Bộ giáo dục đào tạo Trờng Đại học Vinh -*** - ngun hoµng hiĨn số tính chất phơng trình sai phân ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2009 Bộ giáo dục đào tạo Trờng Đại häc Vinh -*** - nguyÔn hoàng hiển số tính chất phơng trình sai phân ứng dụng Chuyên ngành: giảI tích Mà số: 60.46.01 luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: PGS.TS.Đặng Đình Châu mở đầu Trong năm gần phát triển mạnh mẽ lý thut kü tht sè vµ øng dơng cđa nã khoa học đời sống hàng ngày, lý thuyết phơng trình sai phân đợc nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Các kết nghiên cứu theo phơng hớng đợc áp dụng ngày nhiều mét sè lÜnh vùc kh¸c nh: to¸n kinh tÕ, kü tht tÝn hiƯu sè, lý thut hƯ ®éng lùc rêi rạc nhiều ngành khoa học khác Trong khuôn khổ Luận văn thạc sĩ, trình bày số khái niệm lý thuyết phơng trình sai phân cố gắng tìm tòi, khám phá ứng dụng Để phục vụ cho việc giảng dạy toán học phổ thông phần ứng dụng có giới thiệu số ứng dụng phơng trình sai phân toán sơ cấp Ngoài ra, giới thiệu ứng dụng phơng trình sai phân mô hình ngoại thơng Do điều kiện thời gian lực hạn chế nên có vấn đề đợc nh mong muốn Cuối xin gửi lời cảm ơn đến khoa Sau đại học, trờng Đại học Vinh nh thầy cô giáo khoa Toán đà giảng dạy, hớng dẫn, giúp đỡ trình học Đại học nh học Cao học Tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Đặng Đình Châu - Trờng Đại học khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội đà tận tình giúp đỡ hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn! Ngày tháng năm 2009 Nội dung luận văn bao gồm : Hệ thống lại số kiến thức phơng pháp sai phân Phát biểu trình bày số chứng minh công thức giải PTSP cp 1, cp 2và hệ PTSP HƯ thèng mét sè bµi tËp øng dơng phơng trình sai phân toán sơ cấp Trình bày toán Mô hình ngoại thơng hai quốc gia phơng pháp ma trận ứng dụng việc nghiên cứu tính chất nghiệm hệ PTSP tơng øng CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CẤP CAO 1.1 Không gian hàm thang thời gian (time scale) 1.1.1 Thang thời gian không gian hàm số thang thời gian Giả sử R tập hợp số thực, tập đóng Π R gọi thang thời gian (xem [5]) Trong khóa luận xét Π dạng thang thời gian sau: N, Z, hZ, R Trong N = {0, 1, 2, …} ( tập hợp số tự nhiên ) Z = {0, 1, ±2, …}, hZ = {0, ±h, ±2h, …, ±nh, …} (h∈R+) Giả sử t∈Π , ta ký hiệu: δ(t) = inf {S∈Π; S>t} ρ(t) = sup {S∈Π; S0 cho trước luôn tồn lân cận U t (hoặc tồn δ>0 U = (t- δ, t+δ)∩Π) tồn số thực f(t) cho với S∈U ta có: f ( δ ( A) − f ( s ) − f ∆ (t ) [ δ (t ) − S ] ) ≤ ε δ (t ) − S Khi ta gọi f∆(t) đạo hàm f t Π ( xác f∆(t) ∆- đạo hàm f t∈Π ) Tương tự đạo hàm thông thường ta chứng minh cơng thức sau 1.1.2.2Định lý Nếu Π=R f: Π→R khả vi t∈Π ta có khẳng định sau: i) Tổng hàm f g: f+g hàm khả vi t ta có: (f+g)∆(t) = f∆(t) + g∆(t) ii) Với số α bất kỳ, αf: Π→R hàm khả vi t ta có: (αf)∆(t) = αf∆(t) iii) Tích hàm khả vi f-g: Π→R hàm khả vi t∈Π ta có: (fg)∆ = f∆(t)g(t) + f(δ(t))g∆(t) = f∆(t)g∆(t) + f∆(δ(t))g∆(δ(t)) iv) Nừu f∆(t)g∆(δ(t))≠0, f hàm khả vi ta có: ∆ 1 f ∆ (t ) (t ) =  ÷ f (t ) f (δ (t ))  f  v) Nếu g(t)g(δ(t))≠0, f g hàm khả vi t ta có: ∆  f  f ∆ (t ) g (t ) − f (t ) g ∆ (t ) (t ) =  ÷ g (t ) g (δ (t )) g Nhận xét Chúng ta nói f: Π→R ∆- khả vi Π, f: Π→R khả vi giá trị t∈Π Hồn tồn tương tự ta định nghĩa đạo hàm cấp cao f chứng minh số tính chất tương ứng tính chất hàm số thông thường f: R→R (xem [5] trang 7, 8, 9) Ví dụ: a) Giả sử Π=Z, f: Π→R xác định f(t)=qt ∀ t∈Π tacó: f∆(t) = qth - qt = (q-1)qt b) Giả sử Π=Z, f: Π→R xác định f(t)= at +b; (a, b ∈R) f∆(t) = a 1.1.3 Khái niệm tích phân hàm thang thời gian Giả sử Π thang thời gian Để xây dựng khái niệm tích phân nghiên cứu tính chât cần làm quen với số khái niệm sau 1.1.3.1 Định nghĩa Giả sử t∈Π giá trị Nếu t< SupΠ t=δ(t) ta nói t điểm trù mật phải Nếu t>infΠ t= ρ(t) ta nói t điểm trù mật trái Nếu t∈Π điểm vừa trù mật trái vừa trùn mật phải ta nói điểm trù mật Trong trường hợp ngược lại ta có điểm lập 1.1.3.2 Định nghĩa Giả sử f: Π→R hàm số Khi ta nói f hàm liên tục phải Π (rd-continous) thỏa mãn điều kiện sau đây: (i) f: Π→R liên tục tất điểm trừ mặt phải Π (ii) Tại tất điểm trừ mặt trái Π tồn giới hạn trái hữu hạn f 1.1.3.3 Định nghĩa Hàm F: Π→R gọi nguyên hàm (antiderivative) hàm f: Π→R nếu: F∆(t) = f(t) với t∈Π t Ta ký hiệu ∫f ( t ) ∆ =F(t) +C (tích phân khơng xác định f(t)) S Ta định nghĩa ∫ f (t )∆t = F ( s) − F ( p) , (∀ s, p∈Π) Tương tự tích P phân thơng thường chứng minh tính chất tích phân sau đây: 1.1.3.4 Định lý (xem [5]) Giả sử a, b, c ∈Π, α∈R f, g: Π→R hàm liên tục phải, đó: b b a (i) b a a ∫ [ f ( t ) + g( t )]∆t =∫ f ( t )∆t +∫ g( t )∆t b a (ii) b a ∫ [ αf ( t )]∆t =α∫ f ( t )∆t b a (iii) b a ∫ [ f ( t )]∆t = − ∫ f ( t )∆t b c b a a c (iv) ∫ f ( t )∆t =∫ f ( t )∆t +∫ f ( t )∆t b (v) b a a ∆ ∆ ∫ f [ δ( t )]g ( t )∆t =( fg ) (b) − ( fg ) (b) − ∫ f ( t )g( t )∆t b (vi) ∫ f ( t )g a ∆ b ( t )∆t =( fg ) (b) − ( fg ) (a ) − ∫ f ∆ ( t )g( δ( t ) ) ∆t a a (vii) ∫ f ( t )∆t =0 a a (viii) f(t)≥0 với a≤t≤b ∫ f (t )∆t ≥0 a b a (ix) | f(t)| ≤ g(t) [a,b), b a ∫ f (t )∆t ≤ ∫ g (t )∆t 1.1.3.5 Hệ Giả sử a, b ∈ f: Π→R liên tục phải đó: b a (i) (ii) Nếu Π=R, b a ∫ f (t )∆t =∫ f (t )dt Nếu Π=hZ={hK: K∈Z}, b ∫ f (t )∆t =∑ a D −1 h a k= h f (kh)h ab Nếu T=Z ta có: b ∫ a f (t ) ∆t =∑ k =b f (k ) a −1 a>b 1.2 Một số kiến thức phép tính sai phân hữu hạn 1.2.1 Các khái niệm Xét dãy số { xn } ; dạng khai triển { x , x , x , x , } n Thí dụ, dãy số tự nhiên ký hiệu N có dạng { n} = { o,1,2, , n, } , dãy số nguyên dương Z+ có dạng { n} = { o,1,2, , n, } , dãy số điều hoà  1     = 1, , , ,  n  n  Có thể xem dãy số hàm đối số nguyên n Kí hiệu x(n) = xn Chú ý theo định nghĩa đạo hàm thang thời gian sai phân cấp đạo hàm dãy số ( hàm x(n) ) 1.2.1.1 Định nghĩa Ta gọi hiệu: ∆xn = xn+1 – xn sai phân hữu hạn cấp hàm số x(n) = xn với n ∈ Z Thí dụ, Nếu hàm xn cho dạng bảng n Xn 1 Ta có sai phân hữu hạn cấp là: ∆x0 = x1 – xo = – = 2; ∆x1 = x2 – x1 = – = 1; ∆x2 = x3 – x2 = – = 3; ∆x3 = x4 – x3 = – = -1 Từ sau, khơng có nhầm lẫn với tỉ sai phân, ta gọi tắt sai phân hữu hạn sai phân, sai phân cấp gọi tăt sai phân 10 38 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 3.1 Một số ứng dụng phương trình sai phân cácac tốn phổ thơng: 3.1.1 Tính tổng dãy số nhờ tính chất sai phân: n −1 S n = ∑Δ(u(k)) = u(n) − u(1) Chú ý : k =1 Ví dụ 3.1.1.1 Tính tổng Giải Sn = 1.1! + 2.2! + + n.n! (n > 1) k ! k = (k+1)! - k! = ∆(k!) Ta có n n k =1 k =1 S n = ∑k!k = ∑∆( k !) = (n +1)! - 1! = (n+1) ! - nên: * Vậy: Sn = 1.1 ! + 2.2 ! + + n.n ! = (n+1) ! - 15 S = ∑ (k + 2k + 3k + 1)k! Ví dụ 3.1.1.2 Tính tổng k =1 (k3 + 2k2+ 3k + 1)k! = (k+1)3.k! - k2.k! Giải Ta thấy = (k+1)2.(k+1)! - k2.k! = ∆(k2.k!) 15 nên S = ∑Δ(k k!) = 152.15! - = 294226732799999 k =1 3.1.2 Sử dụng phương pháp tuyến tính hố để tìm số hạng tổng qt dãy số: Ví dụ 3.1.2.1 Và Cho { xn} n∈IN với x0 = x1 = x n +1 = 5x n + 24x + n với n∈IN Chứng minh rằng: số hạng dãy số số nguyên Giải Từ giả thiết ta tính đựoc x2 = 10; x3 = 99 x4 = 980 Ta tìm xn dạng nghiệm phương trình sai phân tuyến tính sau: 39 x n +1 = a.x n + bx n −1 + c , n>1 (3.1.2.1) Cho n = 1, 2, thay vào (3.1.2.1) ta được: x2 = ax1 + bx0 + c = a + c = 10 x3 = ax2 + bx1 + c = 10a + b +c = 99 x4 = ax3 + bx2 + c = 99a + 10b + c = 980 Giải hệ ta a = 10; b = -1 c = Tức là: xn+1 = 10xn - xn-1 n>1 (3.1.2.2) Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh x n xác định (3.1.2.2) số hạng tổng quát dãy số cho, Vì x0 = x1 = số nguyên nên kết hợp với (3.1.2.2) ta suy số hạng dãy số cho số nguyên Ví dụ 3.1.2.2 Cho dãy số x n + = {xn} biết x1 = 1; x2 = x + 6x n − 3x n −1 + n + x n −1 (n > 2) (3.1.2.3) Chứng minh rằng: số hạng dãy số cho số nguyên Giải Dễ thấy Đặt (3.1.2.3) ⇔ xn+1 yn = + x n (x n + 3) + + = x +3 n −1 ta dãy { yn } mà: y1 = 4; y2 = yn+1 = yn + y n −1 n>2 Dễ dàng chứng minh số hạng yn số nguyên từ suy điều phải chứng minh 3.1.3 D·y sè chuyển đổi phép tính số học Bài toán Xác định số hạng tổng quát dÃy { x n } biÕt x1 = a vµ xm + n = xm + xn + mn, ∀m,n ∈ N* Giải: Từ phơng trình (1) ta đợc 40 (1) xn +1 = xn + x1 + n Hay xn+1 – xn = a + n, a = x1 (2) Ph¬ng tr×nh xn+1 – xn = a + n, a = x1 phơng trình sai phân tuyến tính không cấp Do phơng trình đặc trng có nghiệm =1 nên ta có nghiệm tổng quát phơng trình xn+1 xn = x1 = c (3) n (n + 1) n n= − − 2 Ta viÕt n2 + a ữn Khi đó, nghiệm cđa (2) cã d¹ng x =  2 * n (4) V× x n = x1 + x * nên từ (3) (4) ta có nghiệm phơng trình (2) là: n n n2 xn = c + +  a − ÷n  2 (5) Do x = a , tõ (5) ta cã c = Thay c = vµo (5) ta thu đợc nghiệm (2) xn = 1 n +  a − ÷n 2  (6) Thư l¹i ta thÊy nghiƯm d¹ng (6) tháa m·n điều kiện đề Bài toán Tồn hay không tồn dÃy số {xn } thỏa mÃn ®iỊu kiƯn: xm + n = xm + xn + m + n, m, n N (7) Giải: Tơng tự nh toán 1, từ phơng trình (7) ta suy xn +1 = xn + x1 + n + Hay xn +1 − xn = a + n, a = x1 + (8) Phơng trình xn+1 xn = a + n phơng trình sai phân tuyến tính không cấp Do phơng trình đặc trng có nghiệm = nên ta có nghiệm tổng quát phơng trình xn+1 – xn = lµ x1 = c n Ta viÕt ( n + 1) n n= − − 2 41 (9) * Khi ®ã nghiƯm cđa (8) cã d¹ng xn = n(dn + e) Thay vào (8) ta đợc * xn = n2  1 +  a − ÷n  (10) * Vì x1 = x1 + xn nên tõ (9) vµ (10), ta cã nghiƯm cđa (8) lµ: n xn = c + n2  1 +  a − ÷n  2 (11) Do x1 = a - 1, tõ (11) ta cã c = Thay c = vào (11) ta thu đợc nghiệm cđa (8) lµ xn =  1 n +  a − ÷n + 2  (12) Thử lại ta thấy nghiệm dạng (12) không thỏa mÃn điều kiện đề Vậy không tồn dÃy sè { xn } tháa m·n ®iỊu kiƯn: xm + n = xm + xn + m + n, ∀m, n N Bài toán Xác định dÃy số dơng { xn } thỏa mÃn điều kiện: xm + n = xm xn , ∀m, n ∈ N * Gi¶i: Víi n = 1, ta cã x1n = x1 xn ⇒ x1 = Gi¶ sư n = p số nguyên tố Khi đó, phơng pháp quy nạp ta có x p k = ( x p )k nÕu n = p1 P2α Psα s th× xn = ( x p1 )α1 ( x ps )α s VËy xp cã thÓ nhận giá trị tùy ý p số nguyên tố Bài toán Xác định dÃy số dơng { xn } tháa m·n ®iỊu kiƯn: xm + n + xm − n = x3n , ∀m, n ∈ N , n ≥ m Gi¶i: Cho m = 0, ta cã 2xn = x3n Suy x0 = Đặt m = n, ta đợc x2n=x3n, suy x4 m = x6 m = x9 m 1 ⇒ xn = x3n = x2 n = víi ∀n ∈ N  2  x4 m + x2 m = x9 m 42 3.1.4 D·y sè chuyÓn đổi đại lợng trung bình 3.1.4.1 Phép chuyển đại lợng trung bình cộng Bài toán Xác định d·y sè { u (n)} cho m+n  m + n  u (m) + u (n) u , ∀m, n, ∈ N* ÷=  2  (1) Giải Đặt u (1) = , u(2) = β ,(α , β ≥ 0) Ta cã  +  u (3) + u (1) u (2) = u  ÷=   u (3) = 2u (2) − u (1) = β − Suy Tiếp tục trình nh ta ®ỵc u (4) = 2u (3) − u (2) = Bằng phơng pháp quy nạp, ta thu ®ỵc u (n) = ( n − 1) β − ( n − 2)α = ( β − α ) n + 2α − β , ∀n ∈ N * VËy u (n) = ( β − α )n + 2α − β , ∀n ∈ N *  u (1) = , u (2) = Đặt = a + b suy   β = 2a + b a = β − α  b = Khi nghiệm phơng trình (1) lµ u(n) = an +b, víi a,b tïy ý 3.1.4.2 Phép chuyển đại lợng trung bình cộng sang trung bình nhân Bài toán Xác định dÃy số { u (n)} , cho m+n m+n u ∈N* ÷ = u ( m)u (n), ∀m, n,   (2) Gi¶i Ta cã n+n u ( n) = u  ÷ = u (n)u (n) = u (n) ≥ 0, ∀n ∈ N *   43 §Ỉt u (1) = α , u (2) = β ,(α , β ≥ 0) a NÕu α = th×  2n − +  u ( n) = u  ÷ = u (2n − 1)u (1) = 0, ∀n ∈ N *   Vậy u(n) nghiệm phơng tr×nh (2) b NÕu α > , β = th× n +n −2 u ( n) = u  0 ÷ = u (n0 )u (n0 − 2) = 0, ∀n ≥ 2, n ∈ N *   suy u (1) = α , u (n) = 0, ∀n ≥ lµ nghiƯm cđa phơng trình (2) c Nếu , > Giả sư tån t¹i n0 ≥ cho u(n0) = th× n +n −2 u (n0 − 1) = u  0 ÷ = u ( n0 )u (n0 − 2) =   Chän n0 = th× u (n0 − 1) = u (2) = = (mâu thuẫn) Do cã thĨ gi¶ thiÕt r»ng u(n) > ∀n ∈ N* Ta cã u (2) = u (3)u (1) = ⇒ u (3) = u (2) β = u (1) Mặt khác u (3) = u (4)u (2) = ⇒ u (4) = u (3) β = u (2) α B»ng ph¬ng pháp quy nạp toán học ta chứng minh đợc u ( n) = β n−1 , ∀n ≥ n1 Nếu đặt 44 = ab (a, b > 0)   β = ab th× suy nghiệm phơng trình (2) u (n) = ab n (a, b > 0) Từ kết phép tính sai phân phương trình sai phân Chúng ta nhận đươc nhiều ứng dụng tốn sơ cấp dành cho học sinh u thích tốn học ham thích tìm tịi sáng tạo 3.2 Ví dụ ứng dụng phương trình sai phân mơ hình ngoại thương đa quốc gia Trong phần chúng tơi trình bày ứng dụng nhỏ lý thut định tính hệ phương trình sai phân Qua ví dụ thấy lý thuyết định tính phương trình sai phân có vai trò quan măt lý thuyết ứng dụng đời sống hàng ngày 3.2.1 Xây dựng mơ hình Tổng thu nhập cộng đồng bao gồm : Tổng giá tri xuất khẩu(N) + Tổng tiêu dùng (C) + tổng chi phí đầu t (I) Ký hiệu: Y = Tổng thu nhập quốc dân; X = Tổng giá trị xuất C = Tổng tiêu dùng ; I = Tổng chi phí đầu tư ; N = Tổng chi phí nhập Chúng ta có: Y= C + I +X -N Giả thiết: (a) Thời điểm quan sát : Thời gian thời điểm quan sát rời rạc : n = 0, 1, 2,… Chỉ số i ứng với nớc thứ i (b) Nhu cầu tiêu dùng (C) tỉ lệ thuận với thu nhập thời kỳ trước theo quy luật : C (n+1) = α Y (n) + C* 45 Trong đó: C* = Tổng giá trị hàng hoá dịch vụ cần dùng tối thiểu cho sống α > gọi hệ số tiêu dùng (c) Tổng đầu tư:(I) tỷ lệ thuận với thu nhập thời kỳ trớc đó, theo quy luật : I (n+1) = β Y (n) +I* đây: I* = Kinh phí tối thiểu phải đầu t để tiếp tục trì hoạt động sản xuất kinh doanh β > gọi hệ số đầu t (d) Tổng chi phí cho nhập tỷ lệ thuận với tổng thu nhập thời kì trước đó, heo quy luật: N(n+1)= γ Y (n)+ N* đây: N*= chi phí tối thiểu cho nhập (đó chi phí để nhập loại hàng hoá thiết yếu mà quốc gia khơng tự sản xuất được) γ ≥ 0: Gọi hệ số nhập Để phù hợp với thực tế, ta coi: γ < α + β (e) Tổng giá trị xuất (X) môt nước thứ i tổng số chi phí nhập nước khác nên ta có : X1(n+1)= a12.(n) N2(n+1) + a13(n) N3(n+1) X2(n+1)= a21(n) N1(n+1) + a23(n)N3(n+1) (A) X3(n+1)= a31(n) N1(n+1) + a32(n).N2(n+1) Do tổng giá trị xuất quốc gia tổng giá trị nhập quốc gia, nên ta có: a21(n)+a31(n) = a12(n)+a32(n) = (C) a13(n)+a23(n) = Ký hiệu : a31(n)=a(n); a12(n)=b(n); a23(n)=c(n) kết hợp với giả thiết (c) ta có mối liên hệ : X1(n+1)= b(n)N2(n+1) + [1-c(n)].N3(n+1) X2(n+1)= [1-a(n)]N1(n+1) 46 + c(n) N3(n+1) (B) X3(n+1)= a(n)N1(n+1) + [1-b(n)] N2(n+1) Kêt hợp (A) (B) ta có hệ phương trình sai phân dạng ma trận: Y (n+1)= A(n).Y(n)+B(n) ( n=1,2,3,……) Với : [1-c(n)] γ3 α + β1 − γ A(n) = γ b(n) γ1 [1-a(n)] α + β2 − γ γ1 .a( n ) γ c ( n) γ [ − b( n )] α3 + β − γ Y(n) = (Y1(n), Y2(n),Y3(n)) C1* +I1* +N1* +b(n) N2* + [1 C(n)N3*] B (n)= C2* + I2* - N2* + C(n)N2* + [1-a(n)]N1* C3* + I3* - N3* +a(n)N1* + [1-b(n)]N2* Ta xét trường đặc biệt Giả sử : a(n) = a; b(n) = c(n) = c ta có A(n) = A , B(n) = B Khi hệ phơng trình có dạng : Y ( n +1) = A.Y ( n) + B Theo lý thuyêt PTSP ta tìm đợc nghiệm Y(n) hệ (1) : n −n Y(n) = A Y ( no ) + o n ∑A n− j B i =n0 +1 Nhờ có cơng thức người ta đến số kết luận cho trình phát triển kinh tế chung đa chiến lược kinh tế thích hợp Chẳng hạn sử dụng lý thuyết định tính PTSP với giả thiết thích hợp cho ma trận A B thay đổi tổng thu nhập kinh tế quốc dân Y(n) ổn định 47 3.2.2.Một ví dụ ứng dụng phương pháp giải hệ phương trình sai phân phương pháp ma trận Xét toán với giá tri ban dầu cho trước : U(n+1)= AU(n)+B , U(n 0) = U0 ( n = n 0, n0 +1, n0+2,… ) Sử dụng quy luật dãy số ta dễ dàng thấy B=0 : U(n)=AnU(1) Với B ≠ , có : U(1)= AU(0)+B , U(2)= A A U(0)+AB +B , U(3)=A3U(0)+ A2B + AB ,… Tương tự phương pháp quy nạp ta xác định công thức nghiệm hệ : U (n) = A n −no U (no ) + n ∑A n− j i =n0 +1 B = n = An −no U (no ) + A−n0 ∑An − j B = i =1 Chú ý : ( A n + A n −2 + + A + E )( E − M ) = ( E − A n ) Ta có : U (n) = A n−no U (no ) + A − n0 ( E − A n )( E − M ) −1 B Từ ta nhận thấy : Nếu ma trận An dần đến khơng n dần đến vơ cực ma trận U(n) tiệm cận đến giá trị cân F = A −n ( E − M ) −1 B Quay với lý thuyết ma trận ta thấy phần tử ma trận A dương tổng cột bé điều xảy 48 KẾT LUẬN Ngoài phần hệ thống kiến thức phương pháp sai phân luận văn nêu vấn đề sau: Phát biểu trình bày số chứng minh cơng thức giải PTSP hệ PTSP Hệ thống số tập ứng dụng phương trình sai phân tốn sơ cấp 3.Trình bày tốn “Mơ hình ngoại thương hai quốc gia” phương pháp ma trận ứng dụng việc nghiên cứu tính chất nghiêm hệ PTSP tương ứng Do điều kiện thời gian khả chưa cho phép nên luận văn để lại số hạn chế việc trình bày khái niệm Giải tích thang thời gian lý thuyêt phương trình sai phân cấp cao Các toán ứng dụng chương chưa dược tìm hiểu cách đầy đủ , bổ sung phát tiển thêm luận văn đạt yêu cầu hoàn thiện kể nội dung lý thuyết ứng dụng thưc tế 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Đình Thịnh ,Đặng Đình Châu, Lê Đình Đình Định ,Phan Văn Hạp (2001) Phương trình sai phân số ứng dụng [2] Ravi P.Agarwal Defferences equations and inequalities Copyright (c) (2000) by Marcel Dekker ,Inc.All Rights Rerserved [3] Samuel GoldBerg (1958) “Introduction to Differences Equations” [4] Martin Bohner ,Allan Peterson (2001) Dynamic Equatons on Time Scales (Missouri ,Nebraska) [5] Nguyễn Văn Mậu (2003) Chuyên đề “Các phép tính dãy số” 50 PHỤ LỤC Bài tập tương tự : Tính tổng sau: Sn = (12 + + 1).1! + (22 + + 1).2! + + (n2 + n + 1).n! Sn = sinx + sin2x + + sin nx Qn = cosx + cos2x + + cosnx Sn = 1.q + 2.q2 + + nqn (0 x1 = n(n + 1) xn+1 = (n + 2).(n + 3) (x n + 1) Bài tập tương tự: n > x1 = Nghiên cứu tính chất định tính Phương trình động lực cấp n thang thời gian úng dụng lý thuyết xử lý tín hiệu số 51 Mục lục Trang Phần mở đầu CHUƠNG I: PHUƠNG TRÌNH SAI PHÂN CẤP CAO 1.1 Khơng gian hàm thang thờii gian (TIMESCALE) 1.2 Phép tính sai phân 1.4 Phuơng trình sai phân cấp 1.4 Phuơng trình sai phân cấp hai CHUƠNG II: HỆ PHUƠNG TRÌNH SAI PHÂN 2.1 Hệ phương trình sai phân tuyến tính 2.2 Hệ phương trình sai phân tuyến tính khơng 2.3 Hệ phương trình sai phân `tuyến tính có nhiễu phi tuyến 2.4 Giải hệ phương trình sai phân với hệ số phương pháp ma trận 2.5 Giải hệ phương trình sai phân với hệ số phương pháp đa CHUƠNG III MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG CỦA PHUƠNG TRÌNH SAI PHÂN 3.1 Một số tốn ứng dụng phương trình sai phân tốn phổ thơng 52 ... )!! (2k + 1)!! 38 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 3.1 Một số ứng dụng phương trình sai phân cácac tốn phổ thơng: 3.1.1 Tính tổng dãy số nhờ tính chất sai phân: n −1 S n = ∑Δ(u(k))... thức (a), suy số tính chất sai phân sau 1.2.2 .Tính chất phép tính sai phân 1.2.2.1 Tính chất Sai phân cấp có biểu diễn qua giá trị hàm số Chứng minh Để chứng minh tính chất 1, ta chứng minh cồn... tỉ sai phân, ta gọi tắt sai phân hữu hạn sai phân, sai phân cấp gọi tăt sai phân 10 1.2.1.2 Định nghĩa Ta gọi sai phân cấp hàm xn sai phân sai phân cấp xn, nói chung sai phân cấp k hàm xn sai phân