Đang tải... (xem toàn văn)
- Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất dẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý..[r]
(1)Ngµy so¹n :28/10/2008 Buæi 8: Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn A KiÕn thøc c¬ b¶n: I Mét sè ph¬ng ph¸p thêng vËn dông gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn Ph¬ng ph¸p ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch: C¸c vÝ dô: VD1: T×m c¸c nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: xy – x – y =2 Gi¶i: ViÕt PT vÒ d¹ng: (x – )(y – ) =3 Do x, y Z nªn (x-1), (y-1) Z vµ x-1, y-1 lµ íc cña Do vai trß cña x,y nh nªn kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t g/s x y x 3 y 1 x y x y x 4 y 2 x 0 y VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (x;y) = (4;2), (0;-2) , (2;4), (-2;0) VD2: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x2+x+6=y2 (2) Giải: Phơng trình đã cho tơng đơng với x x 24 4 y 2 y x 1 23 y x y x 23 y x y x 1 y x 1 y x 1 x 5 y 6 x y y x 23 y 12 y x 1 x 11 x 5 y x y 6 Ta cã: nªn VËy ph¬ng tr×nh cã c¸c nghiÖm nguyªn (5;6),(5;-6),(-6;6),(-6,6) §a vÒ ph¬ng tr×nh tæng: C¸c vÝ dô: VD1: T×m c¸c nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh: x2 – 4xy +5y2=169 Gi¶i: Pt tơng đơng với: (x – 2y)2 +y2 =169 =132+02=122+52 x y 0 y 13 x y 5 x 2y N y 12 x y 12 y 5 Mµ y Z+ ; Từ đó tìm đợc nghiệm nguyên dơng PT: (26;13), (29;12) , (19;22), (22;5) VD2: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh: x 10 y z (2) Gi¶i: 10 1 1 x 1 1 2 y 2 z Ta cã V× sù ph©n tÝch trªn lµ nhÊt nªn ta cã x=1;y=2;z=3 NhËn xÐt vÒ Èn sè: VD: Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn: 1+x+x2+x3=y3 Gi¶i: Ta cã x2+x+1>0 vµ 5x2+11x+7>0 víi mäi x Nªn (1+x+x2+x3) – (x2+x+1)< 1+x+x2+x3<(1+x+x2+x3) +(5x2+11x+7) Do đó x3<y3<(x+2)3 suy y3=(x+1)3 Từ đó suy x(x+1)=0 x 0 x ; y y 0 Vậy nghiệm nguyên phơng trình đã cho là: VËn dông tÝnh chÊt cña tËp hîp sè nguyªn VD1: Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn: 3x+17y=159 Gi¶i: Gi¶ sö x,y lµ c¸c sè nguyªn tho¶ m·n ph¬ng tr×nh Ta thÊy 3x,159 chia hÕt cho nªn 17y ph¶i chia hÕt cho mµ 17 kh«ng chia hÕt cho vËy y ph¶i chi hÕt cho suy y=3t(t Z ) Thay y=3t vào pt ta đợc: x=53-17t Thay x=53-17t; y=3t vào pt, ta đợc nghiệm đúng VD2: T×m nghiÖm nguyªn tè cña ph¬ng tr×nh: x2 – 2y2 = Gi¶i: PT tơng đơng với (x+1)(x-1)=2y2 Vì x2=2y2+1 là số lẻ nên x+1, x-1 là số chẵn đó (x+1)(x-1) chia hết cho y2 chia hÕt cho suy y chia hÕt cho mµ y lµ sè nguyªn tè nªn y=2 VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: (3;2) Ph¬ng ph¸p chøng minh b»ng ph¶n chøng b VÝ dô: T×m c¸c nghiÖm nguyªn cña pt: x3+2y3=4z3 (1) Gi¶i: Gi¶ sö (x0;y0;z0) lµ mét nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh (1) Khi đó x0 chia hết cho đặt x0=2x1 Thay vào (1) ta có y0 chia hết cho 2, đặt y0=2y1 Thay vào (1) ta có z0 chia hết cho ,đặt z0=2z1 Nh vËy nÕu (x0;y0;z0) lµ nghiÖm cña (1) th× (x1;y1;z1) còng lµ nghiÖm cña (1) Qu¸ tr×nh cø tiÕp tôc m·i suy x0,y0,z0 chia hÕt cho 2k (k thuéc tËp sè tù nhiªn) VËy (x0;y0;z0)=(0;0;0) B Bµi tËp ¸p dông Bµi1: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña c¸c ph¬ng tr×nh: a/ 5x-y=13 d/12x+17y=41 b/23x+53y=109 e/5x+10y=3 c/12x-5y=21 g/4x+12y=7 Bµi2: Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn a/ x2+91=y2 e/ 2m-2n=1984 b/x2-656xy-657y2=1983 g/ (x+5)(y+6)=3xy c/x2-25=y(y+6) h/ y3-x3=91 x y x 332 d/ i/x4 =y2(y-x2) h/ 4x+11y=47 i/12x-7y=45 k/9x+10y=135 k/ x+y=xy l/x2+x+1991=y2 m/x 2=y2 +2y+13 n/x2-6xy+5y2 =121 Bµi3: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng : a/2x+2y+2z =2336 b/x2(x+2y)-y2(y+2x)=1991 c/ xy -2x +3y =27 d/3x2+10xy+8y2=96 e/ 2n+122=z2-32 Bµi4: Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn a/ x2+13y2=100+6xy c/ 4x2+4x+y2=24 b/x2-x-6=-y2 d/101(x2y2z2+x2+z2)=913(y2z2+1) Bµi5: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña c¸c ph¬ng tr×nh sau: (3) a/ 3x2+2y2+z2+4xy+2xz=26-2yz b/ x2+y3-3y2=65-3y c/31(xyzt+xy+xt+zt+1)=40(yzt+y+t) d/ 55(x3y3+x2+y2)=229(xy3+1) e/7(x2y+x+xy2+2y)=38xy+38 g/x6+z3-15x2z=3x2y2z-(y2+5)3 h/(x2+4y2+28)2=17(x4+y4+14y2+49) 1 1 xn i/ x1 x2 Bµi6: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña PT: 1 2 3 n x1 x2 x3 xn Bµi7: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña c¸c pt sau: a/ x+y+z=xyz e/5(xy+yz+zx)=4xyz g/ xyz=9+x+y+z 1 2 h/x+y+1=xyz i/2x+1=3y b/ x y z k/xy2+2xy+x-216y=0 1 1 c/ x y2 z2 t2 1 d/5(x+y+z+t)=2xyzt-10 Bµi8: Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn: xy xz yz 3 z y x a/ i/ x4+x2+4=y2-y k/ x4+x2-y2+y+10 l/x6-x2+6=y3 –y m/19x2+5y2+1995z=9505+3 n/x2+y2+z2=1980 b/ y3-x3=3x c/x4+x2+1=y2 d/ (x+2)2-x4=y3 x14 x24 x144 1999 3 o/ e/x -y -2y -3y-1=0 g/y3-x3=2x+1 h/x4-y4+z4+2x2z2+3x2+4z2+1=0 Bµi9: Chøng minh r»ng c¸c ph¬ng tr×nh sau kh«ng cã nghiÖm nguyªn a/ x3+y3+z3=30419751951995 b/x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+xy4+12y5=33 Bµi10: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh a/ 4xy-x-y=z2 d/ x y 1980 víi x<y b/ x2-y3=7 e/xy2+2xy-243y+x=0 c/4xy-y=9x -4x+2 Bµi11: Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn: a/ 19x2+28y2=729 b/x2+4y2=196 c/ 13 x y 2000 Bµi12: Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn: a/ x3 -3y3-9z3=0 b/x2+y2+z2+t2=2xyzt c/8x4+4y4+2z4=u4 d/x2+y2+z2=x2y2 e/ 1!+2!+…+x!=y2 11x d/ x 3 y 4y 2 e/x3-100=225y g/ 19x5+5y+1995z=x2-x+3 (4) Ngµy so¹n :18/10/2008 Buæi : Ph¬ng tr×nh v« tØ - Ph¬ng tr×nh v« tØ lµ ph¬ng tr×nh cã chøa Èn dÊu c¨n Các phơng pháp thờng dùng để giải phơng trình vô tỉ I Phơng pháp biến đổi tơng đơng: x TXD f ( x ) g ( x) 0 f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) D¹ng1: (*) Chú ý: Điều kiện (*) đợc lựa chọn tuỳ theo độ phức tạp f(x) 0 và g(x) 0 VD: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: x 3x 2m x x x x 0 1 x 2 x 3x 2m x x 0 x m x m §Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm th× m 2 m 1 g ( x)conghia & g ( x) 0 f ( x ) g ( x) f ( x ) g ( x) D¹ng2: Chú ý: Không cần đặt điều kiện f ( x) 0 x x 1 VD: Gi¶i ph¬ng tr×nh: VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x=-1 x 0 x 1 x2 x 1 x 2 x x ( x 1) f ( x)conghia & f ( x) 0 f ( x) g ( x) h( x) g ( x)conghia & g ( x) 0 ( f ( x) g ( x)) h( x) D¹ng3: Chú ý: Không cần đặt điều kiện h( x) 0 VD: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x x 2x 1 x 0 x x x 1 x 0 1 x x (1 x)(1 x) x x 1 x (1 x)(1 x) 2 x (5) x 2 x 2 x 0 (1 x)(1 x ) (2 x 1) x x 0 x x 0 x 0 x Hoặc có thể trình bày theo cách khác nh sau: - Tìm điều kiện để các bt có nghĩa - Biến đổi phơng trình Các bài tập đề nghị: Bµi1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a/ x x 0 e/ b/ x x 1 g/ 15 x x 6 c/ x 3 x 1 h/ x 1 x 2 4x 1 3x 1 k/ x x x 2 d/ 10 x x 5 Bµi2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a / x x 1 2x d / x x b / 3x e / x 2x x x 1 x c /( x 3) 10 x x x 12 x 1 g / x 6x x 2x 6x Bµi3: Cho ph¬ng tr×nh: x x m a/ Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m=1 b/ Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh II Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 1: VD1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x x 31 x 11 x 11 42 0 Đặt t= x 11 t 11 Khi đó phong trình có dạng: t 6 t t2 +t – 42 =0 2 V× t 11 nªn t=6 x 11 6 x 11 36 x 25 x 5 VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x=-5; x=5 VD2: Gi¶i ph¬ng tr×nh : Gi¶i: 2 x x x 0 1 x V× x=1 kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh nªn chia vÕ cña ph¬ng tr×nh cho 24 îc: 0 1 x 1 x 0 1 x 1 x 1 x 0 §Æt t= x 4 1 x x t , Khi đó phơng trình trở thành: t 0 2t 3t 0 t t 2t+ (kh«ng tho¶ m·n §K) VËy ph¬ng tr×nh v« nghiÖm II Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 2: , ta ®- (6) x 1 VD: Gi¶i PT: Gi¶i: §iÒu kiÖn : x-1 0 x 1 x u x u v 1 v x 1, v 0 u v 1 u v 1 §Æt Khi đó ta có hệ: Giải hệ ta tìm đợc u=0,1,2 , thay trở lại ẩn x ta đợc: x=2,1,10 Vậy pt đã cho có nghiệm 1,2,10 D¹ng3: PT cã chøa c¨n bËc vµ luü thõa bËc 3 VD: Gi¶i PT: x 3 3x Đặt y= x Khi đó phơng trình chuyển thành hệ x 3 y x y y 3 x Từ đó tìm đợc x=1; x=-2 Bài tập đề nghị: Bµi1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a / x 3x x 3x 3 e / ( x 1) x 1 x x 2 b / x x 2 x x 1 g / x 1 c / x 3x 2 x x x x 1 x 2 h / n x n x n x 0 d /( x 5)(2 x) 3 x x Bµi 5: Gi¶i c¸c pt sau: x x 3x x b / x 2 x 2 x 2 a/ Bµi6: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: x 3 x x2 x a / x 2 x x x c / x 2 x x x b / x x x x x d / x 1 x 2 x x Bµi 7: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a / x 2 x b / x 1 x c/ x x x 1 x x x 0 Bµi8: Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× c¸c pt sau cã nghiÖm: a / x x a b / x x a Bµi9: Gi¶i vµ biÖn luËn c¸c ph¬ng tr×nh sau: b / x x m a / x x m Bµi10: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a / x x 2b / 25 x 3 x 4 e / x x 1g / 24 x 12 x 6 c /1 x 16 x 3d / x h / x x 1i / x x 3 x 1 (7) 2 a / x x xb / x 1 x 1 x 1 c / x x x 0d Bµi11: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: e / 2x x 2x 7 x x 6 x 7 x x x 1 x g / x x x x 21x 11h / 2 x 2 x 2 2 x 2 x Bµi12: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: d/ a / x x x 4x 7 x x, x 28 e / x 2 x b / x 1 x 13 x g / x 35 x x 35 x 30 c / x 3 3x III Phơng pháp đánh giá: §¸nh gi¸ dùa trªn tam thøc bËc hai, B§T, GTT§,… VD1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x x x 2 Giải: Từ ĐK đánh giá VT luôn lớn dựa trên tam thức bậc hai 2 VD2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x x x x 2 Gi¶i: §K: x 1 đánh giá VT 2 dựa trên BĐT Cosi, dấu = xảy x=1,-1 Do x 1 nªn x=1 x x x x 1 x 1 2 VD3: Gi¶i pt: Bài tập đề nghị: x 1 2 Bµi1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: x x 1 2 x 0 x 5 x (8) a / x 11x 25 x 12 x x b / x2 4 x2 c / x 1 x d / y 2 y 1 x x x x 1 y 3 y y e / x3 3x 3x x x f / x x x x x x 6 g / x 1 x x 1 x h / x x 3x i / x 19 x x 10 x 24 k / x x x x3 1 l / x x x x 4 Bµi2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a / x x x x 1 d / x x x x 1 b / x x x x 1 e / x2 x x2 c / x x x 11 x 1 g / x x x 16 x 66 Bµi3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a / x x 10 x x b / x x 3 2 x 1 x 3x 4 x Ngµy so¹n :25/9/2008 Buæi 3-4: Chứng minh Bất đẳng thức phÇn i : C¸c kiÕn thøc cÇn lu ý 1, Định nghĩa bất đẳng thức 2, Mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n cña bÊt d¼ng thøc : a, TÝnh chÊt 1: a > b <=> b < a b, TÝnh chÊt 2: a > b vµ b > c => a > c (9) c, TÝnh chÊt 3: a > b <=> a + c > b + c HÖ qu¶ : a > b <=> a - c > b - c a + c > b <=> a > b - c d, TÝnh chÊt : a > c vµ b > d => a + c > b + d a > b vµ c < d => a - c > b - d e, TÝnh chÊt : a > b vµ c > => ac > bd a > b vµ c < => ac < bd f, TÝnh chÊt : a > b > ; c > d > => ac > bd g, TÝnh chÊt : a > b > => an > bn a > b <=> an > bn víi n lÎ h, TÝnh chÊt : a > b ; ab > => 3, Một số đẳng thức thông dụng : a, Bất đẳng thức Côsi : a+b ≥ √ ab Víi sè d¬ng a , b ta cã : Dấu đẳng thức xảy : a = b b, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Víi mäi sè a ; b; x ; y ta cã : ( ax + by )2 Dấu đẳng thức xảy <=> (a2 + b2)(x2 + y2) a b = x y c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : Dấu đẳng thức xảy : ab |a|+|b|≥|a+ b| phÇn ii : Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1.Phơng pháp : Dùng định nghĩa - KiÕn thøc : §Ó chøng minh A > B , ta xÐt hiÖu A - B råi chøng minh A - B > - Lu ý : A2 víi mäi A ; dÊu '' = '' x¶y A = - VÝ dô : Bµi : Víi mäi sè : x, y, z chøng minh r»ng : x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z) Gi¶i : Ta xÐt hiÖu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z) = x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z = (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1) Do (x - 1)2 => H = (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 víi mäi x (y - 1)2 víi mäi y víi mäi x, y, z Hay x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z) víi mäi x, y, z DÊu b»ng x¶y <=> x = y = z = (z - 1)2 víi mäi z (10) Bµi : Cho a, b, c, d, e lµ c¸c sè thùc : Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e) Gi¶i : XÐt hiÖu : H = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - a(b + c + d + e) a a a a − b )2 + ( − c )2 + ( − d )2 + ( − e )2 2 2 =( a −b a Do( − c a Do ( − d a Do ( − e Do ( => H )2 víi mäi a, b )2 víi mäi a, c )2 )2 víi mäi a, d víi mäi a, e víi mäi a, b, c, d, e DÊu '' = '' x¶y <=> b = c = d = e = a Bài : Chứng minh bất đẳng thức : a2 +b2 a+ b ≥ 2 ( ) Gi¶i : XÐt hiÖu : H = = = a2 +b2 a+b − 2 2 2(a +b )−( a2+ ab+b2 ) a − b ¿2 ≥0 Víi mäi a, b 1 (2 a2 +2 b2 −a − b2 − ab)= ¿ 4 ( ) DÊu '' = '' x¶y a = b Phơng pháp ; Dùng phép biến đổi tơng đơng - Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng VÝ dô : Bµi : Cho a, b lµ hai sè d¬ng cã tæng b»ng Chøng minh r»ng : 1 + ≥ a+1 b+1 Gi¶i: Dùng phép biến đổi tơng đơng ; 3(a + + b + 1) 4(a + 1) (b + 1) 9 4(ab + a + b + 1) (v× a + b = 1) 9 4ab + 1 4ab (a + b)2 4ab Bất đẳng thức cuối đúng Suy điều phải chứng minh Bµi 2: Cho a, b, c lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n : a + b + c = Chøng minh r»ng : (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3 Gi¶i: Tõ : (a + b)2 4ab , (a + b + c)2 = [ ( a+b)+c ] ≥ (a+ b) c => 16 4(a + b)c => 16(a + b) 4(a + b)2c 16 abc (11) => a + b abc T¬ng tù : b + c abc c+a abc => (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3 Bài : Chứng minh bất đẳng thức : 3 a +b a+b ≥ 2 Gi¶i : ( ) ; đó a > ; b > Dùng phép biến đổi tơng đơng : Với a > ; b > => a + b > a3 +b3 a+b ≥ 2 a+b a+b (a2 − ab+b 2)≥ 2 a+b a2 - ab + b2 ( ) ( ) a+b 2 ( ) ( ) ( ) 4a2 - 4ab + 4b2 3a2 - 6ab + 3b2 a2 + 2ab + b2 3(a2 - 2ab + b2) Bất đẳng thức cuối cùng đúng ; suy : a3 +b3 a+b ≥ 2 ( ) Bµi 4: Cho sè a, b tho¶ m·n a + b = CMR a3 + b3 + ab Gi¶i : Ta cã : a3 + b3 + ab <=> a3 + b3 + ab - <=> (a + b)(a2 - ab + b2) + ab <=> a2 + b2 - 2 0 V× a + b = <=> 2a2 + 2b2 - <=> 2a2 + 2(1-a)2 - <=> 4a2 - 4a + <=> ( 2a - )2 ( v× b = a -1 ) 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng Vậy a3 + b3 + ab DÊu '' = '' x¶y a = b = Bài : Chứng minh bất đẳng thức : a3 +b3 a+b ≥ 2 Gi¶i : Víi a > , b > => a + b > a3 +b3 a+b ≥ 2 <=> a+b ( a − ab+b2 ) ≥ a+ b 2 <=> a2 −ab+ b2 ≥ a+b ( ) Trong đó : a > , b > Ta cã : ( ) ( ) ( )( a+2 b ) ( ) (12) <=> 4a2 - 4ab + 4b2 a2 + 2ab + b2 <=> 3(a2 - 2ab + b2 ) <=> 3(a - b)2 => Bất đẳng thức này đúng a +b a+b ≥ 2 ( ) DÊu '' = '' x¶y a = b Bài : Với a > , b > Chứng minh bất đẳng thức : a −√a √b √b − b √a Gi¶i : Dùng phép biến đổi tơng đơng : a −√a √b √b − b √a ( a √ a+b √b ¿ − √ab ( √ a+ √ b) √b¿ √ a ¿ +¿ − √ ab (√ a+ √ b)≥ ¿ ¿ ( √ a+ √ b)(a − √ ab+b)− √ ab( √ a+ √ b)≥ ( √ a+ √ b)(a − √ ab+ b)≥ ( √ a+ √ b)( √ a − √ b) ≥ Bất đẳng thức cuối đúng ; suy : a −√a √b √b − b √a Phơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc - Kiến thức : Dùng các bất đẳng thức quen thuộc nh : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi và chứng minh , Một số hệ từ các bất đẳng thức trên : x2 + y2 2xy Víi a, b > , a b + ≥2 b a C¸c vÝ dô : Bµi : Gi¶ sö a, b, c lµ c¸c sè d¬ng , chøng minh r»ng: a b c + + >2 b+ c c+ a a+ b √ √ √ Gi¶i ¸p dông B§T Cauchy , ta cã : a + (b + c) √ a(b+c) Tơng tự ta thu đợc : √ √ a 2a ≥ b+ c a+ b+c b 2b ≥ c +a a+ b+c , Từ đó suy : a b c + + >2 b+ c c+ a a+ b √ c 2c ≥ a+ b a+b+ c Dấu ba BĐT trên không thể đồng thời xảy , vì đó có : a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = ( trái với giả thiết a, b, c là số dơng ) √ √ √ Bµi 2: Cho x , y lµ sè thùc tho¶ m·n : x2 + y2 = x √ 1− y 2+ y √1 − x (13) Chøng minh r»ng : 3x + 4y Gi¶i : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có : (x2 + y2)2 = ( x √ 1− y 2+ y √ − x )2 ( |x|≤1 ; | y|≤1 ) (x2 + y2)(1 - y2 + - x2) => x + y2 Ta l¹i cã : (3x + 4y)2 (32 + 42)(x2 + y2) 25 => 3x + 4y §¼ng thøc x¶y §iÒu kiÖn : 2 x + y =1 x >0 , y >0 x y = { { y= x= ≤x ≤ 2 Bµi 3: Cho a, b, c ; a + b + c = Chøng minh r»ng : a, √ a+b+ √b +c + √ c+ a ≤ √ b, √ a+1+ √ b+1+ √ c +1<3,5 Gi¶i a, ¸p dông bÊt d¼ng thøc Bunhiac«pxki víi bé sè ta cã : 2 ( √ a+b 1+ √ b+c 1+ √ c +a ) ≤ ( 1+1+1 ) [ ( √ a+b ) + ( √b+ c ) + ( √ c+ a ) ] => ( √ a+b+ √ b+c + √ c+ a )2 ≤3 (2 a+2 b+ ac)=6 => √ a+b+ √b +c + √ c+ a ≤ √6 DÊu '' = '' x¶y : a = b = c = b, áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có : (a+1)+1 a = +1 2 b T¬ng tù : √ b+1 ≤ +1 ; √ a+1 ≤ c √ c+ 1≤ +1 Cộng vế bất đẳng thức trên ta đợc : √ a+1+ √ b+1+ √ c +1≤ a+b+ c +3=3,5 Dấu đẳng thức xảy a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = VËy : √ a+1+ √ b+1+ √ c +1<3,5 Bµi : Cho c¸c sè d¬ng a , b , c tho¶ m·n : a + b + c = Chøng minh r»ng : Gi¶i : Ta cã : Ta cã : 1 + + ≥9 a b c a b + >0 , a , b > b a 1 1 1 1 + + =¿ ( + + ) = ( + + ) (a + b + c) a b c a b c a b c a a b b c c = 1+ + + +1+ + + + b c a c a b a b b c c a = 3+( + )+( + )+( + ) ≥ + + + = b a c b a c (14) => 1 + + ≥9 a b c DÊu ''='' x¶y : a = b = c = Bµi 1 + ≥ x y x+ y a, Cho x , y > Chøng minh r»ng : b, Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b , c là độ dài các cạnh tam giác ) Chøng minh r»ng : 1 + + ≥2 p − a p −b p − c 1 ( + + ) a b c Gi¶i a, áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : x+ y ≥ √ xy 1 + x y => (x + y)( => b, Ta cã : p - a = 1 + x y b+c − a >0 1 ) + x y x+y T¬ng tù : p - b > ; p - c > ; áp dụng kết câu a , ta đợc ; √ xy 1 4 + ≥ = p − a p −b ( p − a)+( p −b) c 1 + ≥ p − b p −c a 1 + ≥ p − a p −c b 1 1 1 => 2( + + )≥ ( + + ) p−a p−c p−c a b c T¬ng tù : => ®IÒu ph¶i chøng minh DÊu '' = '' x¶y : p - a = p - b = p - c a = b = c Khi đó tam giác ABC là tam giác Phơng pháp ; Dùng các tính chất bất đẳng thức : - Kiến thức : Dùng các tính chất đã đợc học để vận dụng vào giải các bài tập C¸c vÝ dô : Bµi : Cho sè x , y tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : x + y = Chøng minh r»ng : x4 + y4 Gi¶i Theo tÝnh chÊt b¾c cÇu ta cã : (x2 - y2) x + y4 2(x4 + y4) Ta cã : (x - y)2 x2 + y2 2xy 2(x2 + y2 ) (x +y)2 2(x2 + y2 ) V× : x + y = 2x2y2 (x2 + y2)2 (1) (15) x2 + y2 Tõ (1) vµ (2) ta cã : x4 + y4 (2) DÊu '' = '' x¶y x = y = Bµi 2: Cho < a, b, c, d < Chøng minh r»ng : (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > - a - b - c - d Gi¶i : Ta cã : (1 - a)(1 - b) = - a - b + ab Do a, b > nªn ab > => (1 - a)(1 - b) > - a - b Do c < nªn - c > => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c) (1 - a)(1 - b)(1 - c) > - a - b - c + ac + bc Do a, b, c, d > nªn - d > ; ac + bc > ; ad + bd + cd > =>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > - a - b - c => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d) => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > - a - b - c - d + ad + bd + cd => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > - a - b - c - d Bµi : Cho < a, b, c < Chøng minh r»ng : 2a3 + 2b3 + 2c3 < + a2b + b2c + c2a Gi¶i : Do a, b < => a3 < a2 < a < ; b3 < b2 < b < ; ta cã : (1 - a2)(1 - b) > => + a2b > a2 + b => + a2b > a3 + b3 hay a3 + b3 < + a2b T¬ng tù : b3 + c3 < + b2c ; c3 + a3 < + c2a => 2a3 + 2b3 + 2c3 < + a2b + b2c + c2a Ph¬ng ph¸p : Chøng minh ph¶n chøng - Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất dẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết đề bài để suy điều vô lý Điều vô lý có thể là trái với giả thiết , là điều trái nhợc , từ đó suy đẳng thức cần chứng minh là đúng Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức : + Dùng mệnh đề đảo + Phủ định suy điều trái với giả thiết + Phủ định suy trái với đIều đúng + Phủ định suy hai đIều tràI ngợc + Phủ định suy kết luận C¸c vÝ dô : (16) Bài : Cho < a,b,c,d <1 Chứng minh ; ít có bất đẳng thức sau là sai : 2a(1 - b) > 3b(1 - c) > 8c(1 - d) > 32d(1 - a) > Gi¶i: Giả sử ngợc lại bốn đẳng thức đúng Nhân ; ta cã : 2.3.8.32a(1 - b)b(1 - c)c(1 - d)d(1 - a) > => [ a(1 − a) ][ b( 1− b) ][ c (1 −c ) ][ d (1 − d) ] > 256 Mặt khác , áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : a+ 1− a = 2 T¬ng tù : b(1 - b) c(1 - c) d(1 - d) √ a(1 −a)≤ => a(1 - a) Nhân các bất đẳng thức ; ta có : [ a(1 − a)][ b(1− b)][ c (1 −c )][ d (1 − d)] > (1) 256 (2) Tõ (1) vµ (2) suy v« lý Điều vô lý đó chứng tỏ ít bất đẳng thức cho đầu bài là sai Bài : ( Phủ định suy hai điều trái ngợc ) Chứng minh không có số dơng a, b, c nào thoả mãn ba bất đẳng thức sau : a+ <2 ; b b+ < ; c c+ <2 a Gi¶i Giả sử tồn số dơng a, b, c thoả mãn bất đẳng thức : a+ <2 ; b b+ < ; c c+ <2 a Cộng theo vế bất đẳng thức trên ta đợc : 1 a+ +b+ + c+ <6 b c a 1 (a+ )+(b+ )+( c+ )<6 a b c V× a, b, c > nªn ta cã : a b c (1) 1 (a+ )≥ ; (b+ )≥ ; (c + )≥ a b c => (a+ )+(b+ )+( c+ )≥ §iÒu nµy m©u thuÉn víi (1) Vậy không tồn số dơng a, b, c thoả mãn bất đẳng thức nói trên => đpcm Bài : Chứng minh không có các số dơng a, b, c thoả mãn bất đẳng thức sau : 4a(1 - b) > ; 4b(1 - c) > ; 4c(1 - a ) > (17) Híng dÉn : t¬ng tù nh bµi : Bài :( Phủ định suy trái với điều đúng ) Cho a3 + b3 = Chøng minh r»ng : a + b Gi¶i : Gi¶ sö : a + b > => (a + b )3 > => a3 + b3 + 3ab(a + b) > => + 3ab(a + b) > ( V× : a3 + b3 = ) => ab(a + b) > => ab(a + b) > a3 + b3 ( V× : a3 + b3 = ) Chia hai vế cho số dơng a, b ta đợc : ab > a2 - ab + b2 => > (a - b)2 V« lý VËy : a + b Ph¬ng ph¸p : §æi biÕn sè - Kiến thức : Thực phơng pháp đổi biến số nhằm đa bài toán đã cho dạng đơn giản , gọn , dạng bài toán đã biết cách giải C¸c vÝ dô : Bµi : Chøng minh r»ng : NÕu a , b , c > th× : a b c + + ≥ b+c c +a b+ a Gi¶i: §Æt : b +c = x , c + a = y , a + b = z => a + b + c = y+z − x => a = Khi đó : VT = = x+ y+z z+x − y , b= , c= x+ y −z a b c y + z − x z + x − y x+ y − z = + + + + b+c c +a b+ a 2x 2y 2z y x z x z y 3 ( + )+ ( + )+ ( + )− ≥ 1+1+ 1− = x y x z y z 2 Bài : Chứng minh ; với số thực x, y ta có bất đẳng thức : 2 - 1+ y ¿ ¿ 2 1+ x ¿ ¿ ¿ 2 2 ( x − y )( x y ) ≤ ¿ Gi¶i: 2 x −y vµ b = 2 (1+ x )(1+ y ) 1+ y ¿ 1+ x ¿2 ¿ => ab = ¿ 2 ( x − y )(1 − x y ) ¿ §Æt : a = 2 1−x y 2 (1+ x )(1+ y ) (18) a+ b ¿ Ta cã dÔ thÊy víi mäi a, b th× : - a −b ¿ ≤ ab ≤ ¿ ¿ 2 Mµ : (a - b) = − x +1 2 (a + b)2 = − y +1 1 Suy : ab 4 [ [ ] ] Bµi : Cho a, b, c > ; a + b + c Chøng minh r»ng : 1 + + ≥9 a +2 bc b +2 ca c + 2ab Gi¶i : §Æt : a2 + 2bc = x ; b2 + 2ca = y ; c2 + 2ab = z Khi đó : x + y + z = a2 + 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab = (a + b + c)2 Bµi to¸n trë thµnh : Cho x, y, z > , x + y + z Cøng minh r»ng : 1 + + ≥9 x y z 1 + + ¿ ≥9 x y z Ta chứng minh đợc : (x + y + z)( Theo bất đẳng thức Côsi Mµ : x + y + z nªn suy 1 + + ≥9 x y z Phần iii : ứng dụng bất đẳng thức I- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị - KiÕn thøc : NÕu f(x) m th× f(x) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ m NÕu f(x) M th× f(x) cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ M Ta thờng hay áp dụng các bất đẳng thức thông dụng nh : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Kiểm tra trờng hợp xảy dấu đẳng thức để tìm cực trị Tìm cực trị biểu thức có dạng là đa thức , ta hay sử dụng phơng pháp biến đổi tơng đơng , đổi biến số , số bất đẳng thức Tìm cực trị biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Chó ý : | A|+|B|≥| A+ B| X¶y dÊu '' = '' AB | A|≥ VÝ dô : DÊu ''= '' x¶y A = (19) Bµi : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : B = a3 + b3 + ab ; Cho biÕt a vµ b tho¶ m·n : a + b = Gi¶i B = (a + b)(a2 - ab + b2) + ab = a2 - ab + b2 + ab = a2 + b2 Ta cã : 2(a2 + b2) VËy B = 2 (a + b)2 = => a2 + b2 a = b = Bµi 2: a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A = (x2 + x)(x2 + x - 4) b, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : B = - x2 - y2 + xy + 2x +2y Gi¶i a, A = (x2 + x)(x2 + x - 4) §Æt : t = x2 + x - => A = (t - 2)(t + 2) = t2 - -4 DÊu b»ng x¶y : t = x2 + x - = (x - 2)(x + 2) = x = -2 ; x = => A = - x = -2 ; x = ; b, T¬ng tù Bµi : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc a, C = |2 x −3|+|2 x −1| b, D = |x 2+ x+3|+|x 2+ x −6| c, E = |x − 1|+|x − 2|+|x −3|+| x − 4| Gi¶i : a, ¸p dông B§T : | A|+|B|≥| A+ B| DÊu '' = ''x¶y AB => C = |2 x −3|+|1− x|≥|2 x −3+1 −2 x|=|−2|=2 DÊu '' = '' x¶y (2x - 3)(1 - 2x) VËy minC = ≤x ≤ 2 ≤x ≤ 2 b, T¬ng tù : minD = : -3 x c, x minE = : Bµi : Cho a < b < c < d , t×m : Minf(x) = |x − a| + |x − b| + |x − c| + |x − d| Híng dÉn : t¬ng tù : minf(x) = d + c - b - a b Bµi : Cho ba sè d¬ng x , y , z tho¶ m·n : 1+ x x + c 1+ y + 1+ z T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña tÝch : P = xyz Gi¶i : 1+ x T¬ng tù : (1 1+ y )+(11+ y √ )= 1+ z zx (1+ x)(1+ z) y 1+ y + z 1+ z √ yz (1+ y)(1+ z ) (20) 1+ z xy (1+ x)(1+ y ) Từ đó suy : P = xyz 1 MaxP = x = y = z = Bµi : √ Cho sè d¬ng a, b, c th¶o m·n : a + b + c = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : c+ ¿ c b+ ¿ +¿ b a+ ¿ +¿ a ¿ F= Gi¶i: 1 + + )+6 a2 b2 c2 Ta cã : F = (a2 + b2 + c2) + ( Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki , ta có : (a.1 + b.1 + c.2)2 3(a2 + b2 + c2) => a2 + b2 + c2 1 1 + + ¿ ( 2+ 2+ 2) a b c a b c ¿ 1 1 1 1 MÆt kh¸c : + + =¿ ( + + ).1 = ( + + )(a + b + c) a b c a b c a b c a b b c c a =3+( + )+( + )+( + ) 3+2+2+2=9 b a c b a c 1 => + + a b c 1 => a + b + c ¿ 81 ¿ 1 => ( + + ) 27 a b c F + 27 + = 33 Dấu '' = '' xảy : a = b = c = 1 Vậy MinF = 33 : a = b = c = 3 yz √ x −1+zx √ y −2+ xy √ z − Bài : Cho G = xyz T¬ng tù : Tìm giá trị lớn G : Giải : Tập xác định : x Ta cã : G = ; y 2; z √ x − + √ y −2 + √ z −3 x y x − 1+ => √ z −3 ≤ z 2√ Theo BĐT Côsi ta có : √ x −1 ≤ T¬ng tù : √ y −2 ≤ y 2√ ; z √x− x (21) 1 + + 2√ 2 √ => G VËy MaxG = 1 + + 2√ 2 √ đạt đợc x = ; y = ; z = Bµi a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña H = x √x− víi x > b T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña K = |x| √ 1− x HD : áp dụng bất đẳng thức Côsi và làm tơng tự nh bài : II - Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình - Kiến thức : Nhờ vào các tính chất bất đẳng thức , các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức , ta biến đổi hai vế ( VT , VP ) phơng trình sau đó suy luận để nghiệm ph¬ng tr×nh Nếu VT = VP giá trị nào đó ẩn ( thoả mãn TXĐ) => ph¬ng tr×nh cã nghiÖm NÕu VT > VP hoÆc VT < VP t¹i mäi gi¸ trÞ cña Èn => ph¬ng tr×nh v« nghiÖm - C¸c vÝ dô : Bµi : Gi¶i ph¬ng tr×nh : 13 √ x −1 + √ x+1 = 16x Gi¶i: §iÒu kiÖn : x (*) Cách : áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 13 √ x −1 + √ x+1 = 13.2 √ x −1 + 3.2 √ x+1 13( x - + ) + 3(x + + ) = 16x DÊu '' = '' x¶y { √ x+1= √ x −1= x= tho¶ m·n (*) Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm dÊu '' = '' ë (2) x¶y VËy (1) cã nghiÖm x = Bµi 2: a, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña L = √ x −3 + √ 5− x b Gi¶i ph¬ng tr×nh : √ x −3 + √ 5− x - x2 + 4x - = (*) Gi¶i : a Tãm t¾t : ( √ x −3 + √ 5− x )2 √ x −3 + √ 5− x => MaxL = x = b TX§ : ≤x ≤ 2 2(2x - + - 2x) = (22) (*) √ x −3 + √ 5− x = x2 - 4x + VP = (x - 2)2 + 2 , dÊu '' = '' x¶y x = => víi x = ( tho¶ m·n TX§ ) th× VT = VP = => ph¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm x = Bµi : Gi¶i ph¬ng tr×nh : √ − x + √ x+2 = x2 - 6x + 13 Gi¶i : TX§ : -2 x VP = (x - 3)2 + 4 DÊu '' = '' x¶y x = VT2 = ( √ − x + √ x+2 1)2 (6 - x + x + 2)(1 + 1) = 16 => VT √6 − x = , dÊu '' = '' x¶y √ x+2 x=2 => không có giá trị nào x để VT = VP => Phơng trình vô nghiệm Bµi : Gi¶i ph¬ng tr×nh : √ x −12 x +16 HD : √ x −12 x +16 DÊu '' = '' x¶y : + 2; {xy−− 2=0 2=0 √ y − y +13 =5 √ y − y +13 => VT {x=2 y=2 => ph¬ng tr×nh cã nghiÖm : x = ; y = Ngµy so¹n :1/10/2008 Buæi 9: TÌM GTLN VÀ GTNN C/ CÁC DẠNG TOÁN CỤ THỂ: Dạng I: Các bài toán mà biểu thức là đa thức Ví dụ 1: Tìm GTNN các biểu thức sau: a / f ( x)=x +3 x+ b/ g( x)=x ( x −5) Giải 3 2 a / f ( x)=x +3 x+ 3=x +2 x + + = x+ + 4 2 3 3 x+ + ≥ Ta có x + ≥ , nên 2 4 3 Vậy: f(x) đạt GTNN x + =0 ⇔ x=− 4 ( ) ( ) ( ) ( ) Cách giải chung bài toán trên là: (23) Ta biến đổi đa thức đã cho dạng: [ h ( x ) ] + a đá a là số Vì 2 [ h ( x ) ] ≥ nên [ h ( x ) ] + a≥ a Do đó GTNN biểu thức đã cho a h(x) =0 Ví dụ 2: Tìm GTLN các biểu thức sau: a / f ( x)=− x −2 x+ 14 b/ g( x)=x − x Giải 2 a / f (x)=− x −2 x+ 14=− ( x +1 ) +15 ⇒ − ( x +1 )2+ 15≤ 15 Ta có ( x+ )2 ≥ nên − ( x +1 )2 ≤ Vậy: f(x) đạt GTLN 15 ( x+ )2=0 ⇔ x=− Cách giải chung bài toán trên là: Ta biến đổi đa thức đã cho dạng: − [ h ( x ) ] + a đá a là số Vì 2 [ h ( x ) ] ≥ nên − [ h ( x ) ] +a ≤ a Do đó GTLN biểu thức đã cho a h(x) =0 2/ Bài tập tự giải: Bài tập 1: Tìm GTLN các biểu thức sau: f ( x)=− x +3 x+1 17 x= Đáp số: f(x) đạt GTLN x 37 Đáp số: g(x) đạt GTNN − x= 36 Bài tập 3: a/ Tìm GTNN các biểu thức sau: f ( x)=(x+ 1)( x +2)(x+ 3)(x + 4) − ± √5 Đáp số: f(x) đạt GTNN −1 x1,2 = 2 Bài tập2 : Tìm GTNN các biểu thức sau: g( x)= x − −1 b/ Giải phương trình trên f(x)=3 Đáp số: Phương trình có nghiệm x 1,2= − ± √ 13 Bài 4: Cho phương trình ( m2+ m+ ) x − ( m2 +8 m+ ) x −1=0 Gọi x , x là hai nghiệm phương trình trên Tìm GTLN và GTNN biểu tổng √ 13 13 −4 √ khim= √ √3 √3 − √ 13 √ 13 13+ √3 m=− √ S đạt GTNN − √3 √ 3+2 √ 13 S= x 1+ x Đáp số: S đạt GTLN Bài 5: Cho x và y thỏa mãn điều kiện : 3x + y = a/ Tìm GTNN biểu thức: M =3 x 2+ y2 Đáp số: M đạt GTNN b/ Tìm GTLN biểu thức: N = 2xy Đáp số: N đạt GTLN Dạng II: 1 x= ; y= 4 1 x= ; y = 6 Các bài toán mà biểu thức là phân thức Đường lối chung để giải dạng toán này: Cho biểu thức A= F (x) Biểu thức A đạt GTLN G(x ) F(x) đạt GTLN và G(x) đạt GTNN; biểu thức A đạt GTNN F(x) đạt GTNN và G(x) đạt GTLN 1/ Ví dụ: Ví dụ 1: Tìm GTLN biểu thức: A= x −18 x +35 x − x +10 Giải x −18 x +35 5 A= =3+ =3+ x − x +10 x − x +10 ( x − )2 +1 (24) A đạt GTLN ( x − )2+ đạt GTNN, mà ( x − )2+ 1≥ Vậy GTLN A=3+ =8 ( x − )2=0 ⇔ x=3 Cách giải chung bài toán trên là: Ta thấy bậc tử thức bậc mẫu thức, ta thực phép chia để đưa biểu N f (x) thức dạng A = M + (M, N là số) Do đó biểu thức A đạt GTLN biểu thức f(x) đạt GTNN Ví dụ 2: Tìm GTNN biểu thức: A= x+1 ( x ≠ 0) x2 Giải A= Ta có thể viết: 2 x+1 x 2+ x +1− x ( x +1 ) − x x +1 = = = −1 x x2 x2 x2 ( ) Do đó: A +1= ( x+1x ) ⇒ A+1 ≥ ⇔ A ≥− Dấu “=” xảy và x +1 =0 ⇔ x +1=0 ⇔ x=−1 x Vậy biểu thức A đạt GTNN -1 x=-1 Cách giải chung bài toán trên là: Ta thấy bậc tử thức nhỏ bậc mẫu thức, ta thực phép biến đổi để đưa biểu thức dạng A = biểu thức f (x ) F g( x) [ ( )] +K (K là số) Do đó biểu thức A đạt GTNN là K f (x) =0 g ( x) 2/ Bài tập tự giải: x ( x ≠0 ) Bài 1: Tìm GTLN hàm số: x +1 x=±1 Đáp số: f(x) đạt GTLN f ( x)= Bài 2: Cho x>0 Tìm giá trị x để biểu thức M= x ( x+2009 )2 đạt GTLN Đáp số: M đạt GTLN x=2009 x −2 x+ 2009 x : ( x − ) (x − 2) x −3 x 2+ x x2 −2 x+ 2009 ( x ≠ ; x ≠ 2; x ≠ ) a/ Rút gọn M Đáp số: M = x2 2008 x=2009 b/ Tìm GTNN M Đáp số: M đạt GTNN 2009 3 x − x x − x +12 x − : Bài 4: Cho biểu thức: N= x +2 x +2(x +1) x x ≠ ; x ≠− a/ Rút gọn N Đáp số: N= 3 x +4 Bài 3: Cho biểu thức: M = ( b/ Tìm GTNN và GTLN N ) Đáp số: N đạt GTNN − x=− Đáp số: N đạt GTLN x=2 4 2009 (25) Bài 5: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện: 1 + + =2 1+ a 1+b 1+ c Tìm GTLN biểu thức abc: Đáp số: abc đạt GTLN 1 a=b=c= Dạng III: Các bài toán mà biểu thức là thức 1/ Ví dụ: Ví dụ 1:Cho biểu thức: f ( x)= √2 − x − √ 1+ x Tìm giá trị x để f(x) đạt GTLN Giải Biểu thức f(x) có nghĩa khi: ¿ 2− x ≥ 1+ x ≥ ⇔ − 1≤ x ≤ ¿{ ¿ Trong điều kiện này ta có f(x) nên f(x)đạt GTLN và [ f ( x ) ] Ta có: [ f ( x ) ] =2 − x +1+ x+2 √ ( 2− x )( 1+ x )=3+ √ 2+ x − x2 đạt GTLN 9 − x2 + x + =3+ − x− 4 1 Do đó [ f ( x ) ] đạt GTLN và x − =0 ⇔ x = 2 1 Vậy x= thì GTLN biểu thức f ( x) = 2− + 1+ =6 2 ¿ 3+2 √ √ ( ) √ √ Cách giải chung bài toán trên là: Ta cần xác điều kiện các biểu thức dấu thức có nghĩa, sau đó tìm điều kiện để biểu thức [ f ( x ) ] đạt GTLN Điều kiện đó chính là điều kiện để biều thức f(x) đạt GTLN Ví dụ 2: Cho biểu thức: f ( x)= x −3 Tìm giá trị x để f(x) đạt GTNN √ x −1 − √ Giải Biểu thứ f(x) có nghĩa khi: ¿ x −1 ≥ √ x −1 − √ ≠0 ⇔ ¿ x ≥1 x≠3 ¿{ ¿ Ta biến đổi: √ x − 1+ √¿ ¿ ( √ x −1 − √2)¿ x −3 x −1 −2 f (x)= = =¿ √ x −1 − √2 √ x −1 − √ Do đó: f (x)= √ x − 1+ √ nên f ( x ) đạt GTNN và mà √ x −1 ≥ nên √ x −1 đạt GTNN x=1 Vậy f(x) đạt GTNN √ x=1 Cách giải chung bài toán trên là: √ x −1 đạt GTNN (26) Ta cần xác điều kiện để biểu thức có nghĩa và phân tích đa thức thành nhân tử sau đó rút gọn biểu thức đã cho 2/ Bài tập tự giải: 1 x +2 + − Bài 1: Cho biểu thức: 2(1+ √ x ) ( 1− √ x ) − x ( x ≥ 0; x ≠1 ) a/ Rút gon biểu thức M Đáp số: M =− x + x +1 M= b/ Tìm GTNN MĐáp số: M đạt GTNN -1 x=0 √x−2 − Bài 2: Cho biểu thức M = √ x +2 : −2 x − x+ √ x +1 ( − x )2 a/ Rút gọn biểu thức M Đáp số: M= √ x − x ( x ≥ ; x ≠ ) ( ) b/Tìm GTLN M Đáp số: M đạt GTLN Bài 3: Tìm GTLN biểu thức M = Đáp số: M đạt GTLN x= 16 1 x= 4 x − √ x+1 Bài 4: Tìm GTLN và GTNN biểu thức: M = 3− √ 1− x 1 x=0 x=± M đạt GTNN Bài 5:Tìm GTNN biểu thức: M =√ ( x − 2008 )2+ √ ( x −2009 )2 Đáp số: M đạt GTNN bằng1 2008 ≤ x ≤2009 Đáp số: M đạt GTLN (27)