Đang tải... (xem toàn văn)
Viết phương trình mặt phẳng P đi qua điểm M song song với đường thẳng D đồng thời khoảng cách giữa đường thẳng D và mặt phẳng P bằng 4.. Thí sinh không được sử dụng tài liệu.[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề SỞ GD & ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT QUẢNGXƯƠNG PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm): Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y = 2x - (C) x +1 Khảo sát biến thiên và xẽ đồ thị hàm số (C) Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) điểm phân biệt A, B cho AB = Câu II: (2 điểm) Giải phương trình: cos x cos x + sin x = cos x , (x Î R) ìï x + y + x - y = y Giải hệ phương trình: í (x, yÎ R) îï x + y = Câu III: (1 điểm) Tính tích phân sau: òe x +1 dx Câu IV: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC = 3a , BD = 2a và cắt O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) a , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a x3 + y3 ) - ( x2 + y2 ) ( Câu V: (1 điểm) Cho x,y Î R và x, y > Tìm giá trị nhỏ P = ( x - 1)( y - 1) Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) PHẦN RIÊNG (3 điểm) : Thí sinh làm hai phần ( phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 2x 2my + m2 24 = có tâm I và đường thẳng D: mx + 4y = Tìm m biết đường thẳng D cắt đường tròn (C) hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn diện tích tam giác IAB 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: x + y -1 z -1 = = ; -1 d2: x -1 y - z +1 = = và mặt phẳng (P): x y 2z + = Viết phương trình chính tắc đường 1 thẳng D, biết D nằm trên mặt phẳng (P) và D cắt hai đường thẳng d1 , d2 log2 x Câu VII.a (1 điểm) Giải bất phương trình 2 + x 2log2 x - 20 £ B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: x y = 0, phương trình cạnh AC: x + 2y = Biết trọng tâm tam giác G(3; 2) Viết phương trình cạnh BC Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D : x -1 y - z = = và điểm 1 M(0 ; ; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M song song với đường thẳng D đồng thời khoảng cách đường thẳng D và mặt phẳng (P) Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình nghiệm phức : z + 25 = - 6i z … Hết … Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Cảm ơn từ trongxuanht@gmail.com gửi đến www.laisac.pge.tl (2) ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM: 20112012 CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Tập xác định D = R\{ 1} Sự biến thiên: Chiều biến thiên: y ' = > 0, "x Î D ( x + 1)2 0,25 Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ¥; 1) và ( ; + ¥) Cực trị: Hàm số không có cực trị Giới hạn vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận: 2x - 2x - lim = ; lim = Đường thẳng y = là tiệm cận ngang x ®-¥ x + x ®+¥ x + 2x - 2x - lim = +¥ ; lim = -¥ Đường thẳng x = là tiệm cận đứng x ®-1 x ®-1 x +1 x +1 Bảng biến thiên: x ¥ 1 +¥ y’ + + +¥ - I1 (1 điểm) 0,25 + 0,25 y ¥ Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm (1;0) Đồ thị hàm số cắt trục Oy điểm (0; 2) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận I( 1; 2) y 1 y=2 0,25 O x 2 I2 (1 điểm) II1 (1 điểm) x= 1 * Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận I(2; 1) làm tâm đối xứng Phương trình hoành độ giao điểm: 2x2 + mx + m + = , (x≠ 1) (1) d cắt (C) điểm phân biệt Û PT(1) có nghiệm phân biệt khác 1 Û m2 8m 16 > (2) Gọi A(x1; 2x1 + m) , B(x2; 2x2 + m Ta có x1, x2 là nghiệm PT(1) m ì ïï x1 + x2 = - Theo ĐL Viét ta có í ï x1 x2 = m + ïî 0,25 0,25 0,25 AB2 = Û ( x1 - x2 ) + 4( x1 - x2 ) = Û ( x1 + x2 ) - x1 x2 = Û m2 8m 20 = Û m = 10 , m = ( Thỏa mãn (2)) KL: m = 10, m = 0,25 PT Û cos2x + cos8x + sinx = cos8x Û 1 2sin2x + sinx = 0,25 0,25 (3) Û sinx = v sin x = Û x= p + k 2p ; x = - p 0,25 + k 2p ; x = ĐK: x + y ³ , x y ³ 0, y ³ II2 (1 điểm) 7p + k 2p , ( k Î Z ) 0,25 0,25 ì y - x ³ (3) PT(1) Û x + x - y = y Û x - y = y - x Û í î5 y = xy (4) Từ PT(4) Û y = v 5y = 4x Với y = vào PT(2) ta có x = (Không thỏa mãn đk (3)) Với 5y = 4x vào PT(2) ta có x + x = Û x = æ 4ö KL: HPT có nghiệm ( x; y ) = ç 1; ÷ è 5ø 0,25 0,25 0,25 Tính: I= ò e x +1 dx Đặt III (1 điểm) 3x + = t ; t ³ ® x + = t ® dx = Vậy I= ò tet dt 31 Đặt ìx = ® t = t.dt ; í îx = ® t = u = t ® du = dt dv = et dt ® v = et 0,25 0,5 2 Ta có I = (tet - ò et dt ) = e 3 0,25 Từ giả thiết AC = 2a ; BD = 2a và AC ,BD vuông góc với trung điểm O · đường chéo.Ta có tam giác ABO vuông O và AO = a ; BO = a , đó A BD = 600 IV (1 điểm) V (1 điểm) Hay tam giác ABD Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến chúng là SO ^ (ABCD) Do tam giác ABD nên với H là trung điểm AB, K là trung điểm HB ta có a DH ^ AB và DH = a ; OK // DH và OK = DH = Þ OK ^ AB Þ AB ^ (SOK) 2 Gọi I là hình chiếu O lên SK ta có OI ^ SK; AB ^ OI Þ OI ^ (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) 1 a Tam giác SOK vuông O, OI là đường cao Þ = + Þ SO = 2 OI OK SO 2 S Diện tích đáy S ABC D = 4S DABO = 2.OA.OB = 3a ; a đường cao hình chóp SO = Thể tích khối chóp S.ABCD: 3a I VS ABCD = S ABC D SO = D 3 A 3a O H a K C B Đặt t = x + y ; t > Áp dụng BĐT 4xy £ (x + y)2 ta có xy £ t2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (4) P= t - t - xy (3t - 2) t2 Do 3t > và - xy ³ - nên ta có xy - t + t (3t - 2) t2 P³ = t2 t-2 - t +1 t2 t - 4t Xét hàm số f (t ) = ; f '(t ) = ; f’(t) = Û t = v t = t-2 (t - 2)2 0,25 t3 - t - t f’(t) +¥ + +¥ 0,25 +¥ f(t) ìx + y = ìx = Ûí î xy = îy = VI.a 1 (1 điểm) Do đó P = f (t ) = f(4) = đạt í ( 2; +¥ ) 0,25 Đường tròn (C) có tâm I(1; m), bán kính R = Gọi H là trung điểm dây cung AB Ta có IH là đường cao tam giác IAB | m + 4m | | 5m | IH = d ( I , D) = = m + 16 m + 16 0,25 AH = IA2 - IH = 25 - (5m ) = m + 16 Diện tích tam giác IAB là S DIAB I A 20 m + 16 = 12 Û 2S DIAH = 12 é m = ±3 Û d ( I , D ) AH = 12 Û 25 | m |= 3( m + 16) Û ê 16 êm = ± ë Gọi A = d1Ç(P) suy A(1; ; 2) ; B = d2 Ç (P) suy B(2; 3; 1) VI.a 2 (1 điểm) Đường thẳng D thỏa mãn bài toán qua A và B r Một vectơ phương đường thẳng D là u = (1; 3; -1) x -1 y z - Phương trình chính tắc đường thẳng D là: = = -1 Điều kiện: x> ; BPT Û 24 log2 x + x 2log x - 20 £ D H 0,25 B 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 t Đặt t = log x Khi đó x = VII.a (1 điểm) 2 BPT trở thành 42 t + 22 t - 20 £ Đặt y = 22 t ; y ³ BPT trở thành y2 + y 20 £ Û £ y £ Đối chiếu điều kiện ta có : 2 t £ Û 2t £ Û t £ Û £ t £ 0,25 0,25 Do đó £ log x £ Û £x£2 0,25 (5) VI.b (1 điểm) VI.b2 (1 điểm) ìx y = Tọa độ điểm A là nghiệm HPT: í Û A(3; 1) îx + y = 0,25 Gọi B(b; b 2) Î AB, C(5 2c; c) Î AC 0,25 ì + b + - 2c = ìb = Do G là trọng tâm tam giác ABC nên í Û í Hay B(5; 3), C(1; 2) î1 + b - + c = îc = r uuur Một vectơ phương cạnh BC là u = BC = ( -4; -1) Phương trình cạnh BC là: x 4y + = r Giả sử n ( a; b; c ) là vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) Phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + 2b = r Đường thẳng D qua điểm A(1; 3; 0) và có vectơ phương u = (1;1; 4) rr ì n.u = a + b + c = (1) ì D / /( P ) ï Từ giả thiết ta có í Û í | a + 5b | =4 (2) î d ( A; ( P )) = ï 2 î a +b +c Thế b = a 4c vào (2) ta có (a + 5c )2 = (2a + 17c + 8ac ) Û a 2ac - 8c = a a Û =4 v = -2 c c a Với = chọn a = 4, c = Þ b = Phương trình mặt phẳng (P): 4x 8y + z 16 = c a Với = -2 chọn a = 2, c = Þ b = Phương trình mặt phẳng (P): 2x + 2y z + = c Giả sử z = a +bi với ; a,b Î R và a,b không đồng thời Khi đó z = a - bi ; VII.b (1 điểm) 1 a - bi = = z a + bi a + b 25 25( a - bi ) = - 6i Û a - bi + = - 6i z a + b2 ìï a (a + b + 25) = 8( a + b2 ) (1) Û í Lấy (1) chia (2) theo vế ta có b = a vào (1) 2 ïîb( a + b + 25) = 6(a + b ) (2) Ta có a = v a = Với a = Þ b = ( Loại) Với a = Þ b = Ta có số phức z = + 3i Khi đó phương trình z + 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (6)