Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận 43 Chương 3: ĐỘNG HỌC CÁC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC Trước hết ta phân biệt một số khái niệm sau đây: Đi"m là vị trí tọa độ trong một không gian nhất định. Ph#n t$ được dùng để chỉ một phần thể tích rất nhỏ của MTLT hay còn gọi là chất điểm (điểm vật chất). Bi%n d&ng là sự thay đổi hình dạng của môi trường liên tục giữa cấu hình ban đầu (chưa biến dạng) và cấu hình sau cùng (đã bị biến dạng). Nghiên cứu biến dạng người ta không cần để ý đến quá trình xảy ra giữa hai cấu hình này. Chuy"n đ(ng là sự dịch chuyển liên tục của một môi trường liên tục trong không gian. Dòng chảy được dùng để chỉ trạng thái liên tục chuyển động và biến dạng của một môi trường liên tục. Khi nghiên cứu dòng chảy người ta khảo sát quá trình thay đổi của các cấu hình một cách liên tục, trong đó trường vận tốc theo thời gian được xác định cụ thể. I. Véc-tơ vị trí - véc-tơ chuyển vị: Xét trạng thái ban đầu chưa biến dạng tại t = 0 và trạng thái đã biến dạng tại thời gian t = t của môi trường vật chất liên tục trên cùng hình vẽ. Nếu gán cho trạng thái ban đầu và trạng thái sau cùng ở trong 2 hệ tọa độ riêng biệt ta có: Đối với trạng thái ban đầu 1 phần tử của môi trường liên tục chiếm vị trí Po trong không gian , có véc-tơ vị trí trong hệ tọa độ (OX 1 X 2 X 3 ) Descartes là: kk332211 I ˆ .XI ˆ .XI ˆ .XI ˆ .XX =++= r Đối với cấu hình đã biến dạng phần tử ban đầu tại vị trí Po nay chiếm vị trí mới P trong không gian, có véc-tơ vị trí trong hệ tọa độ (ox 1 x 2 x 3 ) Descartes là: ∧∧∧∧→ =++= i32 e.xe.xe.xe.xx i3211 Hệ tọa độ vật chất (O X 1 X 2 X 3 ) và hệ tọa độ không gian (o x 1 x 2 x 3 ) có liên hệ với nhau bởi cosin chỉ phương α kK và α Kk được định nghĩa bởi: KkkKkKKk e ˆ .I ˆ I ˆ .e ˆ αα === [3.1] mặt khác KPP I ˆ . K I ˆ δ = và kppk e ˆ e ˆ δ = [3.2] suy ra kppKkKKpKk δαααα == và KMpMpKMpKp δαααα == [3.3] Vectơ u r nối liền 2 điểm P O và P được gọi là vectơ chuyển vị: . K I ˆ . K UU hay k e ˆ . k uu == r v [3.4] Vectơ cơ sở k e ˆ được biểu diển bởi vectơ cơ sở K I ˆ như sau: ∧ = ∧ K I. kKk e α [3.5] suy ra → === → U ^ K I. K U) ^ K I. kK a( k uu trong đó kK . k u K U α = [3.6] Mặt khác: → − → + → = → Xxbu [3.7] t=0 u r x 3 P t=t 2 e ˆ x 2 o X 1 x 1 O Hình 3.1 X r X 2 1 I ˆ 3 I ˆ 2 I ˆ X 3 P o b r 3 e ˆ 1 e ˆ x r Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận 44 Trong đó → b là véc-tơ nối giữa 2 điểm o và O . Nếu 2 hệ thống tọa độ này trùng nhau thì 0b = → và →→→ −= Xxu [3.8] Viết theo thành phần Descartes ta có : (theo tọa độ (ox 1 x 2 x 3 ) ) KkKkk X.xu α −= . [3.9] Hơn nữa nếu 2 hệ tọa độ trùng với nhau thì các trị số cosin chỉ phương a kK trở thành δ kK . Cuối cùng: kkk Xxu −= .[3.10] II. Quan điểm Euler và quan điểm Lagrang: Theo quan điểm Lagrang : người quan sát sẽ di chuyển theo cùng với hệ thống các phần tử chuyển động của môi trường liên tục . Chuyển động này có thể được diễn tả bởi phương trình sau đây : hay: )t,X(xx )t,X(x)t,X,X,X(xx i321ii →→→ = == Trong đó x i là là vị trí của phần tử được tính ở thời điểm hiện tại t , dựa vào vị trí của phần tử X 1 ,X 2 ,X 3 tại thời điểm t = 0 . Khi t biến thiên thì x i sẽ cho ta quỹ đạo của phần tử đó trong không gian. Theo quan điểm Euler: ngược lại người quan sát sẽ đứng tại vị tri cố định (x 1 x 2 x 3 ) và theo dõi các phần tử di chuyển (hay biến dạng) đến vị trí đó tại thời điểm hiện tại . )t,x(XX)t,x(X)t,x,x,x(XX i321ii →→→→ =⇒== Điều kiện cần và đủ cho sự hiện hữu của hàm số ngược chính là Jacobian : 0 X x j j i ≠= ∂ ∂ [3.11] Thí dụ: Cho một môi trường liên tục chuyển dịch theo mô tả của Lagrang như sau: 33 2 t 12 t 211 Xx X)1e(Xx )1e(XXx = +−= −+= Jacobian của hệ bằng 1 ≠ 0, do đó ta có được quy luật chuyển dịch theo tọa độ Euler là: 33 2 t 12 t 211 Xx X)1e(Xx )1e(XXx = +−= −+= Cho MTLT là 1 hình chữ nhật kích thước a × b (hình 3.2), nếu ta lấy 1 đoạn thẳng đứng dài bằng a của MTLT (X 1 = 0 , X 2 = 0 , X 3 = α trong đó α là 1 tham số : 0 ≤ α ≤ a) thì đoạn thẳng này theo cách mô tả Lagrang có quy luật chuyển dịch : x 1 =0, x 2 2 t 4 1 α , x3= α , nghĩa là khi t thay đổi đoạn thẳng này sẽ biến thành các đoạn thẳng xiên. Và tương tự cả hình chữ nhật sẽ biến thành các hình bình hành. Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận 45 Nếu mô tả chuyển dịch theo Euler, thí dụ ta xét điểm cố định A trong tọa độ không gian (x 1 = 0, x 2 = 0 , x 3 = a) ta sẽ có quy luật chuyển dịch X 1 = 0 , X 2 = 2 ta 4 1 − , X 3 = a. Các hàm này cho ta thấy khi t thay đổi, những phần tử sẽ chuyển dịch qua điểm A là những phần tử nằm trên đường thẳng song song với trục X 2 và ở bên trái điểm A. Do đó ta thấy quy luật chuyển dịch của 1 MTLT có thể mô tả theo 2 phương pháp. Trong phương pháp Lagrang khi cố định X i ta có thể theo dõi được quá trình chuyển dịch cũng như các tính chất khác của sự chuyển dịch của 1 phần tử. Còn trong phương pháp Euler khi cố định x i ta có thể xác định được những gì đã xẩy ra tại 1 điểm của không gian (phần tử nào đã đi qua, vận tốc của nó,v.v ) Hai phương pháp mô tả nói trên là tương đương. Người ta có thể chuyển từ phương pháp thứ nhất sang phương pháp thứ hai và ngược lại. Việc chọn phương pháp mô tả nào là tùy thuộc bài toán cụ thể. Thí dụ trong tính toán chuyển dịch chất lỏng, chất khí trong đường ống, hình dạng biên của môi trường đã được xác định, người ta chỉ quan tâm đến trường vân tốc tại các điểm trong ống , khi đó phương pháp Euler là thích hợp. Trái lại khi nghiên cứu mặt sóng chất lỏng, cần xác định quỹ đạo của các phần tử chất lỏng, hoặc khi nghiên cứu vật rắn biến dạng, cần xác định sự biến dạng của vât thể thì sử dụng phương pháp Lagrang là hợp lý. Bài tập : Theo mô tả Lagrang ta có phương trình: 33 2 t 12 t 211 Xx X)1e(Xx )1e(XXx = +−= −+= Hãy tìm các công thức nghịch đảo theo Euler. (Giải đáp 33 tt 2 t 1 2 tt t 21 1 xX; ee1 x)1e(x X; ee1 )1e(xx X = −− −−− = −− −+− = −− ) III. Gradient biến dạng và Gradient chuyển vị: 1. Gradient biến dạng vật chất: theo hệ tọa độ vật chất (OX 1 X 2 X 3 ) và không gian (ox 1 x 2 x 3 ), là vi phân từng phần của véctơ vị trí x i theo X j tạo nên tensor j i X x ∂ ∂ là nhị thức sau đây: ^ 3 3 ^ 2 2 ^ 1 1 X e X x e X x e X x .xF ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ →→→ → ++≡∇= [3.12] Trong đó → =∇ i i X e. X ∂ ∂ x 3 , X 3 x 2 , X 2 x 1 , X 1 t = t A O Hình 3.2. b a t = 0 Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận 46 Nhị thức F có thể viết dưới dạng ma trận sau: ji 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 321 3 2 1 Xx x X x X x X x X x X x X x X x X x X X , X , X x x x F ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ==== [3.13] 2. Gradient biến dạng không gian : Là vi phân từng phần của véc tơ vị trí X i theo tọa độ không gian x j tạo nên tensor j i X x ∂ ∂ có dạng nhị thức như sau : ^ 3 3 ^ 2 2 ^ 1 1 e. x X e. x X e. x X x.XH ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ →→→ → ++≡∇= [3.14] Hoặc viết dưới dạng ma trận : ji 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 321 3 2 1 xX x X , x X , x X x X , x X , x X x X , x X , x X x , x , x X X X H ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ === [3.15] Cả 2 tensor biến dạng không gian và vật chất được liên hệ bởi: ik k i j i k j j i X x x X x X . X x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ == [3.16] Gradient chuyển vị vật chất và không gian tương tự là vi phân từng phần của véctơ chuyển vị → u theo tọa độ vật chất X j và tọa độ không gian x j , ta có : ij X x X u j i j i ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ −= hay IFuJ x −== ∇ → [3.17] và: j i ij j i x X x u ∂ ∂ δ ∂ ∂ −= hay HIuK x −== ∇ → [3.18] IV. Tensor biến dạng : Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận 47 Hình 3.3 Bình phương chiều dài phần tử vi phân giữa Po và Qo : ijijii 2 dXdXdX.dXXd.Xd)dX( δ === →→ mà j j i i dx. X X dX ∂ ∂ = [3.20] Suy ra: jiijji j K i K 2 dx.dx.Cdx.dx. x X . x X )dX( == ∂ ∂ ∂ ∂ [3.21] Trong đó j K i K ij x X . x X C ∂ ∂ ∂ ∂ = gọi là tenxơ biến dạng Cauchy [3.22] Tương tự bình phương chiều dài phần tử vi phân giữa P và Q jiijii 2 dx.dx.dx.dxxd.xd)dx( δ === →→ [3.23] mà j j i i dX. X x dx ∂ ∂ = [3.24] Suy ra jiijji j K i K 2 dXdXGdX.dX. X x X x )dx( == ∂ ∂ ∂ ∂ [3.25] trong đó j K i K ij X x X x G ∂ ∂ ∂ ∂ = gọi là ten xơ biến dạng Green. [3.26] Phương thức biến dạng là số đo biến dạng bằng hiệu của (dx) 2 và (dX) 2 . Nếu hiệu số = 0 ta có sự chuyển vị của chất rắn .Ta có thể khai triển theo 2 cách : dXjdXL2dXdX) X x . X x ()dX()dx( iijjiij j k i k 22 =−=− δ ∂ ∂ ∂ ∂ [3.27] trong đó: ) X x . X x ( 2 1 L ij j k i k ij δ ∂ ∂ ∂ ∂ −= [3.28] L ij được gọi là ten xơ biến dạng hữu hạn Lagrange (hay Green). Cách khác: dx.dx.E2dx.dx) x X . x X ()dX()dx( jiijji j k i k ij 22 =−=− ∂ ∂ ∂ ∂ δ [3.29] x 3 , X 3 x 2 , X 2 x 1 , X 1 O XdX rr + X r udu rr + u r Xd r xd r P o Q o P Q ud r t = t t = 0 xdx rr + x r Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận 48 trong đó: ) x X . x X ( 2 1 E j k i k ijij ∂ ∂ ∂ ∂ δ −= [3.30] được gọi là tenxơ biến dạng hữu hạn Euler (hay Almansi). Thay phương trình[3.17] vào [3.28] ) X u . X u X u X u ( 2 1 L j k i k i j j i ij ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ++= [3.31] tương tự thay [3.18] vào [3.30] ta được: ) x u . x u x u x u ( 2 1 E j k i k i j j i ij ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ −+= [3.32] V. Lý thuyết biến dạng nhỏ - Tenxơ biến dạng vô cùng bé - Tenxơ quay: 5.1. Lý thuyết biến dạng nhỏ: Nếu điều kiện các gradient chuyển vị nhỏ hơn 1 ta sẽ có lý thuyết biến dạng nhỏ , các tenxơ biến dạng hữu hạn sẽ biến thành tenxơ biến dạng vô cùng bé . 5.2. Ten xơ biến dạng vô cùng bé: Do các gradient chuyển vị 1 X u j i << ∂ ∂ và 1 x u j i << ∂ ∂ nên tích của gradient chuyển vị này sẽ rất nhỏ và nếu bỏ qua ta sẽ có tenxơ biến dạng vô cùng bé Lagrange: ) X u X u ( 2 1 l i j j i ij ∂ ∂ ∂ ∂ += [3.33] Ký hiệu: )JJ( 2 1 )uu( 2 1 L C xx +=+= →→ ∇∇ →→ và tương tự cho tenxơ biến dạng vô cùng bé Euler ) x u x u ( 2 1 i j j i ij ∂ ∂ ∂ ∂ ε += [3.34] Ký hiệu: )KK( 2 1 )uu( 2 1 E C xx +=+= →→ ∇∇ →→ Trong trường hợp nếu cả gradient chuyển vị và bản thân chuyển vị đều nhỏ thì tenxơ biến dạng vô cùng bé Lagrange và Euler có thể lấy bằng nhau : ε ij ij l = 5.3. Ten xơ quay: Trên hình 3.3 ta thấy u r và udu rr + là chuyển vị của hai điểm lân cận P O và Q O là: OO PQ Uuud r rr −= Hay viết dưới dạng thành phần: iPiQi OO Uudu r r −= [3.35] Trong trường hợp sử dụng biến Lagrang, chuyển vị tương đối còn có dạng khai triển j j i i dX X u du ∂ ∂ = [3.36] Biểu thức này có thể viết thành tổng hai thành phần: đối xứng và phản đối xứng: j i j j i i j j i i dX X u X u 2 1 X u X u 2 1 du                 −+         += ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận 49 hay ( ) jijiji dXwldu += [3.37] trong đó ijij l ε = đã được định nghĩa ở [3.15] còn ) X u X u ( 2 1 i j j i ij w ∂ ∂ ∂ ∂ −= [3.38] được gọi là ten xơ quay Lagrang Trong trường hợp sử dụng biến Euler và khai triển du i tương tự như ở trên ta được kết quả sau: ( ) jijiji dxdu ωε += [3.39] trong đó ijij l ε = đã được định nghĩa ở [3.15] còn ) x u x u ( 2 1 i j j i ij ∂ ∂ ∂ ∂ ω −= [3.40] được gọi là ten xơ quay Euler. Ten xơ quay là ten xơ phản đối xứng, tức là: ijij WW −= [3.41] ijij ωω −= [3.42] Ten xơ quay chỉ có 3 thành phần độc lập mà ta thấy khi viết ở dạng ma trận: 0 0 0 2313 2312 1312 ij ωω ωω ωω ω −− −= [3.43] Vậy các thành phần này tương ứng với ba thành phần của véc tơ urot 2 1 r r = ω : ) x u x u ( 2 1 3 ) x u x u ( 2 1 2 ) x u x u ( 2 1 1 2 1 1 2 21 1 3 3 1 13 3 2 2 3 32 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ωω ωω ωω −= −= −= = = = [3.44] Trong trường hợp chuyển vị vô cùng bé thì tọa độ đầu và cuối của một phần tử rất gần nhau, gradient chuyển vị Lagrang và Euler gần bằng nhau. Khi đó ta có thể coi ten xơ biến dạng vô cùng bé cũng như ten xơ quay Lagrang và Euler tương ứng bằng nhau, tức là: ijij ijij w l ω ε = = [3.45] VI. Ý nghĩa vật lý của ten xơ biến dạng vô cùng bé và ten xơ quay: 6.1. Ý nghĩa của ten xơ biến dạng vô cùng bé: Trước tiên ta xét các thành phần trên đường chéo chính ε 11 , ε 22 , ε 33 . Giả sử ta để ý thành phần ε 22 . Ta có ) X u X u ( 2 1 l i j j i ij ∂ ∂ ∂ ∂ += Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận 50 Giả thiết cho phân tố thẳng P O Q O = ∆ X trùng với trục X 2 (hình 3.4) Theo [3.17] quan hệ trên viết thành: X Xx 1 X x X x X u 22 2 2 2 2 22 ∆ ∆∆ ∆ ∆ δε − =−=− ∂ ∂ = ∂ ∂ = Như vậy ε 22 chính là biến dạng dài tỉ đối của phân tố thẳng theo phương trục X 2 . Tương tự cho các phương còn lại. Do đó các thành phần trên đường chéo chính của ten xơ biến dạng bé là biến dạng dài tỉ đối của các phân tố thẳng trên các trục X i . Sau đây ta để ý đến các thành phần không nằm trên đường chéo chính, thí dụ ta xét ε 32 . Ta có: ) X u X u ( 2 1 l i j j i ij ∂ ∂ ∂ ∂ += Xem hình 3.4b ta thấy số hạng thứ nhất của vế phải bằng: αα ∂ ∂ ∂ ∂ ≈==≈ tg 'PQ Q'Q x u X u 2 3 2 3 Nếu xét phân tố thẳng oo MP trùng với trục X 3 thì tương tự như trên số hạng thứ hai của vế phải bằng: ββ ∂ ∂ ∂ ∂ ≈==≈ tg 'PM M'M x u X u 3 2 3 2 Do đó : ) X u X u ( 2 1 l i j j i ij ∂ ∂ ∂ ∂ += Như vậy các thành phần không trên đường chéo chính biểu thị một nửa góc bị thu lại của góc vuông giữa hai phân tố thẳng trên mặt tọa độ. Góc ij γ gọi là góc trượt, tức là góc biến dạng thực tế của góc vuông trên mặt ji XOX . Các thành phần ij ε (i ≠ j ) gọi là biến dạng trượt. x 3 , X 3 x 2 , X 2 x 1 , X 1 P O Q O dX x 3 , X 3 x 2 , X 2 x 1 , X 1 P O M O Q Q’ Q O α M ’ M β 2 βα + 2 βα + P dx 3 dx 2 dX 2 3 3 2 dx x u ∂ ∂ 2 2 3 dx x u ∂ ∂ B O u r Hình 3.4 a/ b/ Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận 51 x 3 , X 3 x 2 , X 2 x 1 , X 1 P O M O Q Q’ Q O α M ’ M β 2 βα + 2 βα + P dx 3 dx 2 dX 2 3 3 2 dx x u ∂ ∂ 2 2 3 dx x u ∂ ∂ B O u r 2 βα − 2 βα − 2 βα − B Hình 3.5 6.2. Ý nghĩa của ten xơ quay: Vì ten xơ quay là ten xơ phản đối xứng, nên các thành phần trên đường chéo chính bằng không. Ta thử xét 1 thành phần khác không, thí dụ 32 ω . Ta có: βαβαω 2 1 2 1 )( 2 1 ) X u X u ( 2 1 3 2 2 3 32 −=−= ∂ ∂ − ∂ ∂ = Giả sử phân tố mặt M O P O Q O B O sau khi biến dạng và chuyển dịch biến thành phân tố MPQB. Trên hình 3.5 ta đã biết góc α là góc quay của phân tố thẳng P O Q O đến PQ, còn β là góc quay ngược lại của phân tố thẳng P O M O đến PM. Để xác định góc quay của phân tố mặt M O P O Q O B O khi biến dạng, ta chỉ cần xác định góc quay của đường chéo P O B O đến PB. Đầu tiên ta thực hiện phép quay 1 góc 2 βα + cho phân tố thẳng P O Q O theo ngược chiều kim đồng hồ và P O M O theo chiều kim đồng hồ (mục đích đưa góc vuông /\ OOO QPM về bằng với góc /\ MPQ ). Do đó đường chéo P O B O vẫn đứng yên. Kế tiếp ta thực hiện phép quay góc 2 βα − cho hai phân tố thẳng nói trên theo cùng chiều kim đồng hồ để trùng với PQ và PM, lúc bấy giờ đường chéo P O B O cũng sẽ quay 1 góc 2 βα − để trùng với đường chéo PB của phân tố mặt MPQB. Do đó 32 ω thể hiện sự quay của đường chéo P O B O và cũng là góc quay của phân tố mặt M O P O Q O B O quanh trục X 1 . Từ [3.35] và [3.37] hoặc [3.39], ta được: iiPiQ duUu OO += r r () ( ) j P ijj P ijiPiQ dxdxUu OO OO ωε ++= r r Hay viết dưới dạng véc tơ ωε uuuu OO PQ rrrr ++= trong đó xdu r r r ∧= ω ω Như vậy ta thấy chuyển vị của phần tử QO bao gồm chuyển vị tịnh tiến (chuyển vị của phần tử lân cận P O ), chuyển vị quay ω u r và chuyển vị gây biến dạng ε u r . Trong đó chuyển vị gây biến dạng là đặc trưng cho môi trường biến dạng . Trong kỹ thuật , trong hệ tọa độ Descartes vuông góc, ten xơ biến dạng vô cùng bé [3.33] và [3.34] được viết dưới dạng sau : Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận 52           32313 32212 31211 εγγ γεγ γγε [3.46] Trong đó: 3 3 3 2 2 2 1 1 1 x u ; x u ; x u ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = εεε 12 1 2 2 1 2112 2 1 x u x u 2 1 γ ∂ ∂ ∂ ∂ γγ =         +== 23 2 3 3 2 3223 2 1 x u x u 2 1 γ ∂ ∂ ∂ ∂ γγ =         +== 31 3 1 1 3 1331 2 1 x u x u 2 1 γ ∂ ∂ ∂ ∂ γγ =         +== VII. Trạng Thái Biến Dạng Tại Lân Cận Một Điểm: 7.1. Định luật biến đổi các thành phần biến dạng tại một điểm khi đổi hệ toạ độ: Đối với hệ tọa độ Descartes vuông góc ta có công thức biến đổi: ijnjmimn mnjnimij 'bb aa' εε εε = = [3.47] Trong đó ij a cho ở bảng [1.66a] còn jiij ab = Đối với hệ tọa độ cong ta cũng có công thức biến đổi tương tự [3.47], trong đó : j i i j j i i j ' b ' a ∂θ ∂θ ∂θ ∂θ = = [3.48] 7.2. Biến dạng chính. Phương chính biến dạng. Các bất biến của trạng thái biến dạng: Ta đã biết tại một điểm trong MTLT trạng thái biến dạng được xác định bởi tenxơ biến dạng bé ijij l= ε . Gọi () n ˆ i ε là các thành phần biến dạng theo phương véc tơ đơn vị n i bất kỳ, ta có quan hệ: () jij n i n εε = ˆ [3.49a] Nếu phương của n i là phương chính với giá trị biến dạng chính là ε (tức là tại các mặt vuông góc với pháp tuyến n i này thì ten xơ biến dạng chỉ có thành phần biến dạng dài và không có thành phần biến dạng trượt) thì: () jijjiji n i nnn εεδεε === ˆ Suy ra: 0)( =− jijij n εδε [3.49b] cùng với điều kiện n i n i =1 ta có đũ số phương trình cần thiết để tìm ra các biến dạng chính và các cosin chỉ phương n i . Để phương trình trên luôn có nghiệm ngoài nghiệm tầm thường, thì : 0=− ijij εδε [3.49c] Khai triển định thức trên ta được phương trình đặc trưng: [...]...Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận 53 ε (3 ) − I ε ε (2α ) + II α ε (α ) − III ε = 0 [3. 49d] trong đó các hệ số I ε ,II ε ,III ε là những bất biến của trạng thái biến dạng: I ε = ε ii = ε11 + ε 22 + ε 33 II ε = ε 1 (ε ii ε jj − ε ij ε ij ) = ε11 2 12 ε11 III ε = ε 21 ε 31 ε12 ε 22 ε 32 ε 21 ε 22 + ε 22 ε 23 ε 32 ε 33 + ε 33 ε 31 ε 13 ε11 [3. 49e] ε 13 ε 23 ε 33 Giải [3. 49d] ta được 3 nghiệm... dX 1dX 2 dX 3 θ= = dVo dX 1dX 2 dX 3 Nếu bỏ qua các lượng biến dạng bé bậc cao, ta được: θ = ε11 + ε 22 + ε 33 = I ε 7 .3 Ten xơ biến dạng cầu và Ten xơ biến dạng lệch: Một ten xơ biến dạng ε ij có thể phân X3 dX2(1+ε22 ) thành hai ten xơ hạng hai: ε ij = ε' ij + ε" ij dX3(1+ 33 ) dX3 trong đó ε' ij là ten xơ biến dạng cầu: dX2 dX1 X1 Hình 3. 6 X2 dX1(1+ε11 ) [3. 50a] ε 0 0 ε' ij = 0 ε 0 [3. 50b] 0 0 ε... vận tốc các điểm đó Chuyển động ổn định: của một môi trường liên tục nếu trường vận tốc độc lập với thời gian ∂v i tức là = 0 Đối với chuyển động ổn định thì đường dòng và quỹ đạo trùng nhau ∂t Cơ học môi trường liên tục 56 GVC Trần Minh Thuận VIII Tenxơ vận tốc biến dạng - Tenxơ vận tốc quay - Gia số biến dạng tự nhiên ∂v i hay Yij Ta có - Tenxơ gradient vận tốc: xác định bởi gradient của trường vận... tròn vẽ từ tâm O2 và O3 VIII Chuyển động - Dòng chảy - Đạo hàm: Chuyển động và dòng là các danh từ để mô tả sự thay đổi liên tục hay tức thời của cấu hình của môi trường liên tục Dòng thường mang ý nghĩa của một chuyển động dẫn đến sự biến dạng thường xuyên (không trở về cấu hình ban đầu) chẳng hạn trong nghiên cứu về sự dẽo Trong dòng chảy lưu chất, dòng mang ý nghĩa của chuyển động liên tục Đạo hàm là... trong đó ε' ij là ten xơ biến dạng cầu: dX2 dX1 X1 Hình 3. 6 X2 dX1(1+ε11 ) [3. 50a] ε 0 0 ε' ij = 0 ε 0 [3. 50b] 0 0 ε 1 với ε = (ε11 + ε 22 + ε 33 ) [3. 50c] 3 và ε" ij gọi là ten xơ biến dạng lệch : ε11 − ε ε12 ε 13 ε" ij = eij = ε 21 ε 22 − ε ε 23 [3. 50d] ε 31 ε 32 ε 33 − ε Ta có thể hình dung ra sự biến dạng tại một điểm và lân cận có thể phân tích thành hai thành phần: một thành phần chỉ gồm có ba biến... một phần tử nhất định trong môi trường liên tục đang chuyển động Chẳng hạn vị trí tức thời x i của một phần tử chính là 1 đặc trưng của phần tử đó Do đó đạo hàm của vị trí của 1 phần tử là vận tốc tức thời của phần tử đó , → • → dx d x → ký hiệu: v i = i = xi hay v = = x [3. 51] dt dt một cách tổng quát , nếu Pij là 1 đặc trưng vô hướng , véctơ hay tenxơ của một môi trường liên tục thì được diễn tả... 0 [3. 51a] 0 0 0 Khi x1 và x2 cũng là các phương chính, thì ten xơ biến dạng có dạng: ε (1 ) 0 0 ε ij = 0 ε (2 ) 0 [3. 51b] 0 0 0 Đối với các biến dạng phẳng vuông góc với trục x3 thì véc tơ chuyển dịch là hàm số của x1 và x2 mà thôi: u1= u1(x1 , x2) [3. 51c] u2= u2(x1 , x2) u3= C (hằng số, thường lấy bằng 0) ∂u j 1 ∂u Thay các biểu thức trên vào l ij = ( i + ) , ta được ten xơ biến dạng phẳng ở [3. 51a]... dt [3. 52] Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận 55 trong đó số hạng thứ 2 phía vế phải xuất hiện do các phần tử riêng biệt thay đổi vị trí trong không gian được gọi là vận tốc đối lưu → Số hạng ∂Pij ( x , t ) ∂t được gọi là vận tốc cục bộ ta có: → → → ∂Pij ( x , t ) dPij ( x , t ) ∂Pij ( x , t ) = + vK dt ∂t ∂x K d ∂ ∂ d ∂ → = + vK hay = + V ∇→ x dt ∂t ∂x K dt ∂t Ký hiệu : [3. 53] VII... đó là các biến dạng chính ε (1 ) , ε (2 ) , ε (3 ) Sau đó lần lượt thay 2 2 2 từng giá trị biến dạng chính vào [3. 49b] và kết hợp với phương trình n1 + n2 + n3 = 1 để tìm ra cosin chỉ phương ni của mỗi ε(α) đó Bất biến thứ nhất I ε của trạng thái biến dạng bằng độ biến đổi tỉ đối thể tích của phân tố tại điểm đang xét (xem hình 3. 6) Ta có: dV − dVo dX 1 (1 + ε11 )dX 2 (1 + ε 22 )dX 3 (1 + ε 33 ) −... ε ) + ( ε 22 − ε ) + ( ε 33 − ε ) = 0 , làm cho phân tố thay đổi hình dáng mà không thay đổi thể tích 7.4 Biến dạng phẳng Biểu diễn trạng thái biến dạng bằng vòng tròn Mohr: Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận 54 Khi có một và chỉ một biến dạng chính tại một điểm trong MTLT bằng không, thì trạng thái biến dạng phẳng sẽ xảy ra tại điểm đó Theo mô tả của Euler nếu x3 được chọn là phương tại . dạng: () 33 3 231 232 221 131 211 1 131 133 3 33 23 3222 2212 2111 ijijjjii 33 2211ii III 2 1 II I εεε εεε εεε εε εε εε εε εε εε εεεε εεεε ε ε ε = ++=−= ++== [3. 49e]. Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận 43 Chương 3: ĐỘNG HỌC CÁC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC Trước hết ta phân biệt một số