2M: Administrator of Mathscope.org Chúc bạn ngon miệng !!! J JJ ĐỀ 1 (12/10/2008) 2M: Administrator of Mathscope.org Chỳc bn ngon ming !!! J JJ THI TH I HC - CAO NG S I (2008-2009) (thi gian: 180 phỳt) Cõu I. (2 im) Cho hm số 42 21yxmx=-+ vi tham s mẻ Ă 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hm s ó cho khi 1m = 2. Tỡm m th hm s cú ba im cc tr to thnh mt tam giỏc cú trng tõm l gc ta .O Cõu II. (2 im) 1.Gii phng trỡnh: sin os 3 4 cot1 sinxosx c tgxgx c p p +=++ 2. Gii bt phng trỡnh: 31221515xxxx+-->--- Cõu III. (3 im) 1. Trong h ta Oxy cho ng thng ():3420dxy++=. Tỡm C ()dẻ sao cho im ú cựng vi A(2;5);B(1;1)- to thnh mt tam giỏc cú chu vi l 1232+ (vcd). 2. Cho hỡnh chúp O.ABC cú OAa,OBb,OCc === vuụng gúc vi nhau tng ụi mt. Gi M,N ln lt l trung im ca BC,CA .Tớnh gúc j gia (OMN)v (OAB). Cõu IV. (2 im) 1. Tỡm cỏc hm s ()fx cú o hm trờn + Ă tha món: ( ) ()sinx'()os;fxxfxcxx + =++"ẻĂ 2. Tỡm s nguyờn dng 10n tha món: 010192810011 101010102 1 ., 2 nnnnn CCCCCCCCC++++= Cõu V Tỡm m h phng trỡnh sau cú nghim ;0xy> : ( ) 2 3 1182 (1)(1) (1)33 m xyxy xymxy + ỡ ++= ù ù + ớ ù ++=+ ù ợ 2M: Administrator of Mathscope.org Chúc bạn ngon miệng !!! J JJ Đáp án: Câu I: 1. Khi 1;m = 22 (1)(1)yxx=-+ ta có: Tập xác định: ¡ Sự biến thiên: lim x y ®¥ =+¥ 0 '4(1)(1);'01 1 x yxxxyx x = é ê =-+=Û= ê ê =- ë Bảng biến thiên: Ta có: - Hàm số đồng biến trên từng khoảng (1;0)- và (1;)+¥ - Hàm số nghịch biến trên từng khoảng (0;1) và (;1)-¥- - Hàm đạt cực đại là 1 tại x = 0 và đạt cực tiểu là 0 tại x = 1 và x = -1 Đồ thị: 2M: Administrator of Mathscope.org Chúc bạn ngon miệng !!! J JJ 2. Trong trường hợp tổng quát : 2 '4()yxxm=- -Nếu 0;'0my£= có duy nhất No x=0 nên bổ đề về điều kiện cần của cực trị không cho phép nó có đủ 3 cực trị . - Nếu 0;m > ta có: '4()() '00 yxxmxm xm yx xm =-+ é =- ê =Û= ê ê = ë Và ta có bảng biến thiên sau: Bảng ấy thông báo rằng chúng ta có ba điểm cực trị là: 22 012 (0;1);(;1);(;1)MMmmMmm--- Bây giờ thì sự kiện ba điểm cực trị ấy tạo thành một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ .O 22 0 0 6 3 2 111 0 3 mm m mm ì -++ = ï ï ÛÛ= í -+-+ ï = ï î Vậy tất cả những m cần tìm kiếm là 6 2 m = 2M: Administrator of Mathscope.org Chúc bạn ngon miệng !!! J JJ Câu II. 1. Cái phương trình trong đề bài sinx.cos0() () 3cos2sin2cos2sin2() xi I xxxxii ¹ ì ï Û í -=+ ï î Để ý chút xíu là hễ (i) bị vi phạm sinx0 cos1 cos1 cosx0 sin1 sin1 x x x x é = ì ê ï = é í ê ê ï ê =- ë î ê ê = ì ê ï = é í ê ê ï ê =- ë î ë thì đem thay vào (ii) thấy không thỏa Nói cho nhanh là ()()5cos()5cos(2)IiixaxbÛÛ-=- ; (với 3 cos 5 2 sin 5 ;:(*) 4 cos 5 1 sin 5 a a ab b b ì = ï ï ï =- ï ï í ï = ï ï ï = ï î ) (1)2 (1)(2)2;; 1(1)2 n n n abk xaxbkxkn p p + --+ Û-=--+Û="ÎÎ -- ¢¢ Do vầy tất cả các No cần tìm của phương trình là: (1)2 ;; 1(1)2 n n abk xkn p + --+ ="ÎÎ -- ¢¢ (với ;ab đã được báo cáo về sự tồn tại ở (*)) 2. Ta chỉ cần tìm No bất phương trình đã cho trên 1 [;5] 2 để ý rằng khi ;0Rr³ thì giá trị của Rr- luôn cùng dấu hoặc cùng bằng 0 với Rr- 312213184xxxxÞ+--=+-- luôn cùng dấu hoặc cùng bằng 0 với 31(84)5(1)xxx+--=-- trên 1 [;5] 2 luôn trái dấu hoặc cùng bằng 0 với 6(1)51(5)xxx-=--- lượng này luôn cùng dấu hoặc cùng bằng 0 với 515xx--- trên 1 [;5] 2 . Nói tắt lại thì 31221xx+-- luôn trái dấu hoặc cùng bằng 0 với 515xx--- trên 1 [;5] 2 do đó: bất phương trình trên 1 [;5] 2 1 3122105(1)01 2 xxxxÛ+-->Û-->Û£< Vậy tập No của bất phương trình là: 1 [;1) 2 2M: Administrator of Mathscope.org Chúc bạn ngon miệng !!! J JJ Câu III 1. Có 24 ():(24;23) 23 xt CdCcc yt =+ ì ÎÛ+-- í =-- î giờ thì điều kiện bài toán trở thành 222222 (2(1))(51)(242)(235)(24(1))(231)1232 4918049018(*) cccc tt --+-++-+---++--+---=+ Û+++=+++ Với 2 2542tcc=+ do ()4918fttt=+++ tăng trên tập xác định của nó nên (*) 0(2;2) ()(0)0 42218176 (;) 252525 cC ftft cC =- éé êê Û=Û=ÛÛ êê =-- ëë Vậy ra có 2 điểm 12 218176 (2;2);(;) 2525 CC-- thỏa yêu cầu. 2. Hạ OH vg AB có CH vg AB (định lý ba đường vg) giả dụ CH cắt MN tại I Do AB//MN nên MN vg (OHC) hơn nữa (OAB) Ç (OMN) = d//AB//MN nên OI;OH vg (d) tức j chính là góc giữa OI và OH Hạ IK vg OH có tg j = IK/OK nhưng IK//OC nên IK/OC = KH/OH = IH/CH = BM/BC = 1/2 Vậy IK = OC/2 = c/2 còn OK = KH = 1/2.OH = 22 . 2 2 OAB S OAOBab ABAB ab D == + Tức là: tg j = IK/OK = 22 cab ab + 2M: Administrator of Mathscope.org Chúc bạn ngon miệng !!! J JJ Câu IV 1. Đặt ()()cosfxgxx=+ bởi ()fx có đạo hàm trên + ¡ nên ()gx cũng phải thế Có: 2 ' '()() ()'();0; () 0; xgxgx gxxgxxx x gx x x ++ + - ="ÎÛ="Î æö Û="Î ç÷ èø ¡¡ ¡ Đạo hàm đặc trưng cho tốc độ biến thiên giá trị hàm thế nên cái loại có đạo hàm bằng 0 là cái loại chả chịu thay đổi giá trị bao giờ cả, loại ấy thấy bảo gọi là hàm hằng. Tức là: () :ons;().cos; gx cctxfxcxxx x ++ ="ÎÛ=+"Ρ¡ Tóm lại những gì cần tìm kiếm là ()cos;:const fxcxxcx + =+"Ρ 2. Giả dụ chúng ta phải mời 10 người đến dự 1 đám ma và ta có quyền chọn 10 người ấy trong 10 kẻ tử tế và n thằng đểu (với 10n ³ ); Khi ấý hễ ta cứ mời ;010kk££ gã tử tế thì cũng sẽ theo cùng 10 k- thằng đểu đến ăn cỗ. Do vậy số khả năng chọn cái đám 10 người ấy là 0101928100 10101010 . nnnn CCCCCCCC++++ Tuy nhiên nếu chả cần xét nét quá về nhân cách bọn chúng, (ta cứ túm bừa 10 đứa từ n+10 đứa tất thảy) thì số cách chọn là 10 10 n C + Từ đó ta có: 10 10 n C + = 0101928100 10101010 . nnnn CCCCCCCC++++ Bài toán của chúng ta giờ đây trở thành: Tìm số nguyên dương 10n ³ thỏa mãn: 1011 102 1 2 nn CC + = ( ) (10)!(2)! 11.(1)(2) .(10).(210)(29) .(21) 10!!2.11!211! nn nnnnnnn nn + Û=Û+++=--- - -Với 10n = thay vào thì thấy ko thỏa -Với 11n = thay vào thì thấy quá thỏa -Với 11n > thì bởi từng nhân tử bên trái lại to hơn nhân tử tương ứng bên phải nên rốt cuộc lại chả thỏa. Vậy tất cả n cần tìm là 11n = Câu V: (Vì nó dễ quá nên tôi không tiện trình bày ở đây, ai muốn biết nó dễ thế nào thì đến dự buổi chữa bài nhé). Have fun!!! . đây trở thành: Tìm số nguyên dương 10 n ³ thỏa mãn: 10 11 102 1 2 nn CC + = ( ) (10 )!(2)! 11 . (1) (2) . (10 ).( 210 )(29) .( 21) 10 !!2 .11 ! 211 ! nn nnnnnnn nn +. bọn chúng, (ta cứ túm bừa 10 đứa từ n +10 đứa tất thảy) thì số cách chọn là 10 10 n C + Từ đó ta có: 10 10 n C + = 010 192 810 0 10 1 010 10 . nnnn CCCCCCCC++++