Đang tải... (xem toàn văn)
Nguyên lý bài toán phụ giải bất đẳng thức biến phân .pdf
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM VĂN DŨNG NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM VĂN DŨNG NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60. 46. 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUYÊN – 2009 ụ ụở t t tứ ế Pt ể t ự tồ t ệ ột số t ế t tứ ế t q ồ t ệ trì t ù P ế t t tứ ế ệ ể t ộ P t ờ P ì ế s P t tứ ế ự t sr S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✸✳✶✳✷✳ ❍➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❋✉❦✉s❤✐♠❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺✸✳✶✳✸✳ ❍➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❦❤➠♥❣ r➭♥❣ ❜✉é❝ ✭ ❉ ✲ ●❛♣ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✮ ✳ ✳ ✹✵✸✳✷✳ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ❞ù❛ tr➟♥ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✸✸✳✷✳✶✳ ❚❤✉❐t ❣✐➯✐ t♦➳♥ ❞ù❛ tr➟♥ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ γcd(.) ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✸✸✳✷✳✷✳ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ❞ù❛ tr➟♥ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❋✉❦✉s❤✐♠❛ γc(.) ✳ ✳ ✳ ✹✹❑Õt ❧✉❐♥ ✹✼❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✹✽✷Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ở t tứ ế ợ ứ ụ rộ r tr ề ĩ ự tế ỹ tt trù ọ t ý t t tố ớ r ộ t tứ ế ò ọ r ộ ũ ột ề t ợ ề ờ q t ứ ì trò q trọủ ó tr ý tết t ọ tr ứ ụ tự tếột tr ữ ớ ứ q trọ ủ t tứ ế ệ ự ó rt ề t tứ ế ợ ứ ị t ụ ự tr ệ ể t ề ệ trì ựtr ỹ tt ự tr tế ể t ộụ í ủ trì tt t t tứ ế ự tr ì ế ồ trì ột số ế tứ ềt tứ ế ề ệ tồ t ệ ột số t ế t tứ ế r sẽ ớ tệ tt t ì ế t t tứ ế ệ ụ tể t ờ ì ế s sẽ r tt t tứ ế ự tt t ự tr sr ệ ỉ sS húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn ờ ợ t ớ sự ớ ủ ũ tỏ ò ết s s t ế ề t ù ớ sự ớ t tì tr tờ t ọ ọ t r q trì ọ t t ợ sự q t ú ỡ sự ệt tì ủ P ỗ P ị P Pợ r ũ ệ ễ ị ủ ù ề t t ệ ọ ệ ệ rờ ọ s ọ t tỏ ò ết ss ế t ễ ị ủ ộ ú ỡt rt ề tr sốt q trì ọ t tỏ ò ết tớ rờ ọ ọ ọ t trờ s ự t ề ề ệ t ợ tr tờ t ọ ọ t ị ọ ọ ồ ệ ọ trò ệt ọ trò r ị ễ ị ú ỡ t rt ề tr q trì ọt t sẽ ợ t ế tế sự t sS húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✈➭ sù ➤é♥❣ ✈✐➟♥ ❦Þ♣ t❤ê✐ ❝ñ❛ ❣✐❛ ➤×♥❤✳ ❳✐♥ ❣ö✐ tí✐ ❣✐❛ ➤×♥❤ ❧ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ❝❤➞♥t❤➭♥❤ ✈➭ s➞✉ s➽❝✳❚➳❝ ❣✐➯P❤➵♠ ❱➝♥ ❉ò♥❣✺Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn t t tứ ế t tứ ế ợ ết tt P ột ụ ợsử ụ tr ề ĩ ự ủ t ọ ứ ụ ề t ề ý tết tố tế t ý t ề ế t t tứ ế Pt ể t t P ề t ì tứ ợ ị ĩ sị ĩ ị ĩ ột t K ủ Rn F : K Rn t t tứ ế ợ ý ệ V IP (K; F ) ttì xs x K, F (x), x x 0, x K. ợ ữ ể xtỏ ợ ọ t ệ ủ V IP (K; F ) ý ệ SOL V IP (K; F ).S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn ú t sử r K t ồ ó F tụ tr K. ự tồ t ệị ý ị ý rr K Rnt ồ F : K K tụ tì F ó ột ể t ộổ ề ổ ề K ột t ồ ó ủ Rn ó ớ ỗ x Rn ó t y Ks x y = infKx ể tỏ ợ ọ ì ế ó ủ K tếty = P rKx.ú ý rP rKx = x, x K.ứ k K ột ự tể ó tứ ktỏ limkk x = d = infK x. ừ q t ì ì t óx + y2+ x y2= 2x2+ 2y2, x, y Rn. ụ tứ tìk h2= 2x k2+ 2x h2 4x 12(k+ h)2. S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn K ột t ồ 12(k+ h) K,d2 x 12(k+ h)2,ì k h2 2x k2+ 2x h2 4d2, từ t ết rlimkk h = 0. ó ó ột trị y K s limkk= y. rx y = limkx k = d.ể t t ỉ q st r t ỳ trị y, y K tỏ tì ó tể tứ t ị trí ủ k, h ề ty y2= 2x y2+ 2x y2 4x 12(y + y)2 4d2 4d2= 0,y = y. ị ý ị ý K t ồ ó tr Rn tì y = P rKx ì ế ủ K ỉ y K : y, y x, y K S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn [...]... y x2 = 0 tách x1 K2 1.3 Một số bài toán dẫn đến bất đẳng thức biến phân Trong phần này, ta giới thiệu một số bài toán có liên quan đến bất đẳng thức biến phân Đặc biệt, ta xét đến mối quan hệ giữa hàm lồi và toán tử đơn điệu f C 1 (K), K Rn , là tập lồi đóng, và đặt: Cho F (x) = gradf (x)(Đạo hàm của f) 1.3.1 Bài toán quy hoạch lồi Định lý 1.3.1 ( Xem [4] Định lý 5.1) Giả sử tồn tại x K sao cho:... vào đó ta có: yy 2 = y y ,y y x x ,y y x x yy , hay: yy 2 xx Dựa vào định lý điểm bất động Brower, ta chứng minh được sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.1) Định lý 1.2.5 ( Xem [4] Định lý 3.1) Cho compact và lồi, ánh xạ F : K K K khác rỗng, K Rn là tập liên tục, khi đó bài toán bất đẳng thức biến phân (1.1) có nghiệm, tức là tồn tại x K thỏa mãn: F (x ), x x 0, x K Chứng minh:... http://www.Lrc-tnu.edu.vn 2 Chương 2 Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu Trong phần này ta giới thiệu và phân tích một vài phương pháp hình chiếu khác nhau Các phương pháp này là những phương pháp cơ bản để tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân đơn điệu Cách làm này đòi hỏi khả năng tính toán hiệu quả hình chiếu trên tập lồi đóng không rỗng 2.1 K Điểm bất động Chúng ta bắt đầu với phương... từ bổ đề 2.3.3 (phần (iv)) 2 32 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Chương 3 Phương pháp giải bất đẳng thức biến phân dựa vào hàm đánh giá ý nghĩa cơ bản của cách tiếp cận này là dùng hàm đánh giá để quy bài toán bất đẳng thức biến phân về một bài toán tối ưu Có nhiều hàm đánh giá được xây dựng, trong đó hai hàm cơ bản là hàm đánh giá Auslender và hàm đánh giá Fukushima... tục trên K Điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (1.1) là tồn tại một số xR KR R>0 sao cho có một nghiệm của bài toán (1.6) thỏa mãn: xR < R (1.7) 11 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Chứng minh: Rõ ràng là nếu tồn tại một nghiệm x của bài toán (1.1) thì x là một nghiệm của bài toán (1.6), miễn là: x < R, vì: x KR K xR KR Giả... định lý điểm bất động Brower tồn tại: x = (x ) 10 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Theo định nghĩa của , thì: x = (x ) = PK (x F (x )) Theo tính chất của hình chiếu và định lý 1.2.3, ta có: F (x ), x x 0, x K Vậy bài toán bất đẳng thức biến phân (1.1) có nghiệm 2 Chú ý rằng bài toán (1.1) không phải luôn luôn có nghiệm khi K không bị chặn, ví dụ nếu K = R, thì bài. .. ), xR x0 F (xR ), x0 xR 0 Vì vậy, dựa vào (1.9), ta có |x| = R Nói cách khác, 2 |x| < R Thông thường, nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân không phải là duy nhất Tuy vậy vẫn có một điều kiện rất cơ bản đảm bảo cho sự duy nhất Giả sử x, x K là hai nghiệm khác nhau của bài toán (1.1) thì: x K : F (x), y x 0 y K, x K : F (x ), y x 0 y K Từ đây ta thấy, nếu: F (x) F (x ), x x > 0... gợi ý cho ta xây dựng cách giải bất đẳng thức biến phân theo phương pháp lặp sau đây: Thuật toán hình chiếu cơ bản: Cho: ALGO 1 x0 K Bước 0: Cho k = 0 Bước 1: Nếu: xk = PK [xk F (xk )], dừng xk là nghiệm Bước 2: Trái lại, đặt: xk+1 PK [xk F (xk )] và cho k k+1; rồi trở lại bước 1 Định lý sau đảm bảo cho sự hội tụ của Định lý tồn tại 2.1.1 ALGO 1: ( Xem [7] Định lý 3.1) Cho K Rn là tập lồi đóng... http://www.Lrc-tnu.edu.vn thì x là một nghiệm của bất đẳng thức biến phân x K : F (x), y x 0 với y K Chứng minh: Nếu vì vậy hàm: yK thì z = x + t(y x) với 0 t 1, (t) = f (x + t(y x)), 0 t 1 đạt cực tiểu khi t = 0 Nên, 0 (0) = grad f (x), y x = F (x), y x Điều đảo lại cũng đúng nếu Định lý 1.3.2 f 2 là hàm lồi, cụ thể ta có định lý sau: ( Xem [4] Định lý 5.2) Giả sử f lồi và x thỏa mãn: x K :... , thì P rK K là một tập lồi đóng trong là toán tử không giản, tức là: P rK x P rK x x x , x, x Rn 9 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn 2 http://www.Lrc-tnu.edu.vn Cho trước Chứng minh: x, x Rn , cho y = P rK x và y = P rK x , lúc này: y K : y, y x, y , K y K : y , y x , y , K Ta chọn =y =y cho bất đẳng thức đầu và cho bất đẳng thức thứ hai, thêm vào đó ta có: yy 2 = y . ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM VĂN DŨNG NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên ngành: Toán ứng dụng. Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM VĂN DŨNG NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC