Chương 5. TÍCH PHÂN BỘI. A. TÍCH PHÂN HAI LỚP. §1. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN HAI LỚP MỘT VÀI TÍNH CHẤT ĐƠN GIẢN . • 1. Định nghĩa : • Cho hàm số z = f(x,y), xác định trên miền D đóng, giới nội. • + Chia D thành các miền con D k ( k = 1, 2, …, n) không dẫm lên nhau, gọi ΔS k là diện tích của D k . • + Trong mỗi miền D k chọn điểm M k (x k ,y k ). • + Lập tổng: • + Tìm giới hạn: • Nếu giới hạn tồn tại thì nó được gọi là tích phân hai lớp của f(x,y) trên D. • Kí hiệu: ( ) n • ∑ n k k k=1 σ = f M ΔS max ( ) 0 max ( ) 0 . k k n d D d D →∞ →∞ → → • = ∑ n k k n n k=1 limσ lim f(M )ΔS max ( ) 0 max ( ) 0 ( , ) k k n D d D d D f x y dxdy →∞ →∞ → → • = = ∑ ∫∫ n k k n n k=1 limσ lim f(M )ΔS Định lí Fubini : • 1. Nếu hàm số z = f(x,y) liên tục trên D là miền chữ nhật: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, thì: • 2. Nếu hàm số z = f(x,y) liên tục trên • D;{(x,y):a ≤ x ≤ b, φ(x) ≤ y ≤ ψ(x)}, thì: • 3. Nếu hàm số z = f(x,y) liên tục trên • D;{(x,y): a ≤ y ≤ b, φ(y) ≤ x ≤ ψ(y)}, thì: ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ b d d b D a c c a f(x,y)dxdy = dx f(x,y)dy = dy f(x,y)dx. φ ϕ ∫∫ ∫ ∫ (x) b D a (x) f(x,y)dxdy = dx f(x,y)dy. φ ϕ ∫∫ ∫ ∫ (y) d D c (y) f(x,y)dxdy = dy f(x,y)dx. 2 1 0 2. Định nghĩa: Thể tích khối trụ: • 1) Nếu f(x,y) liên tục và không âm trên • D: {(x,y):a ≤ x ≤ b; c ≤ x ≤ d} thì: • 2) Nếu f(x,y) liên tục và không âm trên • D: {(x,y):a ≤ x ≤ b; φ(x) ≤ x ≤ ψ(x)}, và φ(x), ψ(x) liên tục trên [a; b] thì: • 3) Nếu f(x,y) liên tục và không âm trên • D: {(x,y):c ≤ y ≤ d; φ(y) ≤ x ≤ ψ(y)}, và φ(y), ψ(y) liên tục trên [c; d] thì: ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ b d d b D a c c a V = f(x,y)dxdy = dx f(x,y)dy = dx f(x,y)dx. . φ ϕ ∫∫ ∫ ∫ (x) b D a (x) V = f(x,y)dxdy = dx f(x,y)dy . φ ϕ ∫∫ ∫ ∫ (y) d D c (y) V = f(x,y)dxdy = dy f(x,y)dx Tính chất của tích phân • Hàm số f(x), g(x) liên tục trên miền đóng, giới nội D, ta có: • Nếu D được chia thành hai miềm D 1 , D 2 không trùng lấp nhau, thì: [ ] ∫∫ ∫∫ ∫∫ D D D a) af(x)+bg(x) dx = a f(x)dx +b g(x)dx . ∫∫ ∫∫ ∫∫ 1 2 D D D b) f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx (≤ ∀ ∈ ⇒ ≤ ∫∫ ∫∫ D D c) f(x,y) g(x,y) x,y) D f(x,y)dxdy g(x,y)dxdy. . ∫∫ d) S(D) = 1dxdy D • 4) Gọi M, m là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của f(x,y) trên D thì: • 5) Nếu f(x,y) liên tục trên D là miền đóng, giới nội thì: là giá trị trung bình của f(x,y) trên D. 0 0 ( ∃ ∈ ∫∫ 0 0 D x ,y ) D: f(x,y)dxdy = f(x ,y ).S(D). ≤ ≤ ∫∫ D m.S(D) f(x,y)dxdy M.S(D). ∫∫ D 1 . f(x,y) dxdy S(D) 2. Các ví dụ: Tính các tích phân bội: Làm sao để tính ây ???đ Các em hãy tính tích phân sau? ∫∫ D I = xsinydxdy,D =ΔOAB : O(0;0),A(π;0),B(π;π) . • Cách giải: • D:{0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤x} ∫ ∫ ∫ π x π 0 0 0 π I = xdx sinydy = (x - xcosx)dx = +2. 2 2. Các ví dụ: Tính các tích phân bội: Làm sao để tính ây ???đ π ∫∫ D I = sinydxdy,D : {2y = x,y = 2x,x = } . • Cách giải: 2 2 x x ∫ ∫ ∫ π 2x π 0 0 I = dx sinydy = (cos -cos2x)dx = 2. Các em hãy tính tích phân sau? π ∫∫ D I = sinydxdy,D : {2y = x,y = 2x,x = } ≤ ≤ ≤ ≤ x D: {0 xπ, y 2x} 2 Đổi biến trong tích phân hai lớp: • Giacobian của một ánh xạ: • Giả sử U là tập hợp mở trong R 2 và ánh xạ • Xác định bởi: Φ(u, v) = (x(u,v),y(u,v)), trong đó hai hàm số x(u,v), y(u,v) liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trên U. • Giacobian của một ánh xạ Φ kí hiệu: → 2 Φ:U R ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x x (u,v) (u,v) D(x,y) u v J(u,v) = = y x D(u,v) (u,v) (u,v) u v [...]... = 99 5 CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HAI LỚP • BÀI 1 Tính các tích phân kép sau: 1 1 0 0 1 0 1) I = ∫ dx ∫ (x + y)dy x x2 2) I = ∫ dx ∫ xy 2dy • Lời giải: y=1 1  x y  1 x  1) I = ∫  xy + ÷ dx = ∫  x + ÷dx =  + ÷ = 1 2  y=0 2  2 20 0 0 1 2 y=x 1 2 1  xy  x x  x x  1 2) I = ∫  dx = ∫  - ÷dx =  ÷ ÷ = 3  y=x2 3 3   15 24  0 40 0 0 1 3 1 4 7 5 8 • BÀI 2 Tính các tích phân hai lớp... y = rsinφ 1.5 0 x x  1 = - ÷ =  2 3 0 6 2 2 -1 1 -0.5 -1 -1.5 π ≤ ;2cosφ r≤ 4cosφ},| J |= r ≤ 4 2 4cosφ -2 π 4 rπ 1   dφ = 6 ∫ cos 2φdφ = 3  + ÷ 2 2cosφ  4 2 0 0 rdr = ∫ 2 BÀI TẬP TỰ GIẢI: BÀI 1 Tính các tích phân hai lớp sau: { } dxdy 1) x I = ∫∫, D' : {0φ 2 ≤ ;2cosφ D 4cosφ},| J |= r x 2 ,y = 0 : y = 1 = rcosφ π 2, HD :  ≤ r≤ ≤ π 1 4  y = rsinφ 1+ x + y D rdrπ HD : I = ∫ dφ ∫ = ln2 2... π 6 4) S(D) = ∫ dφ - π 6 2 cosφ 3 ∫ 1 rdr = 3 3 -π 18 0 2 4 5 TÍCH PHÂN BA LỚP • 1 Định nghĩa: • Cho hàm số f(x,y,z) xác định trên miền đóng, bị chặn Ω trong không gian Oxyz • Chia Ω thành n phần nhỏ Ω1, Ω2, …, Ωn không dẫm lên nhau với các thể tích ΔV1, ΔV2, …, ΔVn • Trên mỗi miền Ωk lấy mỗi điểm bất kì Mk(xk,yk,zk) n • Lập tổng tích phân: Sn = ∑ f(xk ,yk ,zk )ΔVk k=1 • Gọi maxd(Ωk) là đường kính... dxdy, D : { xy = 1, y = x,y = 3x, x ≥ 0, y ≥ 0} u = xy D x 2 3 1 1  HD :  ⇒ I = ∫ du ∫ dv = 1 y ⇒ D' : {1 ≤ u ≤ 2; 1 ≤ v ≤ 3},| J |= 2v 2 1 1 v = x  HD : I = ∫ dφ (cosφ + sinφ)dr = BÀI TẬP TỰ GIẢI: Tính các tích phân hai lớp sau: 5) I = ∫∫ xydxdy, D : { cycloit : x = t - sint = 1, y = 1- cost,0 ≤ t ≤ 2π} • D  x = t - sint HD :  ⇒ D' : {0 ≤ t ≤ 2π; 0 ≤ y ≤ 1- cost},| J |= 1- cost y = y 2π ⇒I=... chất của tích phân ba lớp: • Định nghĩa: • Mặt cong (S): f(x,y,z) gọi là trơn nếu hàm số f(x,y) khả vi liên tục • Mặt cong (S) gọi là trơn từng khúc nếu nó được chia thành hữu hạn mặt cong trơn • Định lí: • Cho hàm số f(x,y,z) xác định trên miền đóng, bị chặn Ω trong không gian Oxyz với biên là mặt cong trơn từng khúc thì f(x,y,z) khả tích trên Ω • Định lí: Cho hai hàm số f(x,y,z), g(x,y,z) khả tích. .. 40  4 3  0 12 0 1 y=1 2 π 3) I = ∫ x ( -cos(x + y) ) 0 π = 2 ∫ xcos(x 0 1 π 2 y=0 y= 3 π π dx = ∫ x[cosx - cos( + x)dx 2 0 π π π π   )dx = 2  xsin(x - ) + cos(x - ) ÷ =π - 2 4 4 4 0  Bài 3 Tìm cận lấy tích phân: I = ∫∫ f(x,y)dxdy D 1) D = {(x,y) ∈ R : x ≥ 0,y ≥ 0,x + y ≤ 2} 2 2) D = {(x,y) ∈ R 2 : x ≤ y, y ≤ 2x, x + y ≤ 6} 3) D = {(x,y) ∈ R 2 : x 2 ≤ y, y ≤ 4 - x 2 } • Lời giải: 2 2-x 1) I =... 0 2x 0 2 6-x 2) I = ∫ dx ∫ f(x, y)dy + ∫ dx ∫ f(x,y)dy 0 x 2 3) I = 1 - 2 g( x) =x x q( x) = 6-x 4-x 2 ∫ dx ∫ s( x) = 4-x2 4 2 h( x) = 2⋅ x f(x, y)dy r( x) = x2 x2 -5 - 2 0 -2 y=2-x 2 2 3 5 BÀI 4 Tính các tích phân hai lớp sau: 5  1) I = ∫∫ xydxdy, D :  xy = 1,x + y =  2  D 2 x 2) I = ∫∫ 2 dxdy, D : { xy = 1,x = 2,y = x} y D • Lời giải: 2 1) I = ∫ xdx 1 2 5 -x 2 ∫ 1 x 2 ydy = ∫ x 1 2 2 3 x 5... ∫ dθ ∫ e rdr = π 1- ÷  e D 0 0 -r 2 -r 2 Ví dụ 2: Tính diện tích hình elip: x2 y2 (E) : 2 + 2 ≤ 1 a b • Lời giải: • Đổi tọa độ cực suy rộng:  x = arcosθ 0 ≤ θ ≤ 2π ,D :  ;| J |= abr   y = brsinθ 0 ≤ r ≤ 1 ⇒ S(E) = ∫∫ dxdy = ∫∫ abrdθdr E D 1 r  = ab ∫ dθ ∫ rdr = 2abπ  ÷ = πab  2 0 0 0 2π 1 2 Tính thể tích vật thể: • 1 Thể tích của mặt trụ giới hạn trên bởi mặt • z = f(x,y) ≥ 0, giới hạn... g∀(x,y,x) ∈ Ω ⇒ ∫∫∫ fdV ≥ ∫∫∫ gdV Ω Ω Ω = Ω1 ∪ Ω2 6)  ⇒ ∫∫∫ fdV = ∫∫∫ fdV + ∫∫∫ fdV Ω1 ∩ Ω2 = ∅ Ω Ω1 Ω2 Định lí: Cho hai hàm số f(x,y,z) khả tích trên miền đóng, bị chặn Ω thì: ∃(x 0 ,y 0 ,z0 )Ω : ∈ f(x,y,z)dv = f(x ,y ,z ∫∫∫ 0 0 )V(Ω) 0 Ω • 3 Cách tính tích phân ba lớp: • Cho miền Ω giới hạn trên bởi mặt z = φ2(x,y), giới hạn dưới bởi mặt z = φ1(x,y), giới hạn xung quanh bởi mặt trụ có đường sinh... ) 4 = πabc 3 0 • Ví dụ: • • • • Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt z = 4 – x2 – y2 và 2z = 2 + x2 + y2 Lời giải: Giao của hai mặt có hình chiếu xuông Oxy là đường tròn: x2 + y2 = 2 • Vậy: 1  2 2 2 2  V = ∫∫ (4 - x - y ) - (2 + x + y )  dxdy 2  x 2 +y 2 ≤ 2  2 3 2 2 = ∫∫2 (2 - x - y )dxdy = 2 3 x2 +y ≤2 2π 2 dθ ∫ (2 - r 2 )rdr = 3π ∫ 0 0 Diện tích mặt cong: • Cho mặt cong S có phương . Chương 5. TÍCH PHÂN BỘI. A. TÍCH PHÂN HAI LỚP. §1. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN HAI LỚP MỘT VÀI TÍNH CHẤT ĐƠN GIẢN . • 1 1 . f(x,y) dxdy S(D) 2. Các ví dụ: Tính các tích phân bội: Làm sao để tính ây ???đ Các em hãy tính tích phân sau? ∫∫ D I = xsinydxdy,D =ΔOAB : O(0;0),A(π;0),B(π;π)