Đang tải... (xem toàn văn)
Lập phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d Đường thẳng là giao tuyến của và Viết phương trình đường thẳng dưới dạng tham số hoặc chính tắc Ví dụ.A-2005 Tron[r]
(1)Phương pháp toạ độ không gian I Các dạng toán Mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng ( ) qua M ( x0 , y0 , z0 ) có véctơ pháp tuyến n( A, B, C ) là A( x x ) B ( y y0 ) C ( z z0 ) 0 1.1.Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng n AB, AC Ví dụ.(B-2008) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0;1; 2), B(2; 2;1), C ( 2;0;1) 1) Viết phương trình mặt phẳng qua điểm A, B, C 2) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng x y z 0 cho MA MB MC 1.2 Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua điểm M và đường thẳng d n MM , ud M d ( ) Bài 1(KTr-97) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(1; 2; 1) và x y z 3 d: a) Viết phương trình mặt phẳng qua A và chứa (d) b) Tính khoảng cách từ A đến d d1 , d 1.3 Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng song song n M 1M , u1 M d ; M d u1 1 2 ( ; là véc tơ phương d1 ) Ví dụ 1.(B-2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A( 0; 1; ) và d1 : x y z 1 1 , x 1 t d : y 2t z 2 t hai đường thẳng 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 , d 2) Tìm toạ độ các điểm M thuộc d1 , N thuộc d cho điểm A, M, N thẳng hàng Ví dụ 2.(A-2002) Trong không gian với hệ toạ độ Đêcác vuông góc Oxyz cho x y z 0 1 : x y z 0 và đường thẳng x 1 t : y 2 t z 1 2t 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 1 và song song với đường thẳng 2) Cho điểm M (2; 1; ) Tìm toạ độ điểm H thuộc đường thẳng cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ 1.4 Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng cắt d1 , d d2 (chứa d1 và song song với ) n u1 , u2 u1 u2 ( , là véc tơ phương d1 , d ) (2) 1.5.Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d và vuông góc với mp( ) n ud , n 1.6.Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua điểm M và vuông góc đường thẳng n nd d x 10 y z và ( ): x y z 65 0 Bài 4(QY-98) Cho d: a) Chứng minh d cắt ( ) tìm toạ độ giao điểm b) Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua M (1; 2; -1) và vuông góc với d c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc d lên ( ) 1.7 Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d và thoả mãn điều kiện (*) Phương trình tổng quát mặt phẳng ( ) là: Ax By Cz 0 với ( A2 B C 0) Mp ( ) chứa d nên qua hai điểm M , N d Khi đó mặt phẳng ( ) chứa hai tham số, chẳng hạn A, B Sử dụng điều kiện (*) suy A, B Ví dụ 1.(A-2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD ABC D với A(0;0;0), B (1;0;0), D(0;1;0), A(0;0;1) Gọi M và N là trung điểm AB và CD 1) Tính khoảng cách hai đường thẳng AC và MN 2) Viết phương trình mặt phẳng chứa AC và tạo với mặt phẳng Oxy góc cos biết Ví dụ (HH-98) Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và lập với mặt phẳng ( ) góc 600 với ( ) : x y z 0 Đường phẳng: Phương trình tham số đường thẳng qua điểm M ( x0 , y0 , z0 ) x x0 at y y0 bt có véctơ phương u (a, b, c) là z z0 ct x x0 y y0 z z0 (a, b, c 0) b c Phương trình chính tắc là a 2.1 Viết phương trình đường thẳng d qua M và song song với ud u 2.2 Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với ( ) ud n Ví dụ.(D- 2007) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 4; 2), B ( 1;2; 4) và đường thẳng : x y 2 z 1 (3) 1) Viết phương trình đường thẳng d qua trọng tâm G tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) 2 2) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng cho MA MB nhỏ 2.3 Viết phương trình đường thẳng d qua hai điểm phân biệt A, B ud AB 2.4 Viết phương trình đường thẳng d qua M và song song với hai mặt phẳng u n , n d cắt ( ) , ( ) 2.5 Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt hai đường thẳng chéo d1 , d Cách Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa M và d1 Tìm toạ độ điểm N là giao điểm d và ( ) Đường thẳng d qua M và có véc tơ phương là MN Chứng minh đường thẳng d cắt d1 Cách Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa M và d1 Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa M và d Đường thẳng d qua M và có véc tơ phương là d1 d2 ud n , n Chứng minh đường thẳng d cắt và Cách Viết phương trình d1 , d dạng tham số Gọi N, P là giao điểm đường thẳng d với d1 và d (toạ độ N, P biểu diễn theo tham số t, s) Sử dụng giả thiết M, N, P thẳng hàng, suy t, s Bài 1(XD-94) Viết phương trình đường thẳng qua M(1; 5; 0) và cắt hai đường thẳng d1 là giao tuyến hai mặt phẳng ( ) : x z 0 ; ( ) : x y 0 và d là giao tuyến hai mặt phẳng (1 ) : x y 0 ; ( 1 ) : y z 0 2.6 Viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo 1 , Cách Viết phương trình 1 , dạng tham số Gọi A 1 , B (toạ độ A, B biểu diễn theo tham số t, s) AB là đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo 1 , AB.u 0 AB.u2 0 Đường thẳng d qua A và có véc tơ phương là AB Cách Gọi góc chung hai đường thẳng chéo 1 , d làđường vuông ud u1 , u2 u1 , u2 ( là hai véc tơ phương 1 , ) (4) n ud , u1 Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa d và 1 Tìm toạ độ điểm B là giao điểm và ( ) Đường thẳng d qua B và có véc tơ phương là ud Cách Gọi góc chung hai đường thẳng chéo 1 , d làđường vuông ud u1 , u2 u1 , u2 ( là hai véc tơ chỉ phương 1 , ) n ud , u1 Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa d và 1 n ud , u2 Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa d và Đường thẳng d là giao tuyến ( ) và ( ) Bài 1(TM-97) Cho hai đường thẳng chéo x 1 d1 : y 2t z 3 t x 3u d : y 3 2u z và a) Tính khoảng cách d1 và d2 b) Viết phương trình đường vuông góc chung d1 và d2 2.7 Viết phương trình đường thẳng d song song với 1 (vuông góc với ( ) ) và cắt hai đường thẳng chéo , Cách Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa và song song với 1 Tìm toạ độ điểm A là giao điểm và ( ) Đường thẳng d qua A và có véc tơ phương là ud u1 ( u1 là véc tơ 1 phương ) Chứng minh đường thẳng d cắt Cách Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa và song song với 1 Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa và song song với 1 Đường thẳng d là giao tuyến ( ) và ( ) (Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số chính tắc) Chứng minh đường thẳng d cắt và Cách Viết phương trình và dạng tham số Gọi A, B là giao điểm đường thẳng d với và (toạ độ A, B biểu diễn theo tham số t, s) Sử dụng giả thiết d// 1 (vuông góc với ( ) ) ud , u1 cùng phương, suy t, s Ví dụ 1.(A-2007) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d1 : x y z 2 1 và x 2t d : y 1 t z 3 (5) 1) Chứng minh d1 và d chéo 2) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): x y z 0 và cắt hai đường thẳng d1 và d 2.8 Viết phương trình đường thẳng qua A, vuông góc với d1 và cắt đường thẳng d Cách Lập phương trình mặt phẳng ( ) qua A và vuông góc với d1 Tìm toạ độ điểm B là giao điểm d và ( ) Đường thẳng qua A và có véc tơ phương là AB Chứng minh đường thẳng d cắt (Vì d1 ( ) d1 ) Cách Lập phương trình mặt phẳng ( ) qua A và vuông góc với d1 Lập phương trình mặt phẳng ( ) qua A và d Đường thẳng là giao tuyến ( ) và ( ) Bài 1(QHQT-95) Lập phương trình đường thẳng qua M(-1; 2; -3) vuông góc với a (6; 2; 3) và cắt đường thẳng x 1 3t d : y 2t z 3 5t 2.9 Viết phương trình đường thẳng nằm ( ) , qua A và vuông góc với d u u , n d Cách Cách Lập phương trình mặt phẳng ( ) qua A và vuông góc với d Đường thẳng là giao tuyến ( ) và ( ) (Viết phương trình đường thẳng dạng tham số chính tắc) Ví dụ.(A-2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x y 3 z 1 và mặt phẳng (P): x y z 0 1) Tìm toạ độ điểm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) 2) Tìm toạ độ giao điểm A đường thẳng d và mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số đường thẳng nằm mặt phẳng (P), biết qua A và vuông góc với d 2.9 Viết phương trình đường thẳng , qua A, cắt và vuông góc với d Cách Viết phương trình d dạng tham số Gọi B d , toạ độ điểm B biểu diễn theo tham số t; AB d AB.ud 0 Đường thẳng qua A và có véc tơ phương là AB Cách Lập phương trình mặt phẳng ( ) qua A và vuông góc với d Lập phương trình mặt phẳng ( ) qua A và chứa d (6) Đường thẳng là giao tuyến ( ) và ( ) (Viết phương trình đường thẳng dạng tham số chính tắc) Mặt cầu + Phương trình chính tắc mặt cầu tâm I (a, b, c) bán kính R là: ( x a ) ( y b) ( z c ) R 2 2 2 + Phương trình tổng quát: x y z Ax By 2Cz D 0 với A B C D Giao mặt cầu và mặt phẳng 2 2 Cho mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D 0 và mặt cầu ( S ) : ( x a) ( y b) ( z c) R có tâm I bán kính R Khi đó: d ( I ,( )) R ( ) ( S ) = đường tròn (T) Phương trình (T) là: Ax By Cz D 0 2 2 ( x a ) ( y b) ( z c ) R Cách xác định tâm J (T) và bán kính (T) sau: + Lập phương trình đường thẳng d qua I nhận véctơ pháp tuyến ( ) là véctơ phương n mặt phẳng 2 + Giải hệ d và ( ) tìm J Gọi r là bán kính (T), đó r R IJ d ( I ;( )) R ( ) là tiếp diện mặt cầu d ( I ;( )) R ( ) ( S ) Bài (Khối D - 2008) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C (0;3;3), D(3;3;3) 1) Viết phương trình mặt cầu qua điểm A, B, C, D 2) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài (Khối B - 2007) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x y z x y z 0 và mặt phẳng ( P) : x y z 14 0 1) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo đường tròn có bán kính 2) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn Bài (Khối B - 2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0; 3;0), B(4;0;0), C (0;3;0), B1 (4;0; 4) 1) Tìm toạ độ các đỉnh A1 , C1 Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng ( BCC1 B1 ) 2) Gọi M là trung điểm A1B1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A, M và song song với BC1 Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1 C1 điểm N, tính độ dài đoạn MN Bài 4(BCVT-99) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lập phương ABCDA1 B1C1 D1 với D(0; 0; 0), A(a; 0; 0), C(0; a; 0), D (0; 0; a) M là trung điểm AD, N là tâm CC1D1D Tìm bán kính mặt cầu qua B, C1, M, N Góc, khoảng cách, diện tích, thể tích (7) 4.1 Khoảng cách Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Cho mặt phẳng (P): Ax By Cz 0 và điểm M ( x0 , y0 , z0 ) d ( M , ( P)) Ax0 By0 Cz D 2 A B C Khi đó: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho điểm M và đường thẳng d qua M và có véctơ phương u Khi đó khoảng cách từ M tới d xác định sau M M1; u d ( M , (d )) u Cách Cách + Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M và d ( P) + Giải hệ d và (P) tìm toạ độ H + d ( M ,(d )) M 1H Khoảng cách hai đường thẳng chéo () và () M ( ) u Cách Cho qua điểm có véctơ phương ' u , u M M 0 d ( , ) u , u Cho () qua điểm M 0 có véctơ phương u ; Cách + Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa () và song song với () mặt phẳng (P) n p u , u qua M có cặp véctơ phương là u và u Vậy véctơ pháp tuyến + d (, ) d ( M 0, ( P)) 4.2 Góc Góc hai đường thẳng: Cho đường thẳng ( ) có véctơ phương u (a, b, c) ( ) u Cho đường thẳng có véctơ phương (a, b, c) cos cos(u, u) aa bb cc a b c a2 b2 c2 Góc hai mặt phẳng: Cho mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến n( A, B, C ) , mặt ( P ) n phẳng có véctơ pháp tuyến ( A, B, C ) AA BB CC cos cos (n, n) A2 B C A2 B2 C 2 Gọi là góc ( P) và ( P) , Khi đó Gọi là góc () và () , Khi đó Góc đường thẳng và mặt phẳng: cho đường thẳng d có véctơ phương u (a, b, c ) , mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến n( A, B, C ) (8) Khi đó gọi là góc d và (P) thì sin cos(u, n) Aa Bb Cc a b c A2 B C S OBA OA; OB 4.3 Diện tích, thể tích: thể tích hình hộp , hình tứ diện là: 1 VABCD ABC D AB, AD AA ; VABCD AB, AC AD Ví dụ (Khối A - 2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD ABC D với A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A(0;0;1) Gọi M và N là trung điểm AB và CD 1) Tính khoảng cách hai đường thẳng AC và MN 2) Viết phương trình mặt phẳng chứa AC và tạo với mặt phẳng Oxy góc cos biết Ví dụ (Khối A - 2004) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD gốc toạ độ O Biết A(2;0;0), B(0,1, 0), S (0;0; 2) Gọi M là trung điểm cạnh SC 1) Tính góc và khoảng cách hai đường thẳng SA, BM 2) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD điểm N Tính thể tích khối chóp S.ABMN Ví dụ (Khối D - 2004) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 Biết A(a;0;0), B( a;0;0), C (0;1;0), B1 ( a;0; b), a 0, b 1) Tính khoảng cách hai đường thẳng B1C và AC1 theo a, b 2) Cho a, b thay đổi, luôn thoả mãn a + b = Tìm a, b để khoảng cách hai đường thẳng B1C và AC1 lớn Ví dụ (Khối B - 2002) Cho hình lập phương ABCD A1 B1C1 D1 có cạnh a 1) Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A1 B và B1 D 2) Gọi M, N, P là trung điểm các cạnh B1 B, CD, A1D1 Tính góc đường thẳng MP và C1 N Ví dụ (Khối A - 2003) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcac vuông góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có A trùng với gốc hệ toạ độ, B(a;0;0), D(0; a;0), A(0;0; b) (a 0, b 0) Gọi M là trung điểm cạnh CC 1) Tính thể tích khối tứ diện BDAM theo a và b a 2) Xác định tỉ số b để mặt phẳng ( ABD) và (MBD) vuông góc với Cực trị hình học Ví dụ (Khối A - 2008) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm d: x y z 2 A (2; 5; ) và đường thẳng 1) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc điểm A trên đường thẳng d (9) 2) Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa d cho khoảng cách từ A đến ( ) lớn Ví dụ (Khối B - 2007) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x y z x y z 0 và mặt phẳng ( P) : x y z 14 0 1) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo đường tròn có bán kính 2) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn Ví dụ (Khối A - 2002) Trong không gian với hệ toạ độ Đêcác vuông góc Oxyz x y z 0 1 : x y z 0 và cho đường thẳng x 1 t : y 2 t z 1 2t 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 1 và song song với đường thẳng 2) Cho điểm M (2; 1; ) Tìm toạ độ điểm H thuộc đường thẳng cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ Ví dụ Trong không gian Oxyz, cho điểm A( 1;3; 2), B( 3;7; 18) , mặt phẳng ( P) : x y z 0 1) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P) 2) Tìm toạ độ điểm M ( P) cho MA + MB nhỏ (10)