Đang tải... (xem toàn văn)
Trong trường hợp này, theo tôi giáo viên không cần giải nhiều bài tập ở cùng một dạng mà chỉ cần giải một bài tập nào đó rồi tổng quát bài toán lên một cách từ từ và tương tự bài toán đó[r]
(1)Phần mở đầu I Bối cảnh đề tài Trong chương trình giáo dục phổ thông thì môn toán nhiều học sinh yêu thích và say mê, nói đến phân môn hình học thì lại mang nhiều khó khăn trở ngại cho không ít học sinh, chí ta có thể dùng từ “Sợ” học Đặc biệt hình học không gian tổng hợp Đây là phần có cấu trúc thi cao đẳng, đại học và thường xuyên xuất các đề thi học sinh giỏi vì kiến thức phần này đòi hỏi học sinh phải tư cao II Lý chọn đề tài Hình học không gian tổng hợp là vấn đề quan trọng Toán học phổ thông vì nó góp phần lớn việc phát triển tư cho học sinh Xong chính tư kém nên học sinh lo ngại việc học và giải bài tập hình học không gian Hơn nữa, số giáo viên phổ thông chưa tạo hứng thú cho học sinh quá trình giảng dạy vấn đề này Thiết nghĩ, học sinh đã chậm tiếp thu tri thức hình học không gian tổng hợp mà giáo viên dạy chạy theo chương trình thì kết thu tuyệt đối không cao mà đôi còn có tác dụng ngược lại Trong trường hợp này, theo tôi giáo viên không cần giải nhiều bài tập cùng dạng mà cần giải bài tập nào đó tổng quát bài toán lên cách từ từ và tương tự bài toán đó trên các đối tượng hình học khác…Một mặt vừa tạo nên hứng thú cho học sinh, mặt khác giúp học sinh phát mối quan hệ hình học các đối tượng hình học Nhằm giúp học sinh vượt qua khó khăn và trở ngại đó và ngày càng yêu thích nên tôi vào nghiên cứu đề tài: “Mở rộng tư toán học qua bài toán” III Phạm vi và đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu: - Chương trình Toán học 2007, SGK Hình Học nâng cao 12 - Các tiết dạy toán Hình Học chương Giáo viên và học sinh lớp 12 Phạm vi nghiên cứu: (2) - Các tiết dạy học theo chủ đề phân môn hình học lớp 12 năm học 2011 – 2012 cụm trường IV Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu đề tài nhằm nắm khả tiếp thu phân môn hình học học sinh Từ đó đề xuất số biện pháp hướng dẫn HS hợp lý và hiệu V Điểm kết nghiên cứu Qua nghiên cứu đề tài đã đề xuất số biện pháp dạy học hình học theo chủ đề hợp lý, góp phần nâng cao khả tư toán học học sinh Phần nội dung I Cơ sở lí luận Chương trình cải cách giáo dục Toán 2007 đặc biệt chú trọng đến việc hình thành và phát triển kĩ toán học cho HS để học tiếp các bậc học cao Qua đây, chương trình góp phần rèn luyện các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, khái quát, hệ thống…, nhằm nâng cao phẩm chất tư duy, lực nhận thức II Thực trạng vấn đề Thuận lợi Vốn kiến thức HS đã có lớp dưới; Nội dung các dạng bài tập hay; HS tích cực, ham học hỏi Tuy nhiên số HS tích cực, ham học hỏi học với số lượng chưa nhiều Phân môn hình học có nhiều đồ dùng dạy học Được giúp đở đồng nghiệp Khó khăn Rất nhiều GV còn xem nhẹ việc rèn luyện kĩ khái quát hóa bài toán Khả nhận biết và giải vấn đề học sinh chưa cao Học sinh ít tiếp xúc với việc đào sâu vào bài toán và khái quát hóa bài toán nên gặp nhiều khó khăn Đây là hình thức khó và lạ học sinh (3) Chất lượng hiểu bài toán HS lớp 12 đầu năm: Tổng số Số HS hiểu rõ Số HS hiểu bài toán bài mức độ mức độ vận dụng HS sáng tạo Số Tỉ lệ lượng 38 (%) 15,8 Số HS không biết Số HS hiểu gì, không trả lời chậm, trả lời câu hỏi chậm GV Số Tỉ lệ Số Tỉ lệ Số Tỉ lệ lượng 11 (%) 28,9 lượng 13 (%) 34,2 lượng (%) 21,1 III Một số biện pháp chủ yếu phát triển tư toán học Tổng quát hóa, khái quát hóa bài toán Bài toán 1.1 (Ví dụ 4, SGK Hình học 12 Nâng cao, trang 27) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' Gọi M,N là trung điểm hai cạnh AA ', BB ' Mặt phẳng ( MNC ' ) chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần Tính tỷ số thể tích hai phần đó Bài giải A Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích khối chóp “nhỏ” dựa trên kiện liên quan đến khối chóp đã cho B C M Ta có V 2V VC ' ABC ;VC ' ABB 'C ' 3 A’ N V C ABNM=V C A MNB (Vì hai hình bình hành ' ' ' ' ABNM , MNB ' A ' có BN = BN’ ) Khi đó V V C ABNM=V C A MNB = V C ABB C = ' ' ' ' V 2V và V ABCNMC =V − = ' V C A MNB ' ' ' = Vậy : V ABCMNC ' ' ' ' C’ B’ (4) Bài toán 1.2 (Tổng quát hóa bài toán) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' Gọi M,N là hai điểm thuộc hai cạnh AA ', BB ' và chia hai cạnh theo tỉ số k Mặt phẳng ( MNC ' ) chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần.Tính tỷ số thể tích hai phần đó theo k Bài giải A V 2V VC ' ABC ;VC ' ABB 'C ' 3 Ta có: VC ' ABNM k VC '.MNB ' A ' B C M (Vì hai hình bình hành ABNM , MNB ' A ' có BN kB ' N ) A’ Khi đó N VC ' ABNM k VC '.MNB ' A ' B’ C’ Suy ra: và k k 2V VC ' ABB ' A ' k 1 k 1 VC ' MNB ' A ' 2V 3( k 1) VABCMNC ' V VC '.MNB ' A ' V 2V (3k 1)V 3( k 1) 3( k 1) VC ' MNB ' A ' 2V 3( k 1) Vậy VABCMNC ' 3( k 1) (3k 1)V 3k 1 Trường hợp đặc biệt: Khi M, N là trung điểm AA ', BB ' thì: VC '.MNB ' A ' VABCMNC ' A Bài toán 1.3 (Tổng quát hóa bài toán 1.2) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' Giả sử hai B điểm M, N thuộc các cạnh AA ', BB ' và chia các cạnh đó theo tỉ số k1, C k2 Mặt phẳng ( MNC ' ) chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần.Tính tỷ số thể tích M hai phần đó A' N B' C' Bài giải (5) C B Ta có: ❑ AM = k1 MA’ ⇒ AM'= 1+ k AA H ❑ BN = k2 NB’ ⇒BN '= 1+k BB Diện tích đáy: C/ SA’MNB’ = ( A ' M + B' N ) MH B/ 1 ❑ ¿ ( + ) AA MH 1+ k 1+k 2+k +k ( ) S AA ' BB ' 1+ k 1+ k +k k Suy ra: 2+k 1+ k 2+k +k 1 1 V C ' A ' MNB ' = S A ' MNB' h= ( ) S AA ' BB ' h= ( ) V C ' AA 'BB ' 3 1+ k +k +k k 2 1+ k 1+ k +k k 2+ k 1+ k = ( ) V ABCA ' B ' C ' 1+k +k 2+ k k ⇒ V ABCA ' B ' C ' = Và 3+3 k +3 k +3 k k V C ' A ' MNB ' 2+k + k V ABCMNC ' =V ABCA ' B ' C ' − V C ' A ' MNB ' = V ABCMNC ' = Vậy V C A ' MMB' 1+2 k 1+2 k +3 k k V C ' A ' MNB ' 2+ k +k 1+2 k +2 k +3 k k 2+ k +k Trường hợp đặc biệt: Khi M, N là trung điểm AA ', BB ' thì: V ABCMNC ' =2 V C A ' MMB' Tương tự hóa bài toán Bài toán 1.4 (Tương tự hóa bài toán 1.3) Cho khối chóp tứ diện SABC Giả sử M, N thuộc hai cạnh SA, SB và chia hai cạnh đó theo tỉ số là k1, k2 Khi đó mặt phẳng (CMN) chia khối tứ diện thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó Bài giải (6) Giả sử S, S’ là diện tích tam giác SAB, SMN và S V, V’, V’’ là thể tích S.ABC, S.MNC, C.AMNB Ta có : SM = k1 MA, SN = k2 NC 1+ k 1+k M S SA SB Khi đó : S ' = SM SN = k k 1+k C A 1+ k 1+ k 1+k V 2 Suy : V ' = k k ⇔ V = k k V ' 2 1+k 1+ k 1+ k 1+k 2 Và : V ''=V −V '= k k V ' − V ' =( k k − 1) V ' 2 N 1+ k 1+k 1+k +k V '' Vậy : V ' = k B k −1= k k 2 V '' Trường hợp đặc biệt: M, N là trung điểm SA, SB thì : V ' =¿ Bài toán 1.5 (Tổng quát hóa bài toán 1.4) Cho khối tứ diện SABC Giả sử M, N, P thuộc các cạnh SA, SB, SC và chia các cạnh theo tỉ số k1, k2, k3 Khi đó tứ diện SABC chia thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó C Bài giải Ta có: P SM=k MA , Gọi H, E là hình chiếu C, P B N xuống mp (ABC) H S SN=k NB , SP=k PC E CH SC 1+ k = = PE SP k3 Khi đó ta có: M S 1+ k Do đó: CH S SAB V SABC SA SB CH SA SB SC = = = V SMNP SM SN PE SM SN SP PE S SMN V 1+k 1+k 1+ k 1+k SA SB SAB Mặt khác: S =SM SN = k k SMN A ( 1+ k 1+ k 1+k ) SABC 3 = ⇒ V SABC= V SMNP Suy ra: V k1 k2 k3 k1 k2 k3 SMNP (7) Và: V MNP ABC=V SABC − V SMNP= Vậy: [( 1+k 1+ k 1+k −1 V SMNP k1 k2 k3 ] ) V MNP ABC 1+ k 1+ k +k +k k + k k 3+ k k = V CMNP k k2 k3 Trường hợp đặc biệt: M, N, P là trung điểm SA, SB, SC thì: V MNP ABC V CMNP =7 Phân tích và tìm cách giải cho bài toán Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có ∆ABC vuông B, SA ❑ (ABC).Góc ACB =60o, BC = a, SA = a √ , gọi M là trung điểm SB Tính thể tích khối chóp M.ABC Bài giải Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích khối chóp “nhỏ” dựa trên kiện liên quan đến khối chóp đã cho Cách Ta có: SA (ABC) Từ M kẻ MH // AS cắt AB H M ⇒ MH (ABC) Vì M là trung điểm SB nên H là trung điểm AB A C H Suy ra: MH= a B a SA= √ 2 S Δ ABC = 1 o AB BC= a tan 60 a= a √ 2 V MABC 1 a √3 a S Δ ABC MH= a2 √ = 3 2 = Cách V MABC SM = = V ASABC SB V MABC = V SABC 1 mà V SABC = SA S Δ ABC = a √ a √ 3= a √ ⇒ V MABC = a Nhận xét: Học sinh thường lúng túng gặp thể tích khối chóp “nhỏ” khối chóp đã cho và đó xác định đa giác đáy và đường cao thường bị sai (8) Trong số bài toán thì việc dùng “tỷ số thể tích “ có nhiều thuận lợi Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC =4, BD = 2, AC cắt BD O và SO (ABCD), SO = √ Giả sử M là trung điểm SC, mặt phẳng (ABM) cắt SD N Tính thể tích khối chóp S.ABMN Bài giải S Cách 1: N (ABM) (SCD) = MN M A ⇒MN // CD ⇒ N là trung điểm SD D 1 VSABCD = SABCD.SO = AC.BD.SO = O B Ta có AB // CD (gt) C √ 2= √ V SABM SM = = V SABC SC ⇒ VSABN = V SBMN SM SN 1 = = = V SBCD SC SD 2 SSABC = 2 √2 = 1 8√2 √2 ⇒ VSBMN = SSBCD = = ⇒VSABMN = VSABN + VSBMN = √ z Cách 2: Sử dụng phương pháp tọa độ S Chọn hệ tọa độ Oxyz có tia Ox ≡ tia OA, M tia Oy ≡ OB, tia Oz ≡ OS Dễ thấyA(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; √ ), N D C C(-2; 0; 0), D(0; -1; 0), M(-1; 0; √ ) O Do (ABM) ∩ (SCD) = MN y AB // CD ⇒MN//CD ⇒N là trung điểm SD ⇒N(0; - ; √ ) B A x (9) ⃗ SA = (2; 0; -2 √ ); ;2 = (-1; 0; - √ ); ⃗ SB = (0; 1; -2 √ ); ⃗ SN = (0; - ⃗ SM √2 ) SA , ⃗ SM ] = (0; √ ; 0) [ ⃗ VSABM = √2 SA , ⃗ SM ].SB = [ ⃗ √2 SA , ⃗ SM ].SN = [ ⃗ VSAMN = Vậy: V SABMN = VSABM + VSAMN = √2 * Bài tập đề nghị Bài toán1.6 (Mở rộng bài toán 1.3) Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ Giả sử M, N, P chia các cạnh AA’, BB’, CC’ theo tỉ số k 1, k2, k3 Khi đó khối hộp chia thành hai phần Tính tỉ lệ thể tích hai phần đó Bài toán1.7 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ Giả sử M, N, P chia các cạnh AA’, BB’, CC’ theo tỉ số k1, k2, k3 Khi đó lăng trụ chia thành hai phần Tính tỉ lệ thể tích hai phần đó Bài toán1.8 Cho khối S.ABCD Giả sử các điểm M, N, P thuộc các cạnh SA, SB, SC và chia các cạnh đó theo tỉ số k 1, k2, k3 Khi đó khối chóp S.ABCD chia thành hai phần Tìm tỉ số thể tích hai phần đó IV Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Qua quá trình nghiên cứu và vận dụng các phương pháp tính thể tích khối đa diện, chất lượng hiểu bài toán và khả khái quát bài toán HS lớp 12 năm học 2011 – 2012 sau: Tổng số HS Số HS hiểu rõ Số HS hiểu bài toán bài mức độ mức độ vận dụng sáng tạo Số Tỉ lệ 38 Đầu năm Số HS hiểu chậm, trả lời chậm Số HS không biết gì, không trả lời câu hỏi GV Số Tỉ lệ Số Tỉ lệ Số Tỉ lệ lượng (%) lượng (%) lượng (%) lượng (%) 15,8 11 28,9 13 34,2 21,1 (10) Cuối học kì I Cuối học 21 55,3 18,4 15,8 10,5 kì II Phần kết luận I Những bài học kinh nghiệm Trong quá trình giảng dạy, GV kết hợp phương pháp truyền thống và đại, phương pháp và hình thức tích cực hoá hoạt động HS GV quá trình dạy học phải luôn tìm tòi, vận dụng linh hoạt sáng tạo các biện pháp phát huy tính tích cực học tập HS Đồng thời kết hợp nhiều hình thức dạy học phát huy tính tích cực HS nhằm giúp cho học sinh tự khái quát bài toán II Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm Khả hiểu sâu và biết khái quát bài toán là yếu quan trọng hình thành vá phát triển tư toán học học sinh III Khả ứng dụng, triển khai Với kết nghiên cứu đề tài này, tôi hy vọng giúp cho GV lớp 12 và sinh viên Trung học trường hiểu rõ việc dạy học Từ đó có cách dạy học cách có hiệu IV Những kiến nghị, đề xuất Qua việc khái quát bài toán giúp cho HS nhớ bài lâu hơn, kích thích hứng thú học tập các em Đây là điểm GV cần lưu ý Từ chủ đề mở rộng tư toán học thông qua bài toán trên GV xác định nội dung chủ đề đó là gì? đề cập đến vấn đề gì? nội dung giáo dục cho HS là gì? Sau đó hướng dẫn HS theo định hướng Sự thành công tiết dạy phụ thuộc nhiều vào người GV vì đây là hình thức học sinh Ba Tri, ngày ……tháng……năm 2012 Người viết (11) Nguyễn Văn Tâm (12)