0 Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học vinh nguyễn hồng hải chuỗi luỹ thừa hình thức ứng dụng Luận văn thạc sĩ toán học Vinh 2007 Bộ giáo dục đào tạo Trờng ®¹i häc vinh nguyễn hồng hải chuỗi luỹ thừa hình thức ứng dụng Chuyên ngành: Đại số - Lý thuyÕt sè M· sè sè: 60 46 05 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dÉn khoa häc: PGS.TS Ngun Thµnh Quang Vinh - 2007 mục lục mở đầu Chơng chuỗi luỹ thừa hình thức 1.1 Phân thức hữu tỷ 1.2 Chuỗi luỹ thừa hình thức ứng dụng 1.3 Tính hữu tỉ chuỗi Chơng ứng dụng maple để khai triển biểu thức đại số khai triển hàm số thành chuỗi 2.1 2.2 2.3 2.4 Trang 3 11 16 20 Khai triển, đơn giản phân tích biểu thức đại số Kiểm tra tính bất khả quy đa thức Tìm số hạng tổng quát dÃy số theo công thức truy hồi Khai triển hàm số thành chuỗi … KÕt luËn 20 22 24 26 29 Tài liệu tham khảo 30 Mở đầu Lý thuyết số ngành toán học có nhiều kết sâu sắc phát triển Khi tìm hiểu Lý thuyết số, bị quyến rũ kết nó, có toán số học tởng chừng nh đơn giản nhng đà số làm tốn không thời gian công sức nhà toán học Với mục đích tìm hiểu ứng dụng Lý thuyết số, luận văn cố gắng tìm tòi ứng dụng phân thức hữu tỷ, chuỗi luỹ thừa hình thức việc giải toán sáng tạo toán số học Ngày nay, ngời đà số biết vai trò tiên phong Toán học cách mạng khoa học công nghệ Nhờ nỗ lực chung nhiều chuyên gia toán tin học giới mà số phần mềm tính toán đà số đời thân thiện với ngời sử dụng Hiện nay, có không phần mềm Toán học chuyên dụng có khả hỗ trợ cho dạy học toán Maple ví dụ điển hình Maple chơng trình đề cập đến hầu hết lĩnh vực toán học Hiện nay, phần mềm Maple đợc dùng phổ biến giảng dạy nghiên cứu nhiều trờng đại học giới Trong luận văn, cố gắng đa số ví dụ ứng dụng phần mềm Maple tính toán số học Luận văn gồm hai chơng, phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Trong chơng 1, xuất phát từ kết thu đợc trong hệ 1.1.4 1.1.5 nói phân thức hữu tỉ phân tích đợc thành tổng đa thức phân thức hữu tỉ đơn giản, đà số đề xuất số toán đa thức phân thức hữu tỉ nh ứng dụng chúng việc giải toán hệ phơng trình chứng minh số đẳng thức Chơng luận văn đa số toán liên quan đến việc tìm số hạng tổng quát dà sốy số dựa vào khái niệm chuỗi luỹ thừa hàm sinh Cuối chơng 1, luận văn đề cập đến tính chất hữu tỉ tính toán tổng vô hạn chuỗi luỹ thừa Chơng luận văn ứng dụng phần mềm Maple để khai triển số biểu thức đại số khai triển hàm số thành chuỗi Với khả tính toán biểu diễn có, Maple đáp ứng phần lớn nhu cầu hỗ trợ cho giảng dạy học tập Nội dung chơng số tính độc đáo Maple khai triển phân tích biểu thức đại số, chuyển đổi biểu thức dạng đặc biệt xác định trớc Ngoài Maple cho phép ta kiểm tra tính bất khả quy đa thức, tìm số hạng tổng quát dà sốy số theo công thức truy hồi cho phép ta giải số hệ phơng trình Trong chơng trình bày ứng dơng cđa Maple viƯc khai triĨn hµm sè thµnh chuỗi số Luận văn đợc thực Trờng Đại học Vinh dới hớng dẫn nghiêm túc PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hớng dẫn Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn tíi GS.TS Ngun Qc Thi, PGS TS Ng« Sü Tïng, PGS TS Lê Quốc Hán, TS Chu Trọng Thanh, TS Mai Văn T, TS Nguyễn Thị Hồng Loan đà số giúp đỡ, giảng dạy tạo điều kiện cho trình học tập lớp Cao học XIII Đại số Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm Khoa đào tạo Sau đại học, Khoa Toán đà số tạo điều kiện cho thời gian học tập Tác giả xin cảm ơn tới bạn bè đồng nghiệp lớp cao học XIII Đại số đà số có nhiều động viên giúp đỡ trình học tập vừa qua Luận văn không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đợc bảo quý thầy cô bạn đồng nghiệp Vinh, tháng 12 năm 2007 Tác giả Chơng chuỗi lũy thừa hình thức 1.1 Phân thức hữu tỷ Xét vành đa thức k[x] với k trờng Thơng hai ®a thøc f ( x) d¹ng víi f  x  , g  x   k  x , g x k đợc gọi phân thức hữu tỷ g ( x) b r ( x) , , i 1 , víi p ( x) đa thức bất Những phân thức hữu tØ cã d¹ng i i p ( x )  x a khả quy deg r ( x) deg p( x) đợc gọi phân thức hữu tỉ đơn giản Vấn đề quan tâm biểu diễn phân thức hữu tỉ thành tổng phân thức đơn giản 1.1.1 Định lí Nếu hai ®a thøc g(x), h(x) nguyªn tè cïng trªn k víi m deg g ( x) vµ n deg h( x) đa thức f ( x) với deg f ( x)  m  n ®Ịu cã thể biểu diễn đợc thành dạng f ( x) r ( x) g ( x)  s( x)h( x) , deg r ( x) n deg s ( x)  m Chøng minh V× g x h x nguyên tố nhau, nên ta có đồng thức: a( x ) g ( x )  b( x) h( x) Nhân hai vế hệ thức với f ( x) ta nhận đợc: f ( x) f ( x )a( x ) g ( x )  f ( x)b( x) h( x) BiĨu diƠn f ( x)a( x) q( x)h( x)  r ( x) víi deg r ( x)  n Khi ®ã : f ( x)  f ( x)a( x) g ( x)  f ( x)b( x)h( x) r ( x) g ( x)   q( x) g ( x)  f ( x)b( x)  h( x) s ( x) q( x) g ( x)  f ( x)b( x) Ta cã f ( x) r ( x) g ( x)  s( x)h( x) V× Đặt deg f ( x) m n deg r ( x) g ( x)  m  n nªn deg s  x   m  1.1.2 Bỉ ®Ị NÕu hai ®a thøc g(x), h(x) nguyên tố k đa thøc f(x) víi degf ( x)  degg ( x)  degh( x) th× ta cã sù biĨu diƠn f ( x) r ( x) s( x)   , degr x < deg h(x) deg s(x) < deg g(x) g ( x ) h( x ) h( x ) g ( x ) Chứng minh Theo định lí 1.1.1 ta có biểu diÔn f ( x ) r ( x ) g ( x )  s ( x)h( x) víi deg r(x)< deg g(x) vµ deg s  x   deg g  x  Chia hai vÕ hÖ thøc nµy cho f ( x) r ( x) s( x) g(x)h(x) ta đợc g ( x ) h( x ) h( x ) g ( x ) f ( x) 1.1.3 Định lí Mỗi phân thức hữu tỉ với deg f(x) < deg g(x) phân tích g ( x) đợc thành tổng phân thức hữu tỉ đơn giản Chứng minh Ta bắt đầu việc chứng minh việc xét phân thức đơn giản d¹ng r ( x) víi deg r(x) < t.deg p(x) Sư dơng phÐp chia ®a thøc, ta cã sù biĨu diƠn: p ( x )t r ( x) s1 ( x) p ( x)t   r1 ( x), r1 ( x) s2 ( x) p ( x)t   r2 ( x), rt  ( x) st  ( x) p( x)  rt  ( x), rt  ( x) st ( x) ,víi deg si ( x)  deg p( x) Khi ®ã t t r ( x) s1 ( x) p  x   r1  x  s1  x  r1  x  s1  x  s2  x  p  x   r2  x       t t p ( x )t p  x p x t p  x p x p x s1  x  s2  x  r2  x  s ( x) s2 ( x) s ( x)        t t t p x p x p ( x ) p ( x) p ( x) p  x Trong trờng hợp đặc biệt p(x) = (x - a) ta cã sù biĨu diƠn: r ( x) b1 b2 bt     t t víi c¸c bi  k TiÕp theo, xÐt tr x  a x  a  x  a  x  a = êng hỵp r ( x)  x  a t p( x) r ( x)  x  a  t p( x) b  x  a t  víi p(a) 0 q( x)  x  a t p ( x) BiÓu diễn thành Qua quy đồng phân thức ta ®ỵc ®ång nhÊt thøc r ( x) bp( x)   x  a  q ( x) Cho x = a ta cã b  q( x)  dạng r (a) p(a) r ( x) bp( x) Tổng quát, giả sử phân tích x a n n m m g ( x)  x  a1   x  as  s p1  x  pr  x r , pi x đa thức bất khả qui với bậc lớn Theo kết đà đạt đợc trªn ta cã biĨu diƠn: ns m1 mr n f  x s1i  x  s  x b1i bsi         ri i i i i g  x  i 1  x  a1  i 1  x  as  i 1 p1  x  i pr x f ( x) đợc phân tích thành tổng phân thức đơn giản g ( x) f ( x) 1.1.4 Hệ Mỗi phân thức hữu tỉ phân tích đợc thành tổng g ( x) đa thức phân thức hữu tỉ đơn giản Nh Chứng minh NÕu deg f(x)< deg g(x) th× ta cã kÕt cần chứng minh theo định f ( x) r ( x) q( x)  lÝ trªn NÕu deg f ( x) deg g ( x) Khi kết cần g ( x) g ( x) chứng minh đợc suy từ nhận xét ban đầu Vì đa thức bất khả qui bậc hai đơn hƯ  [x] cã d¹ng x2+bx+c víi  b 4ac , nên đa thức g(x) viết đợc thành dạng: s g ( x) x   i 1 ni r  x i 1 mi  b  ci  Từ ta có hệ sau: f ( x) biểu diễn đợc thành dạng: g ( x) s ni r mi bij bij x  cij f ( x) q( x)     j j g ( x) i 1 j 1  x   i 1 j 1  x  b x c j j 1.1.5 Hệ Mỗi phân thức hữu tỉ 1.1.6 Xây dựng số toán Từ kết ta tạo đợc số toán sau Ví dụ Cho  , f ( x)  x  a1   x  a2   x  an  Khi ®ã n    1 j Giải Đặt g ( x) j n n  j  f  j    1 n!    x  a1   x  a2   x  an  Khai triÓn g(x)  x  1  x x n thành dạng: x1 x x    n x 1 x  xn Qui ®ång mÉu sè so sánh tử số ta nhận đợc: x  1  x    x  n   x1  x    x  n   x2  x  1  x  3  x  n  + + xn  x  1  x  3  x  n  1  x  a1   x  a2   x an Cho x=-1,ta đợc: g ( x) 1  n x1        3    n    1   a1    a2    an  n   1 f  1  x1  n  1 !   1 f  1  x1   n  1 ! n  1 f    T¬ng tù, cho x = -2, -3, , -n, ta ®ỵc: x2  , , n  !   n n   1 f  n  xn   n  1 ! VËy  x  a1   x  a2   x  an    x  1  x    x  n  n n  1 f  1  1 f       1 f  n   + + +  x  1  n  1 !  x    n   !  x  n   n  1 ! Cho x = 0:   1 n n n f  0   1 f  1    1 f        1 f  n   1 n! 1! n  1 ! 2! n   ! n!  n n  j  f  j    1 n! j 0   Tõ ®ã ta có toán sau nh hệ trực tiÕp n    1 VËy j VÝ dô (i) NÕu a1 a2  an 0 th× f  j   j n vµ ta cã n    1 j 0 j  n n n  j  j   1 n!   n j (ii) NÕu i, i 1,2, n f j n! , ta cã: j   n i  n n i n   1   1      i 0  i  i  áp dụng phơng pháp để giải hệ: x2 xn  x1 1  a   a   n  a 1, 1  x x  x1    n 1,  n  a2    1  a2  a2   x2 xn  x1    1 1  a  a n  an n n Giải: Đặt: f ( x) x  a1   x  a2   x  an  ,  , g ( x)  x1 x x    n  x 1 x  xn Khi từ hệ ta có: g  a1  g  a2   g  an  0 Suy ra: x1  x    x  n   x2  x  1  x  3  x  n  + + xn  x  1  x  3  x  n  1   x  1  x    x  n  a  x  a1   x  a2   x  an  Cho x= -1, -2, , -n, ta cã nghiƯm cđa hƯ lµ:  f  j x j   j  1  j  j  1  j  j  1  j  n    j 1,2, n  n VÝ dô Cho f ( x)  x  a j  , a j  Z , ta cã: j 1 2n  2a1  1  2an  1  n f  j   f  0   1  j   j   2n  j 1  n   Chøng minh BiĨu diƠn  x  a1   x  a2   x  an  x x x y =    n   x  1  x    x  n   x  1 x  x  x  n 2x  Tõ ®ã suy  x  a1   x  a2   x  an   y  x  1  x  n  n j =  x1  x    x  n    xn  x  1  x  n  1   x  1 1 Cho x  ,  1,  2, ,  n, ta cã:  n 1  f       2 y  1  1          n     2  2    n 1  1 f  1    x1  n  !    n   1 f      x2  3.1! n   !    f  n   xn  2n  n  !         VËy ta cã hÖ thøc: 1 f  n 1  x  a1   x  a2   x  an    1 f  1   2 + +  x  1  x    x  n   x  1        n   1. x  1  n  1 !      2  2   n f  n   1 f      x   1! n   !  2n  1  x  n   n  1 ! Ta suy ra: n 2n  2a1  1  2an  1  n j f  j   f  0   1   j   j   2n  j 1  n   T¬ng tù nh vÝ dơ 2, vÝ dơ sau hệ quả: n VÝ dô Ta cã:  n n 2n j    1 i) NÕu a1=a2= =an=0 th×  j   j   2n  j 1  n   n  n 6n j n   1  j  1  2n  ii) NÕu a1=a2= =an= th×  j   j    j 1  n   iii) Giải hệ phơng trình: n j x2 xn  x1      1  a  a n  a1 2a1  1  x x  x1    n   n  a2 a2  1  a2  a2   x2 xn  x1     1  a  a n  an an  n n Giả sử x1, x2, , xn nghiƯm cđa hƯ Khi ®ã   1 f  n xj   1   2n    j 1 j  f   2 x x x Chøng minh Đặt: g(x) = n  1+x 2+x n  x 2x 1  x  x    x  n    xn  x  1  x  n  1   x  1 =   x  1  x    x  n   x  1  x  1  x    x  n   x  1  x    x  n   x  1 V× g  a1  g  a2   g  an  0 , nªn ta cã: -  x1  x    x  n    xn  x  1  x  n  1   x  1  x  1  x    x  n  a  x  a1   x  a2   x  an  1 Cho x  , 1, 2, , n, ta đợc: 1  1          n   2  2   a 1 f   2 af (1) a( 1) n1 f (1) a ( 1) n1 f (2) xn  , x2  ,…, x1  ( n  1)!(2n  1) (n  1)! 3.1!(n  2)!   1 n 1 nghiệm hệ Mặt khác, ta có: a x  a1   x  a2   x  an  x1 x x    n   1+x 2+x n  x x   x  1  x    x  n   x  1 Cho x  , ta cã: 14   x x x3 a  a a    f  x        = 2a1 x   2a2   x   2a3    x  1! 2! 3! 1!  1! 2!      = 2a1 x  a2 x  a3 x  a4 x   f  x   x Tõ f  x    e x   f  x   x ta suy f  x  xe  x VËy   x x x3 = x      a1 x  a2 x  a3 x    1! 2! 3!  n   1 , n 1 So s¸nh hệ số ta nhận đợc an n  1 ! VÝ dơ Cho d·y sè nguyªn d¬ng: a1 1, an 1.2an  2.3an    n  1 na1 , n 2 Khi ®ã an2 5an1  3an  an , n Chứng minh Đặt f  x  a1 x  a2 x  a3 x  Khi ®ã: f  x   1.2  2.3 x  3.4 x   =  a1 x  a2 x  a3 x    1.2  2.3x  3.4 x   = 1.2a1 x   1.2a2  2.3a1  x   1.2a3  2.3a2  3.4a1  x  = a2 x  a3 x  a4 x  Lấy đạo hàm bậc f x x x hai vµ tõ 1  x  x  x3  1 x ta suy 1.2  2.3x  3.4 x  VËy: 1  x  x  x  1 xf  x   f x  x  f x      3 x  x  x  1  x   Tõ g  x   x3  3x x 1 lấy đạo hàm cấp n hai vế ta nhận đợc: Cn0 x  3x  x  1 g  Cn3 6.g  n  x   Cn1  3x  x   g  n 1  x   Cn2  x   g  n 2  x + n x Đặt bn g  n    , ta cã: Cn0bn  5Cn1bn  6Cn2bn   6Cn3bn  0 L¹i cã: b0 g      1, b1 g '    5, b2 g ''   56 Vậy dÃy bn đợc xác định nh sau: b0  1, b1  5, b2  56,  bn 5nbn   3n  n  1 bn   n  n  1  n   bn  , n 3 Theo c«ng thøc khai triĨn Taylor cho g  x  : n g ' 0 g ''   g    0 n g  x  g    x x   x  1! 2! n! 14 15 b1 b b x  x   n x n  1! 2! n! b b b   Tõ f  x  x  x g  x  x  x  b0  x  x   n x n   ta suy 1! 2! n!   n!an2  2bn2    n  1 bn1   n  1 nbn   n  1 n  n  1 bn  hay an2 5an1  3an  an , n 2  b0  1.3 TÝnh hữu tỉ chuỗi Bây ta quan tâm đến tính hữu tỉ chuỗi tính tổng vô hạn 1.3.1 Định nghĩa Chuỗi f x gọi chuỗi hữu tỉ có hai đa thức k x hay f  x  g  x  k  x  g  x  , k  x  R   x   ®Ĩ cho f  x   g  x R   x   NÕu g   1 th× bËc cđa f  x  lµ deg f  x  :deg k  x   deg g  x  Nếu biết miền hội tụ D f chuỗi f  x  th× f  x0   k  x0  x0  D f g  x0  Gi¶ thiÕt di  Z víi i 1,2, , r r 1.3.2 Định lí Cho g  x    di x  i 1  n1 x   n p x p , n p 0, vµ hµm i 1 h :    víi h(0)=1, h(i)= ni, i=1,2, ,p Các phát biểu sau tơng đơng: k x i)  m0 h  m  x m  , ®ã k  x    x  víi deg k(x) < p g  x ii) h  m  p  n1h  m  p  1   n p h  m  , m 0 iii) h  m  u1  m  d1m  u2  m  d 2m   ur  m d rm , m , ui(m) đa thức m bậc không i    Chøng minh i )  ii ) : Tõ   h  m  x m  g  x  k  x deg k(x) < p so sánh m0  hƯ sè cđa xm+p ë hai vÕ ta cã: h  m  p  n1h  m  p  1   n p h  m  , m 0  ii )  iii ) : XÐt hµm sinh f  x   h  m  x m Khi ®ã ta cã biĨu diƠn m 0 f  x  k  x víi k  x   Z x deg k(x) < p Phân tÝch g  x 15 16  u11 k  x   u11 u12         g  x    d1 x   d1 x    d1x    ur  ur2 urr +     r   d x  d x  d x     r r r     Cnn m1  1d m x m Ta biÕt n   dx m0 Đặt u1 m u11Cm0 u12Cm1 u11Cm111 Đây đa thức m bậc không Tơng tù, ta cã: ui  m  ui1Cm0  ui 2Cm1 1   uii Cmi1i  lµ đa thức m bậc không i với i=1,2, ,r So sánh hệ số hai chuỗi  m 0 m 0  h  m  x m   u1  m  d1m  u2  m  d 2m   ur  m  d rm  x m ta suy h  m  u1  m  d1m  u2  m  d 2m   ur  m  d rm , m 0  r    iii )  i ) : Ta cã:  h  m  x    ui  m  dim x m  Biến đổi vế phải để m i m h x trở thành dạng  g  x Gi¶ sư x1,x2, , xn lµ n tham sè Ta kÝ hiƯu: 1 x1  x2   xn ,   x1 x2  x1 x3   xn xn ,   ,  x x x , n  n  N t x1t  x2t   xnt , t 0,1,2, m 1.3.3 Định lí Đặt ui i  i ,1 i n Khi ®ã N t  a12 n u11 u22 unn , ®ã tỉng lÊy theo tất hệ a12 n số nguyên không âm t n  1 !  1 !2 ! n ! tháa m·n  1 , 2 , , n  1  22   nn t Chứng minh Xét đa thức f x  x  x1   x  x2   x  xn  Khi ®ã  f ' x  1 1 1         x f  x  x  x1 x  x2 x  xn x   x1  x2 1 n x x x       16 17  f '  x   x1t  x2t   xnt N    t t1 t 1 f  x  t 0 x t 0 x BiĨu diƠn f  x  x n  g  x  Ta cã: (1) f  x g  x Viết thành chuỗi: xn xn t f ' x  f ' x   n f  x x f ' x    g  x    n  n  g  x x t 0  x  1 n x t f '  x    1  n  n  = n        1  x t 0  x x xn  Tõ (1), (2) ta suy ra: t  f '  x    u1 u2 Nt un   n      n   t 1 x x t 0  x x x  t 0 (2) t u u u  n  n  1 u1 un  =    22   nn       x x  x x2 xn  t 0  x   t !u11u22 unn    n  1 u1   un  =  n     1 !2 ! n ! x h1   x x n  t 1 tổng lấy theo tất số nguyên không âm, thỏa mÃn hai đẳng thức: Vậy 1  22   nn t 1  2   n h    1  2   n  !u11 u22 unn    Nt  n  1 u1   un   n         t 1 1 !2 ! n ! x 1 22  nn 1   x x n  t 0 x t 1   ë ®ã tỉng lÊy theo tÊt , , , n gồm số nguyên không âm So sánh hƯ sè cđa t 1 ë hai vÕ ta cã hƯ sè cđa u11 u22 unn b»ng: x  1  2   n  !n   1  2   n  1 ! n  1    1  2   n  1 !1 T 1 !2 ! n ! 1 !2 !  n  1 !n !  1  1 2 ! n ! t  1  2   n  1 ! 1 2 n u1 u2 un , tổng lấy theo tất !2 ! n ! c¸c bé  1 , 2 , , n gồm số nguyên không âm thỏa mÃn đẳng thức: 22 nn t ãm l¹i, N t  1.3.4 VÝ dơ Cho a1 , a2 , , an lµ n số tự nhiên phân biệt đôi khác Gi¶ sư cã biĨu diƠn: 1  b1 x  b2 x  n   x  i 1 17 18 Chøng minh r»ng: a1k n bk  n   a1   i 1 a2k n   n  a2   i 2 ank n n  a n   i n thành dạng: a1x   a2 x    an x  x1 x2 xn g  x       a1x    a2 x    an x  Chøng minh Khai triÓn g  x   Qua quy ®ång ta rót ra: = x1   a1 x    a2 x    an x  + x2   a1 x    a2 x    an x  + + xn   a1 x    a2 x    an 1x   a1n  x1  n   a1     i 1  n  x2  n a2 1  Cho x  , , , vµ   a2    a1 a2 an i 2    ann x  n  n  an     i n  BiĨu diƠn g  x  qua tổng chuỗi ta có: x1 x2 xn g x     =   a1x    a2 x    an x  = x1   a1x  a12 x   a1k x k    x2 1  a2 x  a22 x   a2k x k   + + xn   an x  an2 x   ank x k   So s¸nh c¸c hƯ sè cđa g  x ta nhận đợc hệ thức: bk a1k n  n  a i 1    a2k n  n  a i 2     ank n n  a n   , k 1  i n 18 19 Ch¬ng øng dụng maple để khai triển biểu thức đại số khai triển hàm số thành chuỗi Chúng ta đà biết khả MAPLE việc hỗ trợ cho cho nghiên cứu, giảng dạy toán học Trong chơng chóng ta sÏ t×m hiĨu mét sè øng dơng cđa MAPLE việc khai triển biểu thức đại số khai triển hàm số thành chuỗi 2.1 Khai triển, đơn giản phân tích biểu thức đại số Khai triển biểu thức đại số Maple khai triển nhÞ thøc 15 VÝ dơ Khai triĨn nhÞ thøc  x y Công việc đợc tiến hành nh sau: Bớc Đa vào dòng lệnh gán tên cho biểu thức cần khai triển: [>expr:=(x+y)^15; Trong expr viết tắt chữ biểu thức, dấu := thay cho định nghĩa (Vì vậy, dòng lệnh có nghĩa nh là: biểu thức epr đợc định nghĩa (x+y)^15”) Sau thùc hiƯn lƯnh, m¸y hiƯn biĨu thøc mµ ta sÏ khai triĨn, tøc lµ: 15 expr : x y Bớc Tiếp tục đa vào lƯnh: [>expand(expr); (nghÜa lµ: “Khai triĨn biĨu thøc expr ”) Sau cho thực lệnh máy dạng khai triĨn cđa biĨu thøc x15  15 yx14  105 y x13  455 y x12  1365 y x11  3003 y x10  5005 y x 6435 y x8  6345 y x  5005 y x  3003 y10 x5  1365 y11 x  455 y12 x3 105 y13 x  15 y14 x y15 Phân tích thừa số Phép toán thực chất ngợc phép khai triển nói Ta dùng để kiểm tra tính toán đà thực Lệnh phân tích đa thức thừa số factor (.).Thí dụ, ta phân tích đa thức sau thừa số thõa sè x  10 x  35 x  50 x  24 b»ng lÖnh: [> factor ( x^4-10*x^3+35*x^2-50*x+24);  x  1  x    x  3  x  Chú ý Đa thức đại số đợc hiểu có hệ số nguyên, máy tìm thừa số đa thức nguyên mà Muốn tìm đa thức không nguyên tốt dùng cách giải phơng trình để tìm nghiệm Phép đơn giản biểu thức Bằng lệnh simplify (đơn giản hoá) maple áp dụng đồng thức để đơn giản nhiều biểu thức toán học cồng kềnh, thí dụ biểu thức l ợng giác Thí dụ Muốn đơn giản biểu thức lợng giác 19 ... Chơng chuỗi luỹ thừa hình thức 1.1 Phân thức hữu tỷ 1.2 Chuỗi luỹ thừa hình thức ứng dụng 1.3 Tính hữu tỉ chuỗi Chơng ứng dụng maple để khai triển biểu thức đại số khai triển hàm số thành chuỗi. .. gian công sức nhà toán học Với mục đích tìm hiểu ứng dụng Lý thuyết số, luận văn cố gắng tìm tòi ứng dụng phân thức hữu tỷ, chuỗi luỹ thừa hình thức việc giải toán sáng tạo toán số học Ngày nay,... dựa vào khái niệm chuỗi luỹ thừa hàm sinh Cuối chơng 1, luận văn đề cập đến tính chất hữu tỉ tính toán tổng vô hạn chuỗi luỹ thừa Chơng luận văn ứng dụng phần mềm Maple để khai triển số biểu thức