Đang tải... (xem toàn văn)
-Trong hình chữ nhật hai đờng chéo bằng nhau và cắt tại trung điểm của mỗi đờng DÊu hiÖu: -Tø gi¸c cã ba gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt -H×nh thang c©n cã mét gãc vu«ng lµ h×nh D ch÷ nhËt -H[r]
(1)Equation Chapter Section Giáo án dạy hè toán phép nhân,phép chia các đa thức Buæi 1.nhân đơn thức với đơn thức a Quy t¾c: - Nh©n hÖ sè víi hÖ sè - Nh©n phÇn biÕn víi phÇn biÕn x1 = x; Lu ý: n ( x m ) = xm.n xm.xn = xm + n; b Ví dụ: Ví dụ 1: Tính: a) 2x4.3xy = 6x5y b) 5xy2.(- x2y) Giải: a) 2x4.3xy = (2.3).(x4.x)(1.y) = 6x5y 1 2 b) 5xy (- x y) = [5.(- )] (x.x ).(y y) = - x3y3 2 nhân đơn thức với đa thức a Quy t¾c: Nhân đơn thức với hạng tử đa thức A(B + C) = AB + AC b Ví dụ: Thùc hiÖn phÐp tÝnh: a) 2x3(2xy + 6x5y) b) 4x2 (5x3 + 3x 1) Giải: a) 2x3(2xy + 6x5y) = 2x3.2xy + 2x3.6x5y = 4x4y + 12x8y b) 4x2 (5x3 + 3x 1) 4x 5x 4x 3x 4x 4.5 (x x ) (4.3)(x x) (4.1)x 20x 12x 4x nhân đa thức với đa thức a Quy t¾c: Nh©n mçi h¹ng tö cña ®a thøc nµy víi tõng h¹ng tö cña ®a thøc (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD b Ví dụ: Tính tích các đa thức sau: a) 5x 4x x b) (3x + 4x2 2)(x2 +1+ 2x) Giải: a) 5x 4x x 5x x 4x x 5x 2.x 5x 2.2 4x.x 4x 5x 10x 4x 8x 5x (10 4)x 8x 5x 14x 8x b) (3x + 4x2 2)(x2 +1+ 2x)=3x(x2 +1+ 2x) + 4x2(x2 +1+ 2x) -2(x2 +1+ 2x) 3x.( x ) 3x.1 3x.2x 4x ( x ) 4x 4x 2x 2.( x ) 2.1 2.2x 3x 3x 6x 4x 4x 8x 2x 4x 4x 3x 8x 6x 4x 2x (3x 4x) 4x 5x 12x x − x y và 4xy2 b) 3 x yz và -2x2y4 Ví dụ 2: Tính tích các đơn thức sau: (2) −1 a) − x5y3.4xy2 = − x6y5 b) x3yz (-2x2y4) = x5y5z Dạng1:thực phép tính: -3ab.(a2-3b) (x2 – 2xy +y2 )(x-2y) (x+y+z)(x-y+z) 4, 12a2b(a-b)(a+b) 5, (2x2-3x+5)(x2-8x+2) Dạng 2:tìm x 1/ 1 x −( x − 4) x=−14 2 2/ 3(1-4x)(x-1) + 4(3x-2)(x+3) = - 27 3/ (x+3)(x2-3x+9) – x(x-1)(x+1) = 27 Dạng : rút gọn tính giá trị biểu thức 1/ A=5x(4x2-2x+1) – 2x(10x2 -5x -2) víi x= 15 −1 ; y= − 3/ C = 6xy(xy –y2) -8x2(x-y2) =5y2(x2-xy) víi x= ; y= 2 4/ D = (y2 +2)(y- 4) – (2y2+1)( y – 2) víi y=- 2/ B = 5x(x-4y) -4y(y -5x) víi x= Dạng 4: CM biểu thức có giá trị không phụ thuộc vào giá trị biến số 1/ (3x-5)(2x+11)-(2x+3)(3x+7) 2/ (x-5)(2x+3) – 2x(x – 3) +x +7 I đẳng thức đáng nhớ 1, B×nh ph¬ng cña mét tæng: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 2, B×nh ph¬ng cña mét hiÖu: (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 3, HiÖu hai b×nh ph¬ng: A2 – B2 = (A + B).(A - B) 4, LËp ph¬ng cña mät tæng: (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 5, LËp ph¬ng cña mät hiÖu: (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 6, Tæng hai lËp ph¬ng: A3+ B3 = (A + B) (A2 - AB + B2) 7, HiÖu hai lËp ph¬ng: A3- B3 = (A - B) (A2 + AB + B2) Bµi tËp 1: (3) a, (2x + 3y)2 = = (2x)2 + 2.2x.3y + (3y)2 = 4x2 + 12.x.y + 9y2 b, (x c, )2 = x2 – 2x + ( ) = x2 – x + x x 23 x x x d, ( x+ ) ( x − x+ )=x − e, ( x − y ) ( x2 +2 xy + y ) 3 3 = (2 x) y = 8x y Bµi tËp 2: TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: ( x – )3 – 4x(x + 1)(x – 1) + 3(x – 1)(x2 + x + 1) víi x=2 Ta cã : ( x – )3 – 4x(x + 1)(x – 1) + 3(x – 1)(x2 + x + 1) = = x3 – x2 + 3x – – 4x( x2 – 1) + 3( x3 – 13) = x3 – x2 + 3x – – 4x3 + 4x + 3x3 – = – x2 + 7x - Víi x= -2 ta cã: – x2 + 7x – = – (-2)2 + 7.2 – = – 3.4 + 14 – = -12 + 14 – = -2 Bµi tËp 3: Chøng minh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn: a, y(x2 – y2)(x2 + y2) – y(x4 – y4) = y(x4 – y4) – y(x4 – y4) =0 VËy gi¸ trÞ biÓu thøc trªn kh«ng phô thuéc vµo biÕn b, ( x – )3 - (x – 1)(x2 + x + 1) – 3(1 – x)x = x3 – x2 + 3x – – ( x3 – 13) – 3x + 3x2 = x3 – x2 + 3x – – x3 + 1– 3x + 3x2 = VËy gi¸ trÞ biÓu thøc trªn kh«ng phô thuéc vµo biÕn II ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a, x2 – 16 – 4xy + 4y2 = (x2 – 4xy + 4y2) – 16 = (x -2y)2 – 42 = (x – 2y -4)(x-2y + 4) b, x5 – x4 + x – x2 = x2(x3 – x2 + x – 1) = x2[(x3 – x2) +( x – 1)] = x2[x2(x – 1) + (x – 1)] = x2(x- 1)(x2 + 1) Bµi T×m x, biÕt: (4) a, x3 – 16x =0 x(x2 – 16) =0 x(x+ 4)(x – 4) = x = hoÆc x + = hoÆc x – = x = hoÆc x = -4 hoÆc x = b, x2(x – 1) – 4x2 + 8x – = x2(x – 1) – 4(x2 - 2x + 1) = x2(x – 1) – 4( x – 1)2 = (x – 1)[(x2 – 4(x – 1)] = ( x – 1)(x2 – 4x + 4) =0 (x – 1)(x – 2)2 =0 => x = hoÆc x = Bµi Chøng minh r»ng hiÖu c¸c b×nh ph¬ng cña sè lÎ liªn tiÕp th× chia hÕt cho Gi¶ sö hai sè lÎ liªn tiÕp lµ 2n + vµ 2n + ( n N ) Khi đó ta có : (2n + 3) 2– (2n + 1)2 = (2n + + 2n + 1)( 2n + – 2n – 1) = (4n + 4)2 = 2.4(n + 1) = (n + 1) V× 8(2n + 1) chia hÕt cho nªn (2n + 3) 2– (2n + 1)2 chia hÕt cho Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a, 3x + 3y – x2 -2xy – y2 = (3x + 3y) – (x2 +2xy + y2) = 3(x + y) - (x + y)2 = (x + y)(3 – x – y) b, 4x4 + 4x2y2 – 8y4 = 4x4 + 4x2y2 + y4– 9y4 = (2x2 + y2)2 – (3y)2 = (2x2 + y2 – 3y) (2x2 + y2 + 3y) Bµi TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: A = 2x2 + 2y2 – x2z + z – y2z – víi x = 1; y = 1; z = -1 A = (2x2- x2z) + (2y2 – y2z) – (2 – z) = x2 (2- z) + y2(2 – z) - (2 – z) = (2- z)( x2+ y2- 1) Víi x = 1; y = 1; z = -1 ta cã: A = 2x2 + 2y2 – x2z + z – y2z – = (2- z)( x2+ y2- 1) = (2 + 1)( 12 + 12- 1) = Buæi I H×nh thang - H×nh thang c©n (5) 1, C¸c kiÕn thøc cÇn nhí: H×nh thang: Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song Hai gãc kÒ mét canh bªn cña h×nh thang cã tæng sè ®o b»ng 1800 H×nh thang vu«ng: H×nh thang vu«ng lµ h×nh thang cã mét gãc vu«ng H×nh thang c©n: H×nh thang c©n lµ h×nh thang cã hai gãc kÒ mét đáy Trong h×nh thang c©n: - Hai c¹nh bªn b»ng - Hai đờng chéo H×nh b×nh hµnh §Þnh nghÜa: H×nh b×nh hµnh lµ tø gi¸c cã c¸c cạnh đối song song A B D C A B O D C TÝnh chÊt: Trong hình bình hành: - Các cạnh đối song song và - Các góc đối - Hai đờng chéo cắt trung điểm đờng DÊu hiÖu nhËn biÕt: Tứ giác có: - Các cạnh đối song song - Các cạnh đối - Hai cạnh đối sông song và - Các góc đối - Hai đờng chéo cât trung điểm đờng H×nh ch÷ nhËt: TÝnh chÊt: Có đầy đủ các tính chất hình bình hành và A h×nh thang c©n -Trong hình chữ nhật hai đờng chéo và cắt trung điểm đờng DÊu hiÖu: -Tø gi¸c cã ba gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt -H×nh thang c©n cã mét gãc vu«ng lµ h×nh D ch÷ nhËt -H×nh b×nh hµnh cã mét gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt -Hình bình hành có hai đờng chéo B C (6) lµ h×nh ch÷ nhËt Bµi TËp Bµi 1: Cho tam giác ABC, các đờng trung tuyến AD, BE, CF Đờng thẳng qua E song song víi AB, qua F song song víi BE c¾t t¹i G Chøng minh: a, Tø gi¸c AFEG lµ h×nh b×nh hµnh b, Ba ®iÓm D,E,G th¼ng hµng vµ CG = AD Bµi lµm: a, Tø gi¸c BEGF lµ h×nh b×nh hành vì có các cạnh đối song song, => EG = BF, nhng BF = FA => EG = AE Tø gi¸c AGEF cã EG = AF vµ EG//AF nªn lµ h×nh b×nh hµnh A G E F B C D b, Tø gi¸c AGEF lµ h×nh b×nh hµnh => AG = EF vµ AG//EF (1) Mặt khác tam giác ABC, EF là đờng trung bình nên EF // CD và EF= CD (2) Tõ (1) vµ (2) => AG//CD vµ AG = CD => AGCD lµ h×nh b×nh hµnh => CG = AD Vì E là trung điểm đờng chéo GD => D, E, G thẳng hàng ( Còng cã thÓ chøng minh EG vµ ED cïng song song víi AB råi => D, E, G th¼ng hµng) Bµi 2: Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD Gäi E,F,G,H lÇn lît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh AB, BC, CD, DA a, Tø gi¸c EFGH lµ h×nh g×? V× sao? b, Chứng minh các đờng thẳng AC, BD, EG, FH đồng quy Bµi lµm: a, AHE = BFE ( c.g.c) => EH = EF chøng minh t¬ng tù ta cã : EF = FG, EH = HG Do vËy ta cã : HE = EF = FG = HG => EFGH lµ h×nh b×nh hµnh (4 c¹nh b»ng nhau) b, Gọi là giao điểm hai đờng chÐo AC vµ BD ta cã : A H D E B o G F C (7) AOE = COG (c.g.c) => AOE = COG Mµ AOE + EOC = 180o nên EOC + COG = 1800 Do đó ba điểm E, O, G thẳng hàng Chøng minh t¬ng tù ta cã H, O, F th¼ng hµng Vậy đờng thẳng AC, BD, EG, HF đồng quy O Bµi 3: Cho tam giác ABC, Trung tuyến AM Qua M kẻ đờng thẳng song song với AC cắt AB P, qua M kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AC Q Biết MP = MQ a, Tø gi¸c APMQ lµ h×nh g×? V× sao? b, Chøng minh PQ song song víi BC Bµi lµm: a, Tø gi¸c APMQ cã AP//MQ, AQ//MP => Tø gi¸c APMQ lµ h×nh b×nh hµnh Ta l¹i cã MP = MQ => APMQ lµ h×nh b×nh hµnh A P Q B M C b, Tø gi¸c APMQ lµ h×nh thoi nªn PQ AM vµ AM lµ tia ph©n gi¸c cña A Tam giác ABC có AM vừa là đờng trung tuyến vừa là đờng phân giác A nªn ABC lµ tam gi¸c c©n => AM BC Hai đờng thẳng PQ và BC cùng vuông góc với AM, vì PQ//BC Buæi các bài toán rút gọn, Cộng, trừ, các phân thức đại số C¸c kiÕn thøc cÇn nhí: A + Phân thức đại số là biểu thức có dạng B , đó A, B là các đa thức, B lµ tö thøc, B lµ mÉu thøc + Tập xác định phân thức là tập hợp các giá trị biến làm cho mẫu thøc kh¸c A( x ) - Phân thức B( x ) có tập xác định là: TXĐ = x Q / B( x ) 0 (8) A A.C A A:C B B C , B B:C - TÝnh chÊt : A A B - Quy t¾c dÊu: + B A A A B B + B (C 0) - C¸c bíc rót gän ph©n thøc: + Ph©n tÝch tö vµ mÉu thµnh nh©n tö + Chia c¶ tö vµ mÉu cho nh©n tö chung - Các bớc quy đồng mấu thức nhiều phân thức: + Ph©n tÝch c¸c mÉu thøc thµnh nh©n tö råi t×m MTC + T×m nh©n tö phô cña mçi mÉu thøc + Nh©n c¶ tö vµ mÉu cña mçi mÉu thøc nh©n tö phô t¬ng øng A C A C B - C¸c phÐp to¸n: + B B A C A C B +B B (B 0) (B 0) Bµi tËp Bµi Dùng quy tắc đổi dấu điền vào ô trống các đẳng thức sau: a, 3− y y−3 = 5+ x c, x (3 y −1) − x(1 −3 y ) = y ( y +2) b, y − x = x2 − y y − x2 d, 1+4 x = x −4 −5 x Bµi Dùng tính chất phân thức viết các phân thức phân thức đã cho: a, 3x y = = = = x x = …… = …… = …… b, Bµi Rót gän ph©n thøc: a, b, x ( x +2) x +6 x = = x y+ 12 xy xy( x+2) y x3 y ( x − 4) x3 y (x +2)(x −2) − x = = (x+ 2)(20 xy −10 x y ) 10 xy ( x+ 2)(2 − x ) y c, (2 x 3)2 x (2 x x )(2 x x ) x ( x 1)( x 1) ( x 3)(3 x 3) 3( x 3)( x 1) 3( x 3) ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) x Bµi Thùc hiÖn phÐp céng c¸c ph©n thøc sau: (9) b, x 13 x x 13 x x 5 5 5 3 2 2x 1 2x 2x 2x 2x 2x c, 2x 1 5y y 1 x 2y 2y x x 2y a, 2x 1 5y y 1 x 5y y x 2y x 2y x 2y x 2y 2x 4y 2( x y ) 2 x 2y x 2y Bµi Thùc hiÖn phÐp trõ c¸c ph©n thøc sau: x y2 xy ( x y) ( x y )3 a, x y xy ( x y )2 ( x y )3 ( x y )3 ( x y) x 2 x ( x 1) 2( x 1) ( x 1)( x 1) b x x 1 x x 2 x x 1 x x2 x 2x ( x 1)( x 1) x ( x 1) ( x 1)( x 1) c, x ( x 1) 2( x 1) ( x 1)( x 1) x2 x ( x 1)( x 1) x ( x 1) 2 2x 1 2x 4x (10) 2(2 x 1) (2 x 1) (2 x 1)(2 x 1) 4x 2x 2x (2 x 1)(2 x 1) (2 x 1)(2 x 1) 2x 1 Bµi 1 x 1 x ( x 1) Chứng minh đẳng thức: x ¸p dông tÝnh: 1 1 x ( x 1) ( x 1)( x 2) ( x 2)( x 3) ( x 3)( x 4) 1 x 1 x x x 1 x ( x 1) x ( x 1) Ta cã : Từ đó suy ra: 1 1 x ( x 1) ( x 1)( x 2) ( x 2)( x 3) ( x 3)( x 4) 1 1 1 1 x x x 1 x x x x x 1 x 4 x 3 x x 4 x ( x 4) x ( x 4) Buæi C¸c kiÕn thøc cÇn nhí: H×nh ch÷ nhËt A a Tam gi¸c H×nh thang A B a b D C SABCD = a.b H×nh b×nh hµnh h h B H b C SABC = a.h S =2 a S = a.h (a + b).h Bµi tËp Bµi Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Qua B kẻ đờng thẳng song song với AM c¾t CA t¹i E Gäi I lµ giao ®iÓm cña EM vµ AB Chøng minh: a, SABC = S MEC (11) b, S IEA = S IMB Bµi lµmABC = CDA a, KÎ AH BC, EK BC Ta cã AH//EK, §Æt AH = h1, EK = h2 Tam gi¸c ECB cã M lµ trung ®iÓm BC, MA//BE nªn A lµ trung ®iÓm cña EC Khi đó AH là đờng trung b×nh cña tam gi¸c CEK nªn EK = AH hay h2 = 2h1 E A I B K M H 1 S MEC = MC.EK = BC.2h2 = BC h1 1 SABC = BC.AH = BC h1 Do đó SABC = S MEC b, Theo c©u a, ta cã: SABC = S MEC hay SAIMC + S IMB = SAIMC + SIAE => S IEA = S IMB Bµi Cho tam giác ABC có đáy BC = 20cm và diện tích là 120cm2 a, TÝnh chiÒu cao AH cña tam gi¸c b, Gäi M,N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB, AC Tø gi¸c BMNC lµ h×nh g×? Tính diện tích tứ giác đó Bµi lµm a, Ta cã: SABC = BC.AH => AH = A S ABC BC 120 = 20 = 12(cm) b, MN là đờng trung bình tam gi¸c ABC nªn MN//BC đó tứ giác BMNC là hình thang Gäi giao ®iÓm cña AH víi MN lµ I, tam gi¸c ABH cã M N M I B H C (12) lµ trung ®iÓm cña AB, MI//BH nªn ta cã IA = IH = 6cm MN lµ trung b×nh cña tam gi¸c ABC, ta cã MN = BC = 10cm 1 SBMNC = (BC + MN).IH = (20+10).6 = 90(cm2) HoÆc : = 120 - 10.6 = 90(cm2) SBMNC = SABC - SAMN Bµi Cho h×nh b×nh hµnh ABCD c¹nh AB = 8cm, Kho¶ng c¸ch tõ giao ®iÓm O hai đờng chéo đến AB, BC lần lợt 3cm, 4cm a, TÝnh diÖn tÝch h×nh b×nh hµnh b, Tính độ dài cạnh BC Bµi lµm a, Gäi OH lµ kho¶ng c¸ch tõ O đến AB, ta có OH AB Tia HO c¾t CD ë I th× HI CD OHA = OCI (c.g.c) => OI = OH Do đó HI = 2OH = 6cm SABCD = AB.HI = 8.6 = 48(cm2) b, Gäi OK lµ kho¶ng c¸ch tõ O đến BC, ta có OK BC, Tia OK c¾t AD t¹i E th× KE AD vµ KE = 2OK = 8cm A H B E K D I C SABCD = BC.KE S ABCD 48 => BC = KE = = cm Bµi Cho tam gi¸c ABC trung tuyÕn AM Gäi I lµ trung ®iÓm cña AM Tia CI c¾t AB t¹i E Gäi F lµ trung ®iÎm cña EB BiÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 36m2 TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c BFC? Bµi lµm: (13) a, MF là đờng trung bình tam giác BEC, => MF//CE IE là đờng trung bình tam giác AMF ta cã: AE = EF, mµ EF = FB, đó: A E FB = FA = EA = AB Tam gi¸c BFC vµ tam gi¸c ABC cã chung chiều cao kẻ từ C xuống AB và có cạnh đáy BF = AB, đó S BFC = S ABC = 12 m F I B M C Bµi Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD, tõ A vµ C kÎ AE, CF cïng vu«ng gãc víi BD a, Chøng minh r»ng hai ®a gi¸c ABCFE vµ ADCFE cã cïng diÖn tÝch b,TÝnh diÖn tÝch cña mçi ®a gi¸c nãi trªn nÕu c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt lµ 16cm vµ 12cm Bµi lµm: a, AED = CFB (C¹nh huyÒn – gãc nhän) A => S AED= S CFB (1) F AEB = CFD (C¹nh huyÒn – gãc nhän) => S AEB= S CFD (2) (1) vµ (2) => S AED + S CFD = S CFB + S AEB E Hay S ADCFE = S ABCFE D b, V× S ADCFE + S ABCFE = S ABCD nªn S ADCFE = S ABCFE = S ABCD = => S ADCFE = S ABCFE = 96 (cm)2 16.12 Buæi «n tËp c¸c bµi to¸n rót gän, Céng, trõ, nh©n chia các phân thức đại số Bµi tËp Bµi Tìm điều kiện biến để giá trị biểu thức sau xác định: 5x a, x x2 x2 b, ( x 1)( y 1) 5x 3 a, x xác định 4x+6 => 2(2x +3) => 2x -3 => x B C (14) 5x 3 Vậy biểu thức x xác định x x2 x2 b, ( x 1)( y 1) xác định ( x 1)( y 1) => x vµ y -1 Bµi Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× mçi ph©n thøc sau cã gi¸ trÞ b»ng x 3x 3 a, x b, x x x 3x a, x xác định 4x – => 4(x-1) => x 1 3x x = 3x+3=0 =>3(x+1)=0 =>x+1=0 =>x=-1(Tho¶ m·n ®/k x¸c định) 3x VËy biÓu thøc x cã gi¸ trÞ b»ng x=-1 x 3 b, x x x xác định x x x => (x2 + 1)(x - 2) => x x x x x =0 x – 1= => x=1 (Thoả mãn đ/k xác định) x VËy x x x cã gi¸ trÞ b»ng x=1 Bµi x x 16 32 Cho biÓu thøc M = x x a, Tìm điều kiện x để biểu thức trên xác định b, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức M c, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức M a, Biểu thức M xác định x- và x+4 => x và x -4 x x 16 32 b, M = x x = 4( x 4) 4( x 4) ( x 4) 4( x x 4)( x 4) x ( x 4)( x 4) 32 ( x 4)32 x = 1 x4 M = => x = => 3(x+4) = x- => 3x + 12 = x- => 2x = -16 => x=-8 (15) Ta thÊy x= -8 tm®k nªn víi x=-8 th× M = x4 c, M = => x = => x+4 = x- => = - ( V« lý) Vậy không có giá trị nào x để biểu thức trên có giá trị Bµi x 3 x 3 x : 1 Cho biÓu thøc A = x 2 x 2 x x y a, Tìm điều kiện x để biểu thức xác định b, TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc víi x = 2005 c, Tìm giá trị x để biểu thức A -1002 Bµi lµm x 3 x x : 1 x 2 x 2 x x xác định a, BiÓu thøc 2 x 0 2 x 0 x 0 1 x 0 x 2( x 1) 0 2( x 1) 0 x 1 x 0 x 3 x 3 x : 1 b, A = x 2 x 2 x x x x 3 x y x 3 : x 1 2( x 1) 2( x 1) 2( x 1) ( x 2)( x 1) 3( x 1) ( x 3)( x 1) x 2( x 1)( x 1) x x x x x x 1 2( x 1)( x 1) 4( x 1) x 1 x 1 2( x 1)( x 1) 2( x 1) c, §Ó gi¸ trÞ biÓu thøc A b»ng -1002 th×: x 1 2( x 1) = -1002 => x +1 = -1002.2(x-1) x + = -2004x + 2004 2003 2005x = 2003 Do đó x = 2005 Bµi x 4x x 1 x : Chứng minh đẳng thức x x x 1 x x ( x 1) Ta cã VT = (16) x x 1 x : x x 1 x 1 x x ( x 1) ( x 1) x x( x 1) : ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) ( x x 1)( x x 1) ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) x x2 x 2 x.2 4x x x 1 ( x 1) VËy VT = VP Bµi x3 3x x 3 Tìm x để giá trị biểu thức x 3x x -1 x( x 3) ( x 3) ( x 3)( x 1) ( x 1) x3 3x x 2 Ta cã: x 3x 3x = x ( x 3) 3( x 3) ( x 3)( x 3) ( x 3) ( x 1) x 3x x x 3x x b»ng -1 Khi ( x 3) = -1 => x - = - x – => 2x = -2 => x = -1 x 3x x 3 Ta thấy x 3x 3x xác định ( x 3)( x 3) => x -3 nên x = -1 Tm®k x 3x x 3 Vậy để giá trị biểu thức x 3x x -1 thì x = -1 Buæi §Þnh lý talet vµ tÝnh chÊt ph©n gi¸c tam gi¸c §Þnh lý ta-let tam gi¸c A B’C’//BC AB ' AC ' AB ' AC ' B ' B C ' C ; ; AB AC B ' B C ' C AB AC B' C' B C Định lý ta-let đảo AB ' AC ' AB ' AC ' AB AC hoÆc B ' B C ' C hoÆc B ' B C 'C AB AC B’C’//BC HÖ qu¶: AB ' AC ' B ' C ' AC BC B’C’//BC AB TÝnh chÊt ph©n gi¸c tam gi¸c AD lµ ph©n gi¸c tam gi¸c ABC: A B' B C' C (17) AB DB AC DC Ta cã: A B Bµi D C Bµi tËp A TÝnh x, y, z h×nh bªn biÕt BC = 12 cm 4cm 6cm N M x 2cm B y I z C MN//BC nên theo định lý Ta-let ta có: AM AN 2.6 x x 3(cm) MB NC x NI//AB ta cã: CN CI z 3.12 z z 4(cm) CA CB 12 Ta cã BC = BI + CI y + = 12 y = 12 - y = cm VËy x = cm, y = cm, z = cm Bµi Cho tam gi¸c ABC cã träng t©m G LÊy c¸c ®iÓm M vµ N lÇn lît thuéc c¸c c¹nh AB, AC cho AM = MB, AN = AC Chøng minh ®iÓm M, N, G th¼ng hµng A G M Theo gi¶ thiÕt ta cã: AN AM 2 B I AC MB ; V× G lµ t©m tam gi¸c AG AG AM 2 MG // BC GI GI MB => G lµ t©m tam gi¸c nªn ta còng cã: AG AG AN NG // BC AI AI AC V× MG//BC vµ NG//BC nªn => M, N, G lµ ba ®iÓm th¼ng hµng N C (18) Bµi Cho tam gi¸c ABC cã BC = cm LÊy c¸c ®iÓm M,N trªn AB cho: AM = MN = NB, từ M và N kẻ các đờng thẳng song song với BC cắt cạnh AC theo thứ tự D và E tính độ dài các đoạn DM và EN A M D E N Vì MD//BC nên theo Hệ định lý Ta-let ta cã: B C MD AM MD MD MD 3 BC AC 3 cm NE//BC nªn ta còng cã: NE AN NE 9.2 NE NE 6 cm BC AC 3 VËy MD = 3cm, NE = cm Bµi Cho tam giác ABC Từ điểm N trên AC kẻ các đờng thẳng song song với ácc BM BI 1 c¹nh BC vµ AB theo thø tù t¹i I vµ M Chøng minh r»ng BA BC Bµi lµm A Ta thÊy MNIB lµ h×nh b×nh hµnh nªn MN = BI, BM = NI BM IN Từ đó ta có : BA BA (1) B IN IC BA BC (2) V× IN//BA nªn theo HÖ qu¶ §/l Ta-let ta cã BM IC BC BA Tõ (1) vµ (2) ta suy BM BI IC BI BC 1 VËy BA BC BC BC BC Bµi N M I C (19) Cho tam giác ABC Một đờng thẳng song song với BC cắt cạnh AB, AC theo thø tù t¹i D vµ E BiÕt BD = 9cm, CE = 12 cm, DE = 14 cm §iÓm M n»m trªn ®o¹n DE cho DM = 6cm chøng minh r»ng AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc A A D Theo gi¶ thiÕt ta cã: 6cm M E 12cm 9cm B N C MD MD (1) ME DE MD MÆt kh¸c DE//BC nªn ta cã: AD DB (2) AE EC Tõ (1) vµ (2) suy : BD AD ME AE AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc A Buæi ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn Bµi Gi¶i ph¬ng tr×nh: a, 4(x - 1) - (x + 2) = -x Bµi tËp 4x - - x- = -x 4x - x + x = + 4x = x = b, 5x x2 x 1 5x 6x 6 2(x 2) 5x 6x 6 2x 5x 6x 2x 6 x 0 c, 3(x + 1)(x - 1) - = 3x2 + 3(x2 - 1) - = 3x2 + 3x2 - - = 3x2 + 3x2 - 3x2 = + + 0x2 = 10 Phơng trình đã cho vô nghiệm 1 (2x 1) (x 3) 1 (3x 2) 6(2x 1) 3(x 3) 12 2(3x 2) 12x 3x 12 6x 12x 3x 6x 12 21x 23 23 x 21 d, (20) 2x 0,3 2x 1,5 2x 2,5 6(2x 0,3) 4(2x 1,5) 2x 2,5 12 12x 1,8 8x 2x 2,5 12x 8x 2x 2,5 1,8 2x 10,3 10,3 x Bµi Gi¶i ph¬ng tr×nh: a, (x - 1)(3x - 2x) = e, x 0 2x 0 x 1 x 1 2x x VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = vµ x = b, 2x(x2 + 2) = (x - 3)(x2 + 2) 2x(x2 + 2) - (x - 3)(x2 + 2) = (x2 + 2)(2x - x + 3) = x 0 x 0 x x (x2 + 2)(x + 3) = Bµi Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 1 a, x x x 0 x 1 x 0 x 3 §KX§ cña ph¬ng tr×nh lµ: (x 5)(x 3) 2(x 1) (x 3)(x 1) Phơng trình đã cho có dạng: (x 1)(x 3) (x 3)(x 1) (x 3)(x 1) (x 5)(x 3) + 2(x 1) = (x 3)(x 1) x2 - 3x - 5x + 15 + 2x - = x2 - x - 3x + x2 - 3x - 5x + 2x - x2 + x + 3x = - 15 + - 2x = -10 x = thoả mãn ĐK nên phơng trình đã cho có nghiệm x = 2x x2 3x x x b, §KX§ cña ph¬ng tr×nh lµ: x - x 2x x2 3x 0 x x Phơng trình đã cho có dạng: (21) 2x 3x 0 x x 2x 2x x 3x 0 x 3x 0 x x 2(x 2) x 3x 0 x 2 Khö mÉu ta cã ph¬ng tr×nh: x 3x 0 x2 x x 2x 0 x(x 1) 2(x 1) 0 x(x 1) 2(x 1) 0 (x 1)(x 2) 0 x 0 x 1 x 0 x 2 Ta thấy x = t/m ĐKXĐ, x = không t/m ĐKXĐ nên phơng trình đã cho có mét nghiÖm x = x x 1 c, x x (x 3)(x 1) x 0 x x 0 x 1 §KX§ cña ph¬ng tr×nh lµ: Khö mÉu ta cã ph¬ng tr×nh: (x 2)(x 1) (x 1)(x 3) 4 x2 - x + 2x - - x2 - 3x - x - = x2 - x + 2x - x2 - 3x - x = + + - x = x = - t/m §KX§ nªn ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = -9 Bµi Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Tổng hai số 72, hiệu chúng Tìm hai số đó? Gi¶i: Gäi x lµ sè lín ( x 72) Sè nhá b»ng 72 - x HiÖu hai sè b»ng nªn ta cã ph¬ng tr×nh: x - (72 - x) = x - 72 + x = 2x = + 72 2x = 78 x = 39 ( t/m ®/k bµi to¸n) VËy sè lín lµ 39, sè nhá lµ 72 - 39 = 33 Bµi Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Có hai ngăn sách, đó số sách ngăn I gấp số sách ngăn II Sau chuyÓn 20 cuèn s¸ch tõ ng¨n I sang ng¨n II th× sè s¸ch ë ng¨n II b»ng sè s¸ch ng¨n I TÝnh sè s¸ch ë mçi ng¨n lóc ®Çu? Gi¶i: Gäi sè s¸ch ng¨n II lóc ®Çu lµ x(cuèn) ( x > ) Sè s¸ch ng¨n I lóc ®Çu lµ: 3x (cuèn) Sè s¸ch ng¨n I sau chuyÓn lµ: 3x - 20 (cuèn) Sè s¸ch ng¨n II sau chuyÓn lµ: x + 20 (cuèn) (22) Khi đó số sách ngăn II số sách ngăn I nên ta có phơng trình: x + 20 = (3x - 20) 7x + 140 = 5(3x - 20) 7x + 140 = 15x - 100 7x - 15x = -100 - 140 -8x = -240 x = 30 (t/m ®k bµi to¸n) VËy sè s¸ch ë ng¨n II lóc ®Çu lµ 30 cuèn, sè s¸ch ë ng¨n I lóc ®Çu lµ 3.30 = 90 cuèn Buổi các trờng hợp đồng dạng tam giác Trờng hợp đồng dạng thứ A' B ' B 'C ' A' C ' AB BC AC A’B’C’ S ABC Trờng hợp đồng dạng thứ A ' B' A ' C' A' AB AC ; A A’B’C’ SABC A A' B C' C B' A A' B C B' C' A Trờng hợp đồng dạng thứ ba B', C C ' B A’B’C’ S ABC A' B Bµi tËp C B' Bµi Tam gi¸c ABC cã AB = 8cm, AC = 24 cm, BC = 32cm Tam gi¸c A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC và có chu vi 128cm Tính độ dài các cạnh cña tam gi¸c A’B’C’ Bµi lµm S ABC A'B'C ' V× nªn ta cã: A 'B' B'C ' A'C ' AB BC AC C' (23) A'B' B'C ' A'C ' A'B' B'C ' A'C ' 128 2 32 24 32 24 64 hay Suy ra: A’B’ = 2.8 = 16 cm B’C’ = 2.32 = 64 cm A’C’ = 2.24 = 48 cm Bµi Cho tam gi¸c ABC cã AB:BC:AC = 5: 6: BiÕt DEF S ABC vµ c¹nh nhá nhÊt cña DEF lµ 1,5 cm tÝnh c¹nh cña tam gi¸c DEF? Bµi lµm V× DEF S ABC mµ AB:BC:AC = 5: 6: nªn DE : EF : DF = 5: 6: DE EF DF NghÜa lµ Cạnh nhỏ tam giác DEF là DE đó DE = 1,5 cm 6.1,5 EF 1,5 EF 1,8cm Từ đó ta có: = DF 1,5 1,5.7 DF 2,1cm 5 Bµi Cho h×nh thang ABCD cã A D 90 , AB = cm, BD = 4cm, CD = 8cm a, Chøng minh ABD S BDC b, TÝnh BC Bµi lµm A B D C AB BD DC a, Ta cã: BD ; AB BD Suy BD = DC MÆt kh¸c ABD BDC (Hai gãc so le trong) Do đó ABD S BDC (Trờng hợp đồng dạng thứ 2) S b, ABD BDC nªn BDC BAD 90 Trong tam gi¸c vu«ng BCD ta cã: BC2 = CD2 - BD2 = 82 - 42 = 48 (24) BC = Bµi 48 6,9 (cm) Cho tam gi¸c ABC, ph©n gi¸c AD Qua B kÎ tia Bx cho CBx ABD Tia Bx c¾t tia AD t¹i E Chøng minh: a, ABE S ADC A b, BE2 = AD.AE D B C E x Bµi lµm a, AD lµ ph©n gi¸c cña gãc BAC, nªn BAC CAD BAD CBx (theo gi¶ thiÕt) CAD CBx Ta lại có: BDE ADC (Hai góc đối đỉnh) Từ đó hai tam giác BDE và ADC ta cã BED ACD ABE vµ ADC cã: BAE DAC AEB ACD Do đó ABE S ADC b, ABE vµ BDE cã: BAE DBE(gt) E chung BAE S DBE BE AE BE AE.DE DE BE Bµi Cho tam giác ABC, có A 2B , AC = 4cm, BC = 6cm Trên tia đối tia AC lÊy ®iÓm E cho AE = AC a, Chøng minh ABC S BAE b, Tính độ dài AB Bµi lµm (25) E A a, Do AE = AB (gt) nªn AED c©n ë A AEB ABE BAC AEB ABE 2.AEB B C MÆt kh¸c BAC 2.AEB (gt) BEC ABC ABC S BAE b, ABC S BEC (Theo c©u a) ta cã: AC BC 4,5 hay BA 3,5 (cm) BC EC BA 4,5 Buổi BÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn Bµi Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: a, 2x - 1> 2x > + 2x > x>2 b, - 4x < - 4x < - - 4x < -2 x> Bµi Tìm x để biểu thức có giá trị dơng: b, 2x + - 5x + > 2x - 5x > -2 - 2x-3>0 a, - 3x > - x<1 2x >3 x > Bµi Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: a, 11 - 3(x + 1) > 2(x - 3) - 11 - 3x - > 2x - - - 3x - 2x > - - - 11 + - 5x > - 19 (26) 19 x< b, 2x - > - (3 - 2x) 2x - > - + 2x 2x - 2x > + 0.x > bất phơng trình đã cho vô nghiệm c, (x - 3)(x + 3) < x(x - 6) x2 - < x2 - 6x x2 - x2 + 6x < 6x < x< d, (x + 2)2 2x(x + 2) + x2 + 4x + 2x2 + 4xb + x2 - 2x2 + 4x - 4x - - x2 x=0 VËy nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ x = e, x2 + 2(x - 3) - > x(x + 5) + x2 + 2x - - > x2 + 5x + x2 + 2x - x2 - 5x > + - 3x > 12 x<-4 Bµi Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh vµ biÓu diÔn tËp nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh trªn trôc sè: a, x 2 x 1 4(x 2) 3(x 2) 12 4x 3x 12 x 12 x2 TËp nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ S = x / x 2 -2 ) b, (27) 2x 5x 2 2(2x 1) 16 5x 4x 16 5x 4x 5x 16 x 15 x 15 TËp nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ S = x / x 15 15 ( Bµi T×m c¸c gi¸ trÞ cña x tho¶ m·n c¶ hai bÊt ph¬ng tr×nh a, 6x - < 4x - vµ 5x + > 3x - Víi 6x - < 4x - 6x - 4x < - + 2x < x<1 Víi 5x + > 3x - 5x - 3x > -3 - 2x > - x > -2 VËy nh÷ng gi¸ trÞ x tho¶ m·n 6x - < 4x - vµ 5x + > 3x - lµ: -2<x<1 b, 3x - > x - vµ 4x - > 2x - Víi 3x - > x - 3x - x > - + 2x > -1 x> Víi 4x - > 2x - 4x - 2x > -3 + 2x > -2 x>1 VËy nh÷ng gi¸ trÞ x tho¶ m·n 3x - > x - vµ 4x - > 2x - lµ: x > Bµi x 2x x x x2 : x2 Cho biÓu thøc A = a, Rót gän biÓu thøc A b, Tìm các giá trị x để A > Bµi lµm a, Rót gän: (28) x 2x x x x2 : x2 A= 1(x 1) 2(x 1) x 2x : (x 1)(x 1) (x 1)(x 1) A= x 2x x (x 1)(x 1) (x 1)(x 1) 2x A= A = 2x b, A d¬ng 2x > V× lµ sè d¬ng nªn A > 2x + > 2x > x > (29)