www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ______________________________________________________ Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn A hướng dẫn giải bài tập Bài 1: + đặt +=x yS điều kiện ≥ 2 4SP (*) =xyP + Hệ trở thành +=+1SP m ⇒ ,SP là nghiệm của pt =SP m () −+ +=⇒ 2 10XmXm S= m; P=1 S=1; P=m Câu a: + Khi m =2 ⇒ theo điều kiện (*) ta có S = 2; P=1⇒ x = y = 1 là nghiệm của hệ Câu b: + Nếu S= m: P = 1 theo yêu cầu của bài toán ta có S > 0⇔ m > 0 và ≥ 2 4 SP ⇔≥⇒≥⇒ 2 42mm kết hợp: ≥ 2m + Nếu S = 1; P=m ⇒>0m và ≥ 2 4SP ⇔ ≥14m ⇒< ≤ 1 0 4 m + Kết luận: ≥ 2m thì hệ có ít nhất 1 nghiệm x, y >0 <≤ 1 0 4 m Bài 2: + Đặt = − 1 2 u xy ; +=2x yv với ≠ 0u ⇒ hệ trở thành +=5uv ⇒ u,v là nghiệm của pt: − += 2 X5 0Xa (*) =uv a + Biện luận: = − 1 5 2xy = 1 10 x - a = 0 ⇒ (*) có X = 0; X = 5 ⇒ ⇒ + =20xy =− 1 20 y - khi ≠ 0a : ∆=−≥⇒≤ 25 25 4 0 4 aa ⇒ www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ______________________________________________________ Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn A ±− == − 15254 22 a u xy ( ) ( ) +± + − = 51 1254 4 aa a x a ⇒ ⇔ − =+ = ∓5254 2 2 a vx y ( ) ( ) −−− = ∓51 1254 8 aa a y a + >⇒ 25 4 x pt (*) vô nghiệm ⇒ hệ vô nghiệm Bài 3: Câu a: K=1 hệ có dạng − += 22 41xxyy ⇔ − = 2 34yxy −= 2 34yxy ⇔ ⇔ () ( )( ) −+=−⇔− −= 222 44 3 4 30xxyyyxy xyxy −= 2 34yxy = 1x x = -1 ⇔ hoặc = 4yx = 4y y = -4 ⇔ −= 2 34yxy hệ vô nghiệm x = 3y Câu b: + Ta thấy y = 0 không có nghiệm pt (2) + (2) ⇒ − = 2 4 3 y x y (3) thế vào pt đầu ta được () +− −= 42 11 9 49 16 0yK y vì =− < 16 0 11 c a phương trình luôn có nghiệm > 2 0y ⇒ luôn tồn tại y ⇒ thế vào (3) sẽ được x tương ứng . Vậy ∀K hệ luôn có nghiệm. Bài 37: hệ phuương trình hai ẩn (tiếp theo) D. Hệ phương trình chứa căn thức; 1. ví dụ 1: ++ = 22 282xy xy (1) giải hệ phương trình: (I) + = 4xy (2) Giải: Nhân hai vế pt(1) với (2); bình phương hai vế pt(2): ++ = 22 22 4 16xy xy Trừ từng vế 2 pt ta có: www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ______________________________________________________ Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn A (I) ⇔ ⇒ + =+ 22 22x yxy ++ =416xy xy ⇒ Bình phương 2 vế: () −=⇔= 2 0x yxy Thay vào (2) ta được: =⇔==24 4xxy + Kết luận: hệ có 1 nghiệm x = y = 4 2. Ví dụ 2: Giải hệ () ( ) += + 32 3 2 23x yxyxy += 33 6xy Giải: + đặt = 3 x u ; = 3 yv thì hệ trở thành ( ) ( ) + =+ 33 23uv uvuv ⇔ + = 6 uv () () ( ) ++−= + 22 23u v u v uv uv u v ⇔ += 6 uv ()  +− =  2 12 3 18uv uv uv [ ] −=12 36 3 18uv uv ⇔ ⇔ ⇔ +=6uv + = 6uv = 8uv = 2u = 4u ⇔ ⇔ hoặc ⇔ +=6uv = 4v = 2v = 8x = 64x ⇔ hoặc = 64y = 8y 3. chú ý: có thể biến đổi trực tiếp đưa về quan hệ giữa x, y dưới dạng bậc nhất rồi áp dụng phương pháp thế hoặc đặt ẩn phụ đưa về hệ không căn thức. 4. Ví dụ 4: tìm a để hệ + ++=12x ya + = 3x ya có nghiệm Giải: đặt += 1 x u ; +=≥ 20 yv . Hệ đã cho trở thành +=uv a ⇔ v= a -u () += + 22 31 uv a ( ) = −+−−= 22 22 330 fu u au a a (*) u, v >0 ⇒≤≤oua + Với ≤ 0 a pt +=uv a không thoả mãn ⇒ hệ vô nghiệm www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ______________________________________________________ Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn A + Với a>0 pt (*) cần có nghiệm [ ] ∈ 0, ua ⇒ v = a – u [ ] ∈ 0, a (do vai trò u, v như nhau) ⇒ () = 0 fu có cả 2 nghiệm tuộc đoạn [ ] 0, a . Vậy ta có: ∆≥ ' 0 ⇔ ≥2(0) 0f ; () ≥ 20 fa ⇔ <<0 2 a a −+ + ≥⇔− ≤≤+ 2 6160 315 315aa a ⇔ −+ −−≥⇔≤ ≥ 2 321 321 330 ; 22 aa a a vì () () = (0) fa f ⇔ + ≤≤+ 321 315 2 a 0 +315 −315 −321 2 +321 2 + Kết luận: với +321 2 ≤≤+315 a hệ pt có nghiệm. 5. Ví dụ 4: Giải và biện luận hệ: + −= 21 x ym + −21 yx Giải: + đặt =− 1 ux ; =− 1 vy ⇒≥,0 uv . Hệ trở thành: += − 2 22 uvm (1) += − 2 22 vum Lấy hiệu hai vế của 2 pt ta có: ( )( ) − +−= 2210 uv u v + Trường hợp −=⇔=0uv u v thế vào 1 trong 2 pt trên ta có: www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ______________________________________________________ Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn A ++− = 2 220uu m . Ta thấy nếu ptcó hai nghiệm âm; do đó để pt có nghiệm không âm thì − =≤⇔≥⇒ 12 2 02 2 m uu m ≤ ≤ 12 0 uu và −+ − === 2 18 15 4 m uu v  −+ − ⇒== += +    2 2 18 15 11 4 m xyu + Trường hợp − +−⇒= 12 221 2 u uv v thế vào (1) ta có () =−+−= 2 42520 fx u u m pt này có nghiệm   ∈     1 1 0, 2 u (vì u, v ≥ 0 và − =≥⇒≤ 12 1 0 22 a uu) và   =− = ∈     12 11 0, 22 vuu và ( ) = 0 fx cũng cần có hai nghiệm thuộc đoạn    1 0, 2 điều này tương đương với ∆≥ ' 0 −≥⇔≥ 19 8190 8 mm ()  ≥≥   1 40 0;4 0 2 ff ⇔ − ≥⇔ ≤ 5 52 0 2 mm ⇔ ≤≤ 21 0 82 ( do ()  =   1 0 2 ff) ⇔ ≤≤ 19 5 82 m và phương trình ( ) fu cho hai nghiệm = 1 uu hoặc = 2 uu = 2 vu = 1 vu với ±− = 12 18 9 4 m u và =+=− 1; 1 uxvy E. Hệ pt có chứa giá trị tuyệt đối 1. Ví dụ 1: cho hệ +−= 22 230xxyy +=− 2 xx yy + y = 0 không nghiệm hệ vì khi đó = 2 0x = − 2 xx vô nghiệm + đặt x = ty () ⇒+−=⇔+−=⇒=− 22 2 23 0 230 1;3yt t t t t với: t = 1 ⇒=⇒ =−⇒=−= 22 1 x yyy y x t = -3 ⇒=− ⇒− − + =−⇒− =− 333 28 2 xy yyyy yy ==− 13 , 22 yx +Kết luận: hệ có các nghiệm = =−1xy www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ______________________________________________________ Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn A = − 3 2 x = 1 2 y 2. Ví dụ 2: tìm a để hệ có nghiệm duy nhất −+− −++ = 22 549 5410 0xx xx xx (1) () ( ) −−+−= 2 21 20 xaxaa (2) Giải: • Từ (1) ( ) ( ) ⇔−++ −++ −= 22 54 5410 0xx xx xxx (3) + Ta thấy ≤≤⇒ − +≤ 2 14 540xxx nên (3) trở thành ()() −−++−++ −= 22 54 5410( )0xx xx xxx với [ ] ∀∈ 1, 4 x nghiệm của pt (1) là ≤≤14x + Nếu ≤<01x ⇒−+> 2 54x xo và = x x nên (3) trở thành: > 4 x () −+> 2 2540xx không có nghiệm + Nếu x < 0 ⇒−+> 2 54x xo và = − x x nên (3) trở thành: −+− =⇔ +−= 222 210820 0181080xx x xx pt có nghiệm x = -1; == 84 18 9 x loại ⇒ (1) có nghiệm x = -1⇒ vậy pt (1) có nghiệm là x = -1; ≤ ≤14x . • Giải pt (1) ta được 2 nghiệm = 2 x a ; = − 1 x2a • Để hệ có nghiệm duy nhất ta cần xét các trường hợp sau: + Nếu =−=− 1 21xa ⇒=⇒ = 2 11ax Hệ lúc đó có 2 nghiệm: -1; 1 không thoả mãn. + Nếu ==−⇒ =−=−⇒ 21 123xa xa hệ có 1 nghiệm duy nhất =−1x thoả mãn + Nếu << < 12 14xx ⇔ − << <21 4aa ⇔ < <13a <<< 12 14x x < −<<124aa < <46a Khi đó hệ có 1 nghiệm duy nhất là 2 x hoặc 1 x + Nếu =⇒ = ⇒ = 12 13 3xax hệ có 2 nghiệm không thoả mãn =⇒ =⇒ =− 22 11 1xax hệ có 2 nghiệm không thoả mãn + Nếu =⇒=⇒ = 12 46 6xax hệ có 1 nghiệm thoả mãn =⇒=⇒ = 21 44 2xax hệ có 2 nghiệm không thoả mãn Kết luận: hệ có nghiệm duy nhất khi: a = -1; 1 <a <3; <≤ 46 a 3. Chú ý: Khi giải hệ có chứa giá trị tuyệt đối cần rất cẩn thận, nếu không dễ bị thiếu sót. Bài tập: www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ______________________________________________________ Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn A Bài 1: Giải hệ += 30 xy yx (I) += 35 xx yy Bài 2: Giải và biện luận hệ + =x ya (1) = x+y- xy a (2) Bài 3: Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất + =+ + 2 2 x x yx a + = 22 x1y Bài 4: Giải hệ += 22 82 19 xy (1) += −+= ++ 110 10 1 33 xxyy yy (2) . theo) D. Hệ phương trình chứa căn thức; 1. ví dụ 1: ++ = 22 282xy xy (1) giải hệ phương trình: (I) + = 4xy (2) Giải: Nhân hai vế pt(1) với (2); bình phương. 11 c a phương trình luôn có nghiệm > 2 0y ⇒ luôn tồn tại y ⇒ thế vào (3) sẽ được x tương ứng . Vậy ∀K hệ luôn có nghiệm. Bài 37: hệ phuương trình hai