www.saosangsong.com.vn Năm học 2009-2010 1 NHÁY A 2005. Thời gian làm bài : 180 phút Đề A 2005 Câu 1 (2 điểm ). Cho hàm số : y = 2 x - 2(m - 1) x 1 x 1 mm+ − = − 1) Định m để đồ thị hàm số có tiệm cận qua điểm (2; 3) 2) Định m để đồ thị có điểm cực đại cách tiệm cận xiên một khoảng là ½. Câu 2 (2 điểm ) : 1) Giải bất phương trình : 2x + 7 3x - 2 x + 3−> 2) Giải phương trình : 2sin 2 (3 x + π/4) sin2x + (sinx - cos x) 2 = 0 Câu 3 (1 điểm ). Tính tich phân : /2 0 sin 2x 1 3sin x x 1sinx d π + + ∫ Câu 4 (1 điểm ). Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều , mặt bên SCD là tam giác vuông tại S. Tính thể tích khối chóp và tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Câu 5 (1 điểm ). Cho x , y, z là các số dương thỏa mãn : 111 6 x yz + +=, tìm giá trị lớn nhất của T = 111 3x 2 3 2 x 3 2x + y yz y z z ++ ++ ++ + Câu 6 (2 điểm ). 1) Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn (x – 3) 2 + (y + 2) 2 = 8. Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn biết đường chéo hình vuông hợp với Ox một góc 45 0 . 2) Trong hệ trục Oxyz , cho đường thẳng d : x 1 3 122 yz− − == và mặt phẳng (P) : 2x + y + 2z = 0 . a. Tìm trên d điểm M cách mặt phẳng (P) một khoảng là 8. b. Viết phương trình d’, hình chiếu của d lên (P). Câu 7 (1 điểm ). Giải hệ : () 22 22 21/8 x+y (x + ) log (x ) 3log (x ) 1 5500,223 y yy+− = ⎧ ⎪ ⎨ −− ⎪ ⎩ 0= GIẢI VẮN TẮT Câu 1. 1. y = mx – m + 2 + 1 x 1− TC xiên qua (2 ; 3) Ù 3 = 2m – m + 2 Ù m = 1 2. y’ = 2 2 x - 2mx+ m -1 (x 1) m − Vì ∆’ = m nên m > 0 thì có CĐ, CT và điểm CĐ là M( ;2 ( ) 2 2) mm mm mm mm −− −+ www.saosangsong.com.vn Năm học 2009-2010 2 = (1 - 1 ;2 2 )m m − d(M, ∆) = 2 |222| 1 mm m m m −+ −−+ + = 2 ||1 2 1 m m = + Ù 4m = m 2 + 1 Ù m 2 – 4m + 1 = 0 Ù m = 2 3 ± Câu 2. 1) ĐK : x ≥ 2/3 : 2x + 7 3x - 2 x + 3>+ Ù 2 x + 7 > 4 x + 1 + 2 2 3x + 7 x-6 Ù 2 3x + 7x - 6 < 3 x− <=> 22 x < 3 3x 7 x – 6 x – 6 x 9 ⎧ ⎨ +> ⎩ + Ù Ù 2/3 ≤ x < 1 2 2/3 x < 3 2x + 13x - 15> 0 ≤ ⎧ ⎨ ⎩ 2) [1 – cos(6x + π/2)] sin 2x + 1 - sin 2x Ù sin 2 x + sin6x. sin2x + 1 - sin 2 x = 0 Ù cos4x – cos8x + 2 = 0 Ù 2cos 2 4 x - cos4x - 3 = 0 Ù cos 4x = - 1 Ù x = π/4 + k. π/2 Câu 3. I = /2 0 2sin xcos x 1 3sin x dx 1sinx π + + ∫ Đặt t = 2 1 3sin x 1 3sin x 2 3cos x d x ttdt+=>=+ =>= => I = 2 2 2 1 12 2. 33 1 1 3 tt d t ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ − + t ∫ = 3 22 22 11 443 323 2 tt t dt t dt tt − ⎡ ⎤ =− ⎢ ⎥ ++ ⎣ ⎦ ∫∫ = 2 2 2 1 43 ln( 2) 32 2 t t ⎡⎤ −+ ⎢⎥ ⎣⎦ = . . . Câu 4. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của IJ: AB vuông góc IJ và SI nên vuông góc (SIJ). Kẻ SH vuông góc IJ thì SH là đường cao hình chóp. Do SI = a 3 / 2 , SJ = a/2 và IJ = a => tam giác SIJ vuông tại S. Suy ra: SH = . 4 SI SJ a 3 IJ = => V = 3 3 12 a . S A B C D I J H O G • Tâm mặt cầu O là giao điểm hai trục G x và Jy của hai tam giác SAB và SCD. • R 2 = SO 2 = SG 2 + SJ 2 = (a 2 /3 + a 2 /4) = 7a 2 /12 => R = 21 6 a www.saosangsong.com.vn Năm học 2009-2010 3 Câu 5. Áp dụng BĐT: 11 1 111 ()( )4 4 ab ab ab ab ⎛ ++≥=> ≤+ ⎜ + ⎝⎠ ⎞ ⎟ , ta có : T 11 1 1 1 1 1 4 3x 2 3 2 x 3 2x y zyz z y ⎛⎞ ≤+++ ++ ⎜⎟ ++ ⎝⎠ + Áp dụng BĐT: 111 1 1111 ()( )9 9 abc abc abc abc ⎛⎞ ++ ++ ≥=> ≤ ++ ⎜⎟ ++ ⎝⎠ , ta có : 11111 29 1 y zyyz yyz ⎛⎞ =≤+ ⎜⎟ +++ ⎝⎠ + . . . => T 11 1 1 1212 1 21 43x 3 3 9 x x yz yzz y ⎛⎞ ⎡ ⎤ ⎥ ≤++++++++ ⎜⎟ ⎢ ⎣⎦ ⎝⎠ = 11 1 1 1 6x yz ⎛⎞ + += ⎜⎟ ⎝⎠ Vậy max T = 1 khi x = y = z = ½ Cách khác : Dùng BĐT Côsi cho 6 số, ta được : 12 6 1 2 6 1111 . . 36 aa a a a a ⎛⎞ ≤+++ ⎜⎟ +++ ⎝⎠ 1 => 1 1 1 1111111 1321 3x 2 36 x x x 36 xy zyyz ⎛⎞⎛ ++≤+++++=++ ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ yz ⎞ ⎟ ⎠ => T ≤ 11 1 1 1 6x yz ⎛⎞ ++ = ⎜⎟ ⎝⎠ Câu 6. 1) Không mất tính tổng quát có thể giả sữ hệ số góc của BD là 1 . Biết BD qua tâm I(3 ; - 2) nên phương trình BD là : y = 1. (x – 3) – 2 = x – 5 . Thế vào phương trình đường tròn, ta được phương trình hoành độ B, D : (x – 3) 2 + (x – 3) 2 = 8 Ù x = 5 hay x = 1 ( đó là hoành độ B hay D). Tương tự, phương trình AC là y = - 1.(x -3) – 2 = - x + 1. Thế vào phương trình đường tròn ta được hoành độ của A và C. . . 2) a. M = (t + 1; 2t ; 2t + 3), ta có : d(M, (P)) = |2 2 2 4 6| 8 3 ttt++++ = Ù |8t + 8| = 24 Ù t = 2 hay t = - 4. Vậy M = . . . . . b. Ta tìm toạ độ giao điểm A của d và (P) : 2(t + 1) + (2t) + 2(2t + 3) = 0 Ù 8t + 8 = 0 Ù t = - 1 => A(0 ; - 2; 1). d’ là giao tuyến của (P) và (Q), mặt phẳng qua d và vuông góc (P). VTPT của (Q) là : (2 ; 2 ; - 3) () () [, ] QdP nan= JJJG JJG JJJG = =VTCP của d’ là : ( - 7 ; 10 ; 2). Suy ra phương trình d’ : '()() [, ] dPQ ann= JJG JJJG JJJG x 2 1 710 2 yz+− == − Câu 7. ĐK : x + y > 0 và x y > 0 Ù x , y > 0 (1) Ù log 2 (x + y) x y = 1 Ù (x + y)x y = 2 (2) Đặt t = : t - 50/t – 23 = 0 Ù t 22 x+y 5≥1 2 – 23t – 50 = 0 Ù t = 25 Ù x 2 + y 2 = 2. Đặt S = x + y, P = x y : S P = 2 ; S 2 – 2P = 2. S 2 – 4/S - 2 = 0 Ù S 3 - 2S – 4 = 0 Ù (S – 2)(S 2 + 2S + 2) = 0 Ù S = 2 => P = 1. www.saosangsong.com.vn Năm học 2009-2010 4 Hệ có 1 nghiệm (1 ; 1). . vuông tại S. Suy ra: SH = . 4 SI SJ a 3 IJ = => V = 3 3 12 a . S A B C D I J H O G • Tâm mặt cầu O là giao điểm hai trục G x và Jy c a hai tam giác SAB. SJ 2 = (a 2 /3 + a 2 /4) = 7a 2 /12 => R = 21 6 a www.saosangsong.com.vn Năm học 2009-2010 3 Câu 5. Áp dụng BĐT: 11 1 111 ()( )4 4 ab ab ab ab ⎛ ++≥=>