Một số bi toán về tỷ số thể tích Bi 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD l hình chữ nhật có AB=a; AD=b. Cạnh SA=2a của hình chóp vuông góc với đáy. M l một điểm nằm trên cạnh SA với AM=x (0x2a). 1. Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện l hình gì? Tính diện tích thiết diện ấy. Tìm x để thiết diện ấy có diện tích lớn nhất. 2. Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp trên ra hai phần có thể tích bằng nhau. Hd: 1. Thiết diện l hình thang vuông MNCB, vuông tại B v M. 1 () 2 MNCB SMNCB=+MB * BM 2 =BA 2 +AM 2 BM= 22 ax+ * SMN đồng dạng SAD, .(2) 2 SM AD a x b MN SA a == . Vậy 22 22 12 .(4) 22 4 MNCB ab bx b S bax axax aa =++= + S A MN D C B 2. Xét hm số 22 () (4 ) 4 b f xaxa a =+x (0x2a) 22 22 24 '( ) 4 bxaxa fx a ax + = + f'(x)=0 1 (1 ) 2 1 (1 ) 2 xa xa =+ = Ta có: f(0)=ab. f(2a)= 5 1,118 2 ab ; f( ab 1 (1 ) 2 a + )= 2 11 1 .(3 ) 1 (1 ) 1,134 4 22 ab ab++ f( 1 (1 ) 2 a )= 2 11 1 .(3 ) 1 (1 ) 0,96 4 22 ab ab++ [] 2 0;2 11 1 () . .(3 )1 (1 ) 4 22 a Max f x ab=++ khi 1 (1 ) 2 xa=+ Kết luận: Vậy với 1 (1 ) 2 xa=+ thì diện tích của thiết diện lớn nhất. 2. Gọi V l thể tích khối chóp S.ABCD 2 . 12 33 SABCD ABCD ab VSA V S = == Gọi V1 l thể tích khối S.MNCB V1=V (SMBC) +V (SMNC) Ta có 2 2 SMBC SABC V SM SB SC SM a x VSASBSCSAa === V SABC = 2 11 .( ) .2 36 2 V SAdt ABC a b== 2 22 (2) 222 3 6 SMBC axV axab axab aa == =V * Ta có: 2 2 2 (2 ) . 4 SMNC SACD V SM SN SC SM SN MN a x VSASCSDSASDAD a ==== V SACD = 2 23 Vab = V SMNC = 22 2 2 (2 ) (2 ) . . 4312 ax ab axb a = V 1 = V SMNCB = 2 (2 ) (2 ) 612 a x ab a x b + Ycbt V 1 = 2 23 Vab = 22 (2 ) (2 ) 612 a x ab a x b a b += 3 x 2 -6ax+4a 2 =0 (3 5) 2 ( ) (3 5) ( / ) x a a loai xa tm =+ > = Kết luận: Vậy x= (3 5)xa= thì (MBC) chia khối chóp thnh 2 phần tơng đơng. Bi 2: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A 1 B B 1 C 1 . Các mặt phẳng (ABC 1 ) v (A 1 B 1 C) chia lăng trụ thnh 4 phần. Tính tỷ số thể tích của 4 phần đó. Hd: Gọi V 1 = V ; V 1 .CMNC 1 = V 11 .CMNBA 1 V 3 = V ; V .CMNBA 4 = 11 MNABB A V Gọi V l thể tích của lăng trụ. 111 .1C ABC VV=+ 2 V Mặt khác: 111 11 .111 1 4 CABC VCMCNCC VCACBCC == 12 11 .;. 43 12 3 12 4 VV VV VV V== == 111111 32 3 4123 4 5 12 C ABC CMNC CA B C CMNC VVVVVV V V V VVVVV == = = = = AB C M N B' C' A' Vậy V 1 : V 2 : V 3 : V 4 = 1:3:3:5 Bi 3: Cho hình chóp S.ABCD, đáy l hình vuông cạnh a, tâm O. Đờng cao của hình chóp l SA=a. M l một điểm di động trên SB, đặt BM=x 2 (0<x<a). () l mặt phẳng qua OM v vuông góc với (ABCD). 1. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (). Tính diện tích thiết diện theo a v x. 2. Xác định x để thiết diện trên l hình thang vuông. Trong trờng hợp đó tính tỷ số thể tích của hai phần của S.ABCD chia bởi thiết diện. Hd: 1. Ta có SA(ABCD) () (ABCD) SA // () ()(SAB)=MN // SA ()(SAC)=OK // SA ()(SABCD)=NH qua O ()(SCD)=KH S A D C B M N K O H Vậy thiết diện cần tìm l tứ giác MNHK. Ta có MN// OK // SA MN (ABCD); OK (ABCD) S td =S ht MKON + S KOH = 11 () . 22 MNKOON OKOH++ MN=BN=x; KO=SA/2; NH= 2 22 22 2 (2 ) 2 a IN IH x a a x ax+= +=+ Std= 2 2 1 (). 22 a ax x ax++ 2. Để thiết diện l hình thang vuông MK// MO// BC N l trung điểm AB x=a/2. V= 3 1 ( ) 33 a SAdt ABCD = V1=V SOECH +V KOE.MNB 3 3 . 11 ( ) 332 24 = SOECH aa VOKdtOECH == 2 3 . 1 .( ) . 22 2 16 KOE MNB aa a VONdtMNB == = 33 3 12 51 24 16 48 48 aa a a VVV=+= == 3 1 1 V S A D C B M K N O H Vậy 2 1 11 5 V V = E Bi 4: Cho khối chóp S.ABCD, trong đó ABCD l hình thang có các cạnh đáy AB, CD sao cho CD=4.AB, một mặt phẳng qua CD cắt SA, SB tại các điểm tơng ứng M, N. Hãy xác định vị trí điểm M trên SA sao cho thiết diện MNCD chia khối chóp đã cho thnh hai phần tơng đơng (có thể tích bằng nhau). Hd: Đặt (0 1) SM xx SA =<< S A DC B N M Gọi thể tích của hình chóp S.ABCD l V 2 . . . . (1) (2) SMNC SABC SMCD SACD V SM SN SC x VSASBSC V SM SC SD x VSASCSD = = = = Ta có CD=4AB S ADC =4.S ABC S ADC = 3 4 ABCD S . 33 .; 44 SADC SABCD SABC V 4 VV== = VV Ta có 2 3 .; . 44 SMNC SNCD VV Vx Vx== V 1 =V SMNC +V SNCD = 2 (3 4 V )x x+ 2 2 1 317 (/ ) 31 2 320 42 317 () 2 x tm Vx x xx V x loai + = + ==+= = KL: Vậy 317 2 x + = Bi 5: Trong mặt phẳng (P) cho đờng tròn ( C ) đờng kính AB=2R.S l điểm nằm trên đờng thẳng vuông góc với mp(P) tại A. Đặt SA=h. Mặt phẳng (Q) qua A v vuông góc với SB tại K, C l điểm trên ( C ), SC cắt mp(Q) tại H. Đặt 0 2 BAC =< < 1. Tính thể tích của tứ diện SAHK theo R, h v . 2. Chứng minh rằng thể tích đó đạt giá trị lớn nhất tại giá trị 0 của sao cho 0 > 4 . Tính 0 . Hd: 1. * Ta chứng minh đợc AH SC. * 4 222 . SAHK SACB 2 SH SH SH SC SK SB SA VSCSBSCSBSBSC == = V * V ABC = 2 2 11 . (). .cos.sin. 36 Rh dt ABC SA AB SA sin2 3 == * 25 22222 .sin2 3( 4 )( 4 cos ) SAHK Rh V hRhR = ++ 2. Đặt P= 2222 sin 2 (22coshRR ) ++ MaxP= 22 1 4.hRh+ 2 Dấu bằng xảy ra S 2 22 2 2 2 2 22 cos2 sin 2 2 1 cos ( 2 2 cos2 ) sin 2 2sin2 2 cos2 0 2 RP hRR R R hR = ++ = = < + 2 tù > 4 B C H K KL: Vậy 0 = 4 . 4 phần. Tính tỷ số thể tích của 4 phần đó. Hd: Gọi V 1 = V ; V 1 .CMNC 1 = V 11 .CMNBA 1 V 3 = V ; V .CMNBA 4 = 11 MNABB A V Gọi V l thể tích của lăng. 2 xa=+ thì diện tích của thiết diện lớn nhất. 2. Gọi V l thể tích khối chóp S.ABCD 2 . 12 33 SABCD ABCD ab VSA V S = == Gọi V1 l thể tích khối S.MNCB