Đang tải... (xem toàn văn)
ĐỒNG DƯ THỨC.[r]
(1)ĐỒNG DƯ THỨC Kiến thức bản: * Định nghĩa: Cho a, b là các số nguyên và n là số nguyên dương ta nói a đồng dư với b theo mô đun n a và b có cùng số dư chia cho n, kí hiệu: a b(mod n) Như a b (mod n) (a - b ) n hay a (mod n) a n * Tính chất: Cho a,b,c N* Nếu a b(mod n) và c b(mod n) thì a c (mod n) Nếu a b(mod n) thì a + c b + c (mod n) Nếu a b(mod n) thì ac bc (mod n) Nếu a b (mod n) thì an bn (mod n) (a + b)n bn(mod a), a > * Định lí Fermat: Cho p là số nguyên tố (a,p) = đó ap-1 (mod p) Các ví dụ cụ thể: Ví dụ 1: Chứng minh A = (7.52n + 12.6n ) 19 n N Giải Ta có: 7.52n = 7.(52)n = 7.25n A = 7.25n + 12.6n Vì 25 (mod 19) 25n 6n (mod 19) 25n 7.6n (mod 19) 7.25n + 12.6n 7.6n + 12.6n (mod 19) 7.25n + 12.6n 19.6n (mod 19) A 19 2n Ví dụ Chứng minh A (2 5)7(n N ; n 1) Giải Ta có 23 (mod 7) Ta tìm số dư 22n chia cho (2) Ta có: 22 (mod 3) 22n 1(mod 3) 22n = 3k + (k N) 2n A 22 23k 1 2.23k 2.8k Vì 23 (mod 7) (23)k (mod 7) hay 8k (mod 7) 2.8k 2.1 (mod 7) 2.8k + 2.1 + (mod 7) 2.8k + 7 Vậy A 7 2004n 2003 Chứng minh (1924 Ví dụ: 1920)124, n N * Giải 2003 - Đặt A = 1924 2004n 1920 - Ta có 124 = 4.31 và (4, 31) = - Vì 1924 (mod 31) 1924 – – (mod 31) 1920 –2 (mod 31) 2004n 2003 1924 1920 1924 20032004 n 2004 n ( 2) (mod 31) A 19242003 (mod 31) n 2004 - Mặt khác 25 (mod 31) nên ta tìm số dư 2003 chia cho n 2004 - Ta có 2004n = 4k (k N) nên 2003 = 20034k - Vì 2003 (mod 5) và 34 1(mod 5) 34k (mod 5) n n 2004 2004 20034k 34k (mod 5) hay 2003 (mod 5) 2003 = 5m + 2004n 2003 2 25m 1 2.25m 2(25 )m (1) 25 (mod 31) (25)m (mod 31) 2.(25)m 2.1 (mod 31) Từ (1) và (2) 20032004 n (mod 31) - Vì 1924 (mod 31) 1924 - Từ (3) và (4) 1924 2004n 2003 - Vậy A 1924 (2) 20032004 n n 20032004 (3) 2004n 2003 2 (mod 31) (4) (mod 31) 1924 20032004 n (mod 31) A 31 2004n 2003 - Ta lại có 1924 4 1924 4; 1920 A - Vì A4, A31 và (4, 31) = A 4.31 hay A 124 (mod 31) (3) Ví dụ 4: Cho A = 22004 a) Tìm hai chữ số tận cùng A b) Tìm ba chữ số tận cùng A Giải a) Tìm hai chữ số tận cùng A thực chất là tìm số dư A chia cho 100 - Ta có: 100 = 25 = 22.52 - Trước hết ta tìm số dư A chia cho 25 - Ta có A = 22004 = 24(210)200 - Vì 210 = 1024 -1 (mod 25) (210)200 (-1)200 (mod 25) 24(210)200 24(-1)200 (mod 25) hay A 16 (mod 25) - Vậy A có thể viết dạng: A = 25k + 16 (k N) - Mặt khác A = 22004 = 22.22002 = 4.22002 A 25k k k = 4m (m N) A = 25.4m + 16 = 100m + 16 16 (mod 100) Vậy hai chữ số tận cùng A là 16 b) Tương tự ta tìm số dư A chia cho 1000 - Ta có: 1000 = 8.125 = 23.53 và A = 24.22000 = 24.(250)4 = 16 (250)4 - Trước hết ta tìm số dư chia A cho 53 = 125 - Từ đẳng thức: (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3+ 5ab4 + b5 ta thấy a 25 thì (a + b)5 b5(mod 125) - Vì 210 -1 (mod 25) 210 = 25n - (n N) 250 = (210)5 = (25n - 1)5 (-1)5 (mod 125) (250)4 (-1)4 (mod 125) (250)4 (mod 125) - Vậy A = 16(250)4 16.1(mod 125) A = 125k + 16 (k N ) - Vì A = 22004 = 23.22001 A 125k k 8 k = 8m (m N) - Vậy A có dạng: A = 125.8m + 16 = 1000m + 16 16 (mod 1000) - Vậy ba chữ số tận cùng A là 016 (* Tổng quát: Tìm n chữ số tận cùng A thực chất là tìm số dư chia A cho 10n Để tìm số dư chia cho 10n ta tìm số dư chia cho 2n và 5n) (4) BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho a Z Chứng minh rằng: a) Nếu a (mod 2) thì a2 (mod 8) b) Nếu a (mod 3) thì a3 (mod 9) Hướng dẫn: a) Vì a (mod 2) nên a có dạng: a = 2k + (k Z ) a2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + = 4k(k + 1) +1 Do k(k + 1) nên 4k(k+ 1) a2 1(mod 8) b) Tương tự Bài 2: Chứng minh a) (1110- 1) 100 b) (19611962+19631964+ 19651966+ 2) 7 c) (241917+ 14191719 d) (29+ 299) 200 e) (13123456789 -1) 183 f) (19791979 - 19811981+ 1982) 1980 g) (340- 1) 396880 h) (22225555+ 55552222) Hướng dẫn: a) Ta có: 1110 – = (11 – 1)(119 + 118 + 117 +…+ 11 + 1) = 10(119 + 118 + 117 +…+ 11 + 1) Do 11 (mod 10) 11n (mod 10) 119 118 117 … 11 (mod 10) (119 + 118 + 117 +…+ 11 + 1) 10 (mod 10) (1110 – 1) 100 h) Ta có 2222 (mod 7) 22225555 35555 (mod 7) Mặt khác: +) 32 (mod 7) 35555 = 35554 + = 3.(32)2777 3.(22777) (mod 7) +) 23 (mod 7) 22777= 23.925 + = 22.(23)925 22(mod 7) 22225555 3.4 5(mod 7) (1) +) 5555 (mod 7) 55552222 42222(mod 7) (5) +) 43 1(mod 7) 42222 = 43 740+2 = 42.(43)740 42 (mod 7) (2) Từ (1) và (2) 22225555 + 55552222 + (mod 7) đpcm - Các phần còn lại tương tự Bài 3: Tìm số dư chia số A = 776776+ 777777+778778 cho Hướng dẫn: Ta thấy: 776 (mod 3) 776776 2776 (mod 3) vì 22 (mod 3) 2776 (mod 3) 776776 (mod 3) 777 (mod 3) 777777 (mod 3) 778 (mod 3) 778778 1( mod 3) Vậy A + + (mod 3) Vậy số dư là Bài 4: Một số tự nhiên chia cho dư 3, chia cho 17 dư 9, chia cho 19 dư 13 Hỏi chia số đó cho1292 dư? Hướng dẫn: Gọi số tự nhiên phải tìm là a Vì a chia cho 19 dư 13 nên a có dạng: a = 19k + 13 (k N) Vì a chia cho 17 dư nên: 19k + 13 (mod 17) 2k + (mod 17) k + (mod 17) k+ = 17q (q N) k = 17q – (*) Vì a chia cho dư nên: 19k + 13 (mod 4) 19 (17q – 2) + 13 (mod 4) 323q – 28 (mod 4) q (mod 4) q = 4n (n N) Vậy a có dạng: a = 19(17.4n – 2) + 13 a = 1292n - 25 -25 (mod 1292) a 1267 (mod 1292) Vậy a chia cho 1292 dư 1267 Bài 5: Cho n là số nguyên dương chứng minh (6) a) Nếu A là số có chữ số tận cùng thì An có chữ số tận cùng b) Nếu A có chữ số tận cùng thì An có chữ số tận cùng c) Nếu A có hai chữ số tận cùng 25 thì An có hai chữ số tận cùng 25 d) Nếu A có hai chữ số tận cùng là 76 thì An có hai chữ số tận cùng 76 e) Nếu A có ba chữ số tận cùng 625 thì An có ba chữ số tận cùng 625 Hướng dẫn a) Giả sử A có chữ số tận cùng là A (mod 10) An 5n (mod 10) xét 5n – = 5(5n – – 1) Vì 5n – – là số chẵn nên 5n – (mod 10) 5n (mod 10) Vậy An (mod 10) hay An có chữ số tận cùng - Các phấn b, c, d, e, làm tương tự Bài 6: Cho n là số tự nhiên chứng minh a) 52n+1 + 2n+4+ 2n+1 chia hết cho 23 b) 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133 c) 5n+2 + 26.5n + 82n+1 chia hết cho 59 d) 52n+1.2n+2 + 3n+222n+1chia hết cho 38 e) 13n+2 + 142n+1 chia hết cho 183 f) 22n+1 + 32n+1 chia hết cho g) 42n – 32n – chia hết cho 168 (n = 1) h) Chứng minh 9n + không chia hết cho 100 (n N ) Hướng dẫn: a) Ta có: 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 = 5.(25)n + 24.2n + 2.2n = 5.25n + 18.2n Vì 25 (mod 23) 25n 2n(mod 23) 5.25n + 18.2n 5.2n + 18.2n 23.2n (mod 23) Vậy đpcm h/ Ta có 100 = 4.25 Vì (mod 4) 9n (mod 4) (7) 9n + (mod 4) 9n + không chia hết cho 100 - Các phần còn lại làm tương tự Bài 7: Tìm số tự nhiên n cho: a) 23n+4+ 32n+1 chia hết cho 19 b) n.2n +1 chia hết cho c) 3n + 4n + chia hết cho 10 d) 22n + 2n + chia hết cho 21 e) n10+ chia hết cho 10 f) 20n +16n - 3n - chia hết cho 323 Hướng dẫn: a: Ta có 23n+4 + 32n+1 = 24.23n+3.32n = 16.8n + 3.9n Đặt A = 16.8n + 3.9n 2n.A = 16.16n + 3.18n Vì 16 -3(mod 19) 16n+1 (-3)n+1(mod 19) 18 -1 (mod 19) 18n (-1)n(mod 19) 3.18n 3.(-1)n(mod 19) Ta cần tìm n cho 3n- chia hết cho 19 Có nghĩa là tìm n cho 3n (mod 19) Theo định lý fermat với p P , (a,p) = thì ap-1 (mod p) Nên ta có 319 -1 1(mod 19) 318 (mod 19) Vậy n có dạng n = 18m( m N*) b) Xét n chẵn, n lẻ c) Tìm n để chia hết cho và d) Tìm n để chia hết cho và e) Xét các số dư n chia cho ta suy n ± (mod 5) n = 5m ± (m Z) vì n10+ nên n lẻ m lẻ m = 2k+ (k Z) Vậy n = 10k + n = 10k + (k Z) f) Ta có 323 = 19.17 Xét n chẵn, n lẻ Kết quả: n chẵn (8) Bài 8: 99 a) Tìm hai chữ số tận cùng số A = 1414 b) Tìm hai chữ số tận cùng số A = 14 77 7 c) Chứng minh hai số và có hai chữ số tận cùng giống d) Tìm hai chữ số tận cùng số: A = 29 2002 19992000 e) Tìm hai chữ số tận cùng số: A = 1998 19992000 f) Tìm ba chữ số tận cùng số: A = 1998 20032004 20012002 20032004 20012002 Hướng dẫn: a) Ta có 72 (-1) (mod 25) 9 9 Vì (mod 2) (mod 2) viết dạng: 99 = 2k + (k N) A 72k+1 7.72k 7.(-1)k(mod 25) Vậy A có dạng: A = 25.q + (-1)k 99 Vì 72 (1) (mod 4) (mod 4) A chia cho dư q + (-1)k chia cho dư q + (-1)k = 4m + q = 4m + - (-1)k A = 25.[4m + - (-1)k] + (-1)k A = 100m + 25 - 24(-1)k k chẵn nên hai chữ số tận cùng A là 01 - Các phần còn lại làm tương tự (9)