1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THỊ THANH HUỆ CHIỀU GOLDIE MẠNH CỦA MÔĐUN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An, 2012 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THỊ THANH HUỆ CHIỀU GOLDIE MẠNH CỦA MÔĐUN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. NGÔ SỸ TÙNG 3 Nghệ An, 2012 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU 1 CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN 3 Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ 4 1.1. Môđun con cốt yếu, Môđun đều 4 1.2. Môđun nội xạ 10 Chương 2. CHIỀU GOLDIE MẠNH CỦA MÔĐUN 15 2.1. Chiều Goldie của môđun 15 2.2. Chiều Goldie mạnh của môđun 21 KẾT LUẬN 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 4 LỜI NÓI ĐẦU Trong suốt luận văn này, tác giả luôn giả thiết vành là kết hợp có đơn vị và tất cả các môđun là môđun phải unita. Cho một tập hợp con X của vành R, linh hóa tử trái của X trong R là : l(X) = {r ∈ R : rx = 0 với mọi x ∈ X}. Lấy bất kỳ a ∈ R, chúng ta viết l(a) thay cho l({a}). Các linh hóa tử phải được định nghĩa tương tự Một R- môđun M có chiều Goldie n (được viết là G.dim M = n) nếu có một môđun con cốt yếu e V M≤ là một tổng trực tiếp của n môđun con đều. Mặt khác, nếu không có số nguyên n tồn tại, người ta viết G.dim M = +∞. Người ta gọi một R- môđun M có chiều Goldie hữu hạn chiều nếu G.dim M < +∞. Vành R được gọi là có hữu hạn chiều phải nếu nó hữu hạn chiều như là một R- môđun phải. Các vành có chiều trái được định nghĩa tương tự. Một R- môđun M có chiều Goldie mạnh n (được viết là SG.dim M = n) nếu sup{G.dim(M/N) | N ≤ M} = n. Mục đích của luận văn là tìm hiểu và trình bày chiều Goldie và chiều Goldie mạnh của môđun. Cấu trúc của luận văn được chia thành hai chương : – Chương 1. Trình bày một số kiến thức cơ bản chuẩn bị. Các khái niệm được đề cập chủ yếu trong chương này là môđun con cốt yếu, môđun đều, môđun nội xạ, một số tính chất, các mệnh đề, định lí, bổ đề. – Chương 2. Trên cơ sở xem xét về môđun con cốt yếu, môđun đều, môđun nội xạ tiếp tục trình bày về chiều Goldie của môđun và chiều Goldie mạnh của môđun, trình bày lại các chứng minh định lí, mệnh đề và hệ quả có liên quan. Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Vinh và Trường đại học Sài Gòn, dưới sự gợi ý và hướng dẫn nhiệt tình của PGS.TS. 5 Ngô Sỹ Tùng. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến Thầy giáo hướng dẫn, người đã trực tiếp động viên, dìu dắt tận tình, chỉ bảo nghiêm túc trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Trong quá trình học tập và viết luận văn, tác giả cũng nhận được sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô Bộ môn Đại số Trường Đại học Vinh. Tác giả xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong khoa Toán học, Phòng đào tạo Sau đại học của Trường Đại học Vinh và các bạn học viên cao học Toán khoá 18 tại Trường Đại học Sài Gòn đã hỗ trợ giúp đỡ và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn. Nghệ An, tháng 09 năm 2012. Tác giả 6 CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN MA ≤ : A là môđun con của môđun M. MA e ≤ : A là môđun con cốt yếu của môđun M. o ≤ : quan hệ thứ tự. MA ⊆ : A là tập hợp con của tập M. ( ) M,NHom : tập tất cả các đồng cấu môđun từ N đến M. ⊕ : tổng trực tiếp của các môđun. MN:f → : phép tương ứng từ N đến M. NM : môđun thương của M trên N. : phép nhúng. A ϕ : thu hẹp của ϕ trên A. MN ≅ : môđun N đẳng cấu với M. G.dim M : Chiều Goldie của môđun M. SG.dim M : Chiều Goldie mạnh của môđun M. □ : kết thúc một chứng minh. 7 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. MÔĐUN CON CỐT YẾU VÀ MÔĐUN ĐỀU Trong luận văn này, ta xét vành R là vành kết hợp có phần tử đơn vị, kí hiệu là 1, và tất cả các môđun xét trên vành R đều là R – môđun phải Unita (nếu không nói gì thêm). 1.1.1. Định nghĩa. Cho M là R – môđun phải và A là môđun con của M. • Môđun con A được gọi là môđun con cốt yếu trong M, kí hiệu e A M≤ , nếu với mọi môđun con X ≤ M, X ≠ 0 thì 0A X∩ ≠ . • Hay nói cách khác môđun con A của M được gọi là môđun con cốt yếu nếu với mọi môđun con X của M thoả mãn 0 =∩ XA thì X = 0. • Nếu A là môđun con cốt yếu của M thì M được gọi là mở rộng cốt yếu của A. 1.1.2. Định nghĩa. Một môđun U được gọi là môđun đều (hay uniform) nếu U O ≠ và A B O ∩ ≠ đối với mọi môđun con khác không A, B của U. Hay nói cách khác môđun U được gọi là môđun đều nếu U O≠ và mọi môđun con khác 0 của U đều cốt yếu trong U. 1.1.3. Ví dụ : • Mọi môđun M có e M M≤ • Z-môđun Z là môđun đều vì : Lấy A = mZ ≤ Z , m ≠ 0 và A = kZ ≤ Z , k ≠ 0. Khi đó : 0 ≠ m.k ∈ mZ ∩ kZ. □ • Z-môđun Q là môđun đều vì : Lấy 0 ≠ A , B ≤ Q ⇒ ∃ a b ∈A , m n ∈B ( a, b, m, n ∈ Z * ) Ta có : am = bm . a b ∈A am = an . m n ∈B 8 Khi đó : 0 ≠ am ∈A ∩ B. □ • Mọi môđun con khác không của môđun đều là đều. 1.1.4. Mệnh đề. Cho M là R-môđun. Khi đó ta có : (1) MA e ≤ khi và chỉ khi 0 , , 0A xR x M x ∩ ≠ ∀ ∈ ≠ . (2) Cho A B M≤ ≤ thì MA e ≤ khi và chỉ khi e A B≤ và e B M≤ . (3) Nếu , 1, i e i A B i n≤ = và , i i A B M ≤ thì 1 1 i n i n i i i i A B = = = = ≤ I I . Đặc biệt, nếu i e A M≤ thì 1 i n i e i A M = = ≤ I (4) Cho A B M≤ ≤ . Nếu e B A M A≤ thì e B M ≤ (5) Nếu f : M N → là đồng cấu môđun và e A N ≤ thì 1 ( ) e f A M − ≤ (6) Cho , i M M i I= ∈ ∑ , i i I A A ∈ = ⊕ và M i là môđun con của M, ∀ i ∈ I, trong đó i e i A M ≤ . Khi đó tồn tại i i I M ∈ ⊕ và i e i i I A M ∈ ≤ ⊕ Chứng minh. (1) Giả sử MA e ≤ , với 0 x M ≠ ∈ ⇒ 0,xR xR M≠ ≠ hiển nhiên 0A xR ∩ ≠ (theo định nghĩa). Ngược lại, nếu 0 , , 0A xR x M x ∩ ≠ ∀ ∈ ≠ . Khi đó giả sử 0 X M ≠ ≤ . Mà 0X A ∩ = . Do 0X ≠ ⇒ , 0x X X ∃ ∈ ≠ ta có : 0 ( ) 0X A xR A = ∩ ⊃ ∩ ≠ (vô lý) Vậy 0X A ∩ ≠ hay MA e ≤ . □ (2) Giả sử MA e ≤ . Lấy 0 X B ≠ ≤ ⇒ X M≤ ⇒ 0X A ∩ ≠ (do MA e ≤ ) suy ra e A B≤ . Lấy 0 X M ≠ ≤ ⇒ 0X A ∩ ≠ ⇒ 0X B ∩ ≠ (vì A B ≤ ) ⇒ e B M ≤ . Ngược lại, giả sử e A M ≤ . Lấy 0 X M ≠ ≤ và e B M ≤ ⇒ 0X B ∩ ≠ . Mà ( ) X B B ∩ ≤ và , ( ) 0 e A B X B A≤ ∩ ∩ ≠ ⇒ e A M≤ . □ (3) Lấy 1 0 i n i i i X B X B = = ≠ ≤ ⇒ ≤ I mà 0 i e i i A B X A ≤ ⇒ ∩ ≠ Do đó 1 0 i n i i X A = = ∩ ≠ I . Hay 1 1 i n i n i i i i A B = = = = ≤ I I . □ 9 (4) Lấy 0 X M ≠ ≤ . Giả sử 0X B ∩ = suy ra tồn tại X B ⊕ . Ta có ( ) / /X A A M A ⊕ ≤ . Do / / e B A M A ≤ nên (( ) / ) ( / ) 0X A A B A⊕ ∩ ≠ . Suy ra tồn tại x + a + A = b + A ⇒ b + a’ (a’ ∈ A) vô lý. Vậy 0 e X B B M ∩ ≠ ⇒ ≤ (5) Lấy 0 X M ≠ ≤ • Nếu f(X) = 0 ⇒ X ⊂ f -1 (A) ⇒ ( ) 1 ( ) 0X f A X − ∩ = ≠ • Nếu f(X) ≠ 0. Vì e A N≤ ⇒ ( ) 0A f X∩ ≠ Do đó tồn tại a ≠0, a ∈ A và a ∈ f(X) ⇒ a = f(x) và x ∈ X, x ≠ 0. Suy ra x = f -1 (a) ⇒ x ∈ f -1 (A) ⇒ 1 ( ) 0X f A − ∩ ≠ Vậy 1 ( ) e f A M − ≤ □ (6) Trước hết ta chứng minh cho trường hợp I hữu hạn. Dùng quy nạp, xét với n = 2, ta có : M = M 1 + M 2 , 1 1e A M≤ , 2 2e A M≤ tồn tại 1 2 A A⊕ Theo (3) ta có 1 2 1 2 ( ) ( ) e A A M M∩ ≤ ∩ hay 1 2 1 2 0 ( ) 0 e M M M M≤ ∩ ⇒ ∩ = Do đó tồn tại tổng 1 2 M M⊕ Xét phép chiếu : 1 1 2 1 2 1 2 2 : : M M M M M M ⊕ → ⊕ → ∏ ∏ Do 1 1e A M≤ ⇒ 1 1 1 1 2 ( ) ( ) e A M M − ≤ ∩ ∏ (theo 5) Nhưng ⇒ 1 1 1 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) e A A M A M M M − = ⊕ ⇒ ⊕ ≤ ∩ ∏ (1) Do 2 2e A M≤ ⇒ 1 2 2 1 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) e e A M M A M M M − ≤ ∩ ⇒ ⊕ ≤ ∩ ∏ (2) Lấy giao từng vế của (1) và (2) ta có : ( ) 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) e e A M A M M M A A M M ⇒ ⊕ ∩ ⊕ ≤ ∩ ⇒ ⊕ ≤ ∩ Bây giờ ta chứng minh cho trường hợp I vô hạn. Lấy , , i I i x M ∈ ∈ ∑ ta có thể biểu diễn , , i F i x X ∈ = ∑ với F hữu hạn thuộc I, theo trường hợp trên thì tồn tại i i F M ∈ ⊕ và sự biểu diễn đó là duy nhất. Tiếp theo lấy 0 0 i i I X M x X ∈ ≠ ⊂ ⊕ ⇒ ∃ ≠ ∈ mà , i i e i i I i I i I x M A M ∈ ∈ ∈ ∈⊕ ⊕ ≤ ⊕ (với F hữu hạn thuộc I) ⇒ 0 0 i i i I i I xR A X A ∈ ∈ ∩ ⊕ ≠ ⇒ ∩ ⊕ ≠ Vậy i e i i I i I A M ∈ ∈ ⊕ ≤ ⊕ . □ 10 1.1.5. Định nghĩa. Cho M là R-môđun. • Môđun con N được gọi là đóng trong M nếu N không có mở rộng cốt yếu thực sự nào trong M. Nói khác đi N gọi là đóng trong M nếu với mọi môđun con K của M mà N ≤ e K thì K = N ( tức là nếu N ≤ e K ≤ M ⇒ K = N) • Môđun con K của M được gọi là bao đóng của môđun con N trong M nếu K là môđun con tối đại trong M sao cho N là cốt yếu trong K. • Môđun con K của M được gọi là phần bù của môđun B trong M nếu K là môđun con tối đại trong số những môđun con của M có giao với B bằng không, và K được gọi là phần bù trong M nếu K là phần bù của môđun con nào đó của M. 1.1.6. Mệnh đề. Bao đóng của một môđun con N trong M luôn tồn tại. 1.1.7. Hệ quả. i) Nếu N là môđun đóng trong M thì hạng tử trực tiếp của N cũng đóng trong M. ii) Nếu N là môđun đóng trong hạng tử trực tiếp của M thì N cũng đóng trong M. iii) Nếu N là môđun đóng trong X và X đóng trong M thì N là môđun đóng trong M. 1.1.8. Bổ đề. Cho MN → : ϕ là đẳng cấu môđun trên R. Khi đó môđun con L của N cốt yếu trong N khi và chỉ khi ϕ (L) cốt yếu trong M. Chứng minh. (⇒) Cho NL e ≤ , thì MX ≤∀ sao cho ( ) 0 =∩ XL ϕ . Suy ra: ( ) ( )( ) ( ) 00 111 ==∩=∩ −−− ϕϕϕϕ XLXL . Do NL e ≤ nên ( ) 0 1 = − X ϕ 0 =⇒ X (ϕ là đẳng cấu). Vậy ( ) ML e ≤ ϕ . (⇐) Cho ( ) ML e ≤ ϕ , thì NY ≤∀ sao cho 0 =∩ YL . Do ϕ đẳng cấu ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 111 =∩=∩=∩⇒ −−− YLYLYL ϕϕϕϕϕϕϕ ( ) ( ) 0 =∩⇒ YL ϕϕ . Do ( ) ML e ≤ ϕ nên ( ) 0 = Y ϕ 0 =⇒ Y . Vậy NL e ≤ . 1.1.9. Mệnh đề. Với mọi môđun con A của môđun M luôn tồn tại môđun con T của M sao cho MTA e ≤⊕ . . TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THỊ THANH HUỆ CHIỀU GOLDIE MẠNH CỦA MÔĐUN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An, 2012 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ. THỊ THANH HUỆ CHIỀU GOLDIE MẠNH CỦA MÔĐUN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS.