Đang tải... (xem toàn văn)
Một số kết quả nghiên cứu gần đây về các ánh xạ chỉnh hình tách biến .pdf
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠ I HỌ C THÁ I NGUYÊN TRƯỜ NG ĐẠ I HỌ C SƯ PHẠ M DƯƠNG THỊ HỒNG NGỌC MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU GẦN ĐÂY VỀ CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TÁCH BIẾN CHUYÊN NGÀ NH : TOÁN GIẢI TCH M SỐ : 60.46.01 LUẬ N VĂN THẠ C SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚ NG DẪ N KHOA HỌ C: TS . NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI Thái Nguyên- 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠ I HỌ C THÁ I NGUYÊN TRƯỜ NG ĐẠ I HỌ C SƯ PHẠ M DƯƠNG THỊ HỒNG NGỌC MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU GẦN ĐÂY VỀ CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TÁCH BIẾN LUẬ N VĂN THẠ C SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên- 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang Mở đầu .1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị .5 1.1. Miền xấp xỉ .5 1.2. Tập đa cực .9 1.3. Hàm cực trị tương đối .9 1.4. Độ đo đa điều hoà dưới .10 1.5. Ánh xạ chỉnh hình tách .11 1.6. Tính chất thác triển Hartogs 14 1.7. Lý thuyết Poletsky về các đĩa và định lý của Rosay trên các đĩa chỉnh hình 15 Chương 2. Một số kết quả nghiên cứu gần đây về ánh xạ chỉnh hình tách biến .17 2.1. Dạng tổng quát của định lý Alehyane - Zeriehi trong trường hợp ,A D B G 17 2.2 Bài toán 1 trong trường hợp , A D B G .23 2.3. Bài toán 1 trong trường hợp tổng quát 36 2.4. Bài toán 2 51 2.5. Một số áp dụng 55 Kết luận .58 Tài liệu tham khảo 59 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 MỞ ĐẦU Nghiên cứu về ánh xạ chỉnh hình tách biến là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích phức. Những kết quả cơ bản trong lĩnh vực này gắn liền với các tên tuổi như Riemann, Hartogs, Oka, Bernstein . Ngày nay, nhiều nhà toán học trên thế giới vẫn tiếp tục quan tâm đến vấn đề trên bằng những cách tiếp cận khác nhau nhằm giải quyết được những bài toán cụ thể đặt ra trong lĩnh vực đó. Trong đó có hai bài toán cơ bản sau: Bài toán 1: Cho ,XYlà hai đa tạp phức, giả sử D( tương ứng G) là một tập con mở của X(tương ứng Y),A (tương ứng B) là một tập con của D(tương ứng G) vàZlà không gian giải tích phức. Ta định nghĩa chữ thập như sau: : (( ) ) ( ( )). W D A B A G BÈÈÈ Bao chỉnh hình của chữ thậpWlà một tập con mở ''tối ưu'' của XY ký hiệu là W được đặc trưng bởi các tính chất sau: Với mỗi ánh xạ : f W Z thoả mãn ( , ) ( , ) ( , ), ,( , ) ( , ) ( , ), ,f a G B Z G Z a Af b D A Z D Z b BÎ È Ç ÎÎ È Ç ÎCOCO thì tồn tại một ánh xạ ( , )f W ZÎ O sao cho với mọi ( ) ,WÎz,h( , )f z wdần tới ( , )f zh khi ( , )z w WÎ dần tới ()z,h . Trước khi nói đến bài toán thứ hai ta đưa ra một vài thuật ngữ và ký hiệu sau: Cho, , , , ,X Y D G A B và ZvàWnhư trong bài toán 1.Giả sử,MW tập hợp : :( , ) , ,aM w G a w M a AÎ Î Îđược gọi là thớ thẳng đứng của M trêna (tương ứng : :( , ) , ,bM z D z b M b BÎ Î Îđược gọi là thớ nằm ngang của M trên b). S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Ta núi rng Mcú tớnh cht no ú trong cỏc th trờn A(tng ngB) nu tt c cỏc th thng ng ,,aM a Aẻ (tng ng tt c cỏc th nm ngang ,,bM b Bẻ) cú tớnh cht ny. Bi toỏn 2: Vi gi thit trờn v ký hiu Wl bao chnh hỡnh ca Wc a ra trong bi toỏn 1 .Vi mi tp con MWa cc a phng úng tng i(tng ng mng) trong cỏc th trờn A v B(cú th M ặ) thỡ tn ti mt tp"ti u" cỏc im k d MW l a cc a phng úng tng i (tng ng l tp gii tớch úng tng i) c c trng bi cỏc tớnh cht sau. Vi mi ỏnh x : f W Z tho món ( , ) (( ) , ) ( , ), ,( , ) (( ) , ) ( , ), ,aabbf a G B \ M Z G \ M Z a Af b D A \ M Z D \ M Z b Bẻ ẩ ầ ẻẻ ẩ ầ ẻCOCO thỡ tn ti ỏnh x( \ , )f W M Zẻ Osao cho vi mi ( ) ,W \ Mẻz,h( , )f z wdn ti ( , )f zh khi ( , ) \z w W Mẻ dn ti ()z,h . Cú rt nhiu nh toỏn hc ó nghiờn cu gii quyt hai bi toỏn trờn trong mt s trng hp c th. Kt qu ch yu u tiờn ca chnh hỡnh tỏch l nh lý thỏc trin Hartogs i vi cỏc hm chnh hỡnh tỏch (xem [9]) gii quyt bi toỏn 1 trong trng hp , , , , nmX Y A D B G Z v kt qu l W D G. S dng hm cc tr tng i, Siciak ó gii quyt bi toỏn 1 trong trng hp , , , A D B G X Y Z. Cỏc bc nghiờn cu tip theo c bt u bi Zahariuta vo nm 1976 sau ú l Nguyn Thanh Võn v Zeriahi. Shiffman l ngi u tiờn tng quỏt hoỏ mt s kt qu ca Siciak i vi cỏc ỏnh x chnh hỡnh tỏch vi giỏ tr trong khụng gian gii tớch phc (xem [33]). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Vào năm 2001 Alehyane và Zeriahi đã giải quyết bài toán 1 trong trường hợp , A D B Gvà ,XY là các đa tạp Stein, Z là không gian giải tích phức có tính chất thác triển Hartogs. Bao chỉnh hình W được cho bởi : ( , ) ): ( , , ) ( , , ) 1 W z w D G z A D w B GÎ<ww, trong đó ( , , ) ADw và ( , , ) BGwlà các hàm độ đo đa điều hoà dưới. Bài toán 2 được bắt đầu với một bài báo của Oktem năm 1998 (xem [24, 26]). Trong công trình gần đây của mình Henkin và Shananin đã đưa ra một vài áp dụng kết quả của Bernstein trong lý thuyết chỉnh hình tách mà cụ thể là đối với bài toán 2. Đó là kết quả chung nhất trong hướng nghiên cứu này. Nguyễn Việt Anh đã tổng quát hoá các kết quả nghiên cứu xung quanh hai bài toán 1 và bài toán 2 trong trường hợp ,XY là các đa tạp tuỳ ý. Chủ yếu tác giả sử dụng lý thuyết Poletsky về các đĩa, định lý Rosay trên các đĩa chỉnh hình và định lý Alehyane - Zeriehi. Ngoài ra, tác giả đã vận dụng một kỹ thuật quan trọng khác là sử dụng các tập mức của độ đo đa điều hoà dưới, định lý chữ thập hỗn hợp. Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại, cùng những chứng minh chi tiết một số kết quả nghiên cứu gần đây về ánh xạ chỉnh hình tách biến. Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, hai chương chính, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm miền xấp xỉ, tập đa cực, hàm cực trị tương đối, độ đo đa điều hoà dưới, chữ thập và ánh xạ chỉnh hình tách, không gian phức có tính chất thác triển Hartogs. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Phần cuối chương, chúng tôi trình bày các kết quả liên quan và một số vấn đề của lý thuyết đa thế vị như lý thuyết Poletsky về các đĩa và định lý Rosay trên các đĩa chỉnh hình. Chƣơng 2: Một số kết quả nghiên cứu gần đây về ánh xạ chỉnh hình tách biến. Chúng tôi trình bày các định lý là các trường hợp riêng và trường hợp tổng quát của bài toán 1và bài toán 2. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo T.S Nguyễn Thị Tuyết Mai. Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với cô. Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán trường Đại học sư phạm Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy chúng em trong suốt khoá học. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường THPT Phú Bình và Tổ Toán đã hết sức quan tâm tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Xin chân thành cảm ơn gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình hoàn thành, bảo vệ luận văn này. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 CHƢƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong luận văn này, ta giả thiết tất cả các đa tạp phức là hữu hạn chiều và đếm được ở vô cực, tất cả các không gian giải tích phức được thu gọn, bất khả quy và đếm được ở vô cực. Với một tập con Scủa không gian tôpô M, ký hiệu S là bao đóng của S trong M. Với hai không gian giải tích phức (tương ứng, hai không gian tôpô) D và Z, ( , )DZO( tương ứng ( , )DZC) là ký hiệu tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình ( tương ứng, liên tục) từ D vào Z. 1.1. Miền xấp xỉ 1.1.1. Định nghĩa. Cho X là một đa tạp phức và DX là một tập con mở. Một hệ các miền xấp xỉ của D là một tập hợp ,( ( )) ( DIIA= Azazzaz với mọiDÎz) các tập con mở của Dcó các tính chất sau: (i) Với mọi DÎz, hệ ( ( ))IAzaaztạo nên một cơ sở các lân cận mở của z(tức là với mỗi lân cận mở Ucủa một điểmDÎz tồn tại Î Izasao cho ()AÎ Uazz). (ii) Với mọiDÎz vàza IÎ,()AÎazz. ()Aaz thường được gọi là một miền xấp xỉ tại z. Hơn nữaAđược gọi là chính tắc nếu nó thoả mãn (i) và tính chất sau (mạnh hơn (ii)). (ii') Với mọi điểm Î Dz tồn tại một cơ sở gồm các lân cận mở ()IUzaa của z trong Xsao cho ( ) , .A ÇÎU D Ia a zza Nhiều loại hệ của các miền xấp xỉ khác nhau thường gặp trong giải tích phức sẽ được mô tả trong phần tiếp theo. Các hệ của các miền xấp xỉ của Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 D được sử dụng để giải quyết vấn đề giới hạn tại các điểm trong D của các ánh xạ xác định trên một số tập con mở của D. Hơn nữa từ định nghĩa 1.1.1 suy ra rằng trong một vài trường hợp đặc biệt họ con ,( ( ))DIAza z az không phụ thuộc vào việc chọn hệ các miền xấp xỉ A. Vì vậy hai hệ chính tắc của các miền xấp xỉ bất kỳ là tương đương, ta có quy ước như sau: Với mỗi tập mở DXchúng ta cố định một hệ chính tắc của các miền xấp xỉ. Khi đó muốn xác định một hệ các miền xấp xỉ A của một tập mở DX ta chỉ cần chỉ rõ họ con ,( ( ))DIAza z az. Nếu ta cố định một tập con mở DX và một hệ các miền xấp xỉ ,( ( ))DIA= Azazazcủa D thì với mỗi hàm : , uD định nghĩa , ( ), ( limsup )( ): sup limsup ( ) , I zw z w zu z u w z DAA Îaa Từ định nghĩa 1.1.1(i), ( limsup )DuA | trùng với khái niệm hàm chính quy hoá nửa liên tục trên thông thường của.u 1.1. 2. Một số hệ các miền xấp xỉ Có rất nhiều hệ các miền xấp xỉ có ứng dụng trong giải tích phức. Trong phần này chúng ta sẽ giới thiệu một số các hệ đó. 1.1.2.1. Hệ chính tắc của các miền xấp xỉ Hệ chính tắc của các miền xấp xỉ được đưa ra trong định nghĩa 1.1.1 (i)-(ii'). 1.1.2.2. Hệ các miền xấp xỉ góc với đĩa đơn vị mở Cho E là một đĩa đơn vị mở của . Đặt ( ): : arg , ,0 ,2tt E EA Î < Î < <azz a z az [...]... bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 CHƢƠNG 2 MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU GẦN ĐÂY VỀ ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TÁCH BIẾN Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các kết quả nghiên cứu xung quanh hai bài toán 1 và bài toán 2 trong các trường hợp đặc biệt và trường hợp tổng quát với X ,Y là các đa tạp phức tuỳ ý, Z là không gian giải tích phức có tính chất thác triển Hartogs... G : w(z , w ) < 1 1.5.2 Ánh xạ chỉnh hình tách Cho Z là không gian giải tích phức và M W là một tập con đóng tương đối trong các thớ trên A và B Ta nói rằng một ánh xạ f : W 0 \ M Z là chỉnh hình tách và viết là f Î OS (W 0 \ M ,Z ) nếu với mỗi a Î A ( tương ứng b Î B ) ánh xạ f (a , ) |G \ Ma (tương ứng f (,b) | D \ M b ) là chỉnh hình Ánh xạ f : W \ M Z là liên tục tách và viết là f Î Cs (W... Với một đa tạp phức M , ký hiệu O (E , M ) là tập hợp tất cả các ánh xạ chỉnh hình f : E M có tính chất Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 thác triển chỉnh hình trong một lân cận cuả E Ánh xạ f như vậy được gọi là đĩa chỉnh hình trên M Hơn nữa, với một tập con A của M , đặt 1, z Î A, 1A,M (z ) : 0, z Î M \ A Rosay đã chứng minh được một kết quả. .. w(, A , D ) và w(, B ,G ) là các hàm độ đo điều hoà 1.7 Lý thuyết Poletsky về các đĩa và định lý của Rosay trên các đĩa chỉnh hình Lý thuyết Poletsky về các đĩa được phát minh bởi Poletsky (xem [30,31]) vào cuối những năm 1980 Nguyễn Việt Anh đã đưa ra một cách tiếp cận mới tới lý thuyết chỉnh hình tách dựa trên lý thuyết Poletsky về các đĩa Chúng tôi sẽ trình bày lại một số nội dung trong lý thuyết... ra W= W Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 19 Hơn nữa từ cách xây dựng ¦ , cố định mọi z Î D , ánh xạ thu hẹp f (z ,.) là chỉnh hình trên một tập mở w Î G : (z , w ) Î W Tuy nhiên là rất khó để chỉ ra f chỉnh hình đối với cả hai biến (z ,w ) Một chứng minh đầy đủ của kết luận này được đưa ra trong định lý 4.1 trong [21] Ở đây chúng ta chỉ... Î D chúng ta có thể kết luận ít nhất trong trường hợp A D khái niệm độ đo đa điều hoà dưới là công cụ tốt với hàm cực trị tương đối Siciak tổng quát đối với các đa tạp phức trong lý thuyết chỉnh hình tách 1.5 Ánh xạ chỉnh hình tách 1.5.1 Chữ thập 2- lá Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 Cho X ,Y là hai đa tạp phức, D X và G Y là các tập mở khác rỗng,... vị thì W ÇW "gần như" bằng với W Định lý sau là một dạng tổng quát của định lý Alehyane - Zeriahi Định lý 2.1(Nguyễn Việt Anh) Cho X ,Y là các đa tạp phức tuỳ ý, D X và G Y là các tập mở và A D , B G là các tập con không đa cực địa phương Cho Z là một không gian giải tích phức có tính chất thác triển Hartogs Khi đó với mỗi ánh xạ f Î OS W o ,Z tồn tại một ánh xạ duy nhất... là các đa tạp Stein, và D X ,G Y là các miền, A D , B G là các tập con không đa cực Cho Z là không gian giải tích phức có tính chất thác triển Hartogs Khi đó với mỗi ánh xạ f :W Z như trong giả thiết của bài toán 1 thì tồn tại một ánh xạ duy nhất f Î O (W ,Z ) sao cho f f trên W ÇW Định lý 1.6.4 vẫn đúng với chữ thập N- lá ( N 2 ) Sau đó Gonchar đã chứng minh được một kết quả. .. dụng bước 3 cho fa thì có một ánh xạ f a Î O (X(A ÇU a , B ;U a ,G ),Z ) sao cho f a (z , w ) f (z , w ), (z ,w ) X(A Ç A ÇU a , B Ç B ;U a ,G ) (2.7) 1 Cho 0 < , từ (2.7) ta có thể dán họ ánh xạ ( f a |Ua , G )aAÇ A được ánh 2 ¢ xạ f Î O (A G , Z ) Tương tự, với mỗi b Î B Ç B có một ánh xạ f b Î O (X(A , B ÇV b ;D ,V b ),Z ) sao cho Số hóa bởi Trung tâm Học liệu... 1 với mục đích sử dụng hai hệ các miền xấp xỉ khác nhau được định Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 nghĩa trong phần 1.1.2 Các kết quả này là công trình nghiên cứu chung của Nguyễn Việt Anh và Pflug (xem [27,28,29]) 2.2.1 Trường hợp X ,Y là các đa tạp một chiều Định lý 2.2.1 Cho X ,Y là các diện Riemann và D X và G Y là các tập con mở, A (tương ứng B . DƯƠNG THỊ HỒNG NGỌC MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU GẦN ĐÂY VỀ CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TÁCH BIẾN CHUYÊN NGÀ NH : TOÁN GIẢI TCH M SỐ : 60.46.01 LUẬ N. NGỌC MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU GẦN ĐÂY VỀ CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TÁCH BIẾN LUẬ N VĂN THẠ C SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên- 2010 Số hóa bởi