Bộ giáo dục và đào tạo trờng đại học vinh . . Hoàng thị thu hiền Sự phân tích Môđun tựa liên tục thành tổng trực tiếp Luận văn thạc sỹ toán học vinh - 2007 1 Bộ giáo dục và đào tạo trờng đại học vinh . . Hoàng thị thu hiền Sự phân tích Môđun tựa liên tục thành tổng trực tiếp Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.05 Luận văn thạc sỹ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: ts. Chu trọng thanh vinh - 2007 2 Mục lục Trang Mục lục 1 Danh mục các ký hiệu, chữ cái viết tắt 2 Mở đầu 3 Chơng 1 - Những kiến thức cơ sở về vành và môđun. 1.1. Môđun con cốt yếu, môđun con đối cốt 6 1.2. Môđun con bù giao, môđun con bù cộng 7 1.3. Môđun đều và môđun có chiều Goldie hữu hạn 9 1.4. Môđun suy biến 12 1.5. Môđun nội xạ 13 Chơng 2 Sự phân tích môđun tựa liên tục thành tổng trực tiếp. 2.1. Các điều kiện C 1 , C 2 , C 3 15 2.2. Một số đặc trng của môđun tựa liên tục 20 2.3. Tổng trực tiếp các môđun tựa liên tục 27 2.4. Sự phân tích môđun tựa liên tục thành tổng trực tiếp của các môđun con suy biến cấp 2 và môđun con không suy biến 30 2.5. Sự phân tích môđun tựa liên tục thành tổng trực tiếp các môđun con không phân tích đợc 31 2.6. Sự phân tích môđun tựa liên tục thành tổng trực tiếp các môđun con hữu hạn trực tiếp và vô hạn thuần tuý trực giao. 37 Kết luận của luận văn Tài liệu tham khảo 3 Danh môc c¸c ký hiÖu C¸c ký hiÖu ®îc sö dông trong luËn v¨n chñ yÕu theo S. H. Mohamed – B. J. Muller [7], F. W. Anderson- K. R. Fuller [3], N. V. Dung – D. V. Huynh – P. F. Smith – R. Wisbauer [4], D. W. Sharpe - P. Vamos [9]. Sau ®©y lµ mét sè ký hiÖu ®îc sö dông nhiÒu nhÊt. MK ⊆ : K lµ m«®un con cña M. MK e ⊆ : K lµ m«®un con cèt yÕu cña M. K<< M : K lµ m«®un con ®èi cèt yÕu cña M. MK ⊕ ⊂ : K lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M. i Ii M ⊕ ∈ : Tæng trùc tiÕp c¸c m«®un con M i . E(M) : Bao néi x¹ cña m«®un M. E A (M) : Bao A – néi x¹ cña m«®un M. J(M) : C¨n cña m«®un M. N – néi x¹ : Thuéc tÝnh néi x¹ ®èi víi m«®un N. 4 Mở đầu I. lịch sử nghiên cứu vấn đề và lý do chọn đề tài Tính chất của vành cơ sở và tính chất của phạm trù môđun trên vành đó có mối liên hệ mật thiết với nhau. Việc nghiên cứu tính chất của các lớp môđun trên những vành thỏa mãn những điều kiện cho trớc đã đợc chú ý từ lâu. Từ những năm giữa thế kỷ XX nhiều tác giả đã chú ý nghiên cứu những vấn đề theo chiều ngợc lại. Từ việc khảo sát tính chất của các lớp môđun nội xạ, lớp môđun xạ ảnh, ngời ta đã thu đợc nhiều tính chất đặc trng cho các lớp vành quan trọng nh vành Noether, vành Artin. Vành nửa đơn,.Từ những năm 70 80 của thế kỷ XX một số tác giả đã mở rộng các lớp môđun này và thu đợc nhiều kết quả thú vị. Những kết quả đó đã nhanh chóng đợc áp dụng vào nghiên cứu các đặc trng vành. Nhiều kết quả của các tác giả Oshiro, P. F. Smith, Osofsky, Đinh văn Huỳnh, Nguyễn Việt Dũng, Phan Dân, Ngô Sỹ Tùng.đã góp phần làm phong phú Lý thuyết vành và môđun. Trong các lớp môđun đợc mở rộng từ lớp môđun nội xạ, lớp môđun liên tục và lớp môđun tựa liên tục có nhiều tính chất thú vị và đã đợc nhiều ngời quan tâm. Vào những năm cuối thế kỷ XX nhiều tác giả nghiên cứu về các lớp môđun này và có đợc nhiều phát hiện mới nh P. F. Smith, A. Tercan và một số tác giả khác. ở trong nớc, dới sự hớng dẫn của GS. TSKH Đinh Văn Hùynh, đã có nhiều đề tài luận án Tiến sĩ đợc nghiên cứu có liên quan đến lớp môđun tựa liên tục và các mở rộng của nó. Chúng tôi nhận thấy nhiều vấn đề hấp dẫn về lớp môđun tựa liên tục và ứng dụng của nó đang còn cần tiếp tục nghiên cứu. Trong các vấn đề đó có những vấn đề liên quan đến tổng trực tiếp của các môđun tựa liên tục và sự phân tích một môđun tựa liên tục thành tổng trực tiếp các môđun con thực sự của nó. Do đó chúng tôi chọn đề tài luận văn Thạc sĩ của mình là nghiên cứu Sự phân tích môđun tựa liên tục thành tổng trực tiếp . 5 Những kết quả trình bày trong luận văn này chủ yếu đợc hệ thống hoá, sắp xếp lại những kết quả đã đợc công bố trong các bài báo và sách chuyên khảo về Lý thuyết vành và môđun của các tác giả trong và ngoài nớc đợc xuất bản trong thời gian gần đây. II. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, Luận văn đợc trình bày trong 2 chơng. Chơng 1 hệ thống hoá các kiến thức cở sở nhằm chuẩn bị cho việc trình bày các kết quả trong chơng 2. Chơng 2 Trình bày các đặc trng của môđun tựa liên tục và một số kiểu phân tích môđun tựa liên tục thành tổng trực tiếp các môđun con. Chơng1. Những kiến thức cơ sở về vành và môđun 1.1. Môđun con cốt yếu, môđun con đối cốt 1.2. Môđun con bù giao, môđun con bù cộng 1.3. Môđun đều và chiều Goldie (chiều uniform) 1.4. Môđun suy biến 1.5. Môđun nội xạ Chơng 2. môđun tựa liên tục và sự phân tích thành tổng trực tiếp 2.1. Các điều kiện C 1 , C 2 , C 3 2.2. Một số đặc trng của môđun tựa liên tục 2.3. Tổng trực tiếp của các môđun tựa liên tục 2.4. Sự phân tích môđun tựa liên tục thành tổng trực tiếp của môđun con suy biến cấp 2 và môđun con không suy biến 2.5. Sự phân tích môđun tựa liên tục thành tổng trực tiếp của môđun con không phân tích đợc 2.6. Sự phân tích môđun tựa liên tục thành tổng trực tiếp các môđun con hữu hạn trực tiếp và vô hạn thuần tuý trực giao 6 Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại Học Vinh, dới sự h- ớng dẫn của Thầy giáo TS. Chu Trọng Thanh. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc trớc sự giúp đỡ tận tình của Thầy giáo hớng dẫn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng, PGS. TS. Lê Quốc Hán, PGS. TS. Nguyễn Quý Dy, GS. TS. Nguyễn Quốc Thi, TS. Mai Văn T, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan và các thầy, cô giáo trong khoa toán, khoa sau đại học trờng Đại Học Vinh, các học viên lớp Cao Học 13 - Đại Số, gia đình và tất cả bạn bè đã tạo điều kiện giúp đỡ chúng tôi trong quá trình học tập và làm luận văn. Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong nhận đợc sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo cùng tất cả các bạn. 7 Chơng 1. Những kiến thức cơ sở Trong luận văn này chúng tôi chỉ xét các vành R kết hợp, có đơn vị và các môđun đều là môđun phải unita. Các môđun đều là môđun phải đợc xét trên cùng một vành R. Vì vậy các R- môđun phải M sẽ đợc nói gọn là môđun M. Khi vành R đợc xét nh một môđun phải trên chính nó ta sẽ ký hiệu là R R . 1.1. Môđun con cốt yếu, môđun con đối cốt yếu. 1.1.1. Định nghĩa. Cho A là một môđun con của môđun M. A đợc gọi là môđun con cốt yếu (essential) trong M nếu với mỗi môđun con 0X của M ta luôn có 0XA . Trong trờng hợp này ta cũng nói M là một mở rộng cốt yếu ( essential extention) của A và đợc ký hiệu MA e . Một mở rộng cốt yếu M của A đợc gọi là mở rộng cốt yếu thực sự (proper essential extention) nếu AM . Môđun con A đợc gọi là đóng (closed) trong M nếu A không có mở rộng cốt yếu thực sự trong M. Nói khác đi, A đợc gọi là đóng trong M nếu với mọi môđun con B của M mà BA e thì B =A. Môđun con B của M đợc gọi là bao đóng (closure) của môđun con A trong M nếu B là môđun con tối đại trong M sao cho A là cốt yếu trong B. Nhân xét. (xem [7]) Bao đóng của môđun con A trong M luôn tồn tại. 1.1.2. Mệnh đề. Cho A môđun con tuỳ ý của môđun M. Nếu A đóng trong một hạng tử trực tiếp của M thì A đóng trong M. Chứng minh. Giả sử M 1 là hạng tử trực tiếp của M và A đóng trong M 1 . Ta cần chứng minh A đóng trong M. Vì M 1 là hạng tử trực tiếp của M nên ta có 21 = với môđun con M 2 nào đó. Khi đó xét phép chiếu 121 : . Giả sử e với . Ta có 1 e = . Do A đóng trong M 1 nên = suy ra ( ) .1 Mặt khác ( ) 01 = 8 và e nên ( ) 01 = và vì vậy 1 = . Do đó A=B. Vậy A đóng trong M. 1.1.3. Định nghĩa. Giao của tất cả các môđun con cốt yếu của môđun M đợc gọi là đế (socle) của M và ký hiệu là Soc(M). Nhận xét.(xem [4]) Soc(M) = { K K tối tiểu trong M } 1.1.4. Định nghĩa. Cho A là môđun con của M. Môđun A đợc gọi là bé (small) hay đối cốt yếu (superfluous) trong M nếu với mọi môđun con thực sự X của M thì MXA + , và đợc ký hiệu là A<<M. Môđun M sao cho mọi môđun con thực sự của M là môđun con bé trong M đợc gọi là môđun hổng (hollow). 1.1.5. Định nghĩa. Cho môđun M, ta gọi căn (radical) của môđun M là giao của tất cả môđun con tối đại của M, ký hiệu J(M). Nhận xét. (xem [4]) J(M) = {L L là đối cốt yếu trong M }. 1.2. môđun con bù giao, môđun con bù cộng 1.2.1. Định nghĩa. Cho A là môđun con của M. Môđun con A của M tối đại trong số các môđun con của M có giao với A bằng 0 đợc gọi là bù giao (complement ) của A trong M. Môđun con B của M đợc gọi là môđun con bù - giao (complement submodule) nếu tồn tại một môđun A của M sao cho B là bù giao của A trong M. Theo [7], một môđun con B của môđun M là đóng trong M nếu và chỉ nếu B là một môđun con bù- giao của M. Nhận xét. (xem [7]) Bù giao của một môđun trong M luôn tồn tại nhng nói chung không duy nhất. 1.2.2. Tính chất. (1) Cho A là môđun con của M, nếu môđun B là bù giao của A trong M thì: (i) B đóng trong M. 9 (ii) MAB e . (2) Mỗi môđun con A của M tồn tại môđun con đóng ( bù giao ) B sao cho A là môđun con cốt yếu trong B. (3) Nếu A là môđun con của M và B là môđun con đóng trong M sao cho 0BA = và MBA e thì B là một bù - giao của A trong M Mệnh đề sau đây đợc lấy từ [5] là mở rộng của 1.1.2. 1.2.3. Mệnh đê. Giả sử M là môđun bất kỳ, A, B là các môđun con của M sao cho A B. Nếu A là môđun con đóng trong B và B là môđun con đóng trong M thì A là môđun con đóng trong M. 1.2.4. Định nghĩa. Cho A là một môđun con của M. Môđun con P của M tối tiểu trong các môđun con của M thỏa mãn điều kiện A+P = M thì môđun con P đợc gọi là bù - cộng (supplemnt) của A trong M. Môđun con B của M đợc gọi là môđun con bù - cộng (supplemnt submodule) nếu B là bù - cộng của một môđun con nào đó của M. Nhận xét. (xem [1]) Nếu BAM = thì B vừa là bù - giao vừa là bù - cộng của A trong M. Khác với bù giao của một môđun con, bù cộng của một môđun con trong M có thể không tồn tại. Ví dụ trong môđun Z Z không có môđun con khác không nào có môđun con bù - cộng. Các khái niệm và tính chất liên quan đến bù- cộng của môđun con trong M tuy không thuộc phạm vi nghiên cứu của đề tài nhng chúng tôi cũng giới thiệu để tiện so sánh giữa 2 lĩnh vực đối ngẫu nhau trong phạm trù môđun. 1.2.5. Tính chất. Cho A và P là môđun con của M thì P là bù - cộng của A nếu và chỉ nếu M = A+P và .PPA << 1.2.6. Định nghĩa. Môđun M thỏa mãn điều kiện với mọi môđun con A và B của M sao cho A+B = M, A chứa bù cộng của B trong M thì ta nói M là môđun khả bù (supplemented). 10