Đang tải... (xem toàn văn)
Giáo án- Chương 5: Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên
Chương V CÁC ĐẶC TRƯNG SỐ CỦA ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN §1 Các đặc trưng số Từ luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên rút vài số đặc trưng cho đại lượng ngẫu nhiên (giúp ta so sánh đại lượng với nhau) gọi đặc trưng số 1.1 Mod[X] (mode) Định nghóa Mod[X] giá trị mà X nhận xác suất lớn (nếu X rời rạc) hay hàm mật độ đạt cực đại (nếu X liên tục) VD Cho X rời rạc có luật phân phối X PX 0,1 0,2 0,3 0,05 Mod[X] = 0,25 0,1 X 1.2 Trung vò X (Med[X]) Trung vị giá trị X mà xác suất P X P X X P chia đôi, nghóa P P P X XX P X X X P X X P X X P VD Cho X rời rạc có luật phân phối X PX 0,1 : 0,2 0,15 0,1 0,45 X = Med[X] = 1.3 Kỳ vọng toán M(X) 1.3.1 Định nghóa Cho X rời rạc có phân phối X x1 x2 … xi … xn PX p1 p2 … pi … pn n M(X) = x1p1 + x p + + x n p n = ∑ x i pi + Neáu X liên tục M(X) = +∞ i =1 ∫ xf (x)dx −∞ VD Trong bình đựng 10 cầu giống khác trọng lượng gồm nặng 1kg, 2kg kg Lấy ngẫu nhiên quả, gọi X trọng lượng cầu X có luật phân phối X 1kg 2kg 3kg PX 0,5 0,2 0,3 Suy M(X) = 1.0,5 + 2.0,2 + 3.0,3 = 1,8kg 1.3.2 Ý nghóa Kỳ vọng giá trị trung bình (theo xác suất) đại lượng ngẫu nhiên X, trung tâm điểm phân phối mà giá trị cụ thể X tập trung quanh Bài toán Cho đại lượng ngẫu nhiên X Y = ϕ(X) Tính M(Y) = M[ϕ (X)] a/ Trường hợp X rời rạc Xét bảng X x1 x2 … xi … xn PX p1 p2 … pi … pn ϕ(X) ϕ(x1 ) ϕ(x ) … ϕ(x i ) … ϕ(x n ) PY p1 p2 n … pi M[ϕ(X)] = ∑ ϕ(x i )pi i =1 … pn VD Cho Y Y ( (X) X X 2, bieát X PX –1 0,1 0,3 0,4 0,2 j (X) PY 0,1 0,3 0,4 0,2 Ta có Þ M[j (X)] = 1.0,1+ 0.0, 3+ 1.0, 4+ 4.0,2 = , b/ Trường hợp X liên tục có hàm mật độ f(x) M[M (X)] [ M[ M( (x)f(x)dx M[ Chú ý Trong bảng phân phối X có Mod[X] đối M xứng Mod[X] M X o M(X) VD X PX 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1 1.4 Phương sai D(X) 1.4.1 Định nghóa D(X) D M{ [X ( M(X)] } M(X) hoaëc D(X) h M[(X o a ) ], ë VD X PX 0,2 0,7 0,1 m = M(X) = 1.0,2 + 2.0, + 3.0,1 = , Þ D(X)= (1 -1,9) 0,2+ (2 -1,9) 0,7+ (3 -1,9) 0,1 2 Coâng thức thường dùng 2 D(X) D M(X ) ( [M(X)] Khi D ( D(X) D D x pj ( D x jpj D, X rời rạc (j( D D D D D ( j D1 n j n D ( D D(X) D Dx2f(x)dx ( D( xf(x)dx D, X liên tục D D D D D ( D( X) D( X) VD Trong ví dụ ta có D(X) D 1.0,2 ( 22.0,7 X 32.0,1 ) (1 ,9) 1.4.2 Ý nghóa Phương sai sai số bình phương trung bình đại lượng ngẫu nhiên X so với trung tâm điểm kỳ vọng Phương sai dùng để đo mức độ phân tán X quanh kỳ vọng 1.5 Độ lệch tiêu chuẩn ( (X) X D(X) Bài tập Bài Một bà mẹ sinh (mỗi lần sinh con) Xác suất sinh trai 0,51 Gọi X số trai lần sinh Tính kỳ vọng phương sai X Bài Một lô hàng gồm 10 sản phẩm tốt phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ lô hàng đó, gọi X số phế phẩm sản phẩm lấy Tính kỳ vọng phương sai X Bài Theo thống kê, người Mỹ 25 tuổi sống thêm năm có xác suất 0,992 người chết vòng năm tới 0,008 Một chương trình bảo hiểm đề nghị người bảo hiểm sinh mạng cho năm với số tiền chi trả 1000 USD, phí bảo hiểm 10 USD Hỏi công ty có lãi không ? Bài Một người mua vé xổ số trị giá 2.000 đồng Biết vé số có chữ số Cơ cấu trúng giải: + Một giải trúng chữ số cuối thưởng 20.000đ + Một giải trúng chữ số cuối thưởng 50.000đ + Năm giải trúng chữ số cuối thưởng 100.000đ + Hai giải trúng chữ số cuối thưởng 200.000đ + Ba giải trúng chữ số cuối thưởng 500.000đ + Hai giải trúng chữ số cuối thưởng triệu + Một giải nhì trúng chữ số cuối thưởng triệu + Một giải trúng chữ số cuối thưởng triệu + Một giải đặc biệt trúng chữ số cuối thưởng 50 triệu đồng Hỏi người mua vé số có lãi không? §2 CÁC ĐẶC TRƯNG SỐ CỦA VECTOR (X, Y) 2.1 Đặc trưng phân phối có điều kiện 2.1.1 Trường hợp rời rạc X x1 x2 … xi … xm PX/Y=yj P1/j p2/j … pi/j … pm/j Y y1 q1/i y2 q2/i … … yj qj/i … … yn qn/i PY/X=xi a/ Kỳ vọng có điều kiện X với điều kiện Y = yj M X /Y M y j X m Mx p i i M1 i/j Kỳ vọng có điều kiện Y với điều kiện X = xi M Y /X M xi Y n My q jM1 j j /i b/ Kỳ vọng có điều kiện X với điều kiện Y + M(X/Y) Y M(X /Y )ngẫu nhiên nhận giá trị ( (Y ) đại lượng M(X/yj) Y = yj vaø + M(Y/X) laø X M(Y /X)ngẫu nhiên nhận giá trị ( (X) đại lượng M(Y/xi) X = xi 2.1.2 Trường /y)dx n tục(y) hợp liê ( X /y) M M xf(x /x) M M yf(y /x)dy ( Y (x) 2.2 Kỳ vọng hàm vector ngẫu nhiên (rời rạc) Cho (X, Y) có phân phối P[X=xi, Y=yj] = pij Z Z ( (X, Y ) M(Z) M M[( (X, Y )] Z m M( n i M1 j( ) (xi, y j )pij VD Cho Z Z ( (X, Y ) X X , Y vaø baûng sau (X, Y) (0;0) (0;1) (0;2) (1;0) (1;1) (1;2) pij 0,1 0,2 0,3 0,05 0,15 0,2 M(Z) M (0 ( 0).0 Z (0 ,1 ).0,2 (0 2).0, ( (1 0).0, 05 (1 ) 1).0,15 (1 2).0,2 , 75 , ... số cuối thưởng triệu + Một giải đặc biệt trúng chữ số cuối thưởng 50 triệu đồng Hỏi người mua vé số có lãi không? §2 CÁC ĐẶC TRƯNG SỐ CỦA VECTOR (X, Y) 2.1 Đặc trưng phân phối có điều kiện 2.1.1... vọng giá trị trung bình (theo xác suất) đại lượng ngẫu nhiên X, trung tâm điểm phân phối mà giá trị cụ thể X tập trung quanh Bài toán Cho đại lượng ngẫu nhiên X Y = ϕ(X) Tính M(Y) = M[ϕ (X)]... kiện X với điều kiện Y + M(X/Y) Y M(X /Y )ngẫu nhiên nhận giá trị ( (Y ) đại lượng M(X/yj) Y = yj + M(Y/X) X M(Y /X )ngẫu nhiên nhận giá trị ( (X) đại lượng M(Y/xi) X = xi 2.1.2 Trường /y)dx![Trong bảng phân phối của X có một Mod[X] và đối xứng thì Mod[X] XM oMM(X). - Giáo án- Chương 5: Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên](https://media.store123doc.com/figures/000/009/bang-phan-phoi-mod-doi-xung-mod-xm-9635.png)
