Mục lục Trang Phần I: Mở đầu PhÇn II: Néi dung Ch¬ng I: Mét sè c¬ së lý ln vµ thùc tiƠn Đ1 Hoạt động gợi động mở đầu trung gian dạy học toán 1.1 Hoạt động dạy học toán thành tố sở ph ơng pháp dạy học 1.2 Gợi động dạy học toán 1.3 Mối liên hệ gợi động mở đầu trung gian với hoạt động khác d¹y häc 1.4 Mối liên hệ gợi động mở đầu gợi động trung gian với tình gợi vấn đề dạy học toán 1.5 Vai trò ý nghĩa s phạm hoạt động Gợi động mở đầu trung gian dạy học toán Đ2 Thực tiễn dạy học gợi động mở đầu trung gian giai ®o¹n hiƯn 2.1 Vị trí vai trò Vectơ Hệ thức lợng chơng trình SGK hành 2.2 ViÖc thùc hiÖn việc dạy Gợi động mở đầu trung gian hiÖn Ch¬ng II: Mét sè ph¬ng án dạy học theo hớng gợi động nhằm hình thành khái niệm phát định lý chứng minh 2.1 Một số phơng án gợi động mở đầu nhằm hình thành khái niệm phát ®Þnh lý 2.2 Một số biện pháp gợi động trung gian để chứng minh định lý Chơng III Thăm dò thực nghiệm 3.1 Mơc ®Ých thùc nghiƯm 3.2 Néi dung thùc nghiÖm 3.3 Tỉ chøc thùc nghiƯm 3.4 Đánh giá kÕt qu¶ thùc nghiƯm 3.5 KÕt ln vỊ thùc nghiƯm PhÇn III: KÕt luËn Tài liệu tham khảo PhÇn I: Më Đầu I lý chọn đề tài Gợi động mở đầu trung gian cho hoạt động cần thiết trình dạy học lý sau đây: a) Trong giảng lớp học ta gợi động mở đầu động trung gian tạo cho học sinh niềm say mê hứng thú trí tò mò khoa học, giúp em hiểu vấn đề có động lực để giải vấn đề b) Gợi động mở đầu trung gian lµm cho häc sinh cã ý thøc vỊ ý nghĩa hoạt động đối tợng hoạt động Qua làm cho mục đích s phạm biến thành mục đích cá nhân học sinh Nó có tác dụng phát huy tính tích cực tự giác học sinh hớng vào việc khơi dậy phát triển khả suy nghĩ làm việc cách tự chủ, động sáng tạo, tự khám phá cha biết, tìm kiến thức, chân lý dới dẫn dắt giáo viên Thực trạng dạy học toán trờng THPT nặng nề giao nhận thông tin, lối dạy thầy nói trò nghe nh lâu phổ biến mà việc tổ chức cho học sinh tự tìm tòi khám phá trÝ thøc, nãi c¸ch kh¸c tỉ chøc cho häc sinh häc tËp mét c¸ch tÝch cùc, tù gi¸c, biÕn qu¸ trình học thành trình tự học cha ý cách có định dẫn đến việc học học sinh rơi vào bị động, dẫn đến hạn chế phát triển t học sinh Vectơ phần tơng đối khó lạ học sinh đầu cấp, trờng THCS học sinh đợc học hình học phơng pháp tổng hợp, lên lớp 10 em đợc học Vectơ, phép toán Vectơ mở đầu hệ toạ độ mặt phẳng Tiếp họ hiểu sử dụng công cụ với t cách phơng pháp toán học Phơng pháp Vectơ để nghiên cứu hệ thức lợng tam giác, với đờng tròn ứng dụng phần để nghiên cứu phép biến hình Do việc tạo điều kiện cho học sinh nắm kiến thức Vectơ việc làm cần thiết Hệ thức lợng chứa đựng kiến thức mở đầu cho kiến thức lợng giác, kiến thức hệ thức lợng kiến thức có nhiều øng dơng ®èi víi cc sèng thùc tÕ Häc sinh học tập không nắm vững kiến thức mà cần phải biết vận dụng kiến thức đà học vào thực tế Vì lý nêu trên, lựa chọn đề tài nghiên cứu: "Bớc đầu thể số quan điểm lý thuyết hoạt động vào dạy học chủ đề Vectơ hệ thức lợng chơng trình hình học lớp 10 THPT" II Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận văn xác định sở lý luận thực tiễn làm để đề phơng pháp gợi động mở đầu trung gian cho việc dạy học định lý Vectơ hệ thức lợng chơng trình hình học lớp 10 THPT Qua nâng cao hiệu việc dạy học hình học trờng phổ thông III Giả thiết khoa học Trên sở tôn trọng chơng trình SGK trình dạy học toán giáo viên trọng tổ chức hoạt động, gợi động mở đầu gợi động trung gian góp phần giúp học sinh chủ ®éng, tÝch cùc n¾m b¾t kiÕn thøc míi cịng nh giải vấn đề đặt hớng học sinh học tập hoạt động hoạt động IV Nhiệm vụ nghiên cứu Xác định vị trí vai trò việc gợi động mở đầu gợi động trung gian trình dạy học toán Đề phơng pháp gợi động mở đầu gợi động trung gian cho học sinh phát chứng minh định lý Vectơ hệ thức lợng chơng trình hình học 10 PTTH Thực nghiệm s phạm để điều tra tính khả thi tính hiệu đề tài V Phơng pháp nghiên cứu: Nghiên cứu lý luận: nghiên cứu sách báo tạp chí khoa học toán, giáo dục học, tâm lý học liên quan đến đề tài Điều tra việc thực dạy học theo hớng gợi động trung gian nhà trờng PTTH Thùc nghiƯm s ph¹m VI CÊu tróc ln văn Phần I - Mở đầu - Lý chọn đề tài - Mục đích nghiên cứu - Giả thiết khoa học - Nhiệm vụ nghiên cứu - Phơng pháp nghiên cứu Phần II - Nội dung Chơng I -Một số sở lý luận thực tiễn Đ1 Hoạt động gợi động mở đầu trung gian dạy học toán 1.1 Hoạt động dạy học toán thành tố sở phơng pháp dạy học 1.1.1 Hoạt động dạy học toán 1.1.1.1 Các thành tố sở hoạt động dạy học toán 1.1.2.1 Cho học sinh thực tập luyện hoạt động hoạt động thành phần tơng thích với nội dung mục đích dạy học 1.1.2.2 Dẫn dắt học sinh kiến tạo tri thức đặc biệt tri thức phơng pháp nh phơng tiện kết hoạt động 1.1.2.3 Phân bậc hoạt động trình dạy học 1.2 Gợi động dạy học toán 1.2.1 Thế gợi động hoạt động 1.2.2 Các cách thờng dùng để gợi động 1.2.2.1 Gợi động mở đầu 1.2.2.2 Gợi động trung gian 1.2.2.3 Gợi động kết thúc 1.2.2.4 Phối hợp nhiều cách gợi động tập trung vào trọng điểm 1.3 Mối liên hệ gợi động mở đầu gợi động trung gian với tình gợi vấn đề dạy học toán 1.4 Vai trò ý nghĩa s phạm hoạt động Gợi động mở đầu trung gian Trong dạy học toán 1.4.1 Tạo nên bầu không khí học tập sôi động môi trờng tâm lý thuận lợi 1.4.2 Rèn luyện nâng cao tính tự giác, tích cực chủ động sáng tạo học sinh 1.4.3 Gợi động mở đầu trung gian hoạt động cần thiết để học sinh hiểu sâu nhớ lâu, nắm vững vận dụng kiến thức đà học Đ2: Thực tiễn dạy học gợi động mở đầu trung gian giai đoạn 2.1 Vị trí vai trò Vectơ Hệ thức lợng chơng trình SGK hành 2.2 Việc thực việc dạy Gợi động mở đầu trung gian Chơng II Một số phơng án dạy học theo hớng gợi động nhằm hình thành khái niệm phát định lý chứng minh 2.1 Một số phơng án gợi động mở đầu nhằm hình thành khái niệm phát định lý 2.1.1 Phơng án 1: Gợi động xuất phát từ thực tế 2.1.2 Phơng án 2: Gợi động xuất phát từ môn khoa học khác 2.1.3 Phơng án 3: Gợi động mở đầu việc dùng hình vẽ mô hình trực quan 2.1.4 Phơng án 4: Gợi động mở đầu nhờ việc khái quát hoá 2.1.5 Phơng án 5: Gợi động mở đầu hớng tới hoàn chỉnh hệ thống 2.1.6 Phơng án 6: Gợi động mở đầu cách xét liên hệ phụ thuộc 2.1.7 Phơng án 7: Gợi động mở đàu việc mở rộng cho nhiều trờng hợp 2.2 Một số biện pháp gợi động trung gian để chứng minh định lý 2.2.1 Phơng án 1: Gợi động trung gian cách xây dựng hệ thống câu hỏi s phạm 2.2.2 Phơng án 2: Gợi động trung gian chứng minh định lý cách dựa vào định nghĩa qui tắc 2.2.3 Phơng án 3: Gợi động chứng minh định lý cách xây dựng toán trung gian 2.2.4 Rèn luyện cho học sinh kỹ phân tích để chứng minh định lý Chơng III thăm dò Thùc nghiƯm Mơc ®Ých thùc nghiƯm Néi dung thực nghiệm Kết thực nghiệm Phần III: Kết luận Phần II: Nội dung Chơng I: số sở lý luận thực tiễn Đ1 Hoạt động gợi động mở đầu trung gian dạy học toán 1.1 Hoạt động dạy học toán thành tố sở PPDH 11.1 Hoạt động dạy học toán: Hoạt động quy luật chung tâm lý học Nó phơng thức tồn sống chủ thể Hoạt động sinh từ nhu cầu nhng lại đợc điều chỉnh mục tiêu mà chủ thể nhận thức đợc Nh hoạt động hệ toàn vẹn gồm hai thành tố bản: chủ thể đối tợng, chúng tác động lẫn nhau, thâm nhập vào sinh thành tạo phát triển hoạt động Hoạt động häc lµ yÕu tè quan träng vµ cã tÝnh chÊt định, thông thờng hoạt động khác hớng vào làm thay đổi khách thể (đối tợng hoạt động) hoạt đông học lại làm cho chủ thể thay đổi phát triển Dĩ nhiên có hoạt động học lại làm thay đổi khách thể nhng phơng tiện để đạt mục đích làm cho ngời học phát triển lực nhận thức (chẳng hạn thí nghiệm vật lý, hoá học) Hoạt động mắt xích, điều kiện hình thành nên mối liên hệ hữu mục đích, nội dung phơng pháp dạy học Mỗi nội dung dạy học liên hệ mật thiết với hoạt động định hoạt động đà đợc tiến hành trình hình thành khắc sâu vận dụng nội dung Cho nên để đảm bảo đợc nội dung dạy học, thu đợc kết nh mong mn chóng ta cÇn tỉ chøc cho chđ thĨ häc sinh tiến hành hoạt động cách tự giác hiệu cụ thể là: Bắt đầu từ nội dung dạy học ta cần phát hoạt động liên hệ với vaò mục đích dạy học mà lựa chọn để tập luyện cho học sinh số hoạt động đà phát đợc Việc phân tích hoạt động thành hoạt động thành phần giúp ta tổ chức cho học sinh tiến hành hoạt động với mức độ vừa sức với họ t tởng chủ ®¹o ®Ĩ ®i ®Õn xu híng cho häc sinh thùc tập luyện hoạt động hoạt động thành phần tơng thích với mục đích nội dung dạy học Hoạt động thúc đẩy phát triển hoạt động mà chủ thể thực cách tích cực tự giác Vì cần cố gắng gợi động để học sinh ý thức rõ thực hoạt động hay hoạt động khác Chính xu hớng gây động đợc đa vào quan điểm hoạt động PPDH trở thành xu hớng hoạt động có ý nghĩa đặc biệt quan trọng Việc tiến hành hoạt động đòi hỏi tri thức định đặc biệt tri thức phơng pháp Những tri thức nh có lại kết trình hoạt động Thông qua hoạt động để truyền thụ tri thức đặc biệt tri thức phơng pháp có ý nghĩa quan trọng dạy học Trong hoạt động kết rèn luyện mức độ hoạt động tiên đề để tập luyện đạt kết cao hoạt động Cho nên cần phân bậc hoạt động theo mức độ khác làm sở đạo, điều khiển trình dạy học Những t tởng chủ đạo hớng vào việc tập luyện cho học sinh hoạt động hoạt động thành phần, gợi động hoạt động, xây dựng tri thức mà đặc biệt tri thức phơng pháp phân bậc hoạt động nên chúng đợc xem thành tố sở PPDH 1.1.2 Các thành tố sở hoạt động dạy học toán 1.1.2.1 Cho học sinh thực tập luyện hoạt động hoạt động thành phần tơng thích với nội dung mục đích dạy học a) Phát hoạt động tơng thích với nội dung Trớc hết cần phải hiểu rằng: Một hoạt động tơng thích với nội dung góp phần đem lại kết giúp chủ thể chiễm lĩnh vận dụng nội dung Từ kết đợc hiểu biến đổi phát triển bên chủ thể phân biệt với kết tạo bên môi trờng Việc phát hoạt động tơng thích với nội dung phần quan trọng vào hiểu biết hoạt động nhằm lĩnh hội dạng nội dung khác nhau: khái niệm, định lý, phơng pháp, đờng khác để lĩnh hội dạng nội dung chẳng hạn đờng quy nạp hay suy diễn để xây dựng khái niệm, đờng tuý suy diễn hay có pha suy đoán để học tập định lý Trong việc phát hoạt động tơng thích với nội dung ta cần đặc biệt ý hoạt động - Nhận dạng thể - Những hoạt động toán học phức hợp - Những hoạt động trí tuệ phổ biến toán học - Những hoạt động trí tuệ chung - Những hoạt động ngôn ngữ Ví dụ 1: Để dạy học sinh nắm vững nội dung định lý tứ giác nội tiếp đờng tròn ta cần tổ chức hoạt động - Hoạt động trí tuệ: Bất kỳ tam giác Cũng nội tiếp đờng tròn, xét xem tứ giác có đợc không ? Chẳng hạn, xét xem hình vuông, hình bình hành, hình chữ nhật ? Sau xét thêm toán: Cho bốn điểm A, B, C, D nằm đờng tròn tạo nên tứ giác lồi Cho biÕt gãc ¢ = 60 H·y dïng kiÕn thøc góc nội tiếp để tìm góc C ? Từ hÃy nêu giả thiết chứng minh - Hoạt động nhận dạng, thể hiện: HÃy xét tứ giác hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, hình thang cân hÃy xem hình nội tiếp 10 động gọi động mà hình thành cho em cách nghĩ, cách thực đứng trớc vấn đề Gợi động trung gian có ý nghĩa to lớn tới phát triển lực độc lập giải vấn đề 2.2.1 Phơng án 1: Gợi động trung gian cách xây dựng hệ thống câu hỏi s phạm Ví dụ 1: Với Vectơ cho tríc lu«n cã mét sè nhÊt a x cho: a +x = Ta dïng hƯ thèng c©u hỏi Theo định lý đa ta phải làm việc gì? ã Chứng minh tồn ã Chứng minh x x Để chứng minh tồn - Ta phải Vectơ x x ta phải làm gì? thoả mÃn toán Với điểm A, B, C ta có: AB + BC = AC Kết lấy C = A  AB + BC = AA = O VËy ta vÏ AB = a råi kÝ hiÖu KÕt luËn:  x = BA  a +x =O x = BA §Ĩ chøng minh tÝnh nhÊt cđa x ta phải làm gì? - Giả sử có x , x thoả mÃn yêu cầu ta chứng minh - Hoặc giả sử có x1 x x1 = x thoả mÃn yêu cầu toán ta chứng minh vô lý 69 Nếu có Vectơ minh x' thoả mÃn yêu cầu toán tõ a +x ' = ta sÏ chøng x = x' x =x + =x +a +x' = x +a ) +x' =x' ( VÝ dô 2: Khi chứng minh định lý Cosin với tam giác ABC ta cã: a2 = b2 + c2 - 2bc cosA b2 = a2 + c2 - 2ac cosB c2 = c2 + c2 - 2ab cosC BiÓu thøc 2bc Cos A có liên hệ với kiến thức đà biết 2b.cCosA = AB AC Sè a2 liªn hƯ víi kiÕn thức đà biết ! a2 = Biểu diễn Vectơ BC BC H·y biĨu diƠn a2 qua AB, AC : BC = AC − AB AC, AB 2 qua a = BC =(AB −AC )2 = AB + AC − AB.AC = AB + AC − AB.AC CosA 2 = c2 + b2 - 2.c.b.cosA VËy: a2 = b2 + c2 - 2bc CosA VÝ dơ 3: Trong mäi tam gi¸c ABC ta ®Òu cã: ma2 = b2 + c2 a − mb2 = a + c2 b − mc2 = a + b c2 − A ma C B 70 M Gọi M trung tuyến kẻ từ A AM = ma M trung điểm BC A điểm ta có hệ thức Vectơ AM = (AB + AC ) H·y biĨu diƠn ma2 qua AM = BiÓu thøc AB, AC 2 (AB + AC + AB.AC ) AB AC 2AB.AC = (1) có liên hệ với cạnh tam giác nào? AB + AC BC Thay vào (1) ta có gì? AM2 = (AB + AC + AB + AC − BC ) = (2AB + 2AC − BC ) ⇒ ma = b - + c2 VÝ dụ 4: Cho đờng tròn (O, R) điểm M cố định đờng thẳng thay đổ qua M cắt đờng tròn hai điểm A B tích vô hớng MA.MB số không đổi Để chứng minh toán đặt ta chứng minh theo hớng nào? - Từ M kẻ đờng thẳng cắt (O, R) A, B ta chøng minh M MA.MB = const - Tõ M kẻ hai đờng thẳng cắt (O, R) A, B C, D Ta chứng minh: MA MB = MC.MD A Trong trờng hợp đà xét đặc biệt ta có kết nh ? B’ 71 O B MA.MB = OM − R Ta h·y chøng minh MA.MB = OM − R HÃy phân tích OM2 - R2 làm xuất Vectơ? OM2 - R2 = M MO − OB A = ( (MO + OB)(MO − OB) = = MB ( MO −OB ) C MB ( MO +OB ) = MB MB ' B H·y nhận xét mối quan hệ Vectơ - MA hình chiếu Vectơ Có nhận xét tÝch Tõ (1) vµ (2) ⇒ MB ' MB ' MA lớn đờng thẳng MB D MA MB MB.MB ' MB MB vµ ? MA.MB = MB MB ' (2) = OM2- R2 Ví dụ 5: Định lý Sin tam giác Trong tam giác ABC, với R bán kính đờng tròn ngoại tiếp ta có: a b c = = = 2R SinA SinB SinC Ta chøng minh A a = 2R SinA A’ KÕt luËn cña định lý có 2R O hÃy dựng đờng tròn ngoại tiếp ABC dựng đờng kính BA' B a C Ta chuyển cạnh a góc A mặt tam giác khác không? (Dựng tam giác có góc A cạnh a không ?) - Dùng ®êng kÝnh BA' Khi ®ã cã A = A' Có nhận xét tam giác BCA' 72 - BCA' vuông C có cạnh a đối diÖn gãc A' H·y tÝnh Sin A'? Sin A' = a a a = ⇒ = 2R BA' R SinA ' (1) Nhận xét hai góc A vµ A'? A = A' gãc néi tiÕp ch¾n cïng mét cung Ta cã: Sin A = Sin A' (2) a Tõ (1) vµ (2) ⇒ SinA = R Ví dụ 6: Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k với ®iÓm O bÊt kú ta cã: OM = OA − k OB 1k Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ta có hệ thức vectơ ? (1) MA = k MB H·y ph©n tÝch MA, MB ®Ĩ lµm xt hiƯn OM, OA, OB MA = MO + OA (2) MB = MO + OB ? (3) H·y thay (2); (3) vµo (1) MO + OA = k ( MO + OB ) ⇔ MO + OA = k MO + k OB ⇔ OA − k OB = k MO − MO ⇔ OA −k OB =( k −1) MO ⇔ OM = OA − k OB 1k 2.2.2 Phơng án 2: Gợi động trung gian chứng minh định lý cách dựa vào định nghĩa quy tắc 73 Ví dụ: Khi dạy tính chÊt céng Vect¬ a Víi mäi vet¬ a ta cã a +o =o +a =a b Víi hai vect¬ a vµ b bÊt kú ta cã: a +b = b +a c Víi vet¬ bÊt kú a, b, c ta cã: ( a + b ) + c = a + ( b + c) Chøng minh: a Tõ A ta vẽ vectơ Khi đó: AB = a a a + o = AB + BB = AB = a B A o + a = AA + AB = AB = a KL: a +o = o +a = a b Tõ A ta dùng vect¬ AB = a Tõ B ta dùng vect¬ BC = b Sau dựng hình bình hành ABCD a + b =AB + BC =AC b b +a =AD + DC =AC KL : a + b =b +a b c Ta dùng: AB =a, BC =b CD =c a a a (a + b ) + c = (AB + BC ) + CD b = AC + CD = AD B a +( b +c) = AB +(BC +CD ) = AB + BD = AD KL: a ( a + b ) + c = a + ( b + c) Ví dụ 2: Khi dạy định lý b C c A 74 D Nếu hai điểm A B trục X'OX có toạ độ lần lợt a, b vectơ AB có toạ độ b - a Chứng minh: Điểm A có toạ độ a nên ta có: Điểm B có toạ độ b nªn ta cã OA = a.i OB = b.i AB =OB −OA =b i −a i =( b −a )i KL: AB có toạ độ là: b - a Ví dụ 3: Khi dạy hệ thức Salơ Với ba điểm A, B, C trục ta cã hÖ thøc sau: AB + BC = AC Chøng minh: Giả sử điểm A, B, C có toạ độ lần lợt a, b, c đó: AB =b −a BC =c −b AC =c −a VËy AB + AC = b − a + c − b = c − a KL: AB + BC = AC Ví dụ 4: Khi chứng minh định lý: Đối với hệ trục toạ độ OXY cho hai điểm A: (x; y) B: (x'; y') thì: a AB = x' − ; y' − ) ( x y b AB = AB = ( x' − )2 +( y ' − )2 x y Chøng minh: a Theo gi¶ thiÕt ta cã: 75 OA =x i +y j OB =x' i + ' j y AB =OB −OA =x' i +y' j −( x i +y j) =( x' − )i +( y' − ) j x y KL: b AB = x' − ; y' − ) ( x y AB =( x' − )i +( y' − ) j x y AB =AB =(( x' − )i +( y'− ) j)2 x y [(x'−x)i] [ + ( y' − ) j y ] [ ][ +2 ( x' − )i ( y' − ) j x y ] =( x' − ) i +( y' − ) j +2( x'− )( y' − )i j x y x y =( x' − ) +( y ' − ) x y ⇒ AB = AB = ( x'− ) +( y' − ) x y VÝ dô 5: Khi chøng minh c¸c tÝnh chÊt NÕu: u = (x; y ) v = ( x' ; y ' ) a u + v = ( x + x' ; y + y ' ) b u −v =( x −x' ; y −y' ) c k u =( kx; ky ) d th×: u = x +y Chøng minh: a Theo gi¶ thiÕt ta cã: u =x i +y j v =x' i +y' j u +v =x i +y j +x' i +y' j =( x +x' )i +( y +y' ) j KL : u +v =( x +x' ; y +y' ) b u −v =( x i +y j) −( x' i +y' j) =( x −x' )i +( y −y' ) j KL : u −v =( x −x' ; y −y' ) c 76 d u =x i +y j k u = k (x i +y j) =( kx )i +( ky ) j KL : k u =( kx; ky ) u =x i +y j u =( x i +y j) =( x i ) +( y j) +2( x i )( y j) =x i =x 2 +y j +y +2( xy )( i j) ⇒u = x +y Ví dụ 6: Giải tập: Đơn giản biểu thức OM ON + AD + MP + EK EP MD Giải áp dụng quy tắc tam giác phép trừ ta cã: OM −ON =NM MP −MD =DP EK −EP =PK Sau áp dụng quy tắc tam giác phÐp céng: AD + DP + PK = AK VËy: OM − ON + AD + MP + EK − EP − MD = NM +AD +DP +PK = NM +AK 2.2.3 Phơng án 3: Gọi động chứng minh định lý chách xây dựng toán trung gian Khi đứng trớc định lý toán có độ phức tạp xây dựng toán tơng tự với vấn đề ta xem xét nhng lại dễ chứng A minh từ giải đợc vấn đề đặt ra: Ví dụ 1: Khi dạy công thức độ dài đờng trung tuyÕn: C 77 M B ma2 = b + c2 a = mb2 = a + c2 b − mc2 = a2 + b2 c2 Để chứng minh định lý trªn ta cã thĨ cho häc sinh chøng minh toán Cho hình bình hành ABCD chứng minh rằng: AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2) 78 C¸ch 1: A Ta ký hiÖu: AB = a; AD = b Các đờng chéo: b a D e x AC = e; BD = f H B Ta cã: ∆BHA = ∆CKD x C K ⇒ AH = DK = h BH = CK= x c2 = h2 + (b - x)2 =1h2 + b2 - 2bx + x2 f2 = h2 + (b + x)2= h2 + b2 + 2bx + x2 VËy c2 + f2 = 2h2 + 2x2+ 2b2 = 2b2 + (h2 + x2) VËy ta cã: AC2 + BD2 = (AB2 + AD2) A C¸ch 2: Ta cã: B AC = AB + AD ⇒ AC2 = AC = AB + ( AD ) = AB2 + AD2 + AB AD D BD = BA + BC ⇒ BD2 = BD C = BA + ( BC ) = BA + BC + BA.BC VËy: AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2) +2 AB.AD + 2BA.BC = 2( AB +AD ) Khi häc sinh đà làm đợc toán Ta gợi ý để học sinh từ ABC dựng đợc hình bình hành ACDB Theo toán ta có: AD2 + a2 = 2(b2+ c2) (1) A Mặt khác ta lại có: c 79 B b ma C a M D AM = AD ⇒ AM2 = AD2 (2) VËy thay (2) vµo (1) ta cã: 4ma2 + a2 = 2(b2 + c2) ⇔ m = 2( b +c ) −a ⇔ ma2 = b +c 2 a - a2 Các công thức sau chứng minh tơng tự Ví dụ 2: Khi dạy chứng minh định lý Sin Trong tam giác ABC với k bán kính đờng tròn ngoại tiÕp ta cã: a SinA = b SinB = c SinC = 2R Trớc chứng minh định lý cho học sinh làm toán: Cho ABC vuông ë A h·y tÝnh: a b ; sin A sin B ; B c sin C Ta lu«n cã: a c Sin B = b a ⇒ b sin B SinC = c a ⇒ c sin C = a = 2R b C A = a = 2R a SinA = ⇒ sin A = a = 2R A Khi đà làm toán xem xét lại yêu cầu định lý gợi ý để A' häc sinh chun nh÷ng u tè a, SinA vỊ tam giác vuông để chứng minh O 80 B a C Tõ B dùng ®êng kÝnh BA' Khi BCA' vuông C BAC = BA'C Có cạnh BC = a Vậy ta có: Sin A = Sin A' XÐt ∆BCA' ta cã a SinA ' = 2R = 2R 2.2.4 Phơng án 4: Rèn luyện cho học sinh kỹ phân tích để chứng minh định lý 2.2.4.1 Kỹ phân tích Vectơ Đối với định lý phần Vectơ hệ thức lợng việc chứng minh chúng đơn giản nh học sinh có kỹ thuật phân tích biến đổi Vectơ VD1: Khi dạy định lý Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k với điểm O ta có: OM = OA − k OB −k C¸ch 1: Do điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k nên ta cã: MA = k MB MA = MO + OA MB = M O + OB Tõ MA = k MB ⇔ MO + OA = k ( MO + OB ) ⇔ OM = OA − k OB 1−k 81 C¸ch 2: OA − k OB −k ⇔(1 − k )OM = OA − k OB OM = ⇔−k OM + k OB = OA − OM k MB = MA Vậy định lý đợc chứng minh Ví dụ2: Khi dạy định lý Nếu G trọng tâm ABC với điểm O ta cã: 3OG = OA + OB + OC C¸ch 1: Do G trọng tâm ABC nên ta có: GA +GB + GC =0 GA =GO +OA GB =GO +OB GC =GO +OC Céng tõng vÕ ta cã: GA + GB + GC = 3GO +OA +OB +OC ⇔O = 3GO +OA +OB +OC ⇔3OG = OA +OB +OC C¸ch 2: OA =OG +GA OB =OG +GB OC =OG +GC Céng tõng vÕ ta cã: OA + OB + OC = 3OG + GA + GB + GC ⇔ OA + OB + OC = 3OG Ví dụ 3: Định lý Cosin Víi mäi tam gi¸c ABC ta cã: a2 = b2 + c2 - 2bc cosA b2 = a2 + c2 - 2ac CosB 82 c2 = a2 + b2 - 2ab CosC a = BC =(BA + AC ) 2 = BA + AC + BA.AC = c + b −2 bc cos A VËy a2 = b2 + c2 - 2bc CosA Ví dụ 4: Định lý: Trong ABC ta cã a2 2 b c + a = 2m b + 2 c a + b = 2m c + 2 b + c = 2m a + C¸ch 1: b +c = AC + AB =( AM + MC ) + AM + MB ) ( 2 = AM + MC + MB + AM ( MC + MB ) a2 a2 + 4 a = 2m a + 2 = 2m a + Cách 2: Do M trung điểm BC nên ta cã: AM = AB + AC ⇒4 AM =AB +AC + AB AC 2 ⇔4 m a = b + c + AB AC ⇔4 m a = b + c + b + c − a 2 ⇔4 m a = 2( b + c ) − a 2 ⇔ b + c = 2m a + VÝ dô 5: Cho đờng tròn (O; R) điểm M B a2 A M O cè ®inh Mét ®êng thẳng thay đổi B' 83 ... thức đà học vào thực tế Vì lý nêu trên, lựa chọn đề tài nghiên cứu: "Bớc đầu thể số quan điểm lý thuyết hoạt động vào dạy học chủ đề Vectơ hệ thức lợng chơng trình hình học lớp 10 THPT" II Mục... Hoạt động gợi động mở đầu trung gian dạy học toán 1.1 Hoạt động dạy học toán thành tố sở PPDH 11. 1 Hoạt động dạy học toán: Hoạt động quy luật chung tâm lý học Nó phơng thức tồn sống chủ thể Hoạt. .. gian dạy học toán 1.1 Hoạt động dạy học toán thành tố sở phơng pháp dạy học 1.1.1 Hoạt động dạy học toán 1.1.1.1 Các thành tố sở hoạt động dạy học toán 1.1.2.1 Cho học sinh thực tập luyện hoạt động