Trờng đại học vinh Khoa vật lý ------------------ luận văn tốt nghiệp đề tài: giải các bài toán dao động cỡng bức bằng phơng pháp số phức -------------- giáo viên hớng dẫn: Nguyễn Viết Lan sinh viên thực hiện: Trịnh Văn Đạo Lớp: 40A 2 - vật lý Vinh, tháng 5 -2003 Luận văn tốt nghiệp Trịnh Văn Đạo Lời nói đầu Chúng ta đã biết tính chất cơ bản của vật lý học là tính thực nghiệm nhng muốn trình bày nhng định luật định lợng của vật lý học một cách chính xác ta phải dùng phơng pháp toán học, nhờ có toán học, vật lý học đ- ợc phát triển một cách nhanh chóng cả bề rộng lẫn bề sâu và ngày nay trong vật lý học không thể thiếu đợc linh hồn của toán học. Sự ra đời của số phức đã giúp vật lý học phát triển một cách tột bậc, các học thuyết vật lý mới, hiện đại đợc ra đời trong đó có cơ học l ợng tử, chính số phức đã đáp ứng đợc nguyên lý quan trọng của cơ học lợng tử, nguyên lý chồng chập trạng thái, và đợc dùng mô tả hàm sóng của các vi hạt. Mặt khác số phức còn đợc sử dụng rộng rãi trong một số lĩnh vực vật lý khác nh trong điện kỹ thuật, biểu diễn phơng trình dao động , hơn nữa các phép tính trên trờng số phức đôi khi tỏ ra khá đơn giản. Một số hiện t- ợng trong trờng số thực có thể đợc giải thích một cách rõ ràng nếu xét nó trong trờng số phức. Vật lý là một môn học có rất nhiều bài tập và việc giải các bài toán ấy rất quan trọng. Nó giúp ta củng cố khắc sâu kiến thức, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, phát triển t duy và đôi khi còn dẫn đến một chân lý mới từ những vấn đề nào đó. Số phức đã đợc ứng dụng để xây dựng nên lý thuyết vật lý ở một số lĩnh vực, thì việc ứng dụng nó để giải các bài toán vật lý trong nhiều trờng hợp cho ta kết quả hết sức mĩ mãn. Có rất nhiều bài toán về dao động cỡng bức đợc đặt ra nh các bài toán dao động cơ cỡng bức, dao động điện cỡng bức. Trong đó ta bắt gặp một số bài toán mà khi sử dụng các phơng pháp giải thông thờng bằng hình học trên trờng số thực gặp nhiều khó khăn và phức tạp. Công thức EULER trong toán học cho phép ta có thể biểu diễn các đại lợng dới dạng sin (cos) 2 Luận văn tốt nghiệp Trịnh Văn Đạo trong các bài toán dao động sang một dạng mới, đó là dạng phức mà đôi khi việc tính toán trên dạng phức tỏ ra đơn giản hơn rất nhiều. Bên cạnh đó, ứng dụng số phức trong việc giải các bài toán dao động cỡng bức còn cha đợc nhiều ngời quan tâm vì các bài toán rất đa dạng, các phơng pháp cũ còn tỏ ra có hiệu lực, đặc biệt số phức và ứng dụng số phức còn là vấn đề mới đối với nhiều ngời. Xuất phát từ yêu cầu cần giải các bài toán về dao động cỡng bức và tác dụng lớn lao của số phức trong vật lý nh đã nêu ở trên mà tôi có ý tởng nghiên cứu một cách chi tiết phơng pháp sử dụng số phức để giải các bài toán dao động cỡng bức, từ đó cho thấy khả năng tối u của phơng pháp này. Tôi đã chọn đề tài Giải các bài toán dao động c ỡng bức bằng ph- ơng pháp số phức. Đề tài này chủ yếu nghiên cứu các vấn đề sau: 1. Trình bày tóm tắt lý thuyết về dao động cỡng bức và tính chất của nó. 2. Trình bày phơng pháp giải các bài toán dao động cỡng bức bằng phơng pháp số phức. 3. Lựa chọn, phân loại các bài tập và quy trình giải các bài toán bằng phơng pháp số phức. 3 Luận văn tốt nghiệp Trịnh Văn Đạo Chơng i dao động 1.1. Dao động tuần hoàn và dao động điều hoà. 1.1.1. Dao động: Dao động là một dạng chuyển động rất thờng gặp trong đời sống và kỹ thuật, ví dụ: Dao động của dây đàn khi gãy, dao động của con lắc đồng hồ, dao động của dòng điện trong mạch nói một cách tổng quát dao động là chuyển động đợc lặp đi lặp lại nhiều lần theo thời gian. Quan sát một hệ dao động, con lắc chẳng hạn, ta thấy nó có các tính chất tổng quát sau: a. Hệ phải có một vị trí (trạng thái) cân bằng bền và dao động qua lại hai bên vị trí đó. b. Khi hệ rời khỏi vị trí cân bằng bền luôn xuất hiện tác động kéo hệ về vị trí cân bằng bền. c. Khi hệ chuyển dời đến vị trí cân bằng do quán tính nó tiếp tục vợt qua vị trí cân bằng, trong dao động cơ học quán tính đặc trng ở khối lợng của hệ còn trong dao động điện quán tính đặc trng ở độ tự cảm của mạch. Trong khuôn khổ luận văn này ta chỉ xét đến các dao động cơ và dao động điện. 1.1.2. Dao động tuần hoàn: Dao động tuần hoàn là dao động mà trạng thái chuyển động của hệ đợc lặp lại nh cũ sau những khoảng thời gian bằng nhau. Khoảng thời gian T ngắn nhất sau đó trạng thái chuyển động của hệ lặp lại nh cũ gọi là chu kỳ của dao động tuần hoàn. 1.1.3. Dao động điều hoà: 4 Luận văn tốt nghiệp Trịnh Văn Đạo 1.1.3.1. Định nghĩa: Dao động điều hoà là một quá trình chuyển động hoặc biến đổi trạng thái, trong đó giá trị của một số đại lợng vật lý đặc trng cho hệ biến đổi theo thời gian theo định luật dạng Sin (hoặc Cosin). Phơng trình dao động điều hoà có dạng: X = ASin (t + ), với A, , là những hằng số. Ta có thể biểu diễn dao động điều hoà bằng phần thực hoặc phần ảo của số phức, ký hiệu là x x = Ae j( t + ) , với j là đơn vị ảo. Khi đó ta nói số phức x biểu diễn dao động điều hoà X và viết X x , trong đó: A là mô đun của số phức x : A = | x | ( + t ) là arcgumen của x (arg x ). 1.1.3.2. Tổng hợp hai dao động điều hoà: Xét hai dao động điều hoà cùng phơng, cùng tần số và có phơng trình dao động dạng: )sin( 111 += tAx )sin( 222 += tAx Tổng hợp hai dao động điều hoà trên cho ta một dao động điều hoà: x= x 1 + x 2 = Asin(t + ). Ta có: x 1 tj jtj eeAeAx . 11 1 )( 11 == + x 2 tj jtj eeAeAx . 22 2 )( 22 == + x tj jtj eeAeAx . )( == + Dễ dàng suy ra: Ae j = 21 21 jj eAeA + Hay: Acos + jAsin = A 1 (cos 1 +jsin 1 ) +A 2 (cos 2 +jsin 2 ) Suy ra: )cos(2 1221 2 2 2 1 ++= AAAAA 2211 2211 coscos sinsin AA AA tg + + = 1.2. Dao động tắt dần và dao động cỡng bức: 1.2.1. Dao động tắt dần: 5 Luận văn tốt nghiệp Trịnh Văn Đạo Khi nghiên cứu dao động điều hoà của một hệ chúng ta chú ý rằng tần số và biên độ của chúng là những đại lợng không biến đổi theo thời gian, nghĩa là các dao động sẽ lặp đi lặp lại mãi mãi không ngừng. Thực tế cho thấy rằng, dao động của một vật, một hệ cơ học hoặc điện từ thậm chí dao động của nguyên tử, phân tử không bao giờ hoàn toàn điều hoà. Trong các quá trình dao động đó biên độ và năng lợng dao động của hệ không giữ nguyên mà giảm dần theo thời gian rồi ngừng lại. Sở dĩ có điều đó vì luôn có các tác động cản trở hệ trong quá trình dao động, với dao động cơ học tác động đó là lực cản của môi trờng, còn với dao động điện tác động đó là sự toả nhiệt trên điện trở thuần của mạch. Dao động của hệ đợc xét ở trên gọi là dao động tắt dần. 1.2.2. Dao động cỡng bức: Trong quá trình dao động tắt dần, hệ dao động chỉ nhận đợc năng l- ợng ban đầu sau đó năng lợng này giảm dần, để làm cho dao động không tắt dần cần phải bù cho hệ phần năng lợng đã mất, cách đơn giản nhất là đặt vào hệ một tác động ngoại biến thiên tuần hoàn, đó là ngoại lực biến thiên tuần hoàn đối với dao động cơ và là nguồn điện xoay chiều đối với dao động điện, khi đó ta có dao động cỡng bức. Dao động cỡng bức là dao động xẩy ra dới tác dụng của tác động tuần hoàn bên ngoài có tần số f bất kỳ. Các phép tính toán lý thuyết đã dẫn đến kết quả nh sau: Trong thời gian đầu t nào đó, dao động của hệ là một dao động phức tạp, đó là sự tổng hợp của dao động riêng tắt dần và dao động do tác động tuần hoàn gây ra. Sau thời gian t, dao động riêng của hệ tắt hẳn chỉ còn dao động do ngoại tác động gây ra, đó là dao động có tần số bằng tần số của ngoại tác động, có biên độ phụ thuộc sự quan hệ giữa tần số của ngoại tác động với tần số dao động riêng của hệ. Khi nghiên cứu dao động cỡng bức ta chỉ khảo sát dao động khi trạng thái dao động đã ổn định, sau thời gian t. 6 Luận văn tốt nghiệp Trịnh Văn Đạo 1.1.2.1. Dao động cơ cỡng bức: a. Khi ta tác dụng ngoại lực biến thiên tuần hoàn lên cơ hệ, con lắc lò xo chẳng hạn, thì cơ hệ bắt đầu dao động. Thực nghiệm chứng tỏ rằng lúc đầu dao động của hệ khá phức tạp, nó là chồng chất của hai dao động: Dao động riêng tắt dần do tác động lực cản của môi trờng và dao động cỡng bức dới tác dụng ngoại lực tuần hoàn. Sau thời gian đủ lớn dao động tắt dần coi nh không còn nữa chỉ còn dao động cỡng bức có tần số bằng tần số của ngoại lực tuần hoàn. b. Phơng trình của dao động cơ cỡng bức: Xét cơ hệ là con lắc lò xo, lực tác dụng lên quả cầu con lắc bây giờ gồm: Lực kéo về F đ = - kx, lực cản của môi trờng F c = - rv và ngoại lực tuần hoàn: F n = Hcost. Đặt m r m k == 2, 2 0 Khi ổn định dao động cỡng bức có phơng trình: x = Acos(t + ), với điều kiện 22 0 2 > Trong đó 2222 0 2 4)( + = m H A 22 0 2 = tg 1.2.2.2. Dao động điện từ cỡng bức: a. Hiện tợng Xét trờng hợp xuất điện động của nguồn là hàm Sin của thời gian t, u = U 0 sint. Tơng tự nh dao động cơ cỡng bức, mới đầu dao động trong mạch là chồng chất của hai dao động, dao động riêng tắt dần và dao động cỡng 7 Đặt vào hai đầu đoạn mạch R, L, C ghép nối tiếp một nguồn điện xoay chiều, trong mạch ta sẽ có dao động điện từ cỡng bức. Luận văn tốt nghiệp Trịnh Văn Đạo bức, sau thời gian đủ lớn trong mạch chỉ còn dao động cỡng bức với tần số góc bằng tần số góc của nguồn. b. Phơng trình của dao động điện từ cỡng bức: Khi ổn định dao động điện từ cỡng bức trong mạch có dạng: I = I 0 sin (t + ) Trong đó: Z U I 0 0 = với 22 ) 1 ( C LRZ += R C L tg = 1 8 Luận văn tốt nghiệp Trịnh Văn Đạo Chơng II phơng pháp giải bài toán dao động cỡng bức bằng số phức 2.1. Phơng pháp giải bài toán dao động cơ cỡng bức đơn giản bằng số phức: Ta hãy trở lại dao động cơ cỡng bức ở chơng I, với những hệ dao động động đơn giản nh dao động của con lắc đơn, con lắc lò xo, ta có thể sử dụng số phức để tìm phơng trình dao động cỡng bức. Xét phơng trình vi phân dao động cỡng bức của con lắc lò xo: tht m H x dt dx dt xd ==++ coscos2 2 0 2 2 (1) Trong đó: m H h m r m k === ;2; 2 0 Để dùng số phức biểu diễn dao động cỡng bức ta sử dụng ý nghĩa vật lý của quá trình để phán đoán nghiệm. Cụ thể là: Trong giai đoạn đầu dao động của hệ là tổng hợp của hai dao động, dao động riệng tắt dần và dao động cỡng bức, sau quãng thời gian đủ lớn dao động tắt dần biến mất, kể từ đó dao động của hệ do lực kích thích tuần hoàn chi phối khi đó nghiệm của phơng trình vi phân (1) có dạng: x = Acos(t + ). Hay: x = Ae j( t + ) (2). Vì (2) là biểu thức nghiệm nên phải thoả mãn phơng trình vi phân (1), tức là: - 2 Ae j( t + ) + 2jAe j( t + ) + 2 0 Ae j( t + ) = he j t Nhân hai vế của phơng trình này với: e -j( t + ) , ta có: ( 2 0 - 2 )A + j2A = he -j = hcos - jhsin Suy ra: ( 2 0 - 2 )A = hcos 2A = - hsin Giải hệ phơng trình đó ta rút ra đợc: 9 Luận văn tốt nghiệp Trịnh Văn Đạo 22222 0 4)( + = m H A 22 0 2 = tg Khi A đạt tới giá trị lớn nhất ta có: 2 = 2 0 - 2 2 0, đây chính là điều kiện tồn tại nghiệm. Với các dao động cỡng bức phức tạp khác, phơng trình vi phân xác định chúng ở các dạng phức tạp nhng trong nhiều trờng hợp ta có thể biến đổi đợc phơng trình vi phân dao động cỡng bức của hệ về dạng (1). Khi đó ta có thể sử dụng số phức để tìm quy luật dao động của hệ. 2.2. Phơng pháp số phức giải bài toán dao động điện cỡng bức -Dòng điện xoay chiều: Giống nh các dao động cơ học cỡng bức của một vật do ngoại lực tuần hoàn gây ra, khi đặt vào mạch điện một hiệu điện thế biến thiên tuần hoàn thì trong mạch có dao động điện cỡng bức, đó là dòng điện xoay chiều. Phơng pháp giản đồ véc tơ đợc ứng dụng rộng rãi khi nghiên cứu mạch điện hình sin, nó giúp ta biểu diễn rõ ràng trị số hiệu dụng, góc pha, góc lệch pha rất thuận tiện khi cần minh hoạ, So sánh và giải các mạch điện đơn giản. Tuy nhiên, cách biểu diễn véc tơ gặp nhiều khó khăn khi giải các mạch điện phức tạp, một công cụ rất hiệu lực là giải các mạch điện ấy bằng số phức. Mặt khác, đối với những mạch điện đơn giản, bằng cách biểu diễn số phức ta có thể tính toán giải tích mà không phải giải bằng hình học trên tr- ờng số thực. 2.2.1. Biểu diễn dạng phức: Ta đã biết một đại lợng biến thiên điều hoà theo thời gian: a = Asin(t + ). Có thể biểu diễn bằng một số phức a a a = Ae j( t + ) 10 . phơng pháp giải bài toán dao động cỡng bức bằng số phức 2.1. Phơng pháp giải bài toán dao động cơ cỡng bức đơn giản bằng số phức: Ta hãy trở lại dao động. phơng pháp giải các bài toán dao động cỡng bức bằng phơng pháp số phức. 3. Lựa chọn, phân loại các bài tập và quy trình giải các bài toán bằng phơng pháp số