BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH MAI TẤT THÀNH BẬC BÉ NHẤT CỦA CÁC ĐA THỨC CHẶN TRÊN HÀM ĐẶC TRƯNG EULER-POINCARE LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC VINH, 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH MAI TẤT THÀNH BẬC BÉ NHẤT CỦA CÁC ĐA THỨC CHẶN TRÊN HÀM ĐẶC TRƯNG EULER-POINCARE Chuyên ngành: I S V Lí THUYT S Mó số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN VINH, 2011 MỤC LỤC Trang Mục lục .02 Mở đầu 03 Chương Kiến thức chuẩn bị 05 1.1 Phổ, giá, chiều Krull môđun 05 1.2 Tập iđêan nguyên tố liên kết môđun .06 1.3 Môđun đối đồng điều địa phương 06 1.4 Dãy quy độ sâu 09 1.5 Phức Koszul 10 1.6 Phức đối ngẫu .11 1.7 Hệ tham số số bội 12 1.8 Bất biến kiểu đa thức p(M) 14 Chương II Bất biến pk(M) .17 2.1 Biểu diễn Xk(x; M) qua số bội 18 2.2 Bất biến pk(M) .19 2.3 Một số tính chất bất biến pk(M) 22 Kết luận 28 Tài liệu tham khảo 29 MỞ ĐẦU Cho ( R, m) vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại m ; M R-mơđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M d ; x ( x1 , , xd ) hệ tham số M Kí hiệu H i ( x; M ) môđun đồng điều Koszul thứ i M hệ tham số x Theo Serre [9], đặc trưng EulerPoincare bậc cao Xk ( x; M ) M hệ tham số x định nghĩa sau: Xk ( x; M )  ( 1)i  k ( H i ( x; M ), i k với k 0,1, , d Ở  (N) kí hiệu độ dài R-môđun N Cho n (n1, , nd ) gồm d số nguyên dương, kí hiệu x(n) ( x1n1 , , xdnd ) Khi x ( n) hệ tham số M Chúng ta xét Xk ( x(n); M )  ( 1)i  k ( H i ( x(n); M ) hàm theo biến n Hàm nói i k chung khơng phải đa thức theo biến n Tuy nhiên Garcia Roig [7] n1  nd t hàm Xk ( x(t ); M ) theo biến t bị chặn đa thức theo biến t bậc nhỏ tất đa thức theo biến t chặn hàm không phụ thuộc vào việc chọn hệ tham số x Năm 1992, [5], Nguyễn Tự Cường chứng minh kết k = (trong báo ơng kí hiệu I M (n; x) Xk ( x(n); M )) , nghĩa là, bậc nhỏ tất đa thức theo biến n chặn hàm Xt ( x(n); M ) không phụ thuộc vào việc chọn hệ tham số x, bậc bé kí hiệu p(M) gọi kiểu đa thức môđun M Năm 1996, báo [6], Nguyễn Tự Cường Vũ Thế Khôi mở rộng kết Cụ thể họ chứng minh bậc bé tất đa thức theo n chặn hàm Xk ( x(n); M ) không phụ thuộc vào việc chọn hệ tham số x; bất biến kí hiệu pk(M) Khi k = bất biến bất biến kiểu đa thức p(M) Nguyễn Tự Cường đưa [5] Mục đích Luận văn trình bày lại chi tiết kết báo [6] Nguyễn Tự Cường Vũ Thế Khôi: “On the partial Euler-Poincare characteristics of certain systms of parametes in local rings”, Math Z Vol 222, 383-390 Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, Luận văn chia thành chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Nội dung chương trình bày kiến thức Đại số giao hốn liên quan đến kết báo [6] như: Phổ, giá, chiều Krull môđun, môđun đối đồng điều địa phương, dãy quy độ sâu, phức Koszul, phức đối ngẫu, hệ tham số số bội, bất biến kiểu đa thức Ngồi ra, chúng tơi cịn trích dẫn số kết nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau Chương 2: Bất biến pk(M) Nội dung chương trình bày kết báo [6]: bất biến pk(M) số tính chất pk(M) Luận văn hoàn thành vào tháng 11 năm 2011 hướng dẫn dạy tận tình, nghiêm khắc giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp này, xin bầy lịng biết ơn sâu sắc tới Đồng thời xin cảm ơn thầy thầy giáo, cô giáo Khoa Toán, Khoa Sau đại học, Trường Đại học Vinh, tận tình giúp đỡ suốt trình nghiên cứu đến hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn đồng nghiệp, bạn bè gia đình tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập, nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng 11 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong luận văn này, giả thiết (R, m) vành giao hốn có đơn vị, địa phương với iđêan cực đại m M R-môđun 1.1 Phổ, giá, chiều Krull môđun 1.1.1 Phổ vành Ký hiệu SpecR tập tất iđêan nguyên tố vành R Khi SpecR gọi phổ vành R Với iđêan I R ta ký hiệu V ( I )  p  SpecR p  I   1.1.2 Độ cao iđêan Một dãy giảm iđêan nguyên tố vành R : p0  p1   pn gọi xích nguyên tố có độ dài n Cho p  SpecR , cận tất độ dài xích nguyên tố với p0 p gọi độ cao p , ký hiệu ht (p) Nghĩa là: ht (p) = sup{độ dài xích nguyên tố với p0 p } Cho I iđêan R, độ cao iđêan I định nghĩa: ht ( I ) inf{ht (p) p  SpecR, p  I } 1.1.3 Chiều Krull mô đun Cận tất độ dài xích nguyên tố R gọi chiều Krull vành R, ký hiệu dim R Cho M R-mơđun Khi dim( R / AnnR M ) gọi chiều Krull môđun M, ký hiệu dim M   1.1.4 Giá môđun Tập SuppM p  SpecR M p 0 SpecR gọi giá môđun M Với x  M ta ký hiệu AnnR x a  R ax 0 ;   AnnR M  a  R aM 0  a  R ax 0, x  M     Ta có AnnR x AnnR M (hoặc Annx AnnM không để ý đến vành R) iđêan M AnnM gọi linh hố tử mơđun M Hơn M R-mơđun hữu hạn sinh SuppM V ( AnnR M )  p  SpecR p  AnnR M   1.2 Tập iđêan nguyên tố liên kết môđun 1.2.1 Định nghĩa Cho M R-môđun ta gọi iđêan nguyên tố p R iđêan nguyên tố liên kết M hai điều kiện tương đương sau thoả mãn: i) Tồn phần tử x  M cho Ann( x ) p ; ii) M chứa môđun đẳng cấu với R / p Tập iđêan nguyên tố liên kết M ký hiệu Ass R M AssM không để ý đến vành R Như AssM  p  SpecR p  Ann( x )víi x  M 1.2.2 Mệnh đề AssM  SuppM phần tử tối tiểu SuppM thuộc AssM 1.2.3 Mệnh đề Nếu M R-mơđun Noether AssM tập hợp hữu hạn 1.3 Môđun đối đồng điều địa phương Một dãy R-môđun đồng cấu R-môđun f i fi   M i    M i  M i 1   gọi đối phức Im fi   Ker fi với i Nếu dãy đối phức mơđun thương Ker fi / Im fi  gọi môđun đối đồng điều thứ i đối phức Dãy gọi khớp mắt thứ i Im fi  = Ker fi Ta gọi dãy khớp khớp mắt Một dãy khớp có dạng f g 0  M '  M  M " 0 gọi dãy khớp ngắn Chú ý dãy khớp f đơn cấu, g toàn cấu Im f = Ker g 1.3.1 Định nghĩa Cho I iđêan R Với R-môđun N ta định nghĩa  I ( M )   (0 M : I n ) n0 Nếu f : N  M đồng cấu R-mơđun ta có đồng cấu f *   I ( N )   I ( M ) cho f * ( x )  f ( x ) Khi f g 0  M '  M  M " 0 dãy khớp ngắn R-mơđun dãy cảm sinh * * f 0   I ( M ')   I ( M ) g  I ( M ")  0 khớp Vì hàm tử  I ( ) có tính chất nêu nên ta nói  I (  ) hàm tử hiệp biến, khớp trái từ phạm trù R-môđun đến phạm trù Rmôđun Hàm tử  I ( ) gọi hàm tử I-xoắn Một R-môđun E gọi môđun nội xạ với đơn cấu f : N  M đồng cấu g : N  E , tồn đồng cấu h : M  E cho g hf Cho E R-mơđun M mơđun E Ta nói E mở rộng cốt yếu M M  L 0 với môđun L 0 E Ta nói E bao nội xạ M E mở rộng cốt yếu M E môđun nội xạ Chú ý R-mơđun M có bao nội xạ bao nội xạ M xác định sai khác đẳng cấu Vì ta kí hiệu bao nội xạ M ER ( M ) hay E ( M ) 1.3.2 Định nghĩa Một lời giải nội xạ R-môđun N dãy khớp  N  E0  E1  E2   Ei mơđun nội xạ Chú ý môđun nhúng vào mơđun nội xạ, thế, mơđun có lời giải nội xạ 1.3.3 Định nghĩa Cho N R-môđun I iđêan R Môđun dẫn xuất phải thứ n hàm tử I-xoắn  I ( ) ứng với N gọi môđun n đối đồng điều thứ n N với giá I, kí hiệu H I ( N ) Cụ thể, u u E  0 N  E0  E1   giải nội xạ N, tác động hàm tử  I    ta có đối phức u u1 0  ( E )    ( E0 )     ( E2 )   n * * Khi H I ( N ) Kerun / Imun , tức môđun đối đồng điều thứ n N với giá I mơđun đối đồng điều thứ n đối phức Chú ý * * môđun Kerun / Imun không phụ thuộc vào việc chọn lời giải nội xạ N Sau số tính chất mơđun đối đồng điều địa phương 1.3.4 Mệnh đề Cho N R-môđun Các phát biểu sau i) H I ( N )  I ( N ) i ii) Nếu N nội xạ H I ( N ) 0 với i 1 i iii) Nếu N  I ( N ) H I  N  0 với i 1 i i i iv) H I  M  môđun I-xoắn với I, tức H I ( M )  I ( H I ( M )) Đặc j i biệt, H I ( H I ( M )) 0 với j > 0 N ' N  N" 1.3.5 Mệnh đề Cho dãy khớp ngắn R-mơđun Khi tồn với số tự nhiên n đồng n n 1 cấu  n : H I  N "  H I ( N ') cho ta có dãy khớp dài   H ( N ')     I ( N ')   I ( N )   I ( N '')  H I1 ( N ')  H I1 ( N )  H I1 ( N '')  I Các đồng cấu  n mệnh đề gọi đồng cấu nối 1.3.6 Mệnh đề Đặt M M /  I  M  Khi với số tự nhiên n 1 ta có H In ( M ) H In ( M ) Kết sau nói chiều mơđun hữu hạn sinh M bất biến quan trọng M có liên quan trực tiếp tới tính triệt tiêu môđun đối đồng điều địa phương i 1.3.7 Mệnh đề dimM sup  i H m ( M ) 0 Kí hiệu ara(I) số tự nhiên t bé cho có t phần tử R sinh I Ta có kết sau i 1.3.8 Mệnh đề H I  M  0 với i  ara ( I ) 1.3.9 Mệnh đề H mi ( M ) R-môđun Artin với i Hơn H Ii ( M ) 0 với i > d H md (M ) 0 1.4 Dãy quy độ sâu 1.4.1 Định nghĩa i) Một phần tử a  R gọi ước M tồn phần tử x  M , x 0 cho ax 0 ii) Phần tử a  R gọi M-chính quy M aM a không ước M iii) Một dãy a1 , , an  R gọi M-dãy quy M (a1 , ,  ) M M / (a1 , ,  ) M -chính quy với i  , , n 1.4.2 Mệnh đề Cho x1, , xn dãy phần tử thuộc iđêan cực đại m Khi phát biểu sau tương đương: i) x1, , xn dãy qui M; ii) Phần tử xi không ước M / ( x1,, xi  )M , với i  , , n; iii) xi  p, p AssM / ( x1,, xi  1)M  i  , , n 1.4.3 Định nghĩa Cho I iđêan tuỳ ý R x1, , xr M-dãy I Khi x1, , xr gọi dãy quy cực đại I khơng tồn y  I cho ( x1, , xr , y ) dãy quy M Ta biết dãy quy cực đại iđêan I có độ dài Do độ dài dãy quy cực đại iđêan I gọi độ sâu M iđêan I, ký hiệu depth( I , M ) Đặc biệt, I m depth(m, M ) gọi độ sâu M ký hiệu depthM Nếu x1, , xr dãy quy M phần hệ tham số M Do depth M dim M Độ sâu môđun M iđêan I đặc trưng thơng qua tính triệt tiêu môđun đối đồng điều địa phương sau 1.4.4 Mệnh đề Cho I iđêan R ta có :   depth(I , M ) inf i H Ii ( M ) 0 16 Vậy ta suy I M (m; x) I M ( n; x) Do I M (t ; x) I M (n; x) t ni , i 1, , d Điều chứng tỏ p( M )  p ( x) Vậy p( M )  p( x) với hệ tham số x Từ định lý ta có định nghĩa sau 1.8.4 Định nghĩa Bậc bé tất đa thức chặn I M (n; x) bất biến M Bất biến gọi kiểu đa thức M ký hiệu p ( M ) 1.8.5 Chú ý Để thuận tiện ta xem bậc đa thức không   Khi ta thấy rằng: M mơđun Cohen-Macaulay p ( M )   M môđun Cohen-Macaulay suy rộng p ( M ) 0 Vậy kiểu đa thức mơđun xem độ đo tốt xem mơđun gần với tính Cohen-Macaulay Dựa vào công thức giới hạn Lech số bội lim (n1 nd )  ( xnn1 , , xdnd ; M ) e( x1 , , xd ; M ), min( ni )   ta dễ dàng suy bất đẳng thức p ( M ) dim M  17 CHƯƠNG II BẤT BIẾN pk(M) Cho ( R, m) vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại m ; M R-mơđun hữu hạn sinh có chiều Krull d; x ( x1 , , xd ) hệ tham số M Kí hiệu Hi(x; M) môđun đồng điều Koszul thứ i M hệ tham số x Theo Serre [9], đặc trưng EulerPoincare bậc cao Xk ( x; M ) M hệ tham số x định nghĩa sau: Xk ( x; M )  ( 1)i  k ( H i ( x; M ), i k với k = 0, , d Ở  (N) kí hiệu độ dài R–mơđun N Cho n (n1, , nd ) gồm d số nguyên dương, kí hiệu x(n) ( x1n1 , , xdnd ) Khi x(n) hệ tham số M Chúng ta xét Xk ( x(n); M )  ( 1)i  k ( H i ( x(n); M ) hàm theo biến n Hàm i k nói chung khơng phải đa thức theo biến n Tuy nhiên Garcia Roig [7] n1 = = nd = t hàm Xk ( x(t ); M ) theo biến t bị chặn đa thức theo biến t bậc nhỏ tất đa thức theo biến t chặn hàm không phụ thuộc vào việc chọn hệ tham số x Năm 1996, Nguyễn Tự Cường Vũ Thế Khôi [6] chứng minh bậc bé tất đa thức theo n chặn hàm Xk ( x(n); M ) không phụ thuộc vào việc chọn hệ tham số x; bất biến kí hiệu pk(M) Khi k = bất biến bất biến kiểu đa thức Nguyễn Tự Cường đưa [5] mà trình bày Chương1 Mục đích chương trình bày lại chi tiết kết báo [6] Nguyễn Tự Cường Vũ Thế Khôi: “On the partial Euler-Poincare 18 characteristics of certain systems of parametes in local rings”, Math Z Vol 222, 383-390 Cũng chương trước, chương này, giả thiết ( R, m) vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại m ; M R-mơđun hữu hạn sinh có chiều Krull d 2.1 Biểu diễn Xk ( x; M ) qua số bội 2.1.1 Bổ đề Giả sử x ( x1, , xt ) hệ bội M Cho j k hai số nguyên dương cho t  j k  Khi j e( x j 1, , xt ;( H k ( x1, , x j ); M )   e( x1, , xt (0: xi ) H i k k  1( x1, , xi 1;M ) j   e( xi 1, , xt ;(0 : xi ) i k 1 e( xi 1, , xt ;(0 : xi ) H k ( x1, , xi 1;M ) H k  1( x1, , xi 1;M ) ) l ((0: xi ) ) ), H k ( x1, , xi 1;M ) ) i = t Chứng minh Chứng minh quy nạp theo j Dễ dàng kiểm tra thấy bổ đề với j = Nếu j > Từ dãy khớp môđun đồng điều Koszul  H k ( x1 ,, x j 1; M) / xjH k ( x1, , xj 1; M)  H k (x1, , x j ;M)  (0 : x j ) Hk-1 x1,, xj 1;M  tính chất cộng tính số bội, ta có e( x j 1, , xt ; H k ( x1, , x j  1; M )) = e( x j 1, , xt ;(0: x j ) H ( x , , x ;M ) ) j k 1 + e( x j 1, , xt ; H k ( x1, , x j  1; M ) / x j H k ( x1, , x j  1; M )) = e( x j 1, , xt (0: x j ) H k  1( x1, , x j 1;M ) ) + e( x j 1, , xt (0: x j ) Hk ( x1, , x j 1;M ) ) + e( x j 1, , xt ; H k  ( x1, , x j  1; M )) Do từ giả thiết qui nạp ta suy điều phải chứng minh  Từ bổ đề trên, ta có hệ sau 2.1.2 Hệ Giả sử x {x1, , xt } hệ bội M Khi t Xk ( x; M )   e( xi 1, , xt ;(0: xi ) i k ) H k  1( x1, , xi 1;M ) 0 19 Từ Hệ 2.1.2, có số hệ thú vị Trước hết, số bội số nguyên không âm nên nhận kết quen biết sau Serre 2.1.3 Hệ Giả sử x {x1, , xt } hệ bội M Khi Xk ( x; M ) 0 với k 0 Chú ý X0 ( x; M ) e( x; M ) Từ suy X1 ( x; M ) l ( H ( x; M )  X0 ( x; M ) l ( M / ( x) M )  e( x; M ) Vì từ Hệ 2.1.2 ta có cơng thức bội Auslander - Buchsbaum [3]: 2.1.4 Hệ Giả sử x {x1, , xt } hệ bội M Khi i e( x; M ) l ( M / ( x) M )   ei (xi 1, , xt ;( x1,, xi  1)M : xi / ( x1,, xi  1)M ) i 1 2.2 Bất biến pk(M) 2.2.1 Bổ đề Cho phần tử a  R s số nguyên dương tùy ý Khi đó: ' i) l (0 : a s ) l (0 : a s ) với s’  s; M M s ii) l (0 : a ) M  sl (0 : a ) M Chứng minh i) Ta có , ,  (0: a s ) M  (0: a s ) M  (0: a s ) M / (0: a s ) M  dãy khớp R–mơđun Từ suy , , l ((0: a s ) M / (0: a s ) M )  l (0: a s ) M l (0: a s ) M , Do l (0: a s ) M l (0: a s ) M với s’  s ii) Bằng quy nạp theo s, ta suy điều cần chứng minh  2.2.2 Bổ đề Cho x {x1, , xd } hệ tham số M n n1, , nd d số nguyên dương tùy ý Khi với k 0,1, ,d, ta có: i) Xk ( x1 , , xd d ; M ) n1 nd Xk ( x; M ) n n n t n t ii) Xk ( x1 , , xd d ; M ) Xk ( x11 , , xdd ; M ) với t1 n1, , td nd Chứng minh i) Khi k = 0, ta có X0 ( x; M ) e( x; M ) nên Bổ đề với k = ... ĐẠI HỌC VINH MAI TẤT THÀNH BẬC BÉ NHẤT CỦA CÁC ĐA THC CHN TRấN HM C TRNG EULER- POINCARE Chuyên ngành: I SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS... ) hàm theo biến n Hàm nói i k chung đa thức theo biến n Tuy nhiên Garcia Roig [7] n1  nd t hàm Xk ( x(t ); M ) theo biến t bị chặn đa thức theo biến t bậc nhỏ tất đa thức theo biến t chặn. .. ( x) Hệ 1.6.2 nói lên hàm I M (n; x) đa thức hàm bị chặn đa thức n1 nd I M ( x) Định lý sau khái quát tính chất 1.8.3 Định lý Bậc nhỏ đa thức theo biến n1 , , nd chặn hàm số I M (n, x) độc lập