1 SỞ GD – ĐT BẾN TRE KỲ THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG TRƯỜNG THPT BẾN TRE NĂM HỌC 2005 – 2006 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN THỜI GIAN: 180 PHÚT Bài 1 : ( Số học ) Cho 17 số tự nhiên mà mỗi số nguyên tố cùng nhau với ít nhất 13 số khác . Chứng tỏ rằng có thể chọn ra trong đó 5 số mà chúng đôi một nguyên tố cùng nhau . Bài 2 : ( Đại số ) Cho 2006 số thực : 1 2 2006 ; ; ;a a a thoả điều kiện :   1 2 2006 cos cos2 . .cos2006 1f x a x a x a x      với mọi giá trò của x . Chứng minh : 1 2 2006 2006a a a    . Bài 3 : ( Giải tích ) Tìm hàm số f(x) xác đònh trên R thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây : (1) f(2006) = 2006 (2) f(x + y) = f(x) + f(y) , x, y R 2 (3) 2 1 Nếu x 0 thì f(x) = x . f ( ) x  Bài 4 : ( Hình học phẳng ) Cho đường tròn (c) có tâm là O và đường thẳng (  ) không cắt (C ) . Từ một điểm M thay đổi trên (  ) kẻ tiếp tuyến MT và MH tới (C) . Gọi A là hình chiếu vuông góc của O lên (  ) và E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên MT,MH. Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố đònh . Bài 5 : ( Hình học không gian ) Cho tứ diện ABCD có AB =CD , AC =BD, AD = BC . Gọi ,,   là các góc do các mặt ABD,ABC,ACD tạo với mặt BCD và hình chiếu của A trên (BCD) thuộc miền tam giác BCD . Tìm giá trò lớn nhất của 3 T cos cos .cos cos .cos .cos         ĐÁP ÁN Bài 1 : ( Số học ) Cho 17 số tự nhiên mà mỗi số nguyên tố cùng nhau với ít nhất 13 số khác . Chứng tỏ rằng có thể chọn ra trong đó 5 số mà chúng đôi một nguyên tố cùng nhau . Xét số a tùy ý trong 17 số đã cho . a nguyên tố cùng nhau với iùt nhất 13 số khác là b 1 ,b 2 ,b 3 , … b 13 . 3 Do mỗi số không nguyên tố cùng nhau với nhiều nhất là 3 số khác nên b 1 sẽ nguyên tố cùng nhau với ít nhất 9 số khác trong các số b 2 , b 3 ,… b 13 . Giả sử b 1 nguyên tố cùng nhau với 9 trong 12 số đó là c 1 , c 2 ,….c 9 . c 1 sẽ nguyên tố cùng nhau với 5 số khác trong các số c 2 , c 3 ,……c 9 . Giả sử là d 1 , d 2 , ……d 5 . d 1 sẽ nguyên tố cùng nhau với ít nhất 1 trong 4 số d 2 , d 3 ,d 4 , d 5 . Giả sử là d 1 nguyên tố cùng nhau với số e trong 4 số trên . Ta có : 5 số a,b 1 ,c 1 ,d 1 , e là 5 số đôi một nguyên tố cùng nhau trong 17 số đã cho . Bài 2 : ( Đại số ) Cho 2006 số thực : 1 2 2006 ; ; ;a a a thoả điều kiện :   1 2 2006 cos cos2 . .cos2006 1f x a x a x a x      với mọi giá trò của x . Chứng minh : 1 2 2006 2006a a a    . Ta có : 2007 sin1003 .cos 2 cos cos2 cos2006 sin 2          = A (1,0 đ ) Mặt khác khi 2 2007 k   ( Trong đó k = 1 ; 2 ; …… ; 2006 ) thì A = -1 (1,0 đ ) Thay 1 2 2006 2 4 4012 ; ; ; 2007 2007 2007 x x x       , vào biểu thức ; f (x) ta có : 1 2 2006 2 4 4012 cos cos . cos 1 2007 2007 2007 a a a         1 2 2006 4 8 8024 cos cos . cos 1 2007 2007 2007 a a a         ……………………………………………………………………………………………. 4 1 2 2006 4012 8024 4012.2006 cos cos cos 1 2007 2007 2007 a a a         Cộng các đẳngthức trên ta được : 1 2 2006 . 2006a a a      Vậy ta được : 1 2 2006 2006a a a    . ( 2 đ ) Bài 3 : ( Giải tích ) Tìm hàm số f(x) xác đònh trên R thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây : (4) f(2006) = 2006 (5) f(x + y) = f(x) + f(y) , x, y R (6) 2 1 Nếu x 0 thì f(x) = x . f ( ) x   (2) cho   x = y = 0 f 0 0 (4) (0,25 đ )  0 f 1+ (-1) f(1) + f(-1) f(-1)= - f(1)     (0,25 đ )  (1) và (2) : 2006 = f(1) + f(2005)=2f(1) + f(2004) = . 2006 f(1)  Vậy f(1) = 1 và f(-1) = -1 (5) (0,25 đ ) Xét trường hợp x 0 ,x 1,ta có .    x 1 x 1 f( ) f( ) f( ) f(1) 1 (6) x 1 x 1 x 1         (1,00 đ )  2 2 x x x 1 f( ) . f( ) Do(3) x 1 x (x 1)      22 22 x x 1 x 1 hay f( ) f(1 ) f(1) f( ) x 1 x x (x 1) (x 1)           2 22 x x 1 f( ) 1 f(x) (7) x1 (x 1) x          (1,00 đ )  22 1 1 1 f( ) f(x 1) f(x) 1 (8) x1 (x 1) (x 1)         (0,50 đ ) 5  2 2 2 2 x 1 1 (6),(7),(8) 1 f(x) f(x) 1 1 (x 1) x (x 1)             Suy ra : f(x) x (0,25 đ )  Vậy f(x) = 0 nếu x 0 1 nếu x 1 x nếu x 0 , x 1              Hay f(x) x , x R   (0,25 đ ) Bài 4 : ( Hình học phẳng ) Cho đường tròn (c) có tâm là O và đường thẳng (  ) không cắt (C ) . Từ một điểm M thay đổi trên (  ) kẻ tiếp tuyến MT và MH tới (C) . Gọi A là hình chiếu vuông góc của O lên (  ) và E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên MT,MH. Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố đònh . ĐÁP ÁN Gọi I,J lần lượt là giao điểm của OA , OM với TH Hạ AK vuông góc TH tại K (0,50 đ) Do A thuộc đường tròn ngoại tiếp THM nên E,F,K thẳng hàng (đường thẳng Simson) (0,50 đ) Ta có : 2 22 OT R OI.OA OJ.OM OT OI I cố đònh OA OA       (1,00 đ) Gọi L là giao điểm của OA và EF  LAK =  AOM (so le trong) =  AHM (cùng chắn AM) K T E M A F I J O L H 6 =  AKF ( cùng chắn cung AF , đường tròn đường kính AH (1,00 đ) LAK cân LA LK KL làtrung tuyến IKA IKA vuông tại K          (0,50 đ) L là trung điểm của IA (0,25 đ) Vậy EF đi qua điểm cố đònh L (0,25 đ) Bài 5 : ( Hình học không gian ) Cho tứ diện ABCD có AB =CD , AC =BD, AD = BC . Gọi ,,   là các góc do các mặt ABD,ABC,ACD tạo với mặt BCD và hình chiếu của A trên (BCD) thuộc miền tam giác BCD . Tìm giá trò lớn nhất của 3 T cos cos .cos cos .cos . cos         ĐÁP ÁN Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mp(BCD). Từ H kẻ HI  BC , HJ  CD ,HK  BD, thì  AKH  AIH   AJH   S BDC = S HBD + S HCD + S HBC = S ABD cos  + S ABC cos  + S ACD cos  Do tứ diện ABCD gần đều nên : S BDC = S ABD = S ABC = S ACD cos cos cos 1 và cos ,cos ,cos 0           A K B D I C H J    7 Đặt x cos ; y cos ;z cos ta có x,y,z 0 và x y z 1          3 Ta có T x xy xyz   3 11 x x.4y x.4y.16z 24    p dụng bất đẳng thức cô-si ta có : x 4y x.4y 2   3 x 4y 16z x.4y.16z 3   Do đó x 4y x 4y 16z 44 T x (x y z) 4 12 3 3           Dấu bằng xãy ra  x 4y 4y 16z x y z 1 x 0 , y 0, z 0                 16 x 21 4 y 21 1 z 21             Vậy 4 16 4 1 max T khi cos cos cos 3 21 21 21        . BẾN TRE KỲ THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG TRƯỜNG THPT BẾN TRE NĂM HỌC 2005 – 2006 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN THỜI GIAN: 180 PHÚT Bài 1 : ( Số học. và hình chiếu của A trên (BCD) thuộc miền tam giác BCD . Tìm giá trò lớn nhất của 3 T cos cos .cos cos .cos .cos         ĐÁP ÁN Bài 1 : ( Số học