ) thích nghi với (t) P – đo 1.1.17 Định nghĩa (Hàm có biến phân giới nội) Hàm thực f gọi có biến phân giới nội (hoặc biến phân bị chặn) [ a, b ] tồn số C cho với phân hoạch D : a = x0 < x1 < < xn = b ta có bất n đẳng thức ∑ k =1 f ( xk ) − f ( xk −1 ) ≤ C • Nhận xét: Mọi hàm có biến phân giới nội biểu diễn thành hiệu hai hàm đơn điệu không giảm Nếu f có đạo hàm giới nội f hàm có biến phân giới nội Mọi hàm liên tục tuyệt đối [ a, b ] hàm có biến phân giới nội 1.1.18 Định nghĩa (Tích phân Stieltjes) Cho φ hàm liên tục phải có biến phân giới nội [a,b] Tích phân Rieman- Stieltjes hàm f lấy φ định nghĩa b n ( R −S ) ∫ f ( x) dφ( x) = max ( xlim ) →0 ∑f (ξi ) [ φ( xi ) −φ( xi −1 ) ] −x i a i− i= giới hạn tồn tại, D : a = x0 < x1 < < xn = b • Nhận xét : Ngồi khái niệm tích phân Rieman- Stieltjes, cịn có tích phân Lebesgue- Stieltjes hàm f lấy hàm φ có biến phân giới nội Nó thường xác định cách thường đưa tích phân Lebesgue- Stieltjes hàm f lấy hàm không giảm F b b a a Khi ta định nghĩa ( L − S ) ∫ f ( x)dF ( x) = ( L) ∫ fd µ F , µ F độ đo sinh F F (b) − F (a) = µ [ a, b ] Như vậy, để xác định tích phân b Stieltjes ∫ fdφ ta phải giả thiết φ hàm có biến phân giới nội a [ a, b ] Điều hoàn toàn khác với việc xây dựng tích phân ngẫu nhiên Ito mục 1.1.19 Bổ đề Cho không gian L2 = L2 (0, T ) hàm đo bình phương khả tích độ đo Lebesgue đoạn [ 0,T ] Với f ∈ L2 h > , ta xác định hàm bậc thang f h sau: 0 , : ≤ t < h, t ≥  h f h (t ) =  kh  h ∫ f ( s )ds , : kh ≤ t < (k + 1)h ∧  ( k −1) h h a ∧ b = { a, b} h →0 → Khi đó, f h  f theo nghĩa hội tụ bình phương trung bình [ 0,T ] , T đồng thời ∫ T f h (t ) dt ≤ ∫ f (t ) , ∀h 2 §2 Tích phân vi phân ngẫu nhiên Ito Mục nhắc lại số kiến thức sở giải tích ngẫu nhiên Trọng tâm khái niệm tích phân vi phân ngẫu nhiên đề xuất nhà toán học người Nhật, Kyusho Ito, vào khoảng 1940 - 1941 Cho không gian xác suất lọc ( Ω , , (t) t ≥ , P) trình Wiener Wt , t ≥ 0; W0 = với quỹ đạo liên tục, thích nghi với họ (t) cho số gia Wu − Wt sau thời điểm t độc lập với σ − đại số t (u >t) Giả sử T số không âm +∞ 1.2.1 Định lí Giả sử Wt t q trình Wiener họ σ − đại số liên hệ với mơ tả Khi đó, tồn ánh xạ f a I ( f ) từ không 2 gian L2(B)= L ( [ 0, T ] ) ì , B, ì P) vào không gian L (Ω, ,P) cho: (i) I ánh xạ tuyến tính: I (c1 f1 + c2 f ) = c1 I ( f1 ) + c2 I ( f ) hầu chắn, c1 , c2 = const , f1 , f ∈ L2(B) 10 t t  X t = X + ∫ f1 ( s )ds + ∫ G1 ( s )dWs   0 Thật vậy: Từ (2.15) (2.16), ta có  t t Y = Y + f ( s )ds + G ( s )dW s ∫ ∫  t 0  Áp dụng công thức Ito cho trình Ito ( X t + Yt ) ; X t ; Yt , ta có ( X t + Yt ) t t = ( X + Y0 ) + ∫ ( X t + Yt ) d ( X t + Yt ) + ∫ ( G1 (t ) + G2 (t ) ) dt , 2 t t t t 0 0 X t = X + ∫ X t dX t + ∫ G12 (t )dt Yt = Y0 + 2∫ Yt dYt + ∫ G2 (t )dt Do đó, t t t t 0 0 X t Yt = X 0Y0 + ∫ ( X t + Yt ) d ( X t + Yt ) + ∫ G1 (t )G2 (t )dt − ∫ X t dX t − ∫ Yt dYt (2.18) Ta có t ∫( X t t + Yt ) d ( X t + Yt ) = ∫ ( X t + Yt ) ( f1 (t ) + f (t ) ) dt + ( G1 (t ) + G2 (t ) ) dWt    t t 0 = ∫ ( X t dX t + X t dYt ) + ∫ Yt dX t + Yt dYt Do đó, (2.18) trở thành t t t 0 X tYt = X 0Y0 + ∫ X t dYt + ∫ Yt dX t + ∫ G1 (t )G2 (t )dt Điều có nghĩa dX tYt = X t dYt + Yt dX t + G1 (t )G2 (t )dt = ( X t f (t ) + Yt f1 (t ) + G1 (t )G2 (t ) ) dt + ( X t G2 (t ) + Yt G1 (t ) ) dWt Công thức (2.17) chứng minh □ 2.2.5 Định lý Với giả thiết nêu trên, phương trình (2.14) có nghiệm t m m t    −1  X t = φt  X + ∫ φs  a ( s ) − ∑ Bi ( s )bi ( s ) ÷ds + ∑ ∫ φt −1bi ( s )dWs i ÷,  ÷ i =1 i =1 t0   t0   m m t t  B ( s)  φt = exp  ∫  A( s ) − ∑ i ds + ∑ ∫ Bi ( s)dWsi ÷ nghiệm phương ÷ t  ÷  i =1 i =1 t0 0  m i trình dφt = A(t )φt dt + ∑ Bi (t )φt dWt với giá trị ban đầu φt = i =1 23 m m    dYt =  a (t ) − ∑ Bi ( s )bi ( s ) ÷dt + ∑ bi ( s )dWti  i =1 i =1    Chứng minh Đặt  t  Z = X + ( φ −1dY ) ⇔ dZ = φ −1dY t t t ∫ s s  t t0  X t = φt Zt Vì φt nghiệm phương trình nên m dφt = A(t )φt dt + ∑ Bi (t )φt dWti i =1 m m   dZ t = φt−1  a (t ) − ∑ Bi (t )bi (t ) ÷dt + ∑ φt −1bi (t )dWti i =1 i =1   Sử dụng Bổ đề 2.2.4 cho tích φt Zt , ta có dX t = d ( φt Z t )  m  = φt dZ t + Z t dφt +  ∑ Bi (t )φtφt−1bi (t ) ÷dt  i =1  m m = dYt + A(t ) X t dt + ∑ Bi (t ) X t dWti + ∑ Bi (t )bi (t )dt i =1 i =1 m = ( A(t ) X t + a (t ) ) dt + ∑ ( Bi (t ) X t +bi (t) ) dWti i =1 Ta có điều phải chứng minh □ Chương ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN THEO MƠ HÌNH BLACK-SCHOLES §1 Thị trường quyền chọn Thị trường chứng khoán phận cấu thành thị trường vốn, kênh quan trọng để huy động vốn cho đầu tư phát triển kinh tế Thị trường quyền chọn hình thành hoạt động có hiệu sở thị trường chứng khoán ổn định phát triển Trong mục tìm hiểu số kiến thức liên quan đến quyền chọn, phục vụ cho việc trình bày mơ hình Black-Scholes Thơng tin tiết thị trường quyền chọn tìm thấy tài liệu [1] 3.1.1 Một số khái niệm Quyền chọn hợp đồng kí kết hai bên người mua người bán, người mua có quyền (khơng phải nghĩa vụ) để mua bán tài sản vào ngày tương lai với giá thỏa thuận vào ngày hôm Giá thực (giá điểm) mức tài sản quyền chọn mua bán Tài sản sở cổ phiếu, 24 trái phiếu hay đơn vị tiền tệ,… giao sở mua bán quyền chọn thực Tài sản phái sinh loại tài sản giá trị xác định thơng qua tài sản sở Thời gian đáo hạn thời điểm kết thúc hợp đồng quyền chọn Độ bất ổn thước đo mức độ không chắn thân nhà đầu tư vào biến động tương lai giá tài sản Độ bất ổn cao giá trị tài sản lên cao xuống thấp Lãi suất phi rủi ro lãi suất giả định cách đầu tư vào công cụ tài mà khơng bị rủi ro vỡ nợ 3.1.2 Vai trị quyền chọn mục đích người mua, bán quyền chọn a) Vai trò quyền chọn - Vai trò định giá: giá hợp đồng quyền chọn phản ánh độ rủi ro gắn liền với mặt hàng sở - Quản lý rủi ro giá cả: quyền chọn cung cấp chế hiệu cho phép phòng tránh, hạn chế rủi ro cho phép chuyển dịch rủi ro từ người khơng thích rủi ro sang người chấp nhận - Góp phần thúc đẩy thị trường tài phát triển: thị trường giao dịch quyền chọn cho phép nhà đầu tư đạt tỷ suất sinh lợi cao Bên cạnh đó, việc tham gia thị trường khơng địi hỏi chi phí lớn nhà đầu tư dễ dàng tham gia rút lui khỏi thị trường Điều làm cho thị trường trở nên sơi động b) Mục đích người mua bán quyền chọn • Người mua: Nhà đầu tư thường mua quyền chọn nhằm mục đích như: bảo hiểm, đầu trì hỗn định - Bảo hiểm: Thị trường chứng khốn ln biến động khơng lường trước động thái tương lai Vì quyền chọn sử dụng công cụ bảo hiểm vị có nhà đầu tư việc cố định giá mua giá bán hợp đồng - Đầu cơ: Nhà đầu tư sử dụng quyền chọn để đầu với số tiền bỏ ban đầu thấp nhiều so với việc mua bán trực tiếp thị trường tìm mức tỷ suất lợi nhuận cao - Trì hỗn định: Quyền chọn sử dụng nhà đầu tư muốn mua bán loại cổ phiếu chưa muốn thực ý định mà chờ đợi diễn biến thị trường Trong trường hợp quyền chọn giúp nhà đầu tư hạn chế rủi ro biến động giá • Người bán: Khi bán quyền chọn chủ thể bán quyền kiếm lợi nhuận hữu hạn bị lỗ vơ hạn Do đó, thơng thường người bán quyền thường nhằm đến mục đích bảo hiểm vị tăng lợi suất - Bảo hiểm vị thế: Người bán quyền chọn có nhu cầu cố định giá mua hay giá bán cổ phiếu định lo sợ diễn biến thị trường 25 Việc bán quyền chọn giúp cho nhà đầu tư tính tốn phần thu nhập hay chi phí mua cổ phiếu tương lai Trong trường hợp quyền chọn không thực phần phí quyền chọn thu giúp nhà đầu tư bù lỗ giá cổ phiếu biến động bất lợi - Tăng lợi suất: Khi quyền chọn thực ngồi phần tiền có cố định giá bán người bán quyền cịn thu thêm phần phí hợp đồng Trường hợp quyền chọn khơng thực người bán hưởng phần phí hợp đồng quyền chọn mà thực nghĩa vụ mua bán Sau hợp đồng đáo hạn, người bán quyền chọn khác nhận tiền phí từ hợp đồng 3.1.3 Q trình hình thành phát triển thị trường quyền chọn Vào đầu năm 1900, hiệp hội nhà môi giới kinh doanh quyền chọn đời Nhà đầu tư muốn mua quyền chọn liên hệ với công ty thành viên, cơng ty tìm người bán quyền chọn từ khách hàng công ty công ty thành viên khác Nếu khơng có người bán, cơng ty tự phát hành quyền chọn với giá thích hợp Thị trường hoạt động theo cách gọi thị trường phi tập trung OTC, nhà kinh doanh không gặp sàn giao dịch Việc mua bán quyền chọn trở nên phổ biến Chicago Board of Options Exchange Vào thời kỳ chủ yếu trao đổi cổ phiếu thương mại đơn lẻ Năm 1982, quyền chọn bắt đầu giao dịch hợp đồng tương lai với trái phiếu phủ loại giao dịch phát triển nhanh Khi xã hội ngày phát triển, giao dịch quyền chọn ngày trở nên phổ biến hơn, lan rộng sang Anh, Brazil, Đức, Pháp, Nhật Bản… Những hệ thống đáng ý GLOBEX Project A 3.1.4 Phân loại quyền chọn - Nếu vào tính chất quyền mua hay quyền bán quyền chọn chia làm hai loại Quyền chọn mua (người giữ quyền chọn mua có quyền mua tài sản với mức giá xác định trước hợp đồng vào thời điểm định) Quyền chọn bán (người sở hữu quyền chọn bán có quyền bán tài sản với mức giá xác định trước hợp đồng vào thời điểm định) - Nếu vào tính chất thời gian hợp đồng quyền chọn chia làm hai loại Hợp đồng quyền chọn kiểu Mỹ (người giữ quyền chọn thực quyền vào thời điểm thời gian hiệu lực hợp đồng) Hợp đồng quyền chọn kiểu Châu Âu (người giữ quyền chọn thực quyền vào ngày đáo hạn) 26 3.1.5 Các phận cấu thành nên giá quyền chọn - Giá trị nội quyền: Giá trị nội quyền chọn giá trị mà người nắm giữ quyền chọn nhận cách thực quyền - Giá trị thời gian quyền: Giá trị thời gian quyền chọn khoản chênh lệch giá quyền so với giá trị nội Thời gian đáo hạn quyền chọn dài giá trị thời gian quyền lớn người mua quyền chọn hi vọng vào thời điểm trước hết hiệu lực, thay đổi giá tài sản sở thị trường làm tăng giá trị quyền chọn, họ sẵn sàng trả khoản tiền chênh lệch giá trị nội §2 Mơ hình định giá quyền chọn Black - Scholes Mục giới thiệu phân tích mơ hình định giá quyền chọn BlackScholes Vì kiến thức thời gian có nhiều hạn chế, nên chúng tơi giới hạn việc nghiên cứu mơ hình cho trường hợp đơn giản 3.2.1 Lịch sử, ý nghĩa ảnh hưởng mơ hình Black-Scholes Ngày 29 tháng 03 năm 1900 xem ngày khai sinh Tốn học tài chính, đánh dấu kiện Louis Bachelier (1870-1946) bảo vệ thành công luận án tiến sĩ với nhan đề “Lý thuyết đầu tài chính” Đại học Sorbornne (Paris) hướng dẫn Giáo sư Henri Poincare Đối tượng nghiên cứu Tốn tài phái sinh tài Và quyền chọn ví dụ điển hình phái sinh tài Một kiện có tính chất cách mạng Tốn tài vào năm 1973, dựa vào nguyên lý “nếu quyền chọn định giá cách xác, khơng thể chắn kiếm lợi nhuận cách tạo thực danh mục đầu tư quyền chọn cổ phiếu” (điều có nghĩa quyền chọn định giá khơng có hội chênh lệch thị giá), Black Scholes đề xuất mơ hình (mơ hình BlackScholes) tương ứng thiết lập công thức (công thức Black-Scholes) để xác định giá quyền chọn khoản nợ kiểu Châu Âu (xem [10]) 27 Mơ hình Black-Scholes đời không lâu sau phiên giao dịch quyền chọn Chicago (USA) Gần ứng dụng để định giá quyền chọn Chicago Mơ hình với mở rộng tiếp tục sử dụng rộng rãi trung tâm giao dịch quyền chọn giới Sự sụp đổ thị trường tài năm 1987 (bắt đầu từ Hồng Kơng sau lan sang Tây Âu Mỹ) dẫy lên nghi ngờ khả áp dụng thực tế mơ hình Black-Scholes Thậm chí báo đăng Forbes (một tạp chí có uy tín Mỹ) cho nguyên nhân gây nên sụp đổ thị trường tài sử dụng mơ hình Tuy nhiên, lời Scholes, có giá trị cho cơng nghệ mới, tồn (xem [12]) Ngày nay, mơ hình Black-Scholes mở rộng, cải tiến giữ vai trị quan trọng việc định giá tài sản phái sinh Ngoài việc cho phương pháp để định giá quyền chọn khoản nợ, mơ hình Black-Scholes đưa đến ý tưởng cho phép nhà quản lý, nhà kinh tế, chuyên gia phân tích tài chính, người kinh doanh, …vận dụng phát triển, cải tiến áp dụng lĩnh vực riêng Năm 1997, với Merton (Harvard University, USA), Scholes trao giải Nobel kinh tế (lúc Black qua đời) nhờ cống hiến cho phương pháp xác định giá trị phái sinh Thực chất, phương pháp đề cập cơng thức Black-Scholes mở rộng Cống hiến Merton ghi nhận phát triển tổng qt hóa cơng thức Black-Scholes cho nhiều cấu trúc tài khác (xem thơng tin chi tiết website thức giải Nobel: http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/economics/laureates/1997/) 3.2.2 Các giả định mơ hình - Giá cổ phiếu sở biến động ngẫu nhiên phát triển theo phân phối chuẩn - Lãi suất phi rủi ro độ ổn định tỷ suất sinh lời theo logarit cổ phiếu sở không thay đổi suốt thời gian đáo hạn quyền chọn - Khơng có thuế chi phí giao dịch - Các quyền chọn kiểu Châu Âu - Cổ phiếu không trả cổ tức 3.2.4 Xây dựng mơ hình Black - Scholes Giả sử có thị trường M hoạt động liên tục, có lãi suất khơng đổi, khơng chia lợi tức cho cổ đơng trước đáo hạn, khơng có chi phí giao dịch khơng trao đổi chứng khốn Kí hiệu St giá cổ phiếu thời điểm t 28 dSt lượng giá cổ phiếu thay đổi khoảng thời gian nhỏ [ t , t + dt ] Một dSt cách tự nhiên giả thiết độ thay đổi giá S tỉ lệ thuận t m Do đó, viết với độ dài thời gian dt với hệ số tỉ lệ dSt » m Ngồi cịn phải kể đến tác động yếu tố ngẫu nhiên thị dt St trường lên tỉ lệ Các yếu tố ngẫu nhiên tạo nên loại “nhiễu” ngẫu nhiên Nhiễu ngẫu nhiên phổ biến nhiễu có phân phối xác suất chuẩn mà người ta thường gọi nhiễu trắng Gauss (hay tiếng ồn trắng Gauss) thể qua vi phân ngẫu nhiên dw t chuyển động Brown Wt với hệ số tỉ lệ s Do ta đặt dSt = m + s dWt dt St Hệ thức mơ hình Black - Scholes mơ tả dạng phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính với s , m số Và gọi phương trình Black – Scholes 3.2.5 Sự tồn tính nghiệm mơ hình Black – Scholes Xét phương trình Black – Scholes dạng phương trình vi phân ngẫu nhiên dSt = µ St dt + σ St dWt , (3.1) St giá cổ phiếu thời điểm t, µ tỷ lệ trung bình giá chứng khốn ln chuyển, σ biến động giá chứng khoán Ta chứng minh phương trình Black-Scholes có nghiệm cho công thức   σ2  St = S0 exp ữt + Wt ÷    (3.2) a Sự tồn tại: Thật vậy, xét trình Ito Xt với vi phân Ito dX t = ữdt + σ dWt (3.3)   X Xét trình St = e t = u ( X t ) , u ( x) = e x Áp dụng công thức Ito, ta ∂u ∂u ∂ 2u dSt = (t , X t )dt + (t , X t )dX t + (t , X t )σ (t , ω )dt = e X t dX t + e X t σ dt ∂t ∂x ∂x  σ2 = e X t  µ −  (3.3)  Xt Xt  Xt ÷dt + σ dWt  + e σ dt = e µ dt + e σ dWt = µ St dt + σ St dWt (3.4)   29 Như vậy, St nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên (3.1) Mặt khác, từ (3.3) lấy tích phân vế cận từ đến t ta t   σ2  σ2  dX = ∫  µ − dt + σ dWt ⇒ X t = X + ữ ữt + Wt ∫    0 t Do St = e = e Xt  σ2 X + ữt + Wt ữ ữt +σ Wt  ÷  X0  =e e   σ2  = S exp   µ − ÷t + σ Wt ÷      σ2  Như ta chứng minh được: St = S0 exp   µ − ÷t + σ Wt ÷    b Tính nhất: Giả sử Xt nghiệm phương trình Black-Scholes, nghĩa dX t = µ X t dt + σ X t dWt Ta chứng minh   σ2  X t = X exp ữt + Wt ữ    Thật vậy, xét hàm u ( x) = ln x Theo công thức Ito,    1 σ2  d (ln X t ) =  µ Xt − σ X t ÷dt + σ X t dWt =  µ − ÷dt + σ dWt 2Xt2 Xt    Xt  Từ suy  σ2 ln X t − ln X =  µ −  Do đó, X t = e  σ2 ln X + µ−     σ2  t + σ Wt (hay ln X t = ln X +  µ − ÷ ÷t + σ Wt )     t ÷ +σ Wt ÷    σ2 = X exp ữt + σ Wt ÷    3.2.6 Định giá quyền chọn mua bán theo công thức Black - Scholes Ở phần xây dựng cơng thức để tính giá cho quyền chọn mua bán kiểu Châu Âu a Định giá quyền chọn mua Các kí hiệu: Sit giá cổ phiếu i thời điểm t, m tỷ suất lợi nhuận hay tỷ lệ tăng trưởng cổ phiếu i, i s i độ bất ổn hay độ lệch chuẩn cổ phiếu i, r lãi suất phi rủi ro ỉ it ÷ S ÷ tỷ lệ tăng trưởng hai thời kỳ, có phân phi ữ ốSit - ữ ứ ỗ Nu Rit = ln ỗ ỗ chun, thỡ mc thay i ca Si khoảng thời gian dt biểu diễn 30 hệ thức dSi = msi dt + s i si dw i , với i = 1, , d dw i có kỳ vọng i khơng phương sai dt (tức N(0;dt)) Ta có E (dw i , dW j ) = r ijdt , với r ij = cov( Ri , R j ) Xét danh mục đầu tư: Bán đơn vị quyền chọn mua C thu delta ( D ) cổ phiếu S, C = C(s,t) giá quyền chọn mua Theo công thức Ito, dC = ¶C ¶C ¶2C dt + ds + s S dt ¶t ¶s ¶S (3.4) Mức thay đổi C gồm hai phần: phần tất định phụ thuộc vào độ lớn dt phần ngẫu nhiên phụ thuộc vào ds Gọi Õ = C ( s, t ) - D S giá trị danh mục đầu tư người mua Khi Õ gồm hai thành phần: phần tất định phần ngẫu nhiên (biểu thị rủi ro danh mục đầu tư) Ta có, ỉC ỉC ¶ ả 2C ả ữ ỗ d ế = ỗ + s 2S 2 ữ +ỗ - Dữ dt ds ữ ỗ ữ ỗảS ữ ỗ ảt ữ ố ø ¶S ø è ỉC ¶ ¶ 2C ả ữ + ổ C - D m + s Sdw ) ữ Sdt ữ ỗ = ỗ + s 2S dt ỗ ( ữ ỗ i 2ữ ữ ỗ ảt ỗảS ữ ố ứ ảS ø è éC ù ỉC ¶ ¶2 C ỉ C ¶ ¶ = ê + s 2S +ỗ - D ữ S ỳ +ỗ - D ữ Sdwi m dt ỗ s ữ ỳ ữ ỗ ữ ữ ỗảS ỗ ờảt ố ứ û è¶S ø ¶S ë Nếu D = (3.5) ¶C yếu tố ngẫu nhiên khơng ảnh hưởng đến giá trị cặp ¶S đầu tư, nghĩa danh mục đầu tư trở thành danh mục phi rủi ro Khi thị trường hoạt động theo nguyên tắc không hi chờnh lch th giỏ thỡ ổ ảC ữ d ế = r ế dt = r ỗC - S dt ữ ỗ ỗ ố ứ ảS ữ Theo cơng thức Black – Scholes, ¶C 2 ¶2C ¶C + s S + rS - rC = 0, (3.6) ¶t ¶S ¶S s = Var( R) với điều kiện ban đầu C(S,0) = max (S - X , 0) Đặt t = T - t , ta viết lại phương trình (3.6) dạng ¶C 2 ¶2C ¶C = s S + rS - rC (3.7) ¶t ¶S ¶S ¶C ¶C ¶y ¶C Đặt y = lnS Ta có ¶S = ¶y ¶S = S ¶y ¶2C ¶C ¶ ỉ C ảC ả2C ảy ảC ả 2C ỗả ÷ =- + =- + =- + ỗ ữ ỗ ữ ữ ảS S ¶y S ¶S è¶y ø S ¶y S ¶y ¶S S ¶y S ¶y Do ¶C 2 ổ ảC ả 2C ữ rS ảC - rC ữ = s S ỗ- + + ỗ ữ ỗ S ảy S ảy ứ ữ ảt S ảy ố ả2C ổ ửảC = s +ỗr - s ữ - rC ữ ỗ ữ ố ảy ỗ ứ ảy 31 (3.8) t C ( y, t ) = e- rt w( y, t ) Ta có ¶C ¶ ¶w - r t C ( y, t ) ¶w - r t ¶w - r t = ( e- r t ) w( y, t ) + e =- re- r t - r t + e =- rC + e ¶t ¶t ¶t e ¶t ¶t ¶2C ¶ ỉ C ¶ ổ- rt ảwử - rt ả2 w ả ữ = ç ÷ = çe ÷ e = ç ÷ ỗ ữ ỗ ữ ữ ảy ảy ỗ ảy ứ ảy ố ảy ứ ảy ố ữ Khi đó, (3.8) trở thành ¶w ¶2 w ỉ ửảw = s +ỗr - s ữ , với - ¥ < y ữ (3.9) ỗ ữ ố ảt ảy ỗ ø¶y Với điều kiện ban đầu w( y, 0) = max(e y - X , 0) ta có nghiệm phương trình (3.9) +¥ w( y, t ) = ò w( x, 0) f ( y - x, t ) d x -Ơ ổ ỗ ç ç +¥ ç ç x = ị max ( e - X , 0) exp ỗ ỗ ç s 2pt ç - ¥ ç ç ç è ổ ỗ ỗ ỗ +Ơ ỗ ỗ x = ũ ( e - X ) exp ỗ ỗ ỗ s 2pt ỗ ln X ỗ ỗ ỗ ố é ỉ s2 ùư ÷ - xú ÷ ÷ +ỗr y ữ t ữ ữ ỗ ỳữ ç ÷ 2ø è ÷ ë û÷ x ÷ d ÷ ÷ 2s t ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø é ỉ s2 ùư ÷ - xú ữ ữ +ỗr y ữ t ữ ữ ç ú÷ ç ÷ 2ø è ÷ ë û ÷ x ÷ d ÷ ÷ 2s t ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø (3.10) Với y = lnS, ta cú ổ ỗ ỗ ỗ +Ơ ỗ ỗ x exp ỗ( e - X ) ỗ ũ ỗ s 2pt ỗ ln X ỗ ỗ ỗ ố ộ ổ s2 ựử ữ - xỳ ữ ữ ỗr +ỗ y ữ t ữ ữ ỗ ỳữ ÷ 2ø ÷ ë è û÷ x ÷ d ÷ ÷ 2s 2t ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø æ S ỉ s2 ư ỉ ỉ s2 ư çln +çr + ÷ ÷ ç y + çr ÷ ÷ ÷÷ t ÷ - ln X + s 2t ữ t ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ổ ổ s2 s2 ỗ ố ứ ữữ ữ ữ ữữ ố ứ ữ ỗ ỗ ữ = e r t S N ỗ X ỗ ỗy + ỗr ữ + t ữN ỗ ỗ ữ ữ ữ = exp ỗ ỗ t ỗ ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ç ÷ ç ÷ ç è 2ø s t s t ố ứ ỗ ữ ữ ỗ ữ ữ ỗ ç ÷ ÷ ç ç ÷ ç ÷ ç è ứ ố ứ Mt khỏc, 32 ổ ỗ ỗ ỗ +Ơ ỗ ỗ exp ỗ ỗ ũ s 2pt ç ç ln X ç ç ç è 2ö 2ö ộ ựữ ổ +ỗr - s ữ - xỳ ữ y ỗ ữ t ữ ữ ỳữ ỗ ÷ ø è ÷ ë û÷ x ÷ d ÷ ÷ 2s t ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ỉ ỉ S ỉ s2 ÷ ữ ữ ỗộ +ổ- s ửt - ln X ự ữ ỗln ỳ ữ ỗờ y ỗr ữ +ỗr ữữ t ỗ ỗ ỗ ữ ữ ỗờ ữữ ỳ ç ç ÷ ÷ ç ÷÷ ø çë è ứ ữ ố ữ ỷ=Nỗ X ữ ỗ ữ =Nỗ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ s t ữ s t ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ÷ è ø è ø Vì vậy, cơng thức định giá quyền chọn mua theo mơ hình Black - Scholes é ù ỉ S ỉ S ỉ s2ư ổ s2 ữ ử ữ ỗln ỗln ữữ ữữ + ỗr + ữ ữ tữ + ỗr t ỳ ỗ ỗ ỗ ữữ ữữ ỳ ỗ X ç ç X ç ç ÷ ÷÷ 2ø ÷ 2ø ữ ố ố ỗ ỗ ỳ ữ X N ỗ ÷ C ( S , t ) = e - r t r t S N ỗ e ỗ ç ÷ ÷ ê ú ç ç ÷ ÷ s t s t ữ ữ ỗ ỗ ỳ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỳ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ỳ û 2ư ì ỉ s ÷ ï S ï ln +ỗr + ữ t ù ỗ ữ ù ữ X ç 2ø è - rt ïd = = SN (d1 ) - Xe N (d ) , với í ï s t ï ï ï d =d - s t ï ï ỵ (3.11) b Định giá quyền chọn bán Sử dụng công thức cặp đôi mua bán C - P = S - Xe- rt , ta tìm giá trị quyền chọn bán Châu Âu Từ C - P = S - Xe- r t Þ P = C - S + Xe- r t Theo công thức Black- scholes, ta có: C = SN ( d1 ) - e- r t XN (d ) Þ P = SN (d1 ) - e- r t XN (d ) - S + Xe- r t = S ( N (d1 ) - 1) + e- r t X ( - N (d )) Mặt khác N (d1 ) + N (- d1 ) = N (d ) + N (- d ) = nên ta có P =- SN (- d1 ) + e- r t XN (- d ) ì ù S ổ s2 ù ữ ln + ỗr + ữ t ù ỗ ữ ỗ ù ữ 2ứ - rt ïd = X è = e XN (- d ) - SN (- d1 ) , với í ï s t ï ï ï d =d - s t ï ï ỵ Do đó, cơng thức định giá quyền chọn bán mơ hình Black–Scholes P = e- r t XN (- d ) - SN (- d1 ) , ì ï S ổ s2 ù ữ ln + ỗr + ữ t ù ỗ ữ ù ữ 2ứ ố ùd = X ỗ vi ù s t ù ï ï d =d - s t ï ï ỵ 33 (3.12) 3.2.7 Đặc tính cơng thức Black – Scholes Mục giới thiệu cho cách nhìn đơn giản cơng thức Black-Scholes số trường hợp a Diễn giải công thức: Trong cơng thức Black - Scholes có hai thành phần r T bên vế phải Thành phần S0 N (d1 ).e giá trị kỳ vọng giá cổ phiếu đáo hạn, với điều kiện giá cổ phiếu ST > X P( ST > X ) Tuy nhiên N( d1 ) xác suất đó, thành phần tồn biểu thức Thành phần thứ hai - XN (d ) giá trị kì vọng khoản tri trả theo giá thực đáo hạn Đặc biệt, N (d ) xác suất ứng với nhà đầu tư chấp nhận rủi ro mà X chi trả đáo hạn Vì - XN (d ) khoản tri trả theo giá thực kỳ vọng đến đáo hạn Chiết khấu biểu thức theo lãi suất phi rủi ro ghép lãi liên tục (nhân với e rccT ) ta S0 N (d1 ) - Xe- r T N (d ) b Cận quyền chọn mua kiểu Châu Âu theo công thức Black – Scholes: Quyền chọn có giá trị âm người mua khơng bắt buộc phải thực quyền chọn Vì C (S0 ,T , X ) ³ Do đó, cận - r T quyền chọn mua kiểu Châu Âu Max(0, S0 - Xe ) - Khi S0 rt cao, d1 , d đ +Ơ Þ N (d1 ), N (d ) ® , công thức Black- Scholes - r T trở thành S0 - Xe (đúng cận dưới) - Khi S0 rt thp, d1 , d đ - Ơ ị N (d1 ), N (d ) ® , cơng thức Black - Scholes - r T có cận Max(0, S0 - Xe ) c Công thức Black- Scholes T = 0: Khi T = 0, ta có cc cc cc cc cc 2ư ỉ ST ổ s ST ỗr + s ữ çr + ÷ ÷ ÷ ln + ç T ln T ln ST ỗ ữ ữ ỗ ữ ữ X ç 2ø 2ø è è d1 = = X + = X s T s T s T s T Xét trường hợp sau: ST S > ị ln T > 0; d1 đ +Ơ ị d đ +Ơ Do ú N ( d1 ), N (d ) ® X X - rccT - rcc e = e = Khi cơng thức trở thành: ST - X S S - Nếu ST < X Þ T X Þ 34 d Công thức Black - Scholes S0 = : Giả định giá cổ phiếu tiến đến (thỡ logarit t nhiờn ca S0 đ - Ơ Khi ú: d1 , d đ - Ơ (ngha X N ( d1 ), N (d ) ® ) Điều làm cho công thức Black - Scholes tiến đến e Công thức Black - Scholes s = 2ử ổ S0 ỗr + s ÷ ÷ T ln S0 ln e rcT + s T ỗc ln ữ ỗ ữ 2ứ ố Khi s = ta có: d1 = X + = X + s T s T s T s T S0 S0 S s ln ln e rc T T ln - rc T - rc T s T = X + = X e + = X e s T s T s T s T Xét trường hợp : S0 S > ị ln -0rcT > 0; d1 đ +Ơ - rcT Xe Xe N ( d1 ), N (d ) ® , giá quyền chọn trở thành: S0 - Xe- rcT Do đó: S0 S - rT £ Þ ln -0rcT £ 0; d1 đ - Ơ - Nu S0 Ê Xe c Þ - rcT Xe Xe Do đó: N (d1 ), N (d ) ® , giá trị quyền chọn tiến đến - rT - Nếu S0 > Xe Þ c f Cơng thức Black - Scholes X = 0: Khi X = quyền chọn mua tương đương với cổ phiếu Khi d1 , d ® +Ơ v N (d1 ), N (d ) đ Do cơng thức Black - Scholes trở thành S0 - 0.1 = S0 g Công thức Black - Scholes rc = : Lãi suất phi rủi ro trường hợp đặc biệt Tức không thiết phải có mức lãi suất dương cơng thức Black - Scholes không trở thành giá trị đặc biệt KẾT LUẬN Kết luận văn: Trên sở tổng hợp tài liệu tham khảo, khóa luận thu số kết sau đây: - Trình bày chứng minh chi tiết định lý tồn nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên - Trình bày chi tiết hệ thống lời giải số lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính 35 - Trình bày lịch sử, ý nghĩa ảnh hưởng mơ hình định giá quyền chọn Blacks Scholes đề xuất - Dựa vào kiến thức phương trình vi phân ngẫu nhiện khảo sát phần trước, làm rõ công thức Black – Scholes định giá quyền chọn số trường hợp đơn giản Hướng phát triển cho đề tài: Đề tài tiếp tục với việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên ứng dụng chúng việc định giá tài sản phái sinh (chẳng hạn Quyền chọn) cho mô hình phức tạp hơn, đặc biệt mơ hình sử dụng để phân tích thị trường tài Ngồi ra, nghiên cứu vấn đề mối liên hệ với điều khiển tối ưu (phản ánh việc kiểm soát, điều khiển định hướng thị trường tài chính) TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt [1] Phạm Văn Chính (2007), Quyền chọn khả áp dụng cho thị trường chứng khoán Việt Nam, Luận văn Thạc sĩ kinh tế, ĐH kinh tế Tp HCM [2] Vương Quân Hoàng Trần Trí Dũng (2006), Ứng dụng quyền chọn kinh doanh chứng khoán, C Vebimo.com – DHVP Economic Research [3] Đặng Thị Kiêm Hồng (2011), Định giá quyền chọn toán học tài chính, Luận văn Thạc sĩ Tốn học, Đại học Sư phạm Tp HCM [4] Đỗ Đức Thái Nguyễn Tiến Dũng (2011), Nhập mơn Tốn tài chính, Trung tâm Tốn tài cơng nghiệp Hà Nội [5] Trần Hùng Thao (2000), Tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội 36 [6] Trần Hùng Thao (2009), Nhập mơn Tốn học tài chính, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [7] Trần Hùng Thao, Tốn học tài – ngành khoa học phát triển mạnh, Thông tin Toán học tập 13, số (6/2009) [8] Đặng Hùng Thắng (2007), Q trình ngẫu nhiên tính tốn ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [9] Nguyễn Thị Quỳnh Trang (2008), Một số tính chất nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Đại học Vinh Tiếng Anh [10] F Black and M Scholes, The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Jounal of Polictical Economy Vol 81 (1973), pp 637 - 654 [11] D Mackenzie and Y Millo, Constructing a Market, Performing Theory: The Historical Sociology of a Financial Derivatives Exchange, American Journal of Sociology Vol 109 (2003), pp 120-127 [12] K O’Toole, Stanford’s Scholes Wins Nobel for Economics, Stanford News Service (14/10/1997) [13] A Shah, Black, Merton and Scholes: Their work and its consequences, Economic and Political Weekly Vol XXXII (52) (1997), pp 3337 – 3342 [14] S M Schaefer, Robert Merton, Myron Scholes and the development of Derivative Pricing, Scand J of Economics Vol 100 (1998), pp 425 - 443 37 ... hợp, phân tích trình bày chi tiết số vấn đề phương trình vi phân ngẫu nhiên ứng dụng chúng vi? ??c định giá quyền chọn theo mơ hình Black- Scholes: chứng minh tồn nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên; ... Quyền chọn) thiếu vi? ??c xây dựng vận hành thị trường phái sinh tài Vì lý nêu trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: ? ?Phương trình vi phân ngẫu nhiên vấn đề định giá quyền chọn theo mơ hình. .. Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Chương dành để khảo sát phương trình vi phân ngẫu nhiên §1 Các khái niệm định lý tồn nghiệm Mục trình bày khái niệm liên quan đến phương trình vi phân ngẫu nhiên