Đang tải... (xem toàn văn)
Một số tính chất chọn lọc về hệ động lực rời rạc .pdf
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN NGUYÊN BÌNH MỘT SỐ TÍNH CHẤT CHỌN LỌC VỀ HỆ ĐỘNG LỰC RỜI RẠC LLUUẬẬNN VVĂĂNN TTHHẠẠCC SSĨĨ TTOOÁÁNN HHỌỌCC Thái Nguyên - năm 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN NGUYÊN BÌNH MỘT SỐ TÍNH CHẤT CHỌN LỌC VỀ HỆ ĐỘNG LỰC RỜI RẠC Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LLUUẬẬNN VVĂĂNN TTHHẠẠCC SSĨĨ TTOOÁÁNN HHỌỌCC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. VŨ NGỌC PHÁT Thái Nguyên - năm 2009 ụ ụụ ụ ờ ó ột số í ệ ù tr sở t ọ P trì s ý tết ổ ị ị ý ổ ề ổ trợ ổ ị ổ ị ệ rờ r ổ ị ủ ệ rờ r ổ ị ủ ệ rờ r tế tí ổ ị ủ ệ rờ r tế ổ ị ủ ệ rờ r tế tí ó trễ ổ ị ệ rờ r t ổ ị ổ ị ủ ệ tế tí ổ ị ổ ị ề ữ ệ ó trễ ự ổ ị ề ữ ủ ệ ó trễ ự ổ ị ề ữ ổ ị ề ữ ủ ệ ó trễớ ễ tế ết ệ t S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ờ ó ý tết ị tí ệ ộ ự ột tr ữ ớ ứ q trọ tr ý tết trì s r ýtết ó tí ổ ị ột tr ữ tí t t ể ó ề ứụ tr tự tế ợ q t ứ tr ữ t ỷ ợ t ứ từ ố tế ỷ ở t ọ ế trở t ột ớ ứ tể tế tr ý tếtệ tố ứ ụ trì ủ ó ề ết q ýtở t s ó trị ề t ữ ứ s tếó ò ó ý ĩ t ề ó t ộ ý tết ị tí ủ trì tờ ề t ũ tứ t tứ trự tế tế í ứ ề ổ ị ế ữ ủ tế ỷ ù ớ sự ttrể ủ ý tết ề ể ờ t ũ t ứ tí ổ ịủ ệ ề ể t ứ tí ổ ị ệ ề ểợ ọ t ổ ị t ổ ị ệ rờ r ột tr ữ t qtrọ tr ý tết ị tí ệ ộ ự t từ trớ ế ợ sự q t ủ ề t ọ tr ớó tể ể r ột số t s r s rss ữ ờ ễ ũ ọ Pt ễ ố ụ ồ ở t ệ t sở t ọ ổ ị ổ ị ó ệ rờ rS húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ổ ị ổ ị ó ề ữ ệ ó trễ trì ột số ế tứ ủ số tế tí trì s ột số ổ ề ị ý q trọ trì ứ ổ ị ủ ột số ết q ể ệ tế tí ồ tờ ú t ũ trì ột số t ổ ị ó ó ố ớ ệ ề ể rờ r tếtí x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), k Z+, t ớ ột ết q ứ t ớ t tứ tr ết q ò ứ ự tr tí ề ể ợ ủ tr ệ số [A, B]. trì ột số ứ ớ ở ú t ét ệrờ r tế tí rt ó trễx(k + 1) = (A + DaFa(k)Ea)x(k)+(B + DbFb(k)Eb)x(k h)+(C + DcFc(k)Fc)u(k) k Z+, ệ rờ r ó trễ ớ ễ tếx(k + 1) =(A + DaFa(k)Ea)x(k) + (B + DbFb(k)Eb)x(k h)+ f(k, x(k), x(k h)), k Z+,x(k + 1) =(A + DaFa(k)Ea)x(k) + (B + DbFb(k)Eb)x(k h)+ (C + DcFc(k)Ec)u(k) + f(k, x(k), x(k h), u(k)), k Z+,tr ó x(k) Rn ế tr t u(k) Rm ế ề ểA, B, C, Da, Ea, Db, Eb, Dc, Ec tr trớ ớ số ềtí ợ Fa(k), Fb(k), Fc(k) tr ết ớsố ề tí ợ t Fa(k) 1, Fb(k) 1, Fc(k) 1,f(.) tếệ ứ tí ổ ị ó ề ữ ủ ệ ệ ở rộ ứ tí ổ ị ề ữ ủ ệ tí ổ ị ề ữ ủệ ó ở tì ợ ề ể ợ u(k) = h(x(k))S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ể ệ ổ ị ợ ú t ết ề ũ tự ệ ợ ớ ột ệ rờ r ó trễ t ỳ t ề ệ t r f(.) ũ ột trở tr q trì ứ ở ú t tết ề ệ t trở f(.), tứ trệ f(.) ó tí t f(k, x, y) a x +b y , (k, x, y) Z+ì Rnì Rn,a, b ữ số trớ tr ệ f(.) ó tí t f(k, x, y, z) a x +b y +c z ,(k, x, y, z) Z+ìRnìRnìRm,a, b, c ữ số trớ ợ t ớ sự ớ t tì ủ ũ ọ Pt ị tỏ ò ết ss t ố ớ t ủ ệ ọ t tì tr sốt q trì ọ ọ rờ tế & ọ trờ tế & trờP ọ trờ P qt ú ỡ t ề ệ t ợ t tự ệ ế ọ t ủì ờ t ồ ệ ổ ũ ộ t trsốt q trì S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ột số í ệ ù tr Z+ t tt số R+t tt số tự Rn é t nề ớ í ệ tí ớ ., . é t . ; Rnìr tr (n ì r) ề AT tr ể ị ủ tr A; tr A ợ ọ ố ứế A = AT; I tr ị Sp(A) t tt trị r ủ A. max(A) = max{Re : Sp(A)}; min(A) = min{Re : Sp(A)}. A ủ tr A, ợ ị ĩ ở A = (ni=1nj=1|aij|2)12. tr A ợ ọ ị í ệ A 0, ếAx, x 0,x Rn; tr A ợ ọ ị ếAx, x 0,x RnAx, x> 0 ớ x = 0.S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn sở t ọ P trì s ét trì x = f(t, x), t I = [t0, t0+ b],x(t0) = x0, x Rn, t0 0,tr ó f(t, x) : I ì D Rn, D = {x Rn: x x0 a}.ệ x(t) ủ tụ t (t, x(t)) I ì D, x(t) t trì sử f(t, x) tụ tr I ì D, ó ệ x(t) ở tí sx(t) = x0+tt0f(s, x(s))ds.r trờ ợ ệ ó x = Ax + g(t), t 0,x(t0) = x0, t0 0,ớ A tr g(t) : [0,) Rn tí ờ t ứ ợ tồ t t ệ ở tứ sx(t) = eA(tt0)x0+tt0eA(ts)g(s)ds. S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ố ớ ệ ừx = A(t)x + g(t), t 0,x(t0) = x0, t0 0,tr ó A(t) tụ t t A(t) m(t), ớ m(t), g(t) tí tì ệ ũ ó ệ t ệ ể ễq tr ệ ủ ệ t tx = A(t)x, x(t) = (t, t0)x0+tt0(t, s)g(s)ds,tr ó (t, s) tr ệ ủ ệ tỏ (i)ddt(t, s) = A(t)(t, s), t s,(ii)(t, t) = I. ệ trì t ũ ét ệ s tứ ét ệx(k + 1) = f(k, x(k)), k = 0, 1, 2, tr ó f(.) : Z+ì Rn Rn trớ ó ớ tr t x(0) = x0ệ ó ệ ị ở tứ tr ồx(1) = f(0, x0), x(2) = f(1, f(0, x(0))), ớ ệ sự tồ t ệ ủ ệ ề ệ tụ ũ tí st ủ f(.). rờ ợ ệ tế tí x(k + 1) = A(k)x(k) + g(k), k Z+, tì ớ ề ệ x(0) = x0tỳ ý g = {g(0), g(1), ., g(k 1), .},S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ệ x(k) t ớ k > 0 ở tứ x(k) = F (k, 0)x0+k1s=0F (k, s + 1)g(s),tr ó F (k, s) tr ệ ủ ệ tế tí t tx(k + 1) = A(k)x(k), k Z+. ó tể ể ễ tứ ủ F (k, s) sF (k, s) = A(k 1).A(k 2) .A(s), k s 0, F (k, k) = I.ế A(.) tr tì F (k, s) = Aks, k s 0 óệ ủ ệ tế tí ừ ớ tờ rờ r x(k) = Akx0+k1s=0Aks1g(s).ể ệ trì s ờ t tờ ù t tứ q trọ sị ý t tứ r rờ r z(k), a(k) : Z+Z+ số C 0 t ề ệz(k) C +k1s=0a(s)z(s), k = 1, 2, ., z(0) C. óz(k) Ck1s=0(1 + a(s)), k = 1, 2, ý tết ổ ị ét ột ệ tố t ở trì ở tr sử số f(.) t ề ệ ủ t ó ệ ó tí ủ ệ ợ ởx(t) = x0+tt0f(s, x(s))ds.S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... ([16]) Cho E, H và F là các ma trận thực có số chiều thích F T F I Khi đó khẳng định sau là đúng: EF H T + HF T E T EE T + 1 HH T , > 0 14 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2 ổn định và ổn định hóa các hệ rời rạc ổ 2.1 2.1.1 n định của các hệ rời rạc ổ n định của các hệ rời rạc tuyến tính Xét hệ rời rạc tuyến tính x(k + 1) = Ax(k), k Z+ Với x(0) = x0 (2.1)... định và khi đó hệ sẽ ổn định với Ví dụ 2.1.3 C(k) a, a đủ nhỏ Xét hệ phương trình 1 1 x(k) + yk , 2(k + 1) 4(k + 1) 1 y(k + 1) = yk , k Z+ , 2(k + 1) x(k + 1) = trong đó 1 1 A(k) = 2(k + 1) 4(k + 1) 1 0 2(k + 1) 3 3 A(k) = =q0 tồn tại ( x(0) < Hệ (1.6) gọi , k0 phụ thuộc x(k) < thì ổn định và có một số ổn định là với mỗi ) sao cho với mọi nghiệm k k0 với mọi >0 nếu sao cho lim Hệ là x(k) của hệ mà ổn định tiệm cận x(k) = 0 t > 0, k0... minh Nghiệm của hệ (2.5) là k1 x(k) = F (k, 0)x0 + F (k, s + 1)g(s, x(s)), s=0 trong đó F (k, s) là nghiệm cơ bản của hệ tuyến tính x(k + 1) = A(k)x(k) Từ đó ta có đánh giá k1 x(k) F (x, 0)x0 + F (k, s + 1)g(s, x(s)) s=0 k1 qk x0 q ks1 L(s) + x(s) s=0 Sử dụng bất đẳng thức Gronwall rời rạc ta được k1 x(k) x0 (q + L(s)) s=0 Mặt khác vì lim supL(k) = 0 và k một số N >0 q < 1, nên có một số >0 đủ nhỏ... sâu sắc, có ý nghĩa khi quay trở về nghiên cứu các hệ liên tục Xét hệ động lực được mô tả bởi phương trình điều khiển rời rạc x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k), k = 0, 1, 2, , x(k) Rn , u(k) Rm , trong đó A(k), B(k) u(k) Rm , (m n) biết bài toán x(0) = x0 Cauchy là các ma trận (n ì n) và (n ì m) (2.20) chiều tương ứng, được gọi là véc tơ điều khiển của hệ (2.20) của hệ này luôn có nghiệm Với điều kiện... kiện khi đó lại đòi hỏi về tính điều khiển được của cặp ma trận [A, B] Trước hết ta có định nghĩa sau Định nghĩa 2.2.4 Hệ phương trình (2.22) gọi là một số nguyên dương Để cho gọn ta nói N sao cho [A, B] điều khiển được nếu tồn tại rank[B, AB, A2 B, , AN 1 B] = n điều khiển được nghĩa là hệ (2.22) điều khiển được Bổ đề 2.2.5 (Lyapunov rời rạc) Giả sử F, G là các ma trận hằng số sao cho [F, G] điều... định k , nghĩa ổn định tiệm cận thì hoặc do đó ta có định lý sau Hệ (2.1) là ổn định tiệm cận nếu một trong hai điều kiện sau xảy ra (i) Tồn tại một số (ii)| q : 0 < q < 1 sao cho A = q < 1 |< 1 với mọi Sp(A) Bây giờ ta xét hệ tuyến tính không dừng x(k + 1) = A(k)x(k), k Z+ Định lý 2.1.2 ([3]) Đối với hệ 2.2 ta có khẳng định (i) Hệ là ổn định tiệm cận nếu tồn tại mọi (2.2) q (0, 1) sao cho A(k)... Ta nói cho trước, tồn tại số x(t) : x(t0 ) = x(0) của hệ t t0 ổn định và thêm vào đó tồn tại x(t) = 0 t Hệ (1.1) là ổn định mũ nếu nó là ổn định tiệm cận và tồn tại các hằng số dương , M sao cho mọi nghiệm x(t) < M et thì hệ Hệ (1.1) là ổn định nếu với mỗi >0 Khi đó nghiên cứu sự nào đó của hệ (1.1) tương đương với nghiên cứu (1.1) với giả thiết hệ có nghiệm (1.8) với mọi của (1.1) : x0 < t t0 . MỘT SỐ TÍNH CHẤT CHỌN LỌC VỀ HỆ ĐỘNG LỰC RỜI RẠC LLUUẬẬNN VVĂĂNN TTHHẠẠCC SSĨĨ TTOOÁÁNN HHỌỌCC Thái Nguyên - năm 2009 Số hóa. HỌC SƯ PHẠM TRẦN NGUYÊN BÌNH MỘT SỐ TÍNH CHẤT CHỌN LỌC VỀ HỆ ĐỘNG LỰC RỜI RẠC Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LLUUẬẬNN VVĂĂNN TTHHẠẠCC