Đang tải... (xem toàn văn)
Phương pháp xác suất để giải một số bài toán khác nhau.
ụ ụờ ở ế tứ ị ề ồ tị ị ĩ ờ ò ò t trì r P P st ý tết ồ tị ổ ợ ý tết ố ổ ợ rờ ự tế tí ủ ỳ ọ sở ồ tị t ết q t ổ ề ị ổ ề í t t s ủ số tự ớ số s ột ết q ì ọ ố rrt tế tí ủ ồ tị ớ ể t í tt ứ ị ý rstrss t P st ột số ế tứ st sở ị ị ý ỉ rstrss ột ề tố ộ ộ tụ ủ tứ rst ết ệ t ờ ở P st t trể trở t ột tr ữ ụ ợ ù ữ ệ rộ r ể ứ ụ tổ ợ ột trữ ý í tr sự t trể trò q trọ ủ sự tr ý tết ọ tí ĩ ự ộự ủ ề t tổ ợ ự t ộ q ữ ờ r ọ tí ột tt tr tì tò ề P st tr ổ ợ ột số ề ớ ợ trì tr t ệ ệ ì ồ sự ứ ũ ệ ứụ tr ó t ột số ý tở ề tt ó r út sẽ ủ ế tì ể ề tP st ó tể ợ t s ứ sự tồ t ủ ữ trú tổ ợ ớ ữ tí t óú t ự ột st ợ ý trú ó ỉ rr ữ tí t ố tồ t ớ st P ợ ở ồ ở P rs ờ ó ó rt ề sự t trểủ ó tr q ờ ợ ý ọ ó P rs ữ ó ó ủ ỉ số ết q ss tr ủ ề ò ở ề t ự tú ị ề ò ỏề t ết ứ tr ĩ ự ờ tể ết ột qể s ề st q ề ết q ữ st ú t ệt tt ú ề ủ ú t ề ú t ì ố t ữ ý tở r ữ ết q tốt t ó tể ế ệ qết q ò ỏ ềĩ tt ữ ết q tr ét s ệ ề ềết q tệ ú t ù ữ q ớ tệ s f g ú t ết f = O(g) ế f cg ọ trị ủ ớ ủế ủ ở c ột số ú t ết f = (g) ếg = O(f) ết f = (g) ế f = O(g) f = (g) ế tỷ số f/g tớ ế ủ tớ ù t ết f = o(g) ốù f g í ệ f = (1 + o(1))g ĩ f/g tớ 1 ế tớ ù ồ t trì ữ ế tứ sở ề ồ tị ú t ù st ể ột số t q ế ồ tị s ữ t ụ tể trì ờ ột số t rõ st ụ ớ t ù ế ỳ ọủ ế ố trì ờ ột ớ t ù ổ ề ị ú t t ợ ề ết q rt tú ị ố ù trì ụ ĩ tt st ể ứ ị ýrstrss ệ ủ t ọ ể t ệ ủ ế tế tr qể s [1], [2] trì t tế ệt ù t ố t ò ế tr q trì tự ệ tr ỏ ữ tế sót ợ sự óó ý ế ủ t ứ ữ q t ế ố ù t tỏ ò ết t s s tớ ễ ế ề sự ớ ỉ ú ỡ t tì tề ệ t t ũ t ệ rờ ọ ọ ự ọ ố ộ ủ ệ t ộ ủ trờ ệ rờ P ú ỡ t ề ệ t ợ tr sốt tờ ọ t q trì t ộ t ế tứ ị ề ồ tị ị ĩột ồ tị G ột ó tứ tự t ợ rờ (V, E) s E t ủ t ồ ó tứ tự ủ V rừ ó ợ tờ t ú t ỉ ét ữ ồ tị ữ ó V E ữ V t ỉ t E t ế G ột ồ tị tì V = V (G) t ỉ E = E(G) t ột {x, y} ợ ó ố ỉ x, y í ệ ở xy xy yxể tị ù ột ỉ x y ọ ỉ ố ủ ế xy E(G) tì x y ỉ ề ớ ỉ x y tộ ớ xy ề ế ú ó úột ỉ ố ú t tờ ĩ ồ tị ột ó tứ tự ột t ỉ ột số ỉ ợ ố ớ ở ú t ó r G= (V, E) ồ tị ủ G ế V V E E r trờ ợ t ết G G ế ọ ủ G ố ỉ ủ Về ứ tr Gtì t ó G ồ tị s ủ G ết G= G[V] ột ồ tị ủ G ứ ọ ỉ ủ G ọ ồ tị t ủ G ột tử ủ Gú t ũ tờ t ữ ồ tị ớ từ ữ ồ tị ũ ó t ỉ ế W V (G) tì G W =G[V \ W ] ồ tị ủ ợ ó W tt tộ ớ ỉ ủ ó tự ế E E(G) tìG E= (V (G), E(G) \ E) ế W = {w} E= {xy} tì í ệ ết G w G xy tự ế x y ỉ ề ủ G tì G + xy từ G ố x y ế x ột ỉ ủ ồ tị tì ú t ết x G t x V (G) ố tứ tự ủ G số ỉ ủ G í ệ ớ |G| í ệ ũ ù số tử ủ ột t ợ |X| ể tị số tử ủ t X |G| = |V (G)| ỡ ủ G số ủ G ó ợí ệ ở e(G) ú t ết Gn ột ồ tị tù ý ó tứ tự n tự G(n, m) í ệ ột ồ tị tù ý ó tứ tự n ỡ m t rờ U W ủ t ỉ ủ ột ồ tị ú t ếtE(U, W ) t ủ U W ó t ố ỗ ỉ ủU ớ ột ỉ ủ W ũ e(U, W ) = |E(U, W )| số ủ U W ế ú t ố ồ tị ủ ú t G tì t t EG(U, W ) eG(U, W ) ồ tị ế ó ột ữ t ỉ ủ ú t tí tộ G = (V, E) ọ ớ G= (V, E)ế ó ột s : V Vs ế xy ột ủ G tì(x)(y) ột ủ G õ r ồ tị tì ó ù tứtự ỡ tờ ú t ệt ữ ồ tị trừ ú t ét ữ ồ tị ó t ỉ ợ í ụồ tị từ ột ồ tị q ớ ế G H ồ tị tì ú t ết G=H G = Hỡ ủ ột ồ tị tứ tự n ít t 0 ề tn2 õ r ớ ỗm 0 m n2 ó ột ồ tị G(n, m) ột ồ tị ó tứ tự n ớ ỡn2ợ ọ nồ tị ủ í ệ ở Kn ột nồ tị rỗ Enótứ tự n r Knọ ỉ ề ề tr ớ En ó ỉ ề ồ tị K1= E1ọ t tờì En ố ớ í ệ t ủ ồ tị ú t tờ ùí ệ Kn t rỗ ớ tứ tự n ú ý r ó ù ủ ồ tị ủ ổ qt ớ ồ tị G = (V, E) ù ủ G ồ tị G =(V, V(2) E) ỉ ề tr G ế ỉ ế ó ề tr G ỉ ề ủ x G ủ x ợ ý ệ ở (x) ú t ó (x) ở ủ x (x) {x} óủ x ũ x y ế x ỉ ề ủ y y (x), x (y), x y, y x t ỗ ột tr ú ể tị xy ột ủ x d(x) = |(x)| ế ú t ố r ồtị G tì ú t ết G(x) dG(x) q ớ t tự ù ột ụ tộ ồ tị G ế x H = G[W ] tìH(x) = {y H : xy E(H)} = G(x) W. ỏ t ủ ồ tị G ợ í ệ ở (G) ớ t ợ í ệở (G) ột ỉ 0 ợ ọ ỉ ế (G) = (G) = kó ọ ỉ ủ G ó k tì G ợ ó kí q í q k ột ồ tị í q ế ó kí q ớ k ó ột ồ tị3í q ợ ó ế ột tử ủ G ọ ỉ ủó ó r tì t ọ ó ột r tử ủ G 1 tử ộtồ tị t ủ G ọ ỉ ủ ó ó 1ế V (G) = {x1, x2, . . . , xn} tì {d(xi)}ni=1 ủ G ờú t ế ỉ t ợ t ệt ệ í ụ (G) = d(x1) . . . d(xn) = (G) ỗ ó ỉ ố tổ ủ í số n1d(xi) = 2e(G). ệt tổ ủ n1d(xi) 0 (mod 2). ét ố ợ ọ ổ ề r t ó ể tị r tổ số r t (2) t ể r tổ số ỉ ú t t từ (1) r (G) 2e(G)/n (G) 2e(G)/n ở x í ệ số ớ t ớ x x = x í ệ số ỏ t ỏ xột ờ ột ồ tị P ó V (P ) = {x0, x1, . . . , xl}, E(P ) = {x0x1, x1x2, . . . , xl1xl}.ờ P tờ ợ í ệ ở x0x1. . . xl ỉ ọ ỉố ủ P l ọ ộ ủ P ú t ó r P ột ờ từ x0tớ xl ột ờ x0 xl ĩ P ũ ột ờ từ xlế x0 ờ xl x0 ể r P ợ ét từ x0 ú tọ x0 ỉ xl ỉ ố ủ P ột ờ ớ ỉ x ọ ột xờt ữ ộ sẽ ợ ù tr ệ ớ ỉ ờủ ột ồ tị ột t ủ ỉ ọ ộ ế ó tử ủ ó ề ũ W V (G) ồ ỉ ộ ế G(W ) ột ồ tị rỗ ột t ờ ộ ế ờ tù ý ỗ ỉ tộ ờ ể ố ủ P1, P2, . . . , Pk ờ x y ộ ế V (Pi) V (Pj) = {x, y}ớ i = j ờ Piũ ợ ó tự rờ ó ệ q ế ờ ủ ột ồ tị ột ộ W ủ ột ồ tị ột ỉ x0, e1, x1, e2, . . . , el, xl ở ei= xi1xi, 0 < i l tt ữ tr W ột ộ x0xl ợ í ệ ở x0x1. . . xlộ ủ W l W ợ ọ ột ệt ế ọ ủ ề ệt ú ý r ột ờ ột ộ ớ ỉ ệt ột ệt ỉ ố ủ ó trù ột ệt ó ợ ọ ột trìõ ột trì ột ệt ó ệt ỉ ố ớ í ụ t ớ ột ỉ t r trì ớs ế ột ộ W = x0x1. . . xlớ l 3, x0= xl xi0 < i < l ệt x0tì W ợ ọ ột ò ể ò ợ í ệ x1x2. . . xl ú ý r í ệ ớ ộtờ ở ỗ xlx1ũ ột ủ ò ột ò ó ỉ t ũ ớ x1x2. . . xl xlx1. . . xl1 x2x3. . . x1ùí ệ ột òú t tờ ù Plể í ệ ột ờ Clể í ệ ộtò ú t ọ C3 ột t C4 ột tứ C5 ột ũ Clợ ọ ột lò ột ò ế ộ ủ ó ẽ ít r rố ế ù Pl Cl ữ ờ ò tổ qt ò ữ ờ ò ụ tể t ù P1, P2, . . . , C1, C2, . . . t t ù ỉ số ớ ợ rộ r ú t ũọ ỉ số ớ ọ r ữ q ớ sẽ ế ể rớ tế tụ ị ĩ ú t r ết q ố ớ ò t ở ị ý ỉ ủ ột ồ tị ó tể t òế ỉ ế ọ ỉ ó ứ ề ệ rõ r ế ột ồ tị ợ ủ ò ó ỉ tì ột ỉ ứ tr k òó 2k ò ỗ ỉ ó 0 sử r ỗ ỉ ủ ồ tị ề ó e(G) > 0 tế ú t ó tể tì ợ ột ò tr G x0x1. . . xl ột ờó ộ ớ t l tr G x0x1 e(G) ú t ó d(x0) 2 tế tì ó ột y x1 t ữ ú t ó y = xiớ xi ó 2 i l ế tì yx0x1. . . xlsẽ ột ờ ó ộ l + 1 ừ ó ú t tì ợ ột ò x0x1. . . xiì t ột ò ọ C1 ệ ú t tủ tụ tế tế ữ ể tết ề t G1= G tế C1 ột òtr G1 ị G2= G1 E(C1) ỗ ỉ tộ G2ó E(G2) = G2ứ ột ò C2 ế tụ t ú t tì ợ ò ó C1, C2, . . . , Cstỏ E(G) = si=1E(Ci) ể ứ ết q tứ ột ị ý ẹ ủ t từ út sẽ ù ét t tứ ị ý ỗ ồ tị tứ tự n ớ ỡ ớ n2/4 ứ ột t ứ sử ứ r G ột ồ tị tứ tự n ứ ột t ế tì (x) (y) = ớ ỗ xy E(G)d(x) + d(y) n.ộ t tứ tt e(G) xy ủ G ú t ợxGd(x)2 ne(G). (1) t tứ (2e(G))2= (xGd(x))2 n(xGd(x)2). t (3)(2e(G))2 n2e(G),ứ tỏ r e(G) n2/4. ủ ết q t ễ tốt t ó tể ợ ịý ủ t ợ ở rộ ớ ở r ị ý ủ r ể t ủ ý tết ồ tị ự trị ỉ x, y ủ ú d(x, y) ộ t ủ ờ x y ế ó ờ x y tì d(x, y) = ột ồ tị ọ t ế ọ ỉ ệt {x, y} ềó ột ờ từ x ế y ú ý r ột ồ tị t ủ ít t ỉ tể ứ ột ỉ ột ồ tị t ớ t tứ ó ột ồ tị t ứ ó tự sự ột t tốủ ồ tị ột ỉ t ột ỉ sự ó ỏ ó t số ttố ủ ồ tị tự ột ột sự ó ỏ ó t sốt tố ủ ồ tị ột ột ế sự ó ỏ ó ttí t ủ ồ tị ột ồ tị ứ ò ột rừ ột ồ tị ò ột ột rừ t ố q ệ ữ rừ ớt ợ ế t t r ột rừ ột t ồ rờ ó ột rừ ột ồ tị ỗ t tố ủ ó ột ột ồ tị G ột ồ tị ớ ớ ỉ V1 V2ếV (G) = V1 V2, V1 V2= ọ ố ột ỉ ủ V1ớ ộtỉ ủ V2 ũ ó r G ó (V1, V2) tự t ó G r ớ ớ ỉ V1, V2, . . . , Vr r (V1, V2, . . . , Vr)ế V (G) = V1V2. . .Vr ViVj= 1 i < j r ó ố ỉ ủ ù ột ớ í ệ K(n1, . . . , nr)ù ộtồ tị r ủ ó ứ niỉ tr ớ tứ i ỉ t ì tr ớ ệt ề ợ ố ớ ể ú t tờ ếtKp,qt tế K(p, q) Kr(t) t tế K(t, . . . , t) ú t sẽết G H = (V (G) V (H), E(G) E(H)) kG ợ ủ k [...]... 2 Phương pháp cơ bản 2.1 Phương pháp Xác suất Phương pháp xác suất là công cụ hữu hiệu để xử lý nhiều vấn đề trong toán rời rạc Nói nôm na, phương pháp tiến hành như sau: cố gắng chứng minh một cấu trúc có một tính chất mong muốn nào đó, người ta định nghĩa một không gian xác suất hợp lý cho các cấu trúc và sau đó chứng tỏ tính chất mong muốn là đúng trong không gian này với xác suất dương Phương pháp. .. rằng tổng số cách tô màu hai màu của tô hai màu mà có một đơn màu Kn lớn hơn số cách Kk Hơn nữa, do phần lớn những không gian xác suất trong việc tìm hiểu những bài toán tổ hợp xét trong không gian hữu hạn, cách liệt kê này áp dụng cho hầu hết những ứng dụng của phương pháp xác suất cho toán rời rạc Tuy nhiên, trong thực hành, xác suất là cốt lõi Phương pháp xác suất có một khía cạnh thuật toán thú... thảo luận về giải thuật, chúng ta bỏ qua thuật ngữ hiệu quả; nói nôm na, một giải thuật hiệu quả nếu số lần tính toán là một đa thức của số 18 các đỉnh.) Dù nhiều tài liệu đã xem xét bài toán này do tính chất quan trọng áp dụng trong thực hành của lời giải, vẫn chưa biết biết liệu rằng có hay không một giải thuật hiệu quả để tìm một con đường ít đắt nhất Trong một phiên bản khác của bài toán nhà buôn,... trong một vài trường 20! hợp, phương pháp xác suất không xây dựng đưa ra một giải thuật hiệu quả 23 Phương pháp xác suất là một công cụ mạnh và hiệu quả của lý thuyết Đồ thị và Tổ hợp Nó cũng là ứng dụng hàng đầu trong Lý thuyết Số và trong Hình học Tổ hợp Gần đây nó được ứng dụng nhiều hơn trong việc phát triển kĩ thuật giải thuật hiệu quả và trong việc tìm hiểu những bài toán máy tính khác nhau 2.2... Erdos từ 1947 Mặc dù Szele có ứng dụng phương pháp xác suất trong một bài toán tổ hợp khác, đưa ra trong chương 3, đã có trong 1943, Erdos chắc chắn đã là người đầu tiên hiểu đầy đủ sức mạnh của phương pháp này và ứng dụng nó thành công trong nhiều năm vào các bài toán số Ta có thể, dĩ nhiên, phát biểu rằng xác suất là công cụ thiết yếu của chứng minh ở trên Một chứng minh đơn giản tương đương có thể... cùng một giá 1.3 Các Vòng Hamilton và các Chu trình Euler Bài toán nhà buôn du lịch rất giống với bài toán cây dẫn xuất kinh tế được thảo luận ở phần trên, tuy nhiên sự tương tự chỉ là bề ngoài Một nhà buôn làm một tua qua n thành phố, cuối cùng ông ấy phải trở về trụ sở nơi bắt đầu khởi hành Giá của hành trình giữa hai thành phố bất kì là đã biết Bài toán yêu cầu tìm một giải thuật hiệu quả xác định một. .. các kết quả với mục đích bày tỏ phương pháp cơ bản này Kết quả sau của Szele (1943) nhiều lần được xem là cách dùng đầu tiên của phương pháp xác suất Định lý 3.1.1 Hamilton Có một giải đấu T với n người chơi và ít nhất n! 2 1 đường n1 Chứng minh Trong một giải đấu ngẫu nhiên gọi X là số đường Hamilton Với mỗi phép thế gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số mà 32 đưa đến một đường Hamilton, tức là thoả mãn... dn là dãy bậc của một tự n 2 Do T là liên thông, (T ) = d1 1 Vậy nếu T có một đỉnh bậc 1, theo (1) và Hệ quả 1.2.6 ta sẽ có Chứng minh Đặt n 2n 2 = 2e(T ) = di 1 + 2(n 1) 1 15 cây T thứ nhiều nhất Một bài toán cơ bản trong lý thuyết tối ưu yêu cầu một cách tìm dễ dàng một cây dẫn xuất của một đồ thị với một tính chất đặc biệt nào đó Cho một G = (V, E) và một hàm giá trị dương f xác định trên các... của T , như thế T sẽ là một đồ thị con dẫn xuất kinh tế hơn Như vậy T là một cây dẫn xuất kinh tế của G Tương ứng với các đặc điểm và các cách xây khác thì sẽ có một cạnh dựng khác nhau của một cây dẫn xuất, chúng ta có vài cách tìm đơn giản một cây dẫn xuất kinh tế; chúng ta sẽ trình bày bốn trong số các phương pháp này (1) G Cho nhất của G, f : E(G) R+ , chúng ta chọn một trong những cạnh rẻ là,... X Một tập gồm m phần tử, mỗi cái từ mỗi Ai được gọi là tập các đại diện phân biệt của họ A Hệ tập A tự nhiên xác định một đồ thị 2-nhánh với các lớp đỉnh V1 = A và V2 = X trong đó Ai nối với một số x X chứa trong Ai Ta nói rằng có một tương xứng từ V1 dến V2 Cho một họ Theo định nghĩa một đồ thị không chứa một nút, một "cạnh" nối một đỉnh với chính nó; nó cũng không chứa các đa cạnh, đó là, một . ết x G t x V (G) ố tứ tự ủ G số ỉ ủ G í ệ ớ |G| í ệ ũ ù số tử ủ ột t ợ |X| ể tị số tử ủ t X |G| = |V (G)| ỡ ủ G số ủ G ó ợí ệ ở e(G) ú t ết Gn. ó ỉ ố tổ ủ í số n1d(xi) = 2e(G). ệt tổ ủ n1d(xi) 0 (mod 2). ét ố ợ ọ ổ ề r t ó ể tị r tổ số r t (2) t ể r tổ số ỉ ú t t từ (1)