Phan Lễ Hải – 12 Toán - Sơn Tây Chúc thành công! 1 MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỔ HỢP Bài giải Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có: (1) Thay x=1 vào (1) ta được: Vì (2) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho (n-1) số dương, ta có: (3) Từ (2) và (3) suy ra: (4) Dấu “=” xảy ra ( trái gt) Suy ra dấu “=” ở (4) không xảy ra. Suy ra đpcm. Bài giải Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có: (1) Thay x = i và n = 2009 vào (1) ta được: (2) Mặt khác, theo công thức Moavrơ: (3) Từ (2) và (3) suy ra 0 1 2 -1 1 . 2 - 2 n n n n n n n n C C C C C       -1 1 2 -1 0 1 2 -1 1 2 -1 . . . . . . -1 n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C n            -1 0 1 2 -1 2 2 . . . . -1 n n n n n n n n n C C C C C n         1 2 -1 . 1 n n n n C C C n      Bài 1 Bài 2 0 1 2 2 3 3 4 4 -1 -1 (1 ) . n n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C x C x C x         0 1 2 2 3 3 4 4 -1 -1 (1 ) . n n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C x C x C x         2009 0 1 2 2 3 3 4 4 2008 2008 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 (1 ) .i C C i C i C i C i C i C i         2009 0 2 4 2008 1 3 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 (1 ) ( - ) - ( - . )i C C C C i C C C        2009 2009 2009 1 1 (1 ) 2( ) 2(cos sin ) 4 4 2 2 i i i                    2009 2009 1004 1004 1004 1004 2009 2009 (1 ) ( 2) (cos sin ) 4 4 2 2 (cos sin ) 2 (1 ) 2 2 4 4 i i i i i               1004 2S  0 1 2 3 4 -1 . 2 n n n n n n n n n n C C C C C C C        Phan Lễ Hải – 12 Toán - Sơn Tây Chúc thành công! 2 Bài giải Với n chẵn, ta có Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có: (1) Thay x = vào (1) ta được: (2) Mặt khác: (3) Từ (2) và (3) suy ra (đpcm) Bài giải Đặt S = Với , ta có: (*) Ta xét 2 trường hợp: +) Nếu n chẵn, giả sử n = 2m; khi đó Bài 3   2 2 2 ( 1) n n n i i   0 1 2 2 3 3 4 4 -1 -1 (1 ) . n n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C x C x C x         0 1 2 2 3 3 4 4 -1 -1 (1 tan ) tan ( tan ) ( tan ) ( tan ) . ( tan ) ( tan ) n n n n n n n n n n n n i x C C i x C i x C i x C i x C i x C i x          0 1 2 2 3 3 4 4 -1 -1 2 2 (1 tan ) tan tan tan tan .-(-1) tan (-1) tan ) n n n n n n n n n n n n n n i x C C i x C x C i x C x C i x C x          0 2 2 4 4 2 1 3 3 -1 -1 2 (1 tan ) ( tan tan (-1) tan ) ( tan tan -(-1) tan ) n n n n n n n n n n n n n n i x C C x C x C x i C x C x C x           tani x 1 1 (1 tan ) (cos sin ) (cos sin ) cos cos 1 (1 tan ) (cos sin ) cos n n n n n n i x x i x x i x x x i x nx i nx x               n 0 2 2 4 4 n n 2 n n n n C C tan +C tan +(-1) C tanx x x  n cos cos nx x  Bài 4 0 1 2 -1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 2 - 4 2 - 2( -1) 2 -2 2 -2( 1) 2 - 4 . m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m S C C C C C C C            - -2 - 2( - ) - 2 2 - 0 k n k k k n n n n n k n n k n k k n C C C C     0 k n  Phan Lễ Hải – 12 Toán - Sơn Tây Chúc thành công! 3 (1) Từ (*) và (1) suy ra S = 0. +) Nếu n lẻ, giả sử n = 2m+1; khi đó (2) Từ (*) và (2) suy ra S = 0 Vậy S = 0 với mọi n. Bài giải Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có: (1) Nhân 2 vế của đẳng thức (1) cho x 0, ta được: (2) Lấy đạo hàm 2 vế của (2), ta có: (3) Từ (3) thay x=2, ta có: Vậy 0 2 1 2 -1 -1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 -4 2 -2 2 -2(2 -1) 2 -2( -1) 2 - 2( 1) 2 -2 ( ) ( ) . ( ) m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m S C C C C C C C            0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1- 2 2 1-4 2 1- 2 2 1- 2( 1) 2 1- 2(2 1) . m m m m m m m m m m m m m m m m m m S C C C C C C                         0 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1-2(2 1) 2 1-2 2 1- 2(2 1) ( ) ( ) 2 1- 2 2 1- 2( 1) . ( ) m m m m m m m m m m m m m m m m S C C C C m m m m C C                           Bài 5 0 1 2 2 3 3 -1 -1 (1 ) . n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C x C x        0 1 2 2 3 3 4 -1 1 (1 ) . n n n n n n n n n n n x x C x C x C x C x C x C x          1 0 1 2 2 3 3 -1 1 (1 ) (1 ) 2 3 4 . ( 1) n n n n n n n n n n n n xn x x C C x C x C x nC x n C x              1 0 1 2 2 3 3 -1 1 (1 ) ( 1) 2 3 4 ( 1) n n n n n n n n n n n x nx x C C x C x C x nC x n C x               0 2 1 2 2 3 3 1 -1 1 2 3.2 2 .4 . .2 ( 1).2 (1 2) (2 2 1) n n n n n n n n n n n C C C C n C n C n              0 2 1 2 2 3 3 1 -1 1 2 3.2 2 .4 . .2 ( 1).2 (2 3).3 n n n n n n n n n n n S C C C C n C n C n              1 (2 3).3 n S n    Phan Lễ Hải – 12 Toán - Sơn Tây Chúc thành công! 4 BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài giải (1) (2) Từ (1) và (2) suy ra: (3) Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta có: (4) (5) Nhân vế tương ứng các BĐT cùng chiều (3), (4), (5), suy ra: Dấu “=” xảy ra đều Bài giải Tam giác ABC vuông tại C (đpcm) Bài 1 - 0< , < 0 cos 1 4 4 4 4 B C B C Vì B C B C                      0 2 0 sin sin 0 4 2 4 4 B C A B C Do B C                           1 1 sin sin .cos sin .cos sin sin 4 4 4 4 4 2 2 2 2 A A B C B C B C B C                                           sin ,sin 0 sin sin 2 sin .sin 2 2 2 2 2 2 B C B C B C Do     sin sin .sin 4 2 2 A B C          sin sin .sin 4 2 2 C A B          sin sin .sin 4 2 2 B A C          sin sin sin sin .sin .sin 4 4 4 2 2 2 A B C A B C                          sin sin sin 2 2 2 - - - cos cos cos 1 4 4 4 A B C A B C                           6 A B C ABC là tam giác      V  Bài 2   2 2009 0, sin (0,1] sin sinVì C C C C       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 sin sin sin ( ) 4 4 - cos 0 2 A B C a b c a b c R R a b c C ab                2 2 1 cos2 1 cos2 1 sin sin 1 cos2 cos2 2 2 2 1 cos( ).cos( - ) 1 cos .cos( - ) 1 ( osC 0,cos( - ) 0) A B A B A B A B A B C A B Do c A B                 2009 sin 1 sin 1 sin 1 2 C C C C           , (0; ) - os( - ) 0 2 2 2 Vì A B A B c A B           Phan Lễ Hải – 12 Toán - Sơn Tây Chúc thành công! 5 . Phan Lễ Hải – 12 Toán - Sơn Tây Chúc thành công! 1 MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỔ HỢP Bài giải Theo công thức khai triển nhị thức. (3) Từ (2) và (3) suy ra (đpcm) Bài giải Đặt S = Với , ta có: (*) Ta xét 2 trường hợp: +) Nếu n chẵn, giả sử n = 2m; khi đó Bài 3   2 2 2 ( 1) n n n i i