ch-ơng 3 Trạng thái ứng suất và thuyết bền 1 Khái niệm 1- Trạng thái ứng suất tại 1 điểm Trong ch-ơng kéo nén ta đã biết, tại một điểm,nếu ta cho 1 mặt cắt ngang đi qua thì ứng suất trên đó là ứng suất pháp có giá trị là z z N F . Cũng tại điểm đó , nếu ta cho một mặt cắt song song với trục của thanh đi qua thì ứng suất lại bằng 0. Điều đó chứng tỏ, tại 1 điểm, nếu cho các mặt cắt khác nhau đi qua điểm đó, thì cũng thu đ-ợc các giá trị -s khác nhau. Trong tr-ờng hợp tổng quát, xét 1 vật thể bất kỳ chịu 1 hệ lực tác dụng. Qua điểm C bất kỳ, nếu ta dùng các mặt cắt khác nhau đi qua đó thì ta cũng thu đ-ợc các giá trị -s pháp, tiếp khác nhau (hình vẽ) P 1 P n C P 2 Điều đó chứng tỏ -s không những phụ thuộc vào vị trí của một điểm mà còn phụ thuộc vào vị trí của mặt cắt ngang đi qua điẻm đó. Vậy: Trạng thái -s tại một điểm là tập hợp tất cả các giá trị -s pháp và tiếp trên các mặt cắt khác nhau đi qua điểm đó. Để khảo sát trạng thái -s tại 1 điểm, ng-ời ta th-ờng tách ra 1 phân tố vô cùng bé để khảo sát. y 2- Trạng thái -s của 1 phân tố y yx yz z xy xz x x x z zx zy z y T-ởng t-ợng xung quanh điểm K cần khảo sát, ta tách ra 1 phân tố hình hộp vô cùng bé có các kích th-ớc là dx.dy.dz. Trên các mặt của phân tố, ta đặt các thành phần -s pháp và tiếp vào, ta có 9 thành phần -s nh- trên hình vẽ Đó là: x y z xy yx xz zx yz zy , , , , , , , , Trong đó, theo lý thuyết đàn hồi ta có: -s tiếp có giá trị bằng nhau từng đôi một: xy yx xz zx yz zy ; ; Nh- vậy ta có 6 thành phần -s độc lập trên 1 phân tố * Quy -ớc tên gọi và dấu của các thành phần -s - ứng suất pháp: . Tên gọi: chỉ số của -s pháp chỉ ph-ơng song song với nó . Dấu:Mang dấu d-ơng khi h-ớng ra ngoài mặt cắt, mang dấu âm ng-ợc lại. - ứng suất tiếp: . Tên gọi: chỉ số thứ nhất chỉ ph-ơng pháp tuyến của mặt cắt chứa nó, chỉ số thứ 2 chỉ ph-ơng song song với nó . Dấu:Nhìn theo chiều trục không chứa trong tên gọi, thấy pháp tuyến ngoài của mặt cắt quay 90 0 theo chiều kim đồng hồ đến trùng chiều với nó thì mang dấu d-ơng. Âm thì ng-ợc lại. 2 1 3 3 Phân tố chính Lý thuyết đàn hồi đã chứng minh rằng: Tại 1 điểm luôn tồn tại 1 phân tố mà trên các mặt của nó chỉ có -s pháp mà không có -s tiếp. Phân tố đó gọi là phân tố chính. Các mặt chỉ có -s pháp gọi là mặt chính, ph-ơng pháp tuyến của mặt chính gọi là ph-ơng chính. ứng suất pháp trên mặt chính gọi là -s chính và đ-ợc quy -ớc tên gọi theo quy luật nh- sau: 1 2 3 về mặt trị đại số 4- Phân loại trạng thái -s Tuỳ theo sự tồn tại của số -s chính trên phân tố, mà ng-ời ta phân trạng thái -s thành các loại nh- sau: - Trạng thái -s khối: tồn tại cả 3 -s chính - Trạng thái -s phẳng: chỉ tồn tại 2 -s chính - Trạng thái -s đơn: chỉ tồn tại 1 -s chính Trạng thái -s khối và phẳng còn đ-ợc gọi là trạng thái -s phức tạp (Khối) (Phẳng) (Đơn) 2 Nghiên cứu trạng thái ứng suất phẳng 1 ứng suất trên mặt cắt xiên Xét 1 phân tố ở trạng thái -s phẳng ở vị trí bất kỳ,tồn tại các -s pháp và tiếp là x y xy yx , , , . Để đơn giản ng-ời ta biểu diễn trạng thái -s phẳng bằng hình chiếu của nó(trên hình vẽ) T-ởng t-ợng dùng 1 mặt cắt xiên có ph-ơng pháp tuyến ngoài của mặt cắt so với chiều d-ơng của trục x một góc là cắt phân tố. Xét 1 phần,ta có trên mặt cắt xiên xuất hiện -s pháp, và -s tiếp là , nh- trên hình vẽ. yx y xy xy x x yx y Để tìm -s pháp trên mặt cắt xiên, ta chiếu lên ph-ơng của . Ta có: dF dF dF dF dF x y xy yx . cos cos . sin .sin . cos sin . .sin cos 0 =0 Rút gọn biểu thức với chú ý xy yx . Ta có: x y x y xy 2 2 2 2.cos sin (3.1) T-ơng tự, chiếu theo ph-ơng của ta tìm đ-ợc: x y xy 2 2 2sin cos (3.2) Công thức 3.1 và 3.2 là công thức xác định -s trên mặt cắt xiên.Ta hãy khảo sat 2 công thức này: *ứng suất trên mặt cắt vuông goc với mặt cắt xiên : Khi dó góc xiên sẽ là +90 0 . Ta có: 90 0 2 2 2 2 x y x y xy cos sin Ta thấy: 90 0 x y const Từ đó ta có luật bât biến của -s pháp: Tổng -s pháp trên 2 mặt vuông góc với nhau luôn là hằng số. Ta lại xét: 90 0 2 2 2 x y xy sin cos Từ đó ta có luật đối ứng của -s tiếp:-s tiếp trên 2 mặt vuông góc với nhau thì có giá trị bằng nhau,và có chiều cùng h-ớng vào cạnh chung hoặc cùng h-ớng ra xa cạnh chung. *Đối với trạng thái -s đơn :Ta có trạng thái -s đơn có y xy 0 .Theo 3.1, 3.2 ta có: x .cos 2 và x 2 2.sin Trong ch-ơng kéo nén thì z đóng vai trò của x . 2- ứng suất chính và ph-ơng chính Ta đã biết, trên mặt chính không có -s tiếp. Nghĩa là: x y xy 2 2 2 0sin .cos Từ đó ta có: tg2 2 2 0 xy x y tg (3.3) Đây là công thức xác định ph-ơng chính của mặt chính.Trong đó 0 là góc của pháp tuyến ngoài của mặt chính so với trục x. Dễ dàng ta có: 0 2 k. Ta cũng có thể dễ dàng nhận thấy là -s chính cũng chính là -s cực trị. Thực vậy, ta đạo hàm trong công thức 3.1 theo và cho bằng 0, ta sẽ tìm đ-ợc góc của mặt có -s cực trị cũng chính là góc ph-ơng chính. Thay 3.3 vào 3.1 và bằng biến đổi l-ợng giác ta tìm đ-ợc -s pháp cực trị nh- sau: max min x y x y xy 2 2 2 2 (3.4) 3- ứng suất tiếp cực trị và ph-ơng của mặt chứa nó Đạo hàm công thức 3.2, rồi cho bằng 0, ta tìm đ-ợc ph-ơng của mặt chứa -s tiếp cực trị là tg2 1 0 2 2 x y xy gcot Ta có 0 1 4 k / Nh- vậy thì ph-ơng chính luôn nghiêng 45 0 so với ph-ơng của mặt có -s tiếp cực trị. T-ơng tự nh- trên ta cũng có thể dễ dàng tìm đ-ợc -s tiếp cực trị nh- sau: 2 2 min max 2 xy yx (3.5) Trong đó dấu + t-ơng ứng với max . Dấu (-) t-ơng ứng với min Trên đây là ph-ơng pháp giải tích xác định -s trên mặt cắt xiên, -s chính và ph-ơng chính, -s tiếp cực trị. 3 nghiên cứu trạng thái ứng suất phẳng bằng ph-ơng pháp đồ thị - vòng tròn mor 1-Thành lập ph-ơng trình vòng tròn mor Theo công thức 3.1, 3.2 ta có: x y x y xy 2 2 2 2 2 2 cos sin 2 2 2 2 2 x y xy sin cos Bình ph-ơng 2 vế rồi cộng lại với nhau,ta đ-ợc: x y x y xy 2 2 2 2 2 2 Ta đã biết ph-ơng trình chính tắc của vòng tròn là: x a y b R 2 2 2 Thì ph-ơng trình trên chính là ph-ơng trình của 1 vòng tròn có tâm vòng tròn là: C( x y 2 0, ) và có bán kính là R= x y xy 2 2 2 2-Cách dựng vòng tròn mor + Lập hệ trục toạ độ trong đó trục tung là trục hoành là + Trên trục hoành lấy điểm E( y ,0 ) và điểm F( x ,0 ) + Chia đôi khoảng cách FE ta đ-ợc tâm C của vòng tròn + Lấy điểm cực P( y xy , ). Nối CP + Lấy CP làm bán kính, quay 1 vòng tròn có tâm là C, ta đ-ợc vòng tròn đã dựng gọi là vòng tròn Mor Ta có thể dễ dàng chứng minh đ-ợc đây chính là vòng tròn dựng đ-ợc theo ph-ơng trình trên 3-Công dụng của vòng tròn mor a) Xác định đ-ợc ứng suất trên mặt cắt xiên: Từ điểm cực P kẻ 1 tia song với ph-ơng pháp tuyến của mặt cắt xiên cắt vòng tròn tại 1 điểm K. K có toạ độ là , b) Xác định -s chính và ph-ơng chính: vòng tròn cắt trục hoành tại 2 điểm A và B t-ơng ứng với giá trị -s chính và cũng chính là -s cực trị. Nối PA và PB ta đ-ợc 2 ph-ơng chính. c ) Xác định -s tiếp cực trị và ph-ơng của mặt chứa nó: Qua tâm C của vòng tròn, kẻ 1 tia song song với trục tung cắt vòng tròn tại 2 điểm I, J có giá trị -s tiếp cực trị. Nối PI, PJ ta đ-ợc ph-ơng của mặt có -s tiếp cực trị. Nh- vậy, sử dụng vòng tròn mor ta cũnh có thể xác định đ-ợc -s trên các mặt nh- là khi sử dụng ph-ơng pháp giải tích 4 Trạng thái ứng suất khối Xét 1 phân tố ở trạng thái -s khối,có 1 2 3 , , là các thành phần -s chính. Dùng 1 mặt cắt song song với ph-ơng của 1 thì ta thấy 1 không ảnh h-ởng gì đến -s trên mặt cắt xiên. Khi đó vòng tròn mor vẽ đ-ợc chỉ có 2 thành phần còn lại tham gia. Ta đ-ợc vòng tròn 2 3 . T-ơng tự nh- vậy ta vẽ đ-ơc vòng tròn 2 1 và vòng tròn 1 3 Nh- vậy trạng thái -s khối đ-ợc biểu diễn bằng 3 vòng tròn mor. Trong đó vòng tròn lớn nhất là vòng tròn 1 3 có giá trị -s tiếp lớn nhất là: max 1 3 2 5 Định luật húc tổng quát Trong ch-ơng kéo nén , ta đã biết: Quan hệ giữa biến dạng dọc tỉ đối giữa ph-ơng dọc và ph-ơng ngang theo quan hệ: z z E thì x y z z E qua đó ta thấy ta có thể dễ dàng tính đ-ợc biến dạng theo 3 ph-ơng đối với phân tố ở trạng thái -s đơn Đối với phân tố ở trạng thái -s phức tạp, trong tr-ờng hợp tổng quát tồn tại cả 3 -s chính là 1 2 3 , , thì ta có thể thiết lập đ-ợc công thức tính nh- sau: Gọi 11 là biến dạng tỉ đối theo ph-ơng 1 do 1 gây nên, khi đó 11 1 E Gọi 12 là biến dạng tỉ đối theo ph-ơng 1 do 2 gây nên, khi đó 12 2 E Gọi 13 là biến dạng tỉ đối theo ph-ơng 1 do 3 gây nên, khi đó 13 3 E áp dụng nguyên lý cộng tác dụng, ta có 1 là biến dạng tỉ đối theo ph-ơng của 1 do 1 2 3 , , gây nên là: 1 11 12 13 hay 1 1 2 3 1 E T-ơng tự: 2 2 3 1 1 E (3-6) 3 3 1 2 1 E Trong đó 2 3 , cũng là biến dạng tỉ đối theo ph-ơng 2, 3 do cả 3 thành phần -s gây nên. Công thức 3.4 chính là định luật Húc tổng quát đ-ợc phát biểu d-ới dạng biểu thức, viết cho phân tố chính. Trong tr-ờng hợp phân tố ở trạng thái -s phức tạp bất kỳ, khi đó ngoài -s pháp, còn có -s tiếp. Lý thuyết đàn hồi đã chứng minh đ-ợc rằng: -s tiếp chỉ gây nên biến dạng góc ảnh h-ởng không đáng kể đén biến dạng dài. Do vậy biến dạng tỉ đối theo ph-ơng x, y, z có thể viết d-ới dạng nh- sau: x y z x y z y z x z x y E , , , , , , , , 1 Đó là biểu thức định luật Húc tổng quát viết cho phân tố bất kỳ 6 các thuyết bền 1 Khái niệm (Sự cần thiết phải sử dụng thuyết bền) Trong ch-ơng kéo nén, phân tố ở trạng thái -s đơn, chỉ có 1 thành phần -s chính. Ta đã có điều kiện bền là z z N F Trong đó 0 n có thể dễ dàng xác định bằng các thí nghiệm kéo, nén phá hỏng mẫu Trong tr-ờng hợp chịu lực phức tạp, không phải chỉ có 1 thành phần -s chính mà có 2 hoặc 3 thành phần -s chính, do vậy không thể chọn bất kỳ thành phần nào để so sánh với -s cho phép vì thực tế cho thấy nhiều khi các thành phần -s vuông góc với nó có thể làm tăng độ bền Nh- vây rõ ràng là phải chọn cả 3 thành phần -s chính, nh-ng nh- vậy thì việc xác định -s cho phép là rất khó khăn, là vì phải làm thí nghiệm kéo nén theo 3 ph-ơng với các tỉ lệ khác nhau. Điều đó không thể thực hiện đ-ợc trong điều kiện kỹ thuật ngoài thực tế. Qua phân tích trên, ta thấy phải dựa vào các giả thuyết về sự phá hỏng để có thể chuyển trạng thái -s phức tạp trở về trạng thái -s đơn để có thể sử dụng đ-ợc kết quả của -s cho phép khi kéo nén. Vậy: Thuyết bền là các giả thuyết về các nguyên nhân cơ bản về sự phá hỏng của vật liệu ở trạng thái -s phức tạp, cho phép ta đánh giá đ-ợc độ bền của phân tố ở trạng thái -s phức tạp khi biết độ bền của phân tố ở trạng thái -s đơn. Nh- vậy dựa vào thuyết bền, ta có thể chuyển trạng thái -s phức tạp về trạng thái -s đơn t-ơng đ-ơng thuyết bền Trạng thái -s đơn t-ơng đ-ơng là trạng thái -s đơn có độ bền t-ơng đ-ơng với phân tố ở trạng thái -s phức tạp 2-Thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất: Thuyết bền này cho rằng nguyên nhân phá hỏng của vật liệu của phân tố ở trạng thái -s phức tạp là do -s tiếp lớn nhất của phân tố ở trạng thái -s phức tạp đạt đến -s tiếp nguy hiểm của phân tố ở trạng thái -s đơn Theo thuyết bền này thì -s tiếp lớn nhất ở trạng thái -s phức tạp max , 0 là -s tiếp nguy hiểm của trạng thái -s đơn. Dựa theo điều kiện này, ta có điều kiện bền của phân tố ở trạng thái -s phức tạp nh- sau: td k 1 3 Phạm vi áp dụng: Thuyết bền này chỉ sử dụng cho vật liệu dẻo vì vật liệu dẻo chịu cắt do -s tiếp gây nên nhìn chung là kém mà TB này lại cho rằng nguyên nhân phá hỏng do -s tiếp. Ưu điểm: Kết cấu công thức đơn giản, dễ tính toán Nh-ợc điểm:Không giải thích đ-ợc sự phá hỏng khi kéo đều theo 3 ph-ơng và bỏ qua ảnh h-ởng của 2 3 -Thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng cực đại Thuyết bền này cho rằng nguyên nhân phá hỏng của vật liệu ở trạng thái -s phức tạp là do thế năng biến đổi hình dáng cực đại của phân tố ở trạng thái -s phức tạp đạt đến thế năng biến đổi hình dáng nguy hiểm của phân tố ở trạng thái -s đơn Theo TB này ta có điều kiện bền của phân tố ở trạng thái -s phức tạp nh- sau: td 1 2 2 2 3 2 1 2 2 3 3 1 k Phạm vi áp dụng của TB này: chỉ áp dụng cho vật liệu dẻo Ưu điểm: có kể đến ảnh h-ởng của 2 Nh-ợc điểm: Kết cấu công thức phức tạp và cũng không giải thích đ-ợc sự phá hỏng của vật liệu khi kéo đều theo 3 ph-ơng. 4- Thuyết bền Mor Trong phần tr-ớc ta đã biết: Trạng thái -s khối đ-ợc biểu diễn bằng 3 vòng tròn Mor, trong đó vòng tròn lớn nhất 1 3 đ-ợc gọi là vòng tròn chính. Vòng tròn chính ở trạng thái nguy hiểm đ-ợc gọi là vòng tròn chính giới hạn, đ-ợc xác định qua các thí nghiệm. Ta vẽ hàng loạt các vòng tròn chính giới hạn cho các trạng thái -s khác nhau, ta đ-ợc 1 họ vòng tròn chính giới hạn, mà đ-ờng bao của nó gọi là đ-ờng nội tại (hình vẽ). Thuyết bền Mor cho rằng : Nguyên nhân phá hỏng của vật liệu ở trạng thái -s phức tạp là do vòng tròn chính của phân tố đó cắt đ-ờng nội tại (v-ợt đ-ờng nội tại). Bằng cách thay thế đ-ờng nội tại bằng 2 đ-ờng thẳng tiếp xúc với vòng tròn chịu kéo và chịu nén, ng-ời ta đã chứng minh đ-ợc điều kiện bền theo thuyết bền Mor là: td k 1 3 trong đó k n Đối với vật liệu dẻo thì =1 thuyết bền Mor lại trở về thuyết bền -s tiếp lớn nhất. Đối với vật liệu dòn thì 1 Phạm vi áp dụng của thuyết bền mor : áp dụng cho cả vật liệu dẻo và dòn,nh-ng chủ yếu áp dụng cho vật liệu dòn. Ưu điểm : TB Mor đ-a ra giả thuyết về nguyên nhân phá hỏng của vật liệu có tính chất khoa học và hợp lý hơn 2 TB trên. Nh-ợc điểm : Bỏ qua ảnh h-ởng của 2 và việc thay thế đ-ờng nội tại bằng đ-ờng thẳng, làm giảm độ chính xác. Cũng không giải thích đ-ợc sự phá hỏng của vật liệu khi kéo đều theo 3 ph-ơng. 5-áp dụng thuyết bền cho các phân tố đặc biệt a) Phân tố ở trạng thái -s phẳng đặc biệt Phân tố trên hình vẽ đ-ợc gọi là phân tố ở trạng thái -s phẳng đặc biệt có: x y xy , ,0 Dựa vào công thức 3.5 ta có thể xác định đ-ợc -s chính: max min 2 1 2 4 2 2 Ta có thể dễ dàng thấy rằng: 1 max 2 0 3 = min Ta cũng có thể xác định -s chính bằng vòng tròn Mor. * Theo thuyết bền -s tiếp lớn nhất Ta có td 1 3 2 2 4 *Theo thuyết bền -s tiếp cực đại: sau khi thay -s chính vào và rút gọn, ta có: td 2 2 3 *Theo thuyết bền Mor: Sau khi thay vào biểu thức TB rồi rút gọn ta đ-ợc: td 1 2 1 2 4 2 2 k b)Trạng thái -s tr-ợt thuần tuý Ta có phân tố ở trạng thái -s tr-ợt thuần tuý nh- hình vẽ, có các thành phần -s: [...]... x y 0, xy Thay vào công thức -s chính,ta có 1 max 2 0 3 min *Theo TB -s tiếp lớn nhất: ta có td 2 2 *Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng cực đại T-ơng tự nh- trên ta cũng có: 2 * Theo TB mor: ta cũng có k 1 Trên đây là các diều kiện bền cho các phân tố ở trạng thái -s đặc biệt . đ-ơng thuyết bền Trạng thái -s đơn t-ơng đ-ơng là trạng thái -s đơn có độ bền t-ơng đ-ơng với phân tố ở trạng thái -s phức tạp 2 -Thuyết bền ứng suất tiếp. ở trạng thái -s phức tạp khi biết độ bền của phân tố ở trạng thái -s đơn. Nh- vậy dựa vào thuyết bền, ta có thể chuyển trạng thái -s phức tạp về trạng thái