MÔ HÌNH TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐỊNH VỊ ĐỘNG HỌC TÀU THỦY ( trong mục này, ta sẽ xây dựng, mô phỏng mô hình toán học; thiết kế và ước lượng trạng thái của hệ thống DP ) 1. Mô hình thiết bị đẩy DP: Hầu hết các tàu DP đều sử dụng các thiết bị đẩy để duy trì vị trí và hướng của nó. Lực đẩy của chân vịt biến bước có thể được tính gần đúng cho bởi phương trình F(n, p) = K (n) . p - p o .(p – p o ) ( 1 – 1 ) Với: • K (n) là hệ số lực. K (n) bằng hằng số với tốc độ chân vịt không đổi. • n là số vòng quay chân vịt . · p là tỉ số bước . Với p = P/D trong đó: - P là khoảng hành trình trên vòng quay. - D là đường kính chân vịt. · P là tỉ số bước hiệu chỉnh sao cho khi p = p o sẽ tạo ra lực đẩy bằng Zero. Tức là F(n, p) = 0 . Mối quan hệ giữa lực đẩy và tỉ số bước cùng với các lực đẩy đo bằng thực nghiệm (dấu hoa thị) được chỉ ra như trong biểu dồ hình 1.19: Hình 1.19: Lực đẩy đo bằng thực nghiệm (hoa thị) và mô hình thiết bị đẩy lấy gần đúng theo (1 – 1) theo p = P/D. Biểu đồ trái: F(122, p) = 370 p p và F(160, p) = 655 p p ; Biểu đồ phải: F(236, p) = 137 p p . Nếu gọi u là biến điều khiển: u = p - p o .(p – p o ) ( 1 – 2 ) Thì công thức ( 1 – 1 ) có thể viết thành: F(n, p) = K(n).u ( 1 – 3 ) Xét tàu trang bị hệ thống thiết bị đẩy gồm: hai chân vịt chính (Propeller), ba thiết bị đẩy trong ống (Tunnel Thruster) bao gồm hai thiết bị đẩy Tunnel phía mũi 1, 2; một thiết bị đẩy Tunnel phía lái và một thiết bị đẩy có thể điều chỉnh góc phương vị (Azimuth Thruster). Nếu ta gán các biến điều khiển u i như sau: u 1 : chân vịt chính bên trái . u 4 : thiết bị đẩy trong ống phía mũi 2 . u 2 : chân vịt chính bên phải . u 5 : thiết bị đẩy trong ống phía lái . u 3 : thiết bị đẩy trong ống phía mũi 1 u 6 : thiết bị đẩy theo góc phương vị . Trong hệ thống DP, cần thiết tạo ra lực đẩy và môme yêu cầu t Ỵ R 3 cho các chuyển động tiến (Surge), dạt (Sway) và quay trở (Yaw). Khi đó, với tàu có cấu trúc thiết bị đẩy như hình 1.20 ta có thể viết: t = T.K.u ( 1 – 4 ) với các thông số như sau : · u = [÷ p 1 –p 10 ÷ .(p 1 –p 10 ), ÷ p 2 –p 20 ÷ .(p 2 – p 20 ), . . . ÷ p 6 –p 60 ÷ .(p 6 –p 60 ),] T là biến điều khiển và p i0 (i = 1 . . .6) là tỉ số bước hiệu chỉnh không của chân vịt thứ i . Sao cho, khi p i = p i0 thì lúc đó lực đẩy tạo ra bằng không. Tức là t = 0. · K là ma trận đường chéo của các hệ số lực đẩy xác định là: K = diag { K 1 (n 1 ), K 2 (n 2 ), . . . .K 6 (n 6 ) } ( 1 – 5 ) Với n i (i = 1 . . .6) là vòng quay chân vịt của chân vịt thứ i. • T là ma trận cấu trúc thiết bị đẩy. Các lực đẩy K i (n i ).u i được phân phối theo chuyển động tiến, dạt và quay trở được mô hình hoá bởi ma trận cấu trúc thiết bị đẩy T (3 x 6). T có thể được xác định từ mô hình thiết bị đẩy như hình 1.20. Hình 1.20: Mô hình tàu Với các lực đẩy có chiều dương đã mặc định theo hệ trục song song với tàu: * Theo chuyển động tiến: T X = T 1 + T 2 + T 6 .cosa ( 1 – 6 ) ** Theo chuyển động dạt : T Y = T 3 + T 4 + T 5 + T 6 .sina ( 1 – 7 ) *** Theo chuyển động quay trở : T N = l 1 .T 1 – l 2 .T 2 + l 3 .T 3 + l 4 .T 4 – l 5 .T 5 – l 6 .T 6 .sina ( 1 – 8 ) Từ các hệ số của các phương trình lực và mômen ở trên ta có ma trận cấu trúc thiết bị đẩy sau: ( 1 – 9 ) với l i là các cánh tay đòn mômen quay trở . Cũng dễ dàng thấy rằng, l 1 = l 2 do hai chân vịt chính đối xứng nhau qua mặt phẳng thân tàu. Chú ý rằng, sự không chắc chắn của cấu trúc mô hình ( 1 – 4 ) chỉ xuất hiện trong ma trận hệ số K vì ma trận T được xem như đã biết . 2. Đặc tính động lực học thiết bị đẩy: Đặc tính động lực học thiết bị đẩy có thể được mô hình hoá bởi phương trình vi phân: ( 1 – 10 ) Với t com là lực đẩy yêu cầu và A thr = diag {-1/T 1 , -1/T 2 ,-1/T 3 } là ma trận đường chéo bao gồm các hằng số thời gian (T 1 , T 2 , T 3) theo chuyển động tiến, dạt và quay trở. <![if !vml]><![endif]> ( 1 – 11 ) Với n L = [ u L , v L , r L ] T là vectơ tốc độ tần số thấp LF ; n c = [ u c , v c , r c ] T là vectơ tốc độ dòng chảy ; t L là vectơ các lực và mômen điều khiển ; đại lượng nhiễu w L = [ w u , w v , w r ] T là vectơ các quá trình nhiễu trắng Gaussian (có bình phương trung bình bằng không) không được mô hình hoá động học và nhiễu. Chú ý rằng, n c không đại diện cho tốc độ dòng chảy vật lý, nhưng có thể được giải thích như là ảnh hưởng của dòng chảy lên quay trở. Các trạng thái dòng chảy là hữu ích trong bộ lọc Kalman (KF) vì chúng biểu diễn ảnh hưởng tích phân lên bộ ước lượng trạng thái. Ma trận quán tính M (bao gồm khối lượng do tác động thủy động học) được giả thiết là xác định dương M = M T với một tàu định vị động học có thể xem vectơ tốc độ tức thời U » 0; D > 0 là ma trận xác định dương biểu diễn cho tắt dần động học tuyến tính. Cấu trúc của các ma trận là: Với các giá trị X, Y, N là tổng các lực và mômen theo phương x, y, z; các giá trị là các đạo hàm của X, Y, N theo các biến ; I zz là mômen quán tính quanh trục z; m là khối lượng thân tàu; x G là toạ độ trọng tâm tàu. Tính phi tuyến trong các phương trình động học được loại bỏ bằng cách chọn hệ trục tọa độ trái đất sao cho hướng đi yêu cầu y d = 0. Vì vậy, ta có thể lấy xấp xỉ: . ( 1 – 12 ) với h L = [ x L , y L , y L ] T . Đây là một phép lấy gần đúng tốt cho mô hình điều khiển DP vì y L - y d sẽ nhỏ (L là tương ứng với các thành phần tần số thấp). Khi bỏ qua n c , phương trình ( 1 – 11 ) viết lại như sau: ( 1 – 13 ) Từ ( 1 –12) và ( 1 – 13 ) ta có thể viết dạng mô hình khi lấy gần đúng như sau: ( 1 – 15 ) 3. Mô hình sóng tần số cao: Chuyển động tần số cao HF của tàu chủ yếu do nhiễu sóng bậc nhất. Mô hình HF được mô tả bởi ba bộ dao động điều hòa tắt dần để tăng độ bền vững. Xét sự xấp xỉ tuyến tính sau với phổ chuyển động HF: ( 1 – 16 ) với hệ số K w là phụ thuộc vào trạng thái biển (K w = 2 zws w với s w là hệ số mô tả mật độ sóng) ; z là hệ số tắt dần tương đối; w là tần số sóng trội (thông số thiết kế). Một giá trị lớn của w 0 có nghĩa là cho phép các thành phần chuyển động HF trong vòng phản hồi và một giá trị nhỏ của w 0 sẽ cho con tàu có đặc tính chuyển động trơn tru hơn. Hệ số tắt dần tương đối z có thể được chọn khà ngẫu nhiên và z < 1.0. Mô hình không gian trạng thái tuyến tính khi chuyển sang biến thời gian cũa hàm truyền h(s) từ ( 1 – 16 ) như sau: Mô hình HF của tàu theo chuyển động tiến, dạt và quay trở có thể được mô tả như các phương trình vi phân sau : với w x , w y , w y là các quá trình nhiểu trắng Gaussian. Chú ý rằng, hệ số tắt dần tương đối và tần số sóng được chọn là bằng nhau trong các chuyển động tiến, dạt, và quay trở. Đây là một phép lấy gần đúng tốt trong hoạt động thực tế. Mô hình sóng HF được viết: 4. Mô hình dòng chảy tần số thấp: Giả thiết dòng chảy là hằng số cả về hướng và biên độ sao cho tốc độ dòng chảy V c và hướng b c có thể được mô hình hóa là các thông số biến đổi chậm trong hệ trục trái đất. Ngoài ra: Giả sử y L , y H là các thành phần tần số thấp LF và tần số cao HF của góc quay, thêm vào u c , v c thành phần dòng chảy quay r c. Thực tế điều này cải thiện đặc tính hoạt động của bộ ước lượng trạng thái. Mô hình quay trở được viết: 5. Mô hình gió tần số thấp: Tốc độ gió tần số thấp LF là V w và hướng là b w được mô hình hóa là các đại lượng biến đổi chậm: với C X , C Y , C N là các hệ số lực kéo và mômen; r w là mật độ khí; A T , A L là các diện tích hình chiếu ngang và hình chiếu cạnh; Llà chiều dài của tàu; V R , g R là tốc độ và hướng gió. Tốc độ gió V R và hướng gió g R được tính như sau: V R = V w ; g R = b w - y L - y H ( 1 – 40 ) 6. Ước lượng trạng thái tối ưu (lọc Kalman – KF): Trước khi thiết kế hệ thống điều khiển DP ta cần phải tính ước lượng không nhiễu của các trạng thái. Điều này thường được thực hiện bằng cách áp dụng bộ lọc Kalman. Bộ lọc Kalman được sử dụng để tách các thành phần chuyển động tần số thấp LF và tần số cao HF sao cho chỉ có tín hiệu phản hồi từ thành phần chuyển động tần số thấp LF được sử dụng. Các trạng thái ước lượng được ký hiệu là: Việc đo vị trí thường được thực hiện nhờ các hệ thống định vị chuẩn, điển hình là định vị nhờ hệ thống vệ tinh (satellite). Hướng đi thường được đo bằng la bàn con quay. Ngoài ra, cần phải đo tốc độ và hướng gió . . Ta có các phương trình đo sau: với nhiễu đo v i (i = 1 . . .5) là quá trình nhiễu trắng Gaussian. Kết quả là mô hình toán học của tàu và nhiễu môi trường có thể được mô tả bởi mô hình không gian trạng thái sau: w là nhiễu đối tượng (nhiễu môi trường); A, B và E là các ma trận hệ số được cho bởi mô hình toán học ở trên; H là ma trận hằng của các phần tử 0 và 1 của các cảm biến và hệ thống hàng hải vì thế ma trận H phải thoả mãn điều kiện quan sát được. Tức là, các cảm biến và hệ thống hàng hải phải được đáp ứng. Vì điều kiện này thỏa mãn đối với hệ thống DP nên ta có thể sử dụng bộ lọc Kalman để tính ước lượng không nhiễu của x. Thuật toán bộ lọc Kalman: Hệ thống tàu, sóng, dòng chảy và gió có thể được viết dạng mô hình không gian rời rạc: ( 1 – 43 ) với w(k) ~ N(0, Q(k)), và F = I + hA, D = hB và G = hE đạt được bằng cách sử dụng tích phân Euler với thời gian lấy mẫu h. Phương trình đo rời rạc được cho bởi: z(k) = H(k).x(k) + v(k) ( 1 – 44 ) với v(k) ~ N(0, R(k)). Vì vậy, ta có thể tính bằng cách áp dụng bộ ước lượng trạng thái tối ưu rời rạc. Thuật toán là: Hoạt động điển hình của thuật toán bộ lọc Kalman được vẽ trên hình 1.21: 7. Thiết kế hệ thống điều khiển: Ước lượng tần số cao (chuyển động do sóng bậc nhất) là không được sử dụng vì ước lượng này sẽ gây ra mài mòn và rỗ bề mặt các cơ cấu đẩy. Trong trường hợp này, người ta sử dụng lọc sóng. Tuy nhiên, lực dạt sóng (chuyển động do sóng bậc hai) và nhiễu dòng chảy LF nên được bù bằng tác động tích phân trong quy luật điều khiển. Ngoài ra, việc đo sóng nên được sử dụng để điều khiển bù mạch thẳng 7.1 Điều khiển phản hồi tối ưu toàn phương với việc bù tác động gió trong mạch thẳng: Ta sẽ thiết kế quy luật điều khiển tối ưu với việc bù gió trong mạch thẳng. Các nhiễu LF khác là không bao gồm trong mô hình điều khiển vì chúng có thể được bù bằng tác động điều khiển tích phân. Xét mô hình điều khiển toàn phương tuyến tính (LQ): với giả thiết rằng tín iệu vào yêu cầu t com có thể được chia thành hai phần: (1) phản hồi tối ưu t LQ và (2) bù gió LF trong mạch thẳng, tức là: Cách biểu diễn này giả thiết rằng (lực và mômen gió thay đổi chậm) và nhiễu gió có thể được bù hoàn hảo bằng cách áp dụng công thức gió bù t w từ biểu thức ( 1 – 36 ). Vì vậy, ta có thể viết lại ( 1 – 45 ) và ( 1 – 46 ) theo: Mục tiêu của điều khiển toàn phương tuyến tính LQ để đạt được x = 0. Vì vậy, ta có thể tính t LQ bằng cách tối thiểu hóa chỉ số thực hiện: với P > 0 và Q ³ 0 là hai ma trận trọng số. Quy luật điều khiển tối ưu tối thiểu hóa ( 1 – 52 ) được cho bởi: t LQ = Gx ( 1 – 53 ) với G là ma trận hệ số phản hồi tối ưu được tính: Để đạt được sai số trạng thái ổn định chuyển động tiến, dạt và góc quay trở bằng không, ta phải đưa tác động tích phân vào quy luật điều khiển. Tác động tích phân có thể thêm vào bằng cách sử dụng yếu tố trạng thái. Ta định nghĩa biến trạng thái ( 1 – 56 ) với y là không gian phụ của x xác định theo: y = Cx ( 1 – 57 ) Tác động tích phân với các biến trạng thái x L , y L , y L đạt được bằng cách xác định: Chỉ số thực hiện với mô hình này được chọn: Ma trận Q l được sử dụng để xác định thời gian tích phân của quy luật điều khiển tối ưu cho chuyển động tiến, dạt và quay trở để tối thiểu hóa chỉ số thực hiện: 7.2 Sự phân phối lực đẩy trong hệ thống định vị động học: Sự phân phối lực đẩy liên quan đến việc tính toán các tín hiệu điều khiển thiết bị đẩy (i = 1…r) trong phương thức tối ưu sao cho ( 1 – 4 ) thỏa mãn. Ngoài ra, chúng ta phải giải: ( 1 – 65 ) với tín hiệu vào điều khiển tối ưu u. Điều này có thể được thực hiện bằng cách tối thiểu hóa vectơ lực đẩy Ku theo chỉ số thực hiện. ( 1 – 66 ) với W = W T >0 là ma trận trọng số xác định dương thường được chọn là ma trận đường chéo. W nên được chọn sao cho việc sử dụng thiết bị đẩy ống và thiết bị đẩy phương vị rẻ hơn (giá trị k i nhỏ) là sử dụng chân vịt chính (giá trị K i lớn). Nghiệm với a i > 0 và b i > 0. Các cưỡng bức này thiết lập giới hạn trên và dưới của thiết bị đẩy thứ i. Vì vậy việc tối thiểu hóa ( 1 – 66 ) làm cho ( 1 – 65 ) và ( 1 – 69 ) có nghiệm thỏa mãn tính bão hòa của thiết bị đẩy. Nhược điểm là vấn đề lập trình bậc hai phải được giải on-line.