Đang tải... (xem toàn văn)
Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính : 2... x sin xdx..[r]
(1)NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN Tìm nguyên hàm các hàm số sau : x x 1 a) f(x) = x ; x ex b) f(x) = ; 2 c) f(x) = sin x.cos x ; d) f(x) = sin x cos x ; e) f(x) = tan2x ; 2x g) f(x) = e ; h) f(x) = (1 x )(1 x ) Giải: x 2 x 2x e dx x x C e e (ln 1) e b) (sin8x sin 2x)dx d) 1 cos8x cos2x C 4 1 1 x 3 x 2x ln 2x C h) Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính : a) c) (1 x )9 d x (đặt u 1 x ) ;b) cos3 x sin x d x x(1 x2 ) d x (đặt t cos x ) d) e x Giải: a) Đặt u = – x du = –dx 10 (1 x)10 I u9 du u du C 10 10 d) Đặt u = ex du = exdx dx e x 2 (đặt u 1 x ) x (đặt u e ) (2) e x dx du I x (u 1) d(u 1) x C x (e ) 2e u 2u e 1 Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm phần, hãy tính : ( x (1 d) x ln(1 x )dx ; x sin(2 x 1)dx c) ; a) b) x 1)e xdx x ) cos x dx Giải: a) Đặt u = ln(1 + x) du = x x2 dv = xdx v= x2 x2 dx I = ln(1 + x) – x 1 x2 (x )dx x 1 = ln(1+ x) – 2 x (x 1)ln(1 x) x C = b) Đặt u= x2+2x–1 du= (2x+2)dx dv = exdx v = ex (2x 2)e x dx I = (x2 + 2x –1)ex – Đặt u1 = 2x + du1 = 2dx dv1 = exdx v1 = ex 2e x dx x I1 = (2x + 2)e – = 2xex Vậy I = (x2 – 1)ex + C c) Đặt u= x du = dx cos(2x 1) dv= sin(2x+1)dx v = I x cos(2x 1) cos(2x 1)dx x I cos(2x 1) sin(2x 1) C ; (3) d) Đặt u = – x du = –dx dv= cosxdx v= sinx sin xdx I = (1 – x)sinx + = (1 – x)sinx – cosx sin x cos xdx 5.a Tính Giải Đặt u=sinx du cos x dx x u ( ) 1 x u(0) 0, 2 sin x cos x dx u2du u3 Vậy 0 b Tính 1 x (1 x2 )3 dx Giải Đặt u 1 x , ta có du x dx và u(0) = 1, u(1) = 2 1 1 dx du 23 u3 u2 16 (1 x ) x x sin xdx c Tính Giải Đặt u = x và dv = sinxdx Ta có du = dx và v = -cosx Do đó /2 x sin xdx ( x cos x) 0 cos x dx e /2 ln x x2 dx d Tính /2 ( x cos x ) (sin x) 1 = Giải Đặt u ln x và dv x dx 1 du dx v x x Do đó , ta có và (4) e e e 1 dx ln x dx x x2 x2 ln x 1 e ln x x x 1 (0 1) e e e Tính các tích phân sau : 2 (1 x ) dx b) x( x 1) dx c) 2 ; 3x ( x 1)2 dx e) sin x dx 4 a) 2 2 sin x cos5 xdx ; f) Giải: I (1 x) dx (1 x) 1/ 1/ a) / b) I cos 4 2 1/ 1/ (3 1) 10 x 0 0 1 I dx ln x x x 1/ c) 2 ln x 1 ln 2 x4 x2 34 I (x 2x x)dx x 0 d) e) Đặt u =x+1 du =dx x u ; x 2 u 3 2 3u I du u 3ln u 3ln2 u 3/ 2 1 1 2 cos8x cos2x I (sin8x sin2x)dx /2 /2 f) =0 x( x 1) d) dx (5) Tính các tích phân sau : 1 x dx a) sin ; ln 2 x 1 xdx b) a) e ;c) Giải: e 1 x dx sin x cos xdx ; d) x2 x2 I (1 x)dx (x 1)dx (x ) ( x) 1 2 1 /2 cos 2x x 2 I dx sin 2x 2 0 b) ln I (e.e x e x )dx (e.e x e x ) ln e 0 c) cos 2x 1 I sin 2x dx ( sin2x sin 4x)dx 2 0 d) cos 2x cos 4x 0 16 0 Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính : a) x2 (1 x )2 dx (đặt u x ); 1 x2 d x (đặt x sin t ) ; b) x e (1 x ) 1 xe x dx c) a a2 d) x x (đặt u 1 xe ) dx (a>0)(đặt x a sin t ) Giải: a) Đặt u = x+1 du =dx và x=u -1 x=0u=1;x=3u=4 4 1 (u 1)2 I du (u 2u u )du 1 u2 b) Đặt x = sint dx = costdt (6) x=0t=0 x=1t= /2 /2 cos2t x 2 I cos t cos tdt dt sin 2t 2 0 0 c) Đặt u = + xe x du = ex + xex x=0u=1 1e 1e du I ln u u ln(1 e) x=1u=1+e d) Đặt x = asint dx = acostdt a x = t = ; x = t =6 /6 / a cos tdt I dt a2 cos2 t 0 Sử dụng phương pháp tích phân phần, hãy tính : ( x 1)sin xdx a) x ; e ln xdx b) ln(1 x )dx ; c) ; ( x x 1)e xdx d) Giải: b) Đặt u = lnx du = x x3 dv = x2dx v = e x ln x I e x2 e3 x dx 3 e d) Đặt u=x –2x–1 du =(2x–2)dx dv = e–xdx v = –e–x 2e3 (7) 1 I (x 2x 1)e x (2x 2)e x dx I e Đặt u1 = 2x – du1 = 2dx dv1 = e–xdx v1 = –e–x I1 (2x 2)e x 1 2e x dx 2e x 0 e Vậy I = –1 10 Tính các tích phân sau : (1 x ) dx a) x3 x2 dx ln(1 x ) ; b) c) Giải: x2 dx a) 62 I (1 3x) 15 1/ b) I x2 x dx x 1 x2 2 ln x ln (x )dx x 1 0 dx c) Đặt u = ln(1+x) du = x 1 dx v x dv = x 1/ 2 2 ln3 x ln(1 x) ln ln 3ln I dx x 1 x x(x 1) 1 x(1 x )5 dx 11 Tính hai phương pháp : a) Đổi biến số u = x ; b) Tích phân phần Giải: a) Đặt u = –x du = –dx x=0u=1 (8) x=1u=0 u6 u7 I (1 u)u du 42 b) Đặt u = x du = dx (1 x)6 dv = (1 – x)5dx v = 1 42 x(1 x)6 (1 x)6 I dx 6 0 (1 x)7 42 (9)