Đang tải... (xem toàn văn)
Hàm nhiều biến và cực trị của hàm
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - Phạm Thị Thu Trang HÀM NHIỀU BIẾN VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TỐN HỌC Thái Ngun - 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - Phạm Thị Thu Trang HÀM NHIỀU BIẾN VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS – TS Trần Vũ Thiệu Thái Nguyên - 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - Phạm Thị Thu Trang HÀM NHIỀU BIẾN VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Nguyên - 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Người hướng dẫn khoa học : GS.TS Trần Vũ Thiệu Phản biện 1: PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU Phản biện : GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Ngun Ngày tháng 11 năm 2009 Có thể tìm hiểu luận văn thư viện TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÁI NGUYÊN Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập hợp lồi RN 1.2 Quan hệ hàm số 1.3 Tô pô RN 10 1.4 Tính liên tục 17 1.5 Định lí tồn 20 Chương 2: HÀM GIÁ TRỊ THỰC 23 2.1 Hàm số thực tập có liên quan 23 2.2 Một số hàm thông dụng 26 2.2.1 Hàm lồi hàm tựa lồi 27 2.2.2 Hàm lõm hàm tựa lõm 29 2.3 Vi phân hàm số 30 2.3.1 Hàm biến 31 2.3.2 Hàm nhiều biến 32 2.3.3 Hàm 36 Chương 3: BÀI TOÁN TỐI ƢU 40 3.1 Cực trị hàm số 40 3.2 Tối ưu khơng ràng buộc 41 3.3 Tối ưu có ràng buộc 48 3.3.1 Ràng buộc đẳng thức 49 3.3.2 Ràng buộc không âm 59 3.3.3 Điều kiện Karush- Kuhn- Tucker 61 KẾT LUẬN 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO 67 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn LỜI NĨI ĐẦU Tốn học nói chung tốn giải tích nói riêng có ứng dụng đa dạng nhiều ngành khoa học khác nhau, đặc biệt khoa học kinh tế Các nghiên cứu phân tích kinh tế mặt định lượng thường tiến hành thơng qua mơ hình kinh tế tốn (dùng tốn học để mơ tả, phân tích mối quan hệ, trình hay đối tượng kinh tế) Vì nhà nghiên cứu kinh tế ngày có nhu cầu sử dụng nhiều cơng cụ tốn học, đặc biệt cơng cụ giải tích (như hàm số, đạo hàm, vi phân) phương pháp tối ưu hoá Đề tài luận văn đề cập tới kiến thức tốn giải tích tối ưu hố cần dùng kinh tế Việc tìm hiểu kiến thức hoàn toàn cần thiết hữu ích, giúp hiểu sâu cơng cụ tốn giải tích, tối ưu hố vận dụng tốt thực tiễn giảng dạy toán cho đối tượng kinh tế Mục tiêu luận văn tìm hiểu trình bày khái qt kiến thức tốn học cần dùng nghiên cứu kinh tế, đặc biệt nghiên cứu lý thuyết kinh tế vi mô (micro-economic theory) Các nội dung đề cập tới luận văn trình bày khơng q hình thức mà gần gũi với tư kinh tế, với nhiều ví dụ minh hoạ cụ thể có giải thích ý nghĩa kinh tế có thể, giữ tính xác, chặt chẽ mặt tốn học Nội dung luận văn chia thành ba chương: Chương “Kiến thức chuẩn bị” giới thiệu tóm tắt số khái niệm tập hợp ánh xạ, quan hệ hàm số: tập mở, tập đóng, tập compact Rn; cận (cận dưới) tập hợp số thực; tính liên tục ánh xạ, mối quan hệ tính liên tục với ảnh ngược tập mở (đóng), ảnh liên tục tập compact; định lý Weierstrass tồn giá trị cực trị hàm liên tục tập compact; tập lồi tính chất, định lý Minkowski tách tập lồi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Chương “Hàm giá trị thực” đề cập tới hàm số thực thường gặp kinh tế số tập có liên quan mật thiết với hàm: đồ thị, tập mức, tập mức trên, tập mức Xét tính tăng (giảm), tính lồi (lõm), tính lồi chặt (lõm chặt), độ dốc, độ cong mối liên hệ với tập mức, với đạo hàm vi phân hàm số, hàm tính chất Chương “Bài tốn tối ƣu” trình bày khái quát vấn đề cực trị hàm số: cực trị địa phương cực trị toàn cục, cực trị tự cực trị có điều kiện, điều kiện cần, điều kiện đủ cực trị (cấp cấp 2) Tính điểm cực tiểu (cực đại) liên quan với tính lồi (lõm) chặt hàm Cực trị với ràng buộc đẳng thức (phương pháp Lagrange), với ràng buộc không âm tổng quát với ràng buộc bất đẳng thức (điều kiện Karush-Kuhn-Tucker (điều kiện KKT) Do thời gian có hạn nên luận văn dừng lại việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày nội dung theo chủ đề đặt Trong trình viết luận văn xử lý văn chắn khơng tránh khỏi có sai sót định Tác giả luận văn mong nhận góp ý thầy bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn GS-TS Trần Vũ Thiệu tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn thày, cô Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên Viện Toán học giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng 9/2009 Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương đề cập tới số khái niệm giải tích liên quan tới hàm cực trị hàm Nội dung chương dựa chủ yếu nguồn tài liệu [2], [3], [4] 1.1 TẬP LỒI TRONG ℝn (Convex sets in ℝn) Tập số thực biểu thị ký hiệu đặc biệt ℝ định nghĩa sau ℝ {x | - < x < + } Nếu ta xây dựng tích hai tập hợp ℝ ℝ {(x1, x2) | x1 ℝ, x2 ℝ } điểm thuộc tập (cặp hai số thực bất kỳ) đồng với điểm mặt phẳng Descarte vẽ Hình 1.1 Tập ℝ ℝ gọi “không gian Euclid hai chiều” ký hiệu ngắn gọn ℝ2 + x2 0 x0 = (x , x ) - x2 x1 x1 + - Hình 1.1 Mặt phẳng Descarte ℝ2 Tổng quát, véctơ n- chiều cặp có thứ tự n số (x1, x2, … , xn) xem “điểm” không gian Euclid n - chiều hay “n - không gian” Cũng trước, n - khơng gian định nghĩa tích n tập hợp ℝn ℝ ℝ … ℝ {(x1, x2, … , xn) | xi ℝ, i = 1, 2, … , n} n lần Ta thường ký hiệu véctơ (hay điểm) ℝn chữ in đậm Ví dụ, x {x1, x2, … , xn} Đôi ta muốn thu hẹp ý vào tập ℝn, gọi “góc khơng âm” ký hiệu ℝ n , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ℝ n {(x1, x2, …, xn) | xi 0, i = 1, 2, … , n} ℝn Ta qui ước viết x để véctơ ℝ n mà thành phần xi lớn hay dùng ký hiệu x > để véctơ mà thành phần thực dương Tổng quát, với x, y ℝn, ta viết x y xi yi, i = 1, … , n, x > y xi > yi, i = 1, … , n Định nghĩa 1.1 Tập hợp lồi ℝn Tập S ℝn gọi lồi với x1 S x2 S ta có tx1 + (1 – t)x2 S t khoảng t Như tập hợp lồi chứa hai điểm chứa tất điểm trung bình theo trọng số (tổng trọng số 1) hai điểm Các ví dụ tập lồi tập khơng lồi vẽ Hình 1.2 Các tập hợp lồi có hình dáng đẹp: khơng có hố, khơng nứt gẫy, khơng bị cong queo biên Các tập hợp lồi Các tập hợp khơng lồi Hình 1.2 Các tập lồi tập khơng lồi ℝ2 Ta ý tới tính chất đơn giản quan trọng tập lồi Định lý 1.1 Giao tập lồi lồi Giả sử S T tập lồi ℝn Khi đó, S T tập lồi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Giả sử S T hai tập hợp lồi x1, x2 hai điểm thuộc S T Do x1 S T nên x1 S x1 T Cũng cậy, x2 S T nên x2 S x2 T Cho z = tx1 + (1 – t)x2 với t [0, 1] tổ hợp lồi x1 x2 Do S tập lồi nên z S T tập lồi nên z T Vì z S z T nên z S T Do tổ hợp lồi hai điểm thuộc S T thuộc S T nên S T tập hợp lồi 1.2 QUAN HỆ VÀ HÀM SỐ(Relations and Functions) Ta thấy cặp có thứ tự (s, t) tuỳ ý đặt tương ứng phần tử s S với phần tử t T Các phần tử S T không thiết số mà đối tượng (người, vật hay đồ vật, …) Ta nói họ hay tập tuỳ ý cặp có thứ tự quan hệ nhị nguyên (binary relation) hai tập S T Như vậy, quan hệ nhị nguyên tập hợp tích hai tập, phần tử đầu cặp thuộc S phần tử sau thuộc T Thông thường, họ cặp thiết lập hai phần tử cặp có mối quan hệ ý nghĩa Chẳng hạn, S tập thành phố {Hà Nội, Wasington, London, Paris, Marseilles, Huế} T tập nước {Việt Nam, Hoa Kỳ, Anh, Pháp, Đức} Cụm từ “là thủ của” xác định nên quan hệ mà tập tập tích S T, bao gồm cặp {(Hà Nội, Việt Nam), (Wasington, Hoa Kỳ), (London, Anh), (Paris, Pháp)} Ta thường đặt ký hiệu chung để quan hệ, thay cho thân quan hệ cụm từ “là thủ của” Ký hiệu R để cụm từ “có quan hệ ý nghĩa với” Ta nói R xác định quan hệ đọc xRy “x có quan hệ với y” Để phân biệt tập tất cặp có quan hệ cụm từ R với thân phát biểu R đó, ta đặt ký hiệu xác định quan hệ hai dấu nháy kép Như vậy, định nghĩa tổng quát quan hệ cho “R” {(s, t) | s S, t T sR t} S T Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ... với tập mức, với đạo hàm vi phân hàm số, hàm tính chất Chương “Bài tốn tối ƣu” trình bày khái quát vấn đề cực trị hàm số: cực trị địa phương cực trị toàn cục, cực trị tự cực trị có điều kiện, điều... lồi hàm tựa lồi 27 2.2.2 Hàm lõm hàm tựa lõm 29 2.3 Vi phân hàm số 30 2.3.1 Hàm biến 31 2.3.2 Hàm nhiều biến 32 2.3.3 Hàm 36 Chương 3: BÀI TOÁN TỐI ƢU 40 3.1 Cực trị hàm số 40 3.2 Tối ưu khơng...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - Phạm Thị Thu Trang HÀM NHIỀU BIẾN VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng
