LờI NóI ĐầU Các phép toán tenxơ có ứng dụng rộng rÃi ngành kỹ thuật, công cụ cho nghiên cứu ngành vật lý nh tĩnh học, môi trờng liên tục, trạng thái biến đổi không gian Trong khoá luận này, tập hợp trình bày chứng minh chi tiết tính chất tenxơ, tenxơ phản ứng số tính chất k-vectơ không gian giả ơclit Khoá luận đợc chia làm bài: Bài 1: Tenxơ Bài 2: Tenxơ phản ứng Bài 3: K-vectơ không gian với tích vô hớng Trong 1, trình bày khái niệm tenxơ, phép toán tenxơ, đồng thời chứng minh số tính chất liên quan nh: phép đổi số, tính chất tích tenxơ Trong 2, trình bày khái niệm tenxơ phản ứng ánh xạ phản xứng hoá, tính tenxơ phản xứng Chứng minh số tính chất ánh xạ phản xứng hoá, tích chứng minh đợc sở không gian tenxơ phản xứng Trong 3, trình bày khái niệm tích vô hớng k-vectơ đơn số tính chất k-vectơ đơn không gian với tích vô hớng Khoá luận đợc hoàn thành vào tháng năm 2011 trờng Đại học Vinh dới hớng dẫn thầy giáo T.S Nguyễn Duy Bình Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Chúng xin cảm ơn thầy cô giáo khoa toán, bạn bè gia đình đà tạo điều kiện cho hoàn thành khoá luận Xin chân thành cảm ơn! Sinh viên thực hiện: Là Thị Quế Bài 1: Tenxơ 1.1 Định nghĩa Cho V, W không gian trờng K, V* không gian đối ngẫu V ánh xạ (r + s) tuyến tính f: V * V *  V * V V  V  W r - lÇn s - lÇn Gọi tenxơ r - lần phản biến, s- lần hiệp biến hay tenxơ kiểu (r , s ) V nhận giá trị W Kí hiệu: Tsr V ,W = {f, f tenxơ kiểu (r,s) V, nhận giá trị W} Tsr V , | R  = Tsr V  Tsr V  = Ts (V ) ; T0r V  = T r V  Tsr V  cïng víi hai phÐp to¸n: cộng ánh xạ nhân vô hớng ánh xạ với số thực không gian vectơ Tenxơ Ts (V ) gọi hiệp biến đối xứng nÕu  (v1 , , vs )  (v (1) , , v ( s ) ) Víi v1 v s  V, mäi phÐp thÕ  cña tËp {1, 2, s} Tơng tự ta có khái niệm tenxơ phản biến đối xứng Tenxơ Ts (V ) gọi hiệp biến phản đối xứng nếu: (v1 , , v s ) sign  (v (1) , , v ( s ) ) Giả sử u1, ur hệ vectơ không gian V , ., s hệ vectơ không gian V* Khi đó, phần tử u1 ur      s lµ ánh xạ (r + s) tuyến tính Xác định bởi: u1   ur      s ( b1 , b r , v1 , .v r ) = b1  u1  b1  u r   v1    v s  Víi v1 v s  V, b1 b r  V* Ta gäi u1   ur      s vectơ đơn kiểu (r,s) Phép tính ta có tính chất đa tuyến tính 1.2 VÝ dô: i T10 (V ) = {f: V  R, f tuyến tính } = V* Mỗi phần tử V* (còn gọi đối vectơ) tenxơ kiÓu (0, 1) ii T10 (V ) = {f: V* R, f tuyến tính} = (V*)* V Mỗi vectơ thuộc V tenxơ kiểu (0,1) iii Tenxơ T11 (V ) xác định : V * V  R ( f , v )  f (v ) Gọi tenxơ Delta Kronecker iv T20 (V ) = {f: V V  R, f song tuyÕn tÝnh) Mỗi dạng song tuyến tính V tenxơ kiểu (0, 2) Nếu f dạng song tuyến tính đối xứng V f tenxơ 2-lần hiệp biến đối xứng 1.3 Mệnh đề Giả sử e1 en sở không gian V, e1 e n sở đối ngẫu cđa  e1 en  , tøc lµ e i e j  ij Khi ®ã tËp  ei   ei  e j  . e js , i1 .,ir , j1 ., js  1, n (1) sở 1 r Tsr V  Tõ ®ã suy dim Tsr V  = n r s .,i j   e j NÕu T  Tsr V  th× T  T ji ., j ei  ei  e r s s s r j j .,i Trong ®ã: T ji ., j = T (ei , ei ,.e , , e )  R r s s s r ,i Bé hệ số T ji ., j gọi toạ độ tenxơ T sở (1) hay gọi toạ độ r s tenxơ T ®èi víi c¬ së  e1 en  cđa V Chøng minh: j .,i j Gi¶ sư: T  T ji ., j ei  ei  e   e = 0; i1 ., ir , j1 ., j s 1, n T  i1 ., ir j1 ., j s r s 1 s r ei1  eir  e js   e js (e k1 , e kr , el1 .,els ) = Víi e k , e kr  V*, el ., els  V; k1 ., k r , l1 ., ls 1, n 1 , ir k1 kr j1 js  T  T ji11 ., j s e (ei1 ) e (eir )e (el1 ) e (el s ) 0 k r  Tl1k 0 ;  k1 ., k r , l1 ., l s 1, n ls ,ir = 0;  i1 ., ir , j1 ., js 1, n  T ji11 ., js VËy hÖ (1) hệ độc lập tuyến tính Mặt khác, với T  Tsr V  ,  , .,  r  V*, v1 ., v s  V Ta cã: js j1 i1 r ir T ( , .,  r , v1 ., vs ) = T(   i1 e , ,   ir e ,   e j1 , ,   s e js ) i1 =  = T = T i1 r1 j1 js  irr 1j1 . sjs T (e i1 , , eir , e j1 , , e js ) i1 .,ir j1 ., js      eiỴi . r eiỴi e j1  v1  , e js  v s   i1 .,ir j1 ., js iỴi e   eiỴi  e j1   e js  , , r , v1 , vs  r   , ,  , v1 , vs   i ., i j j  T=  T j11 ., jrs eiỴi   eiỴi  e  e s Vậy hệ (1) sở hÖ Tsr V   dim Tsr V  = n r s 1.4 Mệnh đề Cho V không gian hữu hạn chiều Khi đó: i T11 V  L(V,V) T210 V  L (V,V*) ii Tsr V   Tsr11 (V) Tsr V   Tsr11 (V) Chøng minh; i f: V  V tuyÕn tÝnh, f  L(V,V) LÊy f  T11 V  ; f : V* x V  R (a,v)  f (a,v) = a(f(v)) Xét ánh xạ: : L (V,V) T11 V  f f Ta chøng minh  lµ ®¼ng cÊu tuyÕn tÝnh LÊy f, g  L(V,V) = f  g (a, v) = a (f  g )(v)  = a   v    g  v   =  a( f (v)  a( g (v)) =  f  a, v    g  a, v  = ( ( f )   ( g ))(a, v) ; (a, v) V * V   (f  g )  ( f )   ( g ) Vậy ánh xạ tuyến tính Lấy f,g  L(V,V) Gi¶ sư  ( f )  ( g )  f g  f (a, v) g (a, v) ; (a, v ) V * V  a ( f (v)) a ( g (v))  f(v) = g(v) ; v  V  f=g VËy  đơn ánh Mặt khác dimL(V,V) = dim T11 V = n2 Suy ra, đẳng cấu tuyến tính  L(V,V)  T11 V  * LÊy   T2 (V ) ,: V V  |R  u, v  f  L(V ,V * ) , f : ;    u, v  V  V* u f (u ) Xét ánh xạ  : T2 (V )  L(V ,V * ) Trong ®ã  (u ), (v)  (u , v)    ( )  Ta chøng minh đẳng cấu tuyến tính Lấy , T2 (V ) ;  ,   R Ta cã:     (u )(v ) =    (u )(v) =    (u )(v) =   u, v     u, v  =   u  v      u  v  =     u  v  ; u, v V =         u  v  ; u, v V              ánh xạ tuyến tính Lấy , T2 (V ) Khi đó,  u, v  V V cho"   u , v    u , v     u  v    u  v      u  v     u  v    Vậy đơn ánh Mặt kh¸c, dim T2 (V ) = dim LV ,V * n Vậy đẳng cấu tuyến tính  T2 (V )  LV ,V *  ii Ta cần chứng minh bổ đề: Cho V không gian hữu hạn chiều, V * không gian đối ngẫu V Khi đó, V V* V không gian với tích vô hớng Xét ánh xạ: f : V  V* u Trong ®ã: fu fu  R v u.v Ta chứng minh f đẳng cÊu tuyÕn tÝnh Víi u1, u2  V,  ,   R Ta cã: f (u1  u )(v) = f  u   u (v ) = (u1  u )(v) = u1v  u v =  fu1 (v)   fu (v) = ( fu1   fu )(v) = ( f (u1 )   f (u )(v) ; v V  f (u1  u )(v) =  f (u1 )   f (u )  f tuyÕn tÝnh LÊy u1, u2  V Gi¶ sư f (u1 ) = f (u )  f u1 (v )  f u (v) ; v  V  u1v u v   u1  u v 0 u1 = u2 Vậy f đơn ánh Mặt khác, dimV = dim V* = n Vậy f ®¼ng cÊu tun tÝnh  V  V* - Víi f  Tsr V  , xÐt g  Tsr11 (V) Xác định bởi: g ( , , r , vs , v1 , ,vs  )  f ( , , r , vs , v1 , ,vs ) Trong ®ã:  vs : v R u u vs Xét ánh xạ: : Tsr V   Tsr11 (V) f   ( f ) g Ta chứng minh đẳng cấu tuyến tÝnh + LÊy f1, f2  Tsr11 (V)  ,   R;  ( f1 ) g1 ;  ( f )  g  (f1  f )( ., r , vs , v1 , , vs ) = g ( .,  r ,  v , v1 , , vs ) s = (f1  f )( ., r , v1 , , vs ) = (f1 )( .,  r , v1 , , vs )  ( f )( .,  r , v1 , , vs ) = f1 ( ,  r , v1 , , vs )  f ( ,  r , v1 , , vs ) = g1 ( , r , v , v1 , ,vs  )   g ( ., r , v , v1 , ,vs  ) s s = ( ( f1 )   ( f ))( ,  r ,  v , v1 , , vs ) s ;  11 , , r , v1 , , vs =  (f1  f )  ( f1 )   ( f ) LÊy f1, f2  Tsr V  Gi¶ sư f1 f2 tồn ( ., r , v1 , , v s ) cho: f1 ( , r , v1 , , vs )  f ( ., r , v1 , , vs )  g1 ( ., r , vs , v1 , , vs  ) g ( ., r , vs , v1 , , vs  )   ( f1 )( ,  r ,  vs , v1 , , vs  )  ( f )( ,  r ,  vs , v1 , , vs  )   ( f1 ) = ( f ) Vậy đơn ánh Mặt khác, dim Tsr V = dim Tsr11 (V) = n r s Vậy đẳng cấu tuyến tÝnh  Tsr V   Tsr11 (V) Chøng minh t¬ng tù ta cã: Tsr V   Tsr11 (V) 1.5 Nhận xét i Khi V không gian hữu hạn chiều, tenxơ có nhiều cách thể khác Tsr V đợc xem nh phần tử Ts (V, Tr(V)) Mỗi phần tử (Hoặc phần tử Tr (V, Ts (V)) Xác định (v1 , , vs )( .,  r ) =  ( ., r , v1 , , vs ) Mỗi phần tử Trr ' (V ) đợc xem nh phần tử Tr(V), Tr'(V) Xác định bởi:  (v1 , vr )(u1 , , u r ' ) =  (v1 , vr , u1 , , u r ' ) i i i ii NÕu  , Tsr V có toạ độ tơng øng lµ  ij j ; j j 1 r s e s  Khi ®ã: i i i Tỉng  +  cã toạ độ: ij j j j 1 r s i Víi R, có toạ độ ij j 1 e s  r s 1.6 Mệnh đề k1 k r i Giả sử ij j vµ  p1 ps lµ toạ độ tenxơ tơng ứng với sở {e ,en} vµ r s   ,  n  cđa V Khi ®ã: ir  ij11 js =  ( k )( l ) k1 k r p1 ps a ki11 .a kirr1 b lj11 .b ljss Trong ®ã, A =( aij ) lµ ma trËn chun tõ {e1 ,en}    ,  n  B = A-1 = ( bi j ) Chøng minh: Gi¶ sư {e1 ,en},   ,  n  t¬ng øng sở đối ngẫu {e1 ,en}   ,  n  Do A lµ ma trËn chuyÓn tõ {e1 ,en}    ,  n  n   i  aik e k k 1 B = A-1 lµ ma trËn chuyÓn tõ {e1 ,en}    ,  n  n   i  bik e k k 1 V×  i1 ir j1 j s toạ độ sở {e1 ,en} js i1 ir j1      j1 js ei1   eir  e   e ; i1 , , ir ; j1 , , j s 1, n ( k )( l ) (1) lk11 lsk r toạ độ đối víi c¬ së   ,  n  k1 k r l1 ls      l1 ls  k1  . kr     ( k )( l ) = =  ( k )( l ) k1 k r l1 ls   ( k )(l ) ( i )( j ) ( aki11 ei1 )   ( akirr eie )  ( a lj11 e js )   ( a ljss e js ) i1 k1 k r l1 l s ir j1 jr aki11 akirr b lj11 b ljss (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra:  i1 ir j1 js l k k i i l =   l l ak ak b j .b j ( k )( l ) r s r s r s 1.7 NhËn xÐt Theo c«ng thøc 1.6 ta cã: i + i j b j công thức biến đổi toạ độ tenxơ kiểu (0,1) i, j j j j + bi công thức đổi toạ độ tenxơ kiểu (1,0) i, j i j +  ij   kl bk bl công thức đổi toạ độ dạng song tuyến tính i, j 1.8 Định nghĩa: Giả sử Tsr V  ,   Tl k (V ) , tích tenxơ tenxơ kÝ hiƯu lµ    Tsrl k (V ) Xác định bởi: ( , , r k , v1 , , vs l ) =  ( , , r , v1 , , vs ). ( r 1 , , r k , vs 1 , , vs l ) Gi¶ sư  , ,  Tsr V  ,  ,1 ,  Tl k (V ) Khi tích tenxơ có tính chất sau: (   )         (1  )  1    ( )    ( )   ,   Ø | R 1.9 VÝ dơ: i   T11 (V ) th×   ij ei  e j ,  ij  (ei , e j ) ii   T12 (V ) , V cã c¬ së {e1, e2}; V* cã c¬ së {e1, e2}  2e1  e1  e1  3e1  e1  e  4e1  e2  e1  6e1  e2  e  3e2  e1  e1  e2  e1  e  2e2  e2  e1  5e2  e2  e Khi ®ã  có toạ độ sở {e1, e2} V lµ  (2;3;4;6; 3;1; 2;5) iii Cho V lµ không gian n chiều có sở {e 1, ,en} Khi V* có sở đối ngẫu tơng ứng {e1, ,en} n n i 1 i 1 g,h  V*, g  g i e i , h  hi e i LÊy   T (V ) ,  : V*  V*  R n (g,h)   ( g , h)  g i hi i 1   T11 (V ) ,  : V*  V*  R Khi ®ã,   : (f,v)  f(v) V*  V* V*  V  R n (g,h,f,v)   g h f (v ) i i i Bài 2: Tenxơ phản xứng 2.1 Định nghĩa Giả sử V không gian hữu hạn chiều Tenxơ Tk (V ) gọi phản ứng đối xứng nếu: (v1 , , vi , , v j , vk )   (v1 , , vi , , v j , vk ) Ký hiÖu:  k V {  T k (V ) , phản đối xứng} Anh xạ phản ứng ho¸: Altk: Tk (V )   k V x¸c ®Þnh bëi Alt k ( )(v1 , , vk )   sign (v (1) , ,v ( k ) ) k!  Sk  lµ phÐp thÕ cđa tập {1, ,k}, Sk nhóm phép bậc k Cho tenxơ phản ứng k V ,    l V TÝch ngoµi tenxơ phản đối xứng kÝ hiÖu      k l V đợc xác định bởi: (v1 , vk , vk 1 , , vk l ) = (k  l )! k l Alt (   )(v1 , vk , vk 1 , , vk l ) k!l! =  sign (v (1) , ,v ( k ) ). (v ( k 1) , ,v ( k l ) k!l!  Sk l 2.2 MÖnh ®Ị i    k V th× Alt k ( )  ii   Tk (V ) th× Alt k ( Alt k ( ))  Alt k ( ) iii   Tk (V ) ;   Tl (V ) NÕu Alt l (  ) 0 th× Alt k l (    )  Alt k l (   ) 0 Alt k l ( Alt k (   )  Alt k l (   ) Alt k l ( Alt k   Alt k  )  Alt k l (   ) iv Alt(    )  Alt( Alt(    )) alt (  alt (   )) Chøng minh: i Giả sử (ij) phép hoán vị số i, j để nguyên số lại Với S k , đặt ' (ij ) Khi ®ã: Alt k ( )(v1 , , vi , , v j , , vk )  =  sign  (v (1) , ,v ( j ) , , v (i ) , , v ( k ) ) k!  Sk  sign  (v '(1) , ,v '(i ) , , v '( j ) , , v '( k ) k!  Sk 10  sign  (v '(1) , ,v '(i ) , ,v '( j ) , , v '( k ) k!  'Sk = = - Alt k ( )(v1 , v(i ) , , v( j ) , , v( k ) ) VËy Alt k ( )   k V NÕu    k V , ®ã víi (v1 , , vk )  V,   S k th×  (v (1) , , v ( k ) ) sign (v1 , , vk ) Do ®ã: Alt k ( )(v1 , , vk ) =  sign (v (1) , ., v ( k ) ) k!  Sk = ( sign )  (v1 , ., vk )  k!  Sk =  (v1 , ., vk ) ; v1 , vk  V  Alt ( )  ii Suy tõ i k l  (v v ) (v iii Alt (   )(v1 , , vk l )   S (1 ) (k) ( k 1 ) .v ( k l ) ) k l Gäi G  S k l tập phép cho: k k+1 k+l   (1)  (2)  (k ) k+1 k+l Khi ®ã:  sign  (v (1) , v ( k ) ). (v ( k 1) , v ( k l ) )  S k l  =   sign  (v  'S k l '(1)  , v '( k ) ). (v '( k 1) , v '( k l ) )  Gi¶ sư:  G Đặt Go :   G vµ v (1) , , v ( k l )   w1 , , wk l  Khi ®ã:   =  sign   (v '(1) , v '( k ) ). (v '( k 1) , v '( k l ) ) =    'G Ta thÊy G  G  v× lÊy   G  G Khi ®ã   '. ,  ' G 0 Suy ra,   ( ' )   G (M©u thn víi gi¶ sư  G ) TiÕp tơc chia S k l thành tập không giao mà tổng lấy theo tập cho nªn tỉng:  sign  (v  S k l (1) , v ( k ) ). (v ( k 1) , v ( k l ) ) = ; vi V 11  Alt (    ) 0 Chøng minh t¬ng tù ta cã: Alt (   ) 0 + Víi   S k , Tk (V ) Đặt (v1 , , vk ) =  (v (1) , , v ( k ) ) Ta cã: Alt ( )(v1 , , vk ) = Alt ( )(v (1) , , v ( k ) ) ; =  sign (v (1) , ., v ( k ) ) k!  Sk =  (sign )  (v (1) , ., v ( k ) ) k!  Sk = sign Alt ( )(v1 , , vk ) ; (v1 , , vk )  V  Alt ( ) signAlt ( ) ; Alt ( )   ( sign )  Ta cã: Alt k l (   ) = Alt k l    S k    ( sign )         k!  Sk     = Alt k l    ( sign (        k!  S   k =  (sign Alt k l     k!  Sk Víi   S k lÊy  ' S k l cho: Khi ®ã:  (i )  ' (i )  ' (i ) i nÕu i k ik sign sign ' vµ     ' (   ) VËy: sign Alt k l (   ) sign ' Alt k l  ' (   )  Alt k l ( Alt k    ) = =  sign ' Alt k l '     k!  Sk sign ' sign '.Alt k l      k!  Sk =     k l 1 Alt     k!   S k  = Alt k l     Chøng minh t¬ng tù: Alt k l  Alt k  Alt l   = Alt k l     iv Ta cã: Alt  Alt            Alt       Alt      0 12 Theo (iii) = Alt    Alt            = Alt   Alt       Alt        VËy Alt ( Alt (   ))  Alt (    )  Alt (  Alt (   )) 2.3 MƯnh ®Ị Cho    k V ,    l V ,  m V i ánh xạ : k V   l V   k l V        lµ song tuyÕn tÝnh ii    =   1 kl    iii              Chøng minh: i LÊy  , 1 ,    k V ,  , 1 ,    l V       =  k  l ! Alt k l   =  k  l ! Alt k l  k!l! k!l!   1 2        2    (k  l )! [ Alt k l (   )  Alt k l (   )] k!l! (k  l )! (k  l )! Alt k l (1   )  Alt k l (   ) k!l! k!l! 1       Chøng minh t¬ng tù ta cã   ( 1   )   1     ( )     ( )    Vậy ánh xạ song tuyến tính ii Xét R   S k l k k+1 k+l 0  13 k+1 k+2 k+l sign ( 1) kl Khi ®ã: k Nh vËy: Alt (   )(v1 , , vk l )   sign (v (1) , , v ( k ) ). (v ( k 1) , , v ( k l ) ) (k  l )!  S k l  sign '  (v '(1) , , v '( k ) ). (v '( k 1) , , v '( k l ) ) ( k  l )! = (Víi  '   ) (  1) kl Alt (    )(v1 , , vk l ) = ;  v1 , , vk l  V     (  1) kl    iii   (   ) = ( k  l  m)! Alt (  (   )) k!(l  m)! = (k  l  m)! (l  m)! Alt (  Alt (   )) k!(l  m)! l!m! = (k  l  m)! Alt (  (    )) k!l!m! = (k  l  m)! Alt (     ) k!l! m! T¬ng tù (   )   = Tõ (1) vµ (2) suy ra: (1) (k  l  m)! Alt (     ) k!l! m! (2)   (    ) = (  ) 2.4 Định lý Giả sử.{ e1 , e n } sở V * sở k V { e i1   e ik ,1 i1   ik n } Tõ ®ã suy dim  k V Cnk Chøng minh Gi¶ sư: a  i1 ik a i1 ik e i1   e ik (e j1 , , e jk ) 0 a i1 ik e i1 (e j1 ) e ik (e jk ) 0 (i )  e i1   e ik 0, ai1 ik  R,1 i1   ik n (i ) 14  a j1 jk 0 ; 1  j1   jk n  ai1 ik 0 ; 1 i1   ik n VËy hÖ (1) ®éc lËp tuyÕn tÝnh NÕu   k V    Tk (V )  a i1 i k ei1   ei k j j Do   Alt ( )  i Alt e   e (i ) k ; i  (ei .ei ) k k k Vì tích e j   e j kh¸c víi Alt e i   e i  t¬ng øng bëi h»ng sè nªn k k { e i   e i ,1 i1   ik n } lµ hƯ sinh cđa  k V k VËy { e i   e i ,1 i1   ik n } lµ c¬ së cđa  k k V  dim k V C nk 2.5 Định nghĩa Giả sử V không gian n chiều, tenxơ gọi phản ®èi xøng nÕu:  ( , , i ,  j , , k )   ( , , i ,  j , , k ) Từ định nghĩa ta có T k (v) phản đối xứng ( . k ) sign (  (1)  ( k ) )  lµ phÐp thÕ cđa tËp {1,2, ,k};  . k V * Đặt ={ T k (v), phản đối xứng} ánh xạ phản xứng hoá Alt k : T k (V )   k V xác định Alt k ( )(u u k )   sign (u (1) .u ( k ) ) k! Sk  lµ phÐp thÕ cđa tËp {1,2, k} Cho tenxơ phản xứng k V ,    l V TÝch tenxơ phản xứng thuéc  k l V , ký hiÖu   xác định bởi: (u , ., u k , u k 1 , u k l )  = (k  l )! k l Alt (   )(u , ., u k , u k 1 , u k l ) k!l!  sign (u (1) .u ( k ) ). (u ( k 1) , u ( k l ) ) k!l! Sk l 2.6 NhËn xÐt Gi¶ sư V không gian hữu hạn chiều v1 , , vk V Tích k vectơ v1, , vk đợc xác định 15 v1 vk   sign.v (1)  v( k ) S k Víi v1 , , vk V vµ v1 vk đợc gọi k - vectơ ®¬n 2.7 MƯnh ®Ị Cho l m    k V ,    V ,   V Khi : i, ánh xạ: :  k V  l V   k l V lµ song tuyÕn tÝnh ( ,  )     ii,    ( 1) kl    iii,   (   ) (   )   Chøng minh T¬ng tù nh mệnh đề 2.3 2.8 Định lý Giả sử { e1 , , en } sở V k V có sở { ei1   eik ,1 i1   ik n } Tõ ®ã suy : dim  k V = Cnk Chứng minh Tơng tự nh định lý 2.4 2.9 Mệnh đề Các vectơ v1 , , v k v hệ độc lập tuyến tính vµ chØ v1   vk 0 Chøng minh NÕu v1   vk 0 ta chøng minh { v1 , , vk } ®éc lËp tun tÝnh Gi¶ sư { v1 , , vk } hệ phụ thuộc tuyến tính đó, tồn vectơ biểu diễn đợc qua vectơ lại chẳng hạn: v k 1v1 k 1v k   v1   vk v1   (1v1   k  1vk  ) 0 (m©u thuÉn) VËy v1   vk 0 th× hƯ { v1 , , vk } độc lập tuyến tính Mặt khác, giả sư { v1 , , vk } ®éc lËp tun tÝnh Gäi { y , , y k } đối ngẫu { v1 , , vk } ®ã: y1   y k (v1   vk )  y1 (v1 ) y1 (vk ) y k (v1 ) y k (vk ) 0 Do ®ã : v1   vk 0 VËy v1   vk 0  { v1 , , vk } ®éc lËp tuyÕn tÝnh 16 Bài K-VECTƠ TRÊN KHÔNG GIAN VớI TíCH VÔ HƯớNG 3.1 Định nghĩa Cho V không gian vectơ thực g: V V R dạng song tuyến tính đối xứng V Giả sử { e1 , en } sở V , u =( u1 , u n ), v (v1 , ) V Ta cã: g (u, v)  g ij ui v j i, j g ij  g (ei , e j ) ( g ij ) gäi ma trận dạng song tuyến tính g đối víi c¬ së { e1 , en } NÕu g dạng song tuyến tính đối xứng ( g ij ) ma trận đối xứng Dạng song tuyến tính g đợc gọi là: Xác định dơng g (u, u )  0, u 0  V Xác định âm g (u, u ) 0, u 0  V Mét d¹ng song tuyÕn tÝnh đối xứng gọi không suy biến ma trận sở không suy biến Một dạng song tuyến tính đối xứng, không suy biến V gọi tích vô hớng V, Ta kí hiệu tích vô hớng vectơ u,v u.v hay (u,v) Giả sử V không gian với tích vô hớng u V, ®ã u  | u, u | 1 th× u đợc gọi vectơ đơn vị V Tích vô hớng g xác định dơng đợc gọi tích vô hớng ơclit, tích vô hớng g không xác định dơng đợc gọi tích vô hớng giả ơclit Giả sử V không gian với tích vô hớng g,chỉ số k (k= 0, n ) vµ { e1 , en } sở V cho i j 17 g (ei , e j ) = -1 nÕu i  j k nÕu k 1 i  j n { e1 , en } gọi sở trực chuẩn V Cho V không gian với tích vô hớng g, không gian W V gọi không suy biến g/W không suy biến Giả sử V không gian n chiều với tích vô hớng k V không gian với tích vô hớng đợc cảm sinh từ tích vô hớng V đợc xác định bởi: u1v1  u1vk   u1   v1 , v1   vk   u k v1  .u k vk  Víi u1 , , u k , v1 , , vk V vµ mở rộng tuyến tính phần tử thuộc k V ánh xạ g: k V k V R dạng song tuyến tÝnh, ®èi xøng ( ,  )   , 3.2 Mệnh đề Cho V không gian víi tÝch v« híng n chiỊu, chØ sè  Khi k V không gian với tích vô hớng C nk chiều có có số lµ p  C Cnk ( p  1) p  1X Trong ®ã: X {2p - 1 N : 2p -  ,2p - k, k - (2p - 1) n - } Chứng minh Giả sử { e1 , en } sở trực chuẩn V đó, k V cã c¬ së { ei1  , eik , i1   ik n } ta cã  ei  , ei , e j  , e j  k k nÕu (i1 , ik ) ( j1 , , jk ) 1 nÕu (i1 , ik ) ( j1 , , jk )  ei1  , eik , ei1  , eik  = -1  Trong vect¬ ei1 , , eik có số lẻ vectơ ei cho: e i ,e i  T¬ng øng với số lẻ p k , p vectơ ei thoả mÃn e i ,e i  th× cã k  (2 p 1) vectơ ei thoả mÃn e i ,e i n vectơ lại Vậy tơng ứng với số lẻ (2 p 1) có số k- vectơ đơn đơn vị ei , ei k mà có (2 p 1) vectơ bình phơng lên -1 lµ C 2 p  : C nk ( p  1) §iỊu kiƯn: p   , p  k , k  (2 p 1) n 18 Đặt X ={ p  n , p   , (2 p  1) k , k  (2 p  1) n   } Sè k vectơ đơn vị k V thoả mÃn  ei   ei , ei   ei 1 lµ p  C k * k Cnk ( p  1) p  1X p k  ( p  1) Hay kh«ng gian  k V cã chØ sè lµ :  C Cn  p  1X 3.3 Hệ Nếu V không gian xác định dơng k V không gian định dơng Nếu V không gian xác định âm k V không gian xác định dơng k chẵn xác định âm k lẻ Chứng minh V xác định dơng k V xác định dơng ( hiển nhiên) V xác định âm , không gian V có số n NÕu k ch½n  X {2p - 1 N : 2p - n, 2p - k,2p - k} X Tức không tồn k-vectơ đơn đơn vị ei1 eik cho  ei1   eik , ei1   eik Vậy k V xác định dơng Nếu k lỴ  X {2p - 1 N : 2p - n, 2p - k,2p - k}  X {2p - 1 N : 2p - k n} {k} Theo mệnh đề 3.2 k V cã chØ sè lµ C p  1X p n C00 C nk = dim  k V Vậy k V xác định âm 3.4 Bất đẳng thức Schwart V Cho V không gian với tích vô hớng ánh xạ b: v  v ®ã b(u ) : V  R u  b(u ) v   u, v đẳng cấu tuyến tính Mở rộng, ta có đẳng cấu tuyến tính b : k V ( k V )* : xác định bởi: b(v1  ,  v k ) b(v1 )   b(v k ); v1 , v k  V ®ã, víi u , v  v ta có đẳng thức u , v  u  v, u  v u , u   v, v  Chøng minh 19 Ta cã: b(v1  ,  v k )(v1  ,  v k ) b(v1 )   b(v k ); v1 , vk b(v1 )(v1 ) b(v1 )(vk )  v1 , v1   v1 , vk  =  b(vk )(v1 ) b(vk )(vk )  vk , v1   vk , vk  =  v1  vk , v1   vk  Víi u, v  v ta cã:  u  v, u  v  = b(u  v)(u  v) b(u )  b(v)(u  v ) = b(u )(u ).b(v)(v)  b(u )(v).b(v)(u ) =  u , u   v, v    u , v   u  v, u  v    u, v  u , u   v, v  Tõ hƯ qu¶ 3.3 suy V xác định dơng xác định âm  u,v    u , u  v, v (1) Bất đẳng thức (1) gọi bất đẳng thức Schwart V 3.5 Mệnh đề Cho V không gian với tích vô hớng g , v1 , vk  V vµ v1  vk o đặt W v1 , , vk không gian sinh vectơ v1 , vk , ®ã, W suy biÕn  v1   vk , v1  .vk o Chøng minh W suy biÕn  g/ W suy biÕn  Ma trận g sở V suy biến Mặt khác v1  vk o  {v1 , , vk } ®éc lËp tuyÕn tÝnh  {v1 , , vk } lµ c¬ së cđa W VËy g|( v , ,v )| suy biÕn i, j 1, k k  ( g (vi , v j ) ) lµ ma trËn suy biÕn i, j 1, k  v1 , v1   v1 , vk   0  vk , v1   vk , vk    v1   vk , v1 .vk o 3.6 Mệnh đề Cho V không gian víi tÝch v« híng W k  V không gian không chiều không suy biến Đặt X W k V Định hớng không suy biÕn} 20 ...  j ? ?k nÕu k 1 i  j n { e1 , en } gọi sở trực chuẩn V Cho V không gian với tích vô hớng g, không gian W V gọi không suy biến g/W không suy biến Giả sử V không gian n chiều với tích vô hớng... v1 , vk   0  vk , v1   vk , vk    v1   vk , v1 .vk o 3.6 Mệnh đề Cho V không gian víi tÝch v« híng W k  V không gian không chiều không suy biến Đặt X W k V Định hớng không. .. gọi vectơ đơn vị V Tích vô hớng g xác định dơng đợc gọi tích vô hớng ơclit, tích vô hớng g không xác định dơng đợc gọi tích vô hớng giả ơclit Giả sử V không gian với tích vô hớng g,chỉ số k (k=