Đang tải... (xem toàn văn)
Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 9, tính thể tích V của khối chóp có thể tích lớn nhất.... Khối cầu ngoại tiếp khối đa diện.[r]
(1)ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 Chương Tổ hợp Xác suất Nhị thức Newton §1 Hoán vị-chỉnh hợp-tổ hợp Bài toán sử dụng P C A Câu Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau? A C27 B 27 C 72 D A27 Lời giải Chọn đáp án D Câu Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ nhóm gồm 34 học sinh? A 234 C 342 B A234 D C234 Lời giải Mỗi cách chọn hai học sinh từ nhóm gồm 34 học sinh là tổ hợp chập 34 phần tử nên số cách chọn là C234 Chọn đáp án D Câu Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, lập bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau? A 28 C A28 B C82 D 82 Lời giải Chọn đáp án C Câu Cho tập hợp M có 10 phần tử Số tập gồm phần tử M là A A810 B A210 C C10 D 102 Lời giải Số tập gồm phần tử M là C10 Chọn đáp án C §2 Nhị thức Newton Tìm hệ số, số hạng khai triển nhị thức Newton Câu Hệ số x5 khai triển x(2x − 1)6 + (x − 3)8 A −1272 C −1752 B 1272 D 1752 Lời giải Chọn đáp án A Câu Hệ số x5 khai triển nhị thức x(2x − 1)6 + (3x − 1)8 A −13368 C −13848 B 13368 Lời giải D 13848 (2) Chương Tổ hợp Xác suất Nhị thức Newton Ta có x(2x − 1)6 + (3x − 1)8 = x =x X k=0 X Ck6 (2x)k (−1)6−k + Ck6 (2x)k (−1)6−k + k=0 Suy hệ số x khai triển nhị thức là: X l=0 X Cl8 (3x)l (−1)8−l Cl8 (3x)l (−1)8−l l=0 4 C6 (−1)6−4 + C58 35 (−1)6−5 = −13368 Chọn đáp án A Câu Hệ số x5 khai triển biểu thức x(x − 2)6 + (3x − 1)8 A 13548 B 13668 C −13668 D −13548 Lời giải Chọn đáp án D Câu Với n là sốÇnghuyên ådương thỏa mãn Cn1 + Cn2 = 55, số hạng không chứa x khai n triển biểu thức x3 + x A 322560 B 3360 C 80640 D 13440 Lời giải Điều kiện: n ∈ N ∗ ; n ≥ Theo đề bài ta có: Cn1 + Cn2 = 55 n! n! n (n − 1)! n (n − 1) (n − 2)! ⇔ + = 55 ⇔ + = 55 1! (n − 1)! 2! (n − 2)! (n − 1)! (n − 2)! n = 10 (tm) ⇔ 2n + n (n − 1) = 110 ⇔ n2 + n − 110 = ⇔ n = −11 (ktm) Ç å10 10 10 Ä ä10−k X X k 3k 10−k k 10−k 5k−20 = C10 x x−2 = C10 x Ta có khai triển: x3 + x k=0 k=0 Để có hệ số không chứa x thì: 5k − 20 = ⇔ k = Hệ số không chứa x là: C10 26 = 13440 Chọn đáp án D §3 Xác suất biến cố Tính xác suất định nghĩa Câu Từ hộp chứa cầu màu đỏ và cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời cầu Xác suất để lấy cầu màu xanh 12 24 A B C 65 21 91 Lời giải 91 Chọn đáp án D D 91 Câu 10 Từ hộp chứa 11 cầu đỏ và cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời cầu Xác suất để lấy cầu màu xanh bằng: 24 A B C 455 455 165 Lời giải Số phần tử không gian mẫu: n (Ω) = C315 = 455 (phần tử) Gọi A là biến cố: “lấy cầu màu xanh” D 33 91 (3) Xác suất biến cố Khi đó, n(A) = C34 = (phần tử) n(A) Xác suất P(A) = = n (Ω) 455 Chọn đáp án A Câu 11 Từ hộp chứa 10 cầu màu đỏ và cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời cầu Xác suất để lấy cầu màu xanh 12 B C A 91 91 12 Lời giải D 24 91 Chọn đáp án A Câu 12 Một hộp chứa 11 cầu gồm cầu màu xanh và cầu màu đỏ Chọn ngẫu nhiên đồng thời cầu từ hộp đó Xác suất để cầu chọn cùng màu B C D A 22 11 11 11 Lời giải Chọn ngẫu nhiên cầu từ 11 cầu nên ta có: nΩ = C11 = 55 Gọi biến cố A: “Chọn hai cầu cùng màu” ⇒ nA = C52 + C62 = 25 ⇒ P (A) = 25 = 55 11 Chọn đáp án C nA = nΩ Câu 13 Ba bạn A, B, C bạn viết ngẫu nhiên lên bảng số tự nhiên thuộc đoạn [1; 17] Xác suất để ba số viết có tổng chia hết cho 1728 1079 23 A B C 4913 4913 68 Lời giải D 1637 4913 Không gian mẫu có số phần tử là 173 = 4913 Lấy số tự nhiên từ đến 17 ta có các nhóm số sau: *) Số chia hết cho 3: có số thuộc tập {3; 6; 9; 12; 15} *) Số chia cho dư 1: có số thuộc tập {1; 4; 7; 10; 13; 16} *) Số chia cho dư 2: có số thuộc tập {2; 5; 8; 11; 14; 17} Ba bạn A, B, C bạn viết ngẫu nhiên lên bảng số tự nhiên thuộc đoạn [1; 17] thỏa mãn ba số đó có tổng chia hết cho thì các khả xảy sau: ·TH1: Ba số chia hết cho có 53 = 125 cách ·TH2: Ba số chia cho dư có 63 = 216 cách ·TH3: Ba số chia cho dư có 63 = 216 cách ·TH4: Một số chia hết cho 3, số chia cho dư 1, chia cho dư có 5.6.6.3! = 1080 cách 125 + 216 + 216 + 1080 1637 Vậy xác suất cần tìm là = 4913 4913 Chọn đáp án D Câu 14 Ba bạn A, B, C bạn viết ngẫu nhiên lên bảng số tự nhiên thuộc đoạn [1; 16] Xác suất để ba số viết có tổng chia hết cho 683 1457 19 A B C 2048 4096 56 D 77 512 (4) Chương Tổ hợp Xác suất Nhị thức Newton Lời giải Chọn đáp án A Câu 15 Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm hoc sinh lớp 122A, học sinh lớp 12B và học sinh lớp 12C thành hàng ngang Xác suất để 10 học sinh trên không có học sinh cùng lớp đứng cạnh 11 A 630 Lời giải B 126 C 105 D 42 Kí hiệu học sinh lớp 12A, 12B, 12C là A, B, C Số cách xếp 10 học sinh thành hành ngang là 10! (cách) ⇒ |Ω| = 10! Ta xếp học sinh lớp 12C trước TH1: CCCCC (quy ước vị trí là vị trí trống), đổi chỗ học sinh đó cho ta có 5! Cách xếp Xếp học sinh còn lại vào vị trí trống ta có 5! cách xếp Vậy trường hợp này có 5!.5! cách TH2: CCCCC, tương tự trường hợp ta có 5!.5! cách TH3: CCCCC, đổi chỗ học sinh đó cho ta có 5! Cách xếp Ta có vị trí trống liền nhau, chọn học sinh lớp 12A và học sinh lớp 12B để xếp vào vị trí trống đó, học sinh này có thể đổi chỗ cho nên có C21 C31 2! = 2.3.2 = 12 cách Xếp học sinh còn lại vào chỗ trống có 3! Cách Vậy trường hợp này có 5!.12.3! cách TH4: CCCCC TH5: CCCCC TH6: CCCCC Ba trường hợp 4, 5, có cách xếp giống trường hợp Vậy có tất 5!.5!.2 + 4.5!.12.3! = 63360 (cách) Gọi T là biến cố “Xếp 10 học sinh thành hàng ngang cho không có học sinh nào cùng lớp đứng cạnh nhau” ⇒ |A| = 63360 Vậy xác suất biến cố T là P (T ) = 63360 11 = 10! 630 Chọn đáp án A Tính xác suất công thức nhân Câu 16 Ba bạn A, B, C bạn viết ngẫu nhiên lên bảng số tự nhiên thuộc đoạn [1; 14] Xác suất để ba số viết có tổng chia hết cho 457 307 207 A B C 1372 1372 1372 Lời giải D 31 91 Ta có không gian mẫu 143 Ta tìm các trường hợp thuận lợi cho biến cố “ba số viết có tổng chia hết cho” Ta chia các số nguyên thuộc đoạn [1; 14] thành ba loại: Số chia hết cho 3, tức thuộc tập {3; 6; 9; 12} Số chia cho dư 1, tức thuộc tập {1; 4; 7; 10, 13} Số chia cho dư 2, tức thuộc tập {2; 5; 8; 11; 14} (5) Trường hợp 1: Ba số cùng nhóm Có số cách là 43 + 53 + 53 Trường hợp 2: Ba số cùng nhóm khác Có số cách là 4.5.5.3! 43 + 2.53 + 4.52 457 Vậy xác suất cần tìm là = 14 1372 Chọn đáp án A Chương Dãy số - Cấp số cộng- Cấp số nhân §1 Dãy số Tìm hạng tử dãy số Câu 17 Cho dãy số (un ) thỏa mãn log u1 + √ + log u1 − log u10 = log u10 và un+1 = 2un với n ≥ Giá trị nhỏ n để un > 5100 A 247 B 248 C 229 D 290 Lời giải √ Đặt t = + log u1 − log u10 ≥ ⇔ log u1 − log u10 = t2 − 2, đó giả thiết trở thành: ⇒ log u1 − log u10 = − ⇔ log u1 + = log u10 ⇔ log (10u1 ) = log (u10 )2 ⇔ 10u1 = (u10 )2 (1) Mà là cấp số nhân với công bội q = ⇒ u10 = 29 u1 (2) Từ (1) , (2) suy 10 10 2n 10 10u1 = (29 u1 ) ⇔ 218 u21 = 10u1 ⇔ u1 = 18 ⇒ un = 2n − 18 = 19 Ç 2 n 100 19 å 10 Do đó un > 5100 ⇔ 19 > 5100 ⇔ n > log2 = − log2 10 + 100log2 + 19 ≈ 247, 87 10 Vậy giá trị n nhỏ thỏa mãn là n = 248 Chọn đáp án B Chương Giới hạn §1 Giới hạn dãy số Dùng phương pháp đặt thừa số Câu 18 lim 2n + A +∞ B Lời giải C D Chọn đáp án C Câu 19 lim 5n + A B C +∞ D Lời giải = 5n + Chọn đáp án A Ta có lim Câu 20 lim A 2n + B C +∞ D (6) Lời giải Chọn đáp án B §2 Giới hạn hàm số Dạng vô cùng chia vô cùng, số chia vô cùng x−2 Câu 21 lim x→+∞ x + A − B C Lời giải − x−2 x =1 lim = lim x→+∞ x + x→+∞ 1+ x Chọn đáp án B D −3 HÌNH HỌC 11 Chương Véc-tơ không gian Quan hệ vuông góc không gian §1 Hai đường thẳng vuông góc Xác định góc hai đường thẳng (dùng định nghĩa) Câu 22 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với và OA = OB = OC Gọi M là trung điểm A BC (tham khảo hình bên) Góc hai đường thẳng OM và AB A 90◦ O B 30◦ B M C 60◦ C D 45◦ Lời giải Gọi N là trung điểm AC ta có M N là đường trung bình tam giác ABC \ \ nên AB // M N ⇒ (OM ; AB) = (OM ; M N ) Đặt OA = OB√= OC = ta có: √ Tam giác OAB vuông cân O nên AB = ⇒ M N = Tam giác OAC vuông cân O √ √ nên AC = ⇒ ON = √ √ Tam giác OBC vuông cân O nên BC = ⇒ OM = Vậy tam giác OM N nên \ \ (OM ; M N ) = OM N = 60◦ Chọn đáp án C (7) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng §2 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Xác định quan hệ vuông góc đường thẳng và mặt phẳng, đường thẳng và đường thẳn √ Câu 23 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông C, AC = a, BC = a 2, SA vuông góc với mặt đáy, SA = a, góc đường thẳng SB và mặt đáy A 60◦ B 90◦ C 30◦ D 45◦ Lời giải Chọn đáp án C Xác định góc hai mặt phẳng, đường thẳng và mặt phẳng Câu 24 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AB = a và SB = 2a Góc đường thẳng SB và mặt phẳng đáy A 60◦ B 45◦ C 30◦ D 90◦ Lời giải Chọn đáp án A Câu 25 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có S tất các cạnh a Gọi M là trung điểm SD (tham khảo hình vẽ bên) Tang góc đường thẳng BM và mặt phẳng (ABCD) √ A √2 B C D Lời giải M D A B C Gọi G là giao điểm BM và SO Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với BD N Khi đó ta có M N//SO ⇒ M N ⊥ (ABCD) ⇒ N là hình chiếu M trên (ABCD) \ \ ⇒ (BM ; \ (ABCD)) = (BM ; BD) = M BD Xét tam giác SBD ta có M B và BD là hai đường trung tuyến cắt G √ 1 a ⇒ G là trọng tâm tam giác SBD ⇒ OG = SO Ta có: BO = BD = 2 √ √ √ √ a a a OG a 2 \ ⇒ SO = SB − OB = a2 − = ⇒ OG = ⇒ tan M BD = = √ = 2 OB a Chọn đáp án D Câu 26 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = 2a Góc đường thẳng SB và mặt phẳng đáy A 60◦ Lời giải B 90◦ C 30◦ D 45◦ (8) Chương Véc-tơ không gian Quan hệ vuông góc không gian S Ta có AB là hình chiếu SB trên (ABCD) Góc đường thẳng SB và mặt phẳng đáy góc SB và AB [ = AB = Tam giác SAB vuông A, cos ABS SB [ = 60◦ ⇒ ABS D A B C Chọn đáp án A §3 Hai mặt phẳng vuông góc Xác định góc hai mặt phẳng, đường và mặt Câu 27 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có tâm O Gọi I là A D tâm hình vuông A0 B C D0 và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI cho M O = 2M I (tham khảo hình vẽ) Khi đó cô-sin B C O 0 góc tạo √ hai mặt phẳng √ (M C D ) và√(M AB) bằng√ 85 85 17 13 13 A B C D 85 85 65 65 D0 A0 M I B C0 Lời giải A Không tính tổng quát, ta giả sử các cạnh hình lập D Q phương Gọi P, Q là trung điểm D0 C và AB Khi đó ta có √ √ √ √ M P = IM + IP = 10, M Q = 34, P Q = Áp dụng định lí cô-sin ta M P + M Q2 − P Q2 −14 cos P M Q = =√ 2M P.M Q 340 Góc α là góc √ hai mặt phẳng (M C D0 ) và (M AB) ta có 14 85 cos α = √ = 85 340 Chọn đáp án B B C O D0 A M I B P C Câu 28 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có tâm O Gọi I là tâm hình vuông A0 B C D0 và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI cho OM = M I (tham khảo hình vẽ) Khi đó sin góc tạo hai mặt phẳng (M C D0 ) và (M AB) √ 17 13 A √65 85 C 85 B C A D O √ 85 B 85 √ 13 D 65 M B0 A0 C0 I D0 (9) Hai mặt phẳng vuông góc Lời giải Chọn đáp án D √ Câu 29 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có AB = và AA0 = Gọi M, N, P là trung điểm các cạnh A0 B , A0 C và BC (tham khảo hình vẽ bên) Cosin góc 0 tạo hai √ mặt phẳng (AB C )√và (M N P ) √ 13 13 17 13 A B C 65 65 65 Lời giải ) ; (M N P ) = (AB C 0\ Dễ thấy (AB C\ ) ; (M N CB) = √ 18 13 D 65 ) ; (A0 B C )− (M N BC) \ \ \ = 180◦ − (AB C\ ; (A0 B C ) = 180◦ − (A0 BC) ; (ABC)− (M N BC) ; (ABC) P ; AP ) = A P A = arctan Và (M N BC) \ \ \ \ ; (ABC) = (SP ; AP ) = Ta có (A0 BC) ; (ABC) = (A\ [ SP A = arctan , với S là điểm đối xứng với A qua A0 , thì SA = AA0 = √ Ç å 13 ) ; (M N P ) = cos 1800 − arctan Suy cos (AB C\ − arctan = 3 65 Chọn đáp án B Câu 30 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có tâm O Gọi I là tâm hình vuông A0 B C D0 và M là điểm thuộc A D đường thẳng OI cho M O = 2M I (tham khảo hình vẽ) Khi đó sin góc tạo hai mặt phẳng (M C D0 ) và (M AB) bằng: √ 13 A 65 √ 17 13 C 65 √ 85 B 85 √ 85 D 85 B C O D0 A0 M I B C0 Lời giải Cách 1: Không giảm tính tổng quát, ta giả sử cạnh hình lập phương Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ, cho gốc tọa độ trùng với điểm B Khi đó, C (6; 0; 0), D0 (6; 6; 0), M (3; 3; 1), A (0; 6; 6), B (0; 0; 6) # » # » M C (3; −3; −1), M D0 = (3; 3; −1) h # » # »i Suy vectơ pháp tuyến (M C D0 ) là n#»1 = M C , M D0 = (6; 0; 18) = (1; 0; 3) # » # » M A (−3; 3; 5), M B = (−3; −3; 5) h # » # »i Suy vectơ pháp tuyến (M AB) là n#» = M A, M B = (30; 0; 18) = (5; 0; 3) 0 Gọi α là góc hai mặt phẳng (M C D ) và (M AB),√ ta có √ |n#»1 n#»2 | 14 85 cos α = #» #» = √ Vậy sin α = − cos2 α = |n1 | |n2 | 85 340 Cách 2: Không giảm tính tổng quát, ta giả sử cạnh hình lập phương √ √ √ Gọi P , Q là trung điểm D0 C và AB Khi đó, M P = IM + IP = 10, M Q = 34, √ P Q = M P + M Q2 − P Q2 −14 \ cos P M Q = =√ 2M P.M Q 340 (10) 10 Chương Véc-tơ không gian Quan hệ vuông góc không gian 14 Gọi α là góc hai mặt phẳng (M C D0 ) và (M AB), ta có cos α = √ 340 √ √ 85 Vậy sin α = − cos2 α = 85 Chọn đáp án D §4 Khoảng cách Tính độ dài đoạn thẳng và khoảng cách từ điểm đến đường thẳng √ Câu 31 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a 3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) √ √ √ a a a A B C Lời giải √ a D Chọn đáp án B Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Câu 32 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) √ √ √ √ 5a 5a 2a 5a A B C D 3 Lời giải S Trong tam giác SAB dựng AH vuông góc SB thì AH ⊥ (SBC) Do đó khoảng cách cần tìm là AH √ 1 2a Ta có = + = suy AH = AH SA2 AB 4a A H C B Chọn đáp án A Câu 33 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân C, BC = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) √ √ √ 2a a 3a A 2a B C D 2 Lời giải Chọn đáp án B Khoảng cách hai đường thẳng chéo Câu 34 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có (11) Khoảng cách 11 cạnh a (tham khảo hình bên) Khoảng cách hai đường A D thẳng BD và A0 C √ A 3a C B B a √ 3a C √2 D 2a Lời giải D0 A0 B0 C0 Chọn đáp án B Câu 35 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, SA vuông góc với√mặt phẳng đáy và SA = a Khoảng cách hai đường thẳng AC và SB 6a 2a a a A B C D 3 Lời giải S E D A B C Dựng hình bình hành ACBE ta có AC k (SBE) nên AC, SB = d(A, (SBE)) = h 1 1 Do AS, AB, AE đôi vuông góc nên = + + = 2 2 h SA AB AE 4a 2a Như d(A, (SBE)) = h = Chọn đáp án B Câu 36 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với nhau, OA = a và OB = OC = √ 2a Gọi M là trung điểm BC Khoảng cách √ hai đường thẳng OM √ và AB 2a 6a 5a A B a C D Lời giải Chọn đáp án D Câu 37 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với nhau, OA = OB = a; OC = 2a Gọi√M là trung điểm AB.√Khoảng cách hai √ đường thẳng OM và AC 2a 2a 2a 2a A B C D Lời giải (12) Å a a ã Gắn hệ tọa độ Oxyz, O (0; 0; 0) , A (a; 0; 0) , B (0; a; 0) , C (0; 0; 2a) , M ; ;0 2 ã Å a a # » # » # » ; ;0 AC (−a; 0; 2a) , OC (0; 0; 2a) , OM = 2 h # » # »i # » OM , AC OC 2a h # » # »i Khoảng cách hai đường thẳng OM và AC d (OM, AC) = = OM , AC Chọn đáp án D GIẢI TÍCH 12 Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số §1 Sự đồng biến và nghịch biến hàm số Xét tính đơn điệu hàm số cho công thức Câu 38 Cho hàm số y = x3 + 3x + Mệnh đề nào đây đúng? A Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; +∞) B Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞) C Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; +∞) D Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0) và đồng biến trên khoảng (0; +∞) Lời giải hàm số y = x3 + 3x + có đạo hàm y = 3x2 + dương ∀x ∈ R nên Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; +∞) Chọn đáp án C Câu 39 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau x −∞ −1 y0 + − −1 y +∞ + − −1 −∞ −2 −∞ Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào đây? A (−1; 0) B (1; +∞) C (−∞; 1) D (0; 1) Lời giải Chọn đáp án D Câu 40 Hàm số y = A (0; +∞) nghịch biến trên khoảng nào đây? x2 + B (−1; 1) C (−∞; +∞) D (−∞; 0) Lời giải Chọn đáp án A Câu 41 (QG17,102) Hàm số nào đây đồng biến trên khoảng (−∞; +∞)? x+1 x−1 B y = x3 + x C y = D y = −x3 − 3x A y = x+3 x−2 12 (13) Sự đồng biến và nghịch biến hàm số 13 Lời giải Ta có Ä ä x+1 x+3 = ä x−1 x−2 = (x+3)2 > với x 6= −3 −1 (x−2)2 < với x 6= (x + 3x) = 3(x2 + 1) > với x ∈ R Ä (−x − 3x) = −3(x2 + 1) < với x ∈ R Từ đây suy y = x3 + 3x đồng biến trên R Chọn đáp án B Câu 42 (QG17,102) Cho hàm số y = x3 − 3x2 Mệnh đề nào đây đúng? A Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2) B Hàm số nghịch biến trên khoảng (2; +∞) C Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2) D Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0) Lời giải x = TXĐ: D = R Ta có y = 3x2 − 6x; y = ⇔ Bảng biến thiên x = x −∞ y0 + +∞ − + +∞ y ∞ −4 Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên (0, 2) Chọn đáp án A Câu 43 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) = x2 + 1, ∀x ∈ R Mệnh đề nào đây đúng? A Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0) B Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞) C Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1) D Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; +∞) Lời giải Vì f (x) = x2 + > 0, ∀x ∈ R nên Hàm số đồng biến trên R Chọn đáp án D Câu 44 Ç Hỏi hàm å số y = 2x + đồng biến trên khoảng Ç nào ? å 1 A −∞; − B (0; +∞) C − ; +∞ 2 Lời giải D (−∞; 0) y = 2x4 + ⇒ y = 8x3 Với x ∈ (0, +∞) ⇒ y > ⇒ Hàm số đồng biến trên (0; +∞) Chọn đáp án B (14) 14 Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số Câu 45 Cho hàm số y = x3 − 2x2 + x + Mệnh đề nào đây đúng ? A Hàm số nghịch biến trên khoảng C Hàm số đồng biến trên khoảng Ä Ä ä ;1 Ä ä ;1 ä B Hàm số nghịch biến trên khoảng −∞; 13 D Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞) Lời giải Ä ä Ta có y = 3x2 − 4x + ⇒ y = ⇔ x = x = Nên y < ∀x ∈ 13 ; Chọn đáp án A x−2 Mệnh đề nào đây đúng? x+1 A Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −1) Câu 46 Cho hàm số y = B Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1) C Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; +∞) D Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; +∞) Lời giải y0 = > 0, ∀x ∈ R nên hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−∞; −1); (−1; +∞) (x + 1)2 Chọn đáp án B Câu 47 Hàm số nào đây đồng biến trên khoảng (−∞; +∞)? A y = 3x3 + 3x − B y = 2x3 − 5x + C y = x4 + 3x2 D y = x−2 x+1 Lời giải Ta có y > ∀x ∈ R, (3x3 + 3x − 2)0 = 9x2 + > 0, ∀x ∈ R Chọn đáp án A Câu 48 Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu đạo hàm sau −∞ x y0 −2 + 0 − +∞ − + Mệnh đề nào đây đúng? A Hàm số đồng biến trên khoảng (−2; 0) B Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0) C Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2) D Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −2) Lời giải Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (−∞; −2), (2; +∞) và nghịch biến trên khoảng (−2; 0), (0; 2) Chọn đáp án C Câu 49 Cho hàm số y = √ 2x2 + Mệnh đề nào đây đúng? A Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1) B Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞) C Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0) D Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞) Lời giải (15) Sự đồng biến và nghịch biến hàm số 15 2x Bảng biến thiên: 2x2 + −∞ − + +∞ Tập xác định D = R Ta có y = √ x y0 +∞ +∞ y Chọn đáp án B Câu 50 Cho hàm số y = x4 − 2x2 Mệnh đề nào đây đúng? A Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −2) B Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −2) C Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 1) D Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1) Lời giải Xét hàm số có y = 4x3 − 4x = 4x (x2 − 1) ⇒ y > ⇔ 4x (x2 − 1) > ⇔ x ∈ (−1; 0) ∪ (1; +∞) ⇒ Hàm số đồng biến trên các khoảng (−1; 0) và (1; +∞) và nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (0; 1) Chọn đáp án B Câu 51 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau x −∞ −2 y0 − +∞ y + − −∞ A (−2; +∞) +∞ B (−2; 3) C (3; +∞) D (−∞; −2) Lời giải Chọn đáp án B Câu 52 Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f (x) hình bên Đặt y h(x) = 2f (x) − x Mệnh đề nào đây đúng? A h(4) = h(−2) > h(2) B h(4) = h(−2) < h(2) C h(2) > h(4) > h(−2) D h(2) > h(−2) > h(4) −2 O x −2 Lời giải Chọn đáp án C (16) 16 Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số Xét tính đơn điệu dựa vào bảng biến thiên, đồ thị Câu 53 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau Hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng nào đây x −∞ y0 y + −2 0 − −∞ A (−2; 0) + +∞ − −∞ −1 B (−∞; −2) C (0; 2) D (0; +∞) Lời giải Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng (−2; 0) và (2; +∞) Chọn đáp án A Câu 54 Cho hai hàm số y = f (x), y = g(x) Hai hàm số y = f (x) và y = g (x) có đồ thị hình vẽ bên, đó đường cong đậm là đồ thị hàm số y = g (x) y y = f (x) 10 O x 10 11 y = g (x) Ç å Hàm số h(x) = f (x + 4) − g 2x − đồng biến trên khoảng nào đây? 2å Ç å Ç Ç å Ç å 31 31 25 A 5; B ;3 C ; +∞ D 6; 5 Lời giải Kẻ đường thẳng y = 10 cắt đồ thị hàm số y = f (x) A(a; 10), a ∈ (8; 10) Khi đó ta có f (x + 4) > 10, − < x < å ⇒ Ç 3 25 11 5, x g 2x − 4 å 3 Do đó h0 (x) = f (x + 4) − 2g 2x − > x < 4 Kiểu đánh giá khác: Ç å 0 Ta có h (x) = f (x + 4) − 2g 2x − f (x + 4) > 10, khi3 < x + < a å Ç 3 5, khi0 2x − < g 2x − Ç2 (17) Sự đồng biến và nghịch biến hàm số Ç 17 å 25 Dựa vào đồ thị, ∀x ∈ ; , ta có < x + < 7, f (x + 4) > f (3) = 10; 4Ç å 3 < 2x − < , đó g 2x − < f (8) = 2 Ç2 å Ç å Ç å 9 0 Suy h (x) = f (x + 4) − 2g 2x − > 0, ∀x ∈ ; Do đó hàm số đồng biến trên ;3 4 Chọn đáp án B Câu 55 Cho hai hàm số y = f (x), y = g (x) Hai hàm số y y = f (x) và y = g (x) có đồ thị hình vẽ bên, đó đường cong đậm Ç là đồ thị å hàm số y = g (x) Hàm số h (x) = f (x + 6)−g 2x + đồng biến trên khoảng nào Ç đây? å Ç å 21 A ; +∞ B ;1 å Ç4 å Ç 17 21 D 4; C 3; y = f (x) 10 O3 x 1011 y = g (x) Lời giải Chọn đáp án B Câu 56 Cho hàm số y = f (x) Hàm số y = f (x) y có đồ thị hình bên.Hàm số y = f (2 − x) đồng biến trên khoảng y = f (x) −1 A (1; 3) O x B (2; +∞) C (−2; 1) D (−∞; −2) Lời giải Hàm số y = f (2 − x) đồng biến y = −f (2 − x) > ⇔ f (2 − x) < Nhìn đồ thị ⇔ − x < −1 < − x < ⇔ x > −2 < x < Chọn đáp án C Tìm tham số m để hàm số đơn điệu Câu 57 Cho hàm số y = −x3 − mx2 + (4m + 9)x + với m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞)? A B C D Lời giải y = −3x2 − 2mx + 4m + Hàm số nghịch biến trên (−∞; +∞) ⇔ y = nghiệm kép vô nghiệm ⇒ ∆ = m2 + 3(4m + 9) ≤ ⇒ −9 ≤ m ≤ −3 ⇒ có giá trị nguyên m thỏa mãn Chọn đáp án A (18) 18 Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số Câu 58 Có bao nhiêu giá trị nguyên âm tham số m để hàm số y = x3 + mx − biến trên khoảng (0; +∞)? A B C đồng 5x5 D Lời giải Ta có: 5x5 − (−5x−6 ) y = x3 + mx − y = 3x2 + m = 3x2 + m + x6 > ∀x ∈ (0; +∞) ⇔ −m < 3x2 + x6 = f (x) ∀x ∈ (0; +∞) ⇒ −m < f (x) f (x) = (0;+∞) 3x2 + x16 = x2 + x2 + x2 + x6 √ ≥ 4 = ⇒ f (x) = (0;+∞) ⇔ −m < ⇔ m > −4 Mà m là số nguyên âm ⇒ m ∈ {−3; −2; −1} Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán Chọn đáp án B mx + 4m với m là tham số Gọi S là tập hợp tất các giá trị nguyên x+m m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định Tìm số phần tử S Câu 59 Cho hàm số y = A B D C Vô số Lời giải y < ⇐⇒ m2 − 4m < ⇐⇒ < m < Vậy S có phần tử Chọn đáp án D Câu 60 Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x+2 đồng biến trên x + 5m khoảng (−∞; −10) ? A C B Vô số D Lời giải Tập xác định D = R \ {−5m} 5m − y0 = (x + 5m)2 m ⇔ < m ⇔ Hàm số đồng biến trên (−∞; −10) ⇔ − 5m > −10 m Do m ∈ Z nên m ∈ {1; 2} 5m − >0 > Chọn đáp án A Câu 61 Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x+1 nghịch biến trên x + 3m khoảng (6; +∞) A B Vô số Lời giải C D 3m − Hàm số nghịch biến trên khoảng (6; +∞) (x + 3m)2 y0 < 3m − < m< 1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ −2 ≤ m < m ≥ −2 −3m ∈ / (6; +∞) −3m ≤ Vậy có giá trị nguyên Điều kiện xác định: x 6= −3m y = (19) Sự đồng biến và nghịch biến hàm số 19 Chọn đáp án A Câu 62 Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x+2 đồng biến trên x + 3m khoảng (−∞; −6) ? A B D C Vô số Lời giải Chọn đáp án A tan x − đồng biến Câu 63 Tìm tất các giá trị thực tham số m cho hàm số y = tan x − m Å ã π trên khoảng 0; A m ≤ ≤ m < B m ≤ C ≤ m < D m ≥ Lời giải 1 (tan x − m) − (tan x − 2) 2−m cos2 x y = cos x = 2 (tan x − m) cos x(tan x − m)2 Å Å πã πã πã và hàm số xác định trên 0; và y ≥ ∀x ∈ 0; Hàm số đồng biến trên 0; 4ã 4 Å π tan x 6= m, ∀x ∈ 0; m≤0 ⇔ ⇔ ≤ m ≤ 2 − m ≥ Å Chọn đáp án A Câu 64 Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = (m2 − 1)x3 + (m − 1)x2 − x + nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞)? A B C D Lời giải Ta có y = 3(m2 − 1)x2 + 2(m − 1)x − Trường hợp Nếu m = ta có y = −1 < nên thỏa mãn không thỏa mãn Trường hợp Nếu m 6= ±1 thì để hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞) và Trường hợp Nếu m = ta có y = −4x − < ⇔ x > − −1 m2 −1<0 ∆0 = 4m2 − 2m − ≤ y ≤ 0, ∀x ∈ (−∞; +∞) ⇔ <m<1 ⇔ − ≤ m ≤ ⇔ − ≤ m < Do yêu cầu đề bài m là số nguyên nên m = Vậy có số m thỏa mãn Chọn đáp án A mx − 2m − với m là tham số Gọi S là tập hợp tất các giá trị x−m nguyên m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định Tìm số phần tử S Câu 65 Cho hàm số y = A Lời giải B C Vô số D (20) 20 Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số mx − 2m − −m2 + 2m + hàm số đồng biến trên các khoảng xác định ⇒ y0 = x−m (x − m)2 ⇔ y > ⇔ −m2 + 2m + > ⇔ m ∈ (−1; 3) ⇒ m = −2; −1; ⇒ Tập S có phần tử nguyên Xét hàm số y = Chọn đáp án D Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bđt, giải pt, bpt, hệ pt Câu 66 Cho hai hàm số y = f (x), y = g (x) y Hai hàm số y = f (x) và y = g (x) có đồ thị hình vẽ bên, đó đường cong đậm Ç là đồ thị å hàm số y = g (x) Hàm số h (x) = f (x + 3)−g 2x − đồng biến trên khoảng nào Ç đây:å Ç å 13 29 A ; B 7; Ç å Ç å 36 36 C 6; D ; +∞ 5 y = f (x) 10 O3 1011 x y = g (x) Lời giải 0 0 Với x ∈ (3; 8) thì f (x) ≥ 10 ≥ 2g (x) h (x) = f (x + 3) − 2g x ∈ (0; 5) Ç å ⇔ 13 23 x∈ ; 4 x + ∈ (3; 8) Kiểm tra 2x − ∈ (3; 8) Ç å 13 ;4 Chọn đáp án A Ç ⇒ x ∈ Ç 2x − å > å 13 ; Nên ta chọn đáp án x ∈ §2 Cực trị hàm số Tìm cực trị hàm số cho công thức Câu 67 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau x y0 −∞ + −2 − +∞ + +∞ y −∞ Tìm giá trị cực đại yCĐ và giá trị cực tiểu yCT hàm số đã cho A yCĐ = và yCT = −2 B yCĐ = và yCT = C yCĐ = −2 và yCT = D yCĐ = và yCT = Lời giải Hàm số đạt cực đại x = −2, giá trị cực đại yCĐ = Hàm số đạt cực tiểu x = 2, giá trị cực tiểu yCT = (21) Cực trị hàm số 21 Chọn đáp án D Câu 68 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau x y0 −∞ + −1 +∞ − + +∞ y −∞ Đồ thị hàm số y = |f (x)| có bao nhiêu điểm cực trị? A B C D Lời giải Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị Chọn đáp án C Câu 69 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau x y0 −∞ + −1 − +∞ + y Mệnh đề nào đây đúng? A Hàm số có bốn điểm cực trị B Hàm số đạt cực tiểu x = C Hàm số không có cực đại D Hàm số đạt cực tiểu x = −5 Lời giải Nhìn bảng biến thiên ta dễ dàng thấy hàm số đạt cực tiểu x = Chọn đáp án B Câu 70 Tìm giá trị cực đại yCĐ hàm số y = x3 − 3x + A yCĐ = B yCĐ = C yCĐ = D yCĐ = −1 Lời giải Ta có y = x3 − 3x + 2; y = 3x2 − 3; y = ⇔ x = ±1 Chọn đáp án A (22) 22 Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số Câu 71 Hàm số y = A 2x + có bao nhiêu điểm cực trị? x+1 B C D Lời giải < 0, với x 6= (x + 1)2 Chọn đáp án B Ta có y = − Câu 72 Đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 − 9x + có hai điểm cực trị A và B Điểm nào đây thuộc đường thẳng AB? A P (1; 0) B M (0; −1) C N (1; −10) D Q(−1; 10) Lời giải Hàm số y = x3 − 3x2 − 9x + có y = 3x2 − 6x − nên có hai điểm cực trị A(−1; 6), B(3; −26) Phương trình đường thẳng qua AB là 8x + y + = Vậy N (1; −10) ∈ AB Chọn đáp án C Câu 73 Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c (a, b, c ∈ R) y có đồ thị hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số đã cho là A O B x C D Lời giải Chọn đáp án B Câu 74 Đồ thị hàm số y = −x3 + 3x2 + có hai điểm cực trị A và B Tính diện tích S tam giác OAB với O là gốc tọa độ 10 A S = B S = Lời giải C S = D S = 10 Hai điểm cực tiểu và cực đại là A(0; 5) và B(2; 9) Diện tích S = · · = Chọn đáp án C Câu 75 Tìm tất các giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x4 − 2mx2 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích nhỏ A m > B m < C < m < √ D < m < Lời giải y = 4x3 − 4mx = ⇔ 4x(x2 − m) = Hàm số có ba điểm cực trị và m > √ √ Tìm ba điểm cực trị là O(0; 0), A( m; −m2 ), B(− m; −m2 ) 1 √ Gọi H là trung điểm AB thì diện tích tam giác OAB là OH · AB = · m · m2 2 Diện tích tam giác phải lớn và nhỏ theo yêu cầu bài toán, suy < m < Chọn đáp án D Tìm cực trị dựa vào BBT, đồ thị (23) Cực trị hàm số 23 Câu 76 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau −∞ x −1 y0 − 0 + +∞ +∞ − + +∞ y 0 Mệnh đề nào đây sai? A Hàm số có ba điểm cực trị B Hàm số có giá trị cực đại C Hàm số có giá trị cực trị D Hàm số có hai điểm cực tiểu Lời giải Mệnh đề "Hàm số có giá trị cực trị đại 0." sai vì theo bảng biến thiên "Hàm số có giá trị cực trị đại 3." Chọn đáp án C Câu 77 Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d ∈ R) có đồ thị hình vẽ bên Số y điểm cực trị hàm số đã cho là A B C D O x Lời giải Dựa vào đồ thị ta khẳng định hàm số đã cho có điểm cực trị Chọn đáp án A Câu 78 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau x y0 −∞ − −1 +∞ + 0 − +∞ + +∞ y −2 −2 Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào đây? A (0; 1) B (−∞; 0) C (1; +∞) D (−1; 0) Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; 1) Chọn đáp án A Câu 79 Giá trị nhỏ hàm số y = x3 + 3x2 trên đoạn [−4; −1] A −4 B −16 C D Lời giải Chọn đáp án B (24) 24 Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số Câu 80 Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c (a, b, c ∈ R) y có đồ thị hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số đã cho là A B C D O x Lời giải Chọn đáp án D Câu 81 Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên : Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? A Hàm số có đúng cực trị B Hàm số có giá trị cực tiểu C Hàm số có giá trị lớn và giá trị nhỏ D Hàm số đạt cực đại x = và đạt cực tiểu x = Lời giải Hàm số đạt cực đại x = và đạt cực tiểu x = Chọn đáp án D Câu 82 Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên đoạn [−2; 2]và có đồ thị là đường cong hình vẽ bên Hàm số f (x) đạt cực đại điểm nào đây ? y −2 −1O x −2 −4 A x = B x = −1 C x = D x = Lời giải Đồ thị có điểm cực đại (−1; 2) nên hàm số f (x) đạt cực đại x = −1 Chọn đáp án B (25) Cực trị hàm số 25 x2 + Mệnh đề nào đây đúng ? x+1 A Cực tiểu hàm số −3 B Cực tiểu hàm số Câu 83 Cho hàm số y = C Cực tiểu hàm số −6 D Cực tiểu hàm số Lời giải x + 2x − x = −3 2 ; y = ⇔ x + 2x − = ⇔ (x + 1) x=1 Ta có: y = Lập bảng biến thiên Thấy hàm số đạt cực tiểu x = và giá trị cực tiểu y(1) = Chọn đáp án D Câu 84 Cho hàm số y = f (x) có bảng x −∞ 0 − + y +∞ y biến thiên sau Hàm số đạt cực đại điểm +∞ − A x = B x = −∞ C x = D x = Lời giải Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt tiểu điểm x = và đạt cực đại điểm x = Chọn đáp án D Câu 85 Biết M (0; 2), N (2; −2) là các điểm cực trị đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d Tính giá trị hàm số x = −2 A y(−2) = B y(−2) = 22 C y(−2) = D y(−2) = −18 Lời giải Ta −2) là các điểmcực trị đồ thị hàm số nên: có: y = 3ax + 2bx + c Vì M (0; 2),N (2; d = y(0) = c = y (0) = ⇔ (2) (1); ⇔ 8a + 4b + 2c + d = −2 y(2) = −2 y (2) = 12a + 4b + c = Từ (1) và (2) suy ra:a = 1; b = −3; c = 0; d = ⇒ y = x3 − 3x2 + ⇒ y(−2) = −18 Chọn đáp án D Câu 86 Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề nào đây đúng ? A a < 0, b > 0, c > 0, d < B a < 0, b < 0, c > 0, d < C a < 0, b < 0, c < 0, d > D a < 0, b > 0, c < 0, d < Lời giải Dựa vào nhánh vô tận đồ thị suy hệ số a < Dựa vào giao điểm đồ thị với trục tụng nên d < Dựa vào hoành độ điểm cực trị trái dấu nên 3a.c < ⇒ c > −b Trung điểm điểm cực trị có hoành độ dương nên > ⇒ b > 3a (26) 26 Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số Chọn đáp án A Tìm m để hàm số đạt cực trị điểm x0 cho trước Câu 87 Tìm giá trị thực tham số m để hàm số y = x3 − mx2 + (m2 − 4) x + đạt cực đại x = B m = −1 A m = D m = −7 C m = Lời giải Ta có f (x) = x2 − 2mx + m2 − Điều kiện cần để hàm số đã cho đạt cực đại x = là m=1 f (3) = ⇔ − 6m + m2 − = ⇔ m2 − 6m + = ⇔ m = Khi m = 1, hàm số trở thành f (x) = x − x − 3x + và f (x) = x2 − 2x − Ta có bảng biến thiên sau x y0 −∞ + −1 − +∞ + +∞ 14 y −∞ −6 Hàm số không đạt cực đại x = Khi m = 5, hàm số trở thành f (x) = 13 x3 − 5x2 + 21x + 3, f (x) = x2 − 10x + 21, Ta có bảng biến thiên sau x y0 −∞ + − +∞ + +∞ 30 y 58 −∞ Vậy hàm số đạt cực đại x = Do đó điều kiện để hàm số đã cho đạt cực đại x = là m = Chọn đáp án C Câu 88 Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x8 +(m − 4) x5 −(m2 − 16) x4 + đạt cực tiểu x = 0? A B Vô số C D Lời giải Ta có y = 8x7 + (m − 4) x4 − (m2 − 16) x3 = x3 [8x4 + (m − 4) x − (m2 − 16)] = x3 g (x) với g (x) = 8x4 + (m − 4) x − (m2 − 16) Trường hợp 1: g (0) = ⇔ m2 − 16 = ⇔ m = ±4 Với m = có y = 8x7 và đổi dấu từ âm sang dương qua x = suy x = là cực tiểu hàm số Với m = −4 có y = 8x4 (x3 − 5) và không đổi dấu qua x = nên x = không là cực trị hàm (27) Cực trị hàm số 27 số Trường hợp 2: g (0) 6= ⇔ m 6= ±4 Để hàm số đạt cực tiểu x = ⇔ g (0) > ⇔ m2 − 16 < ⇔ −4 < m < Với m ∈ Z ⇒ m ∈ {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4} Chọn đáp án A Câu 89 Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x8 +(m − 3) x5 −(m2 − 9) x4 + đạt cực tiểu x = ? A B C D Vô số Lời giải Chọn đáp án C Tìm m để hàm số, đồ thị hàm số trùng phương có cực trị thỏa mãn điều kiện Câu 90 Tìm giá trị thực tham số m để đường thẳng d : y = (2m − 1)x + + m vuông góc với đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + 3 1 A m = B m = C m = − D m = 4 Lời giải Phương trình d0 qua hai cực trị là y = −2x + Để d, d0 vuông góc với thì −2(2m − 1) = −1 ⇐⇒ m = Chọn đáp án B Câu 91 Tìm tất các giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x3 − 3mx2 + 4m3 có hai điểm cực trị A và B cho tam giác OAB có diện tích với O là gốc tọa độ 1 A m = − √ ;m = √ B m = −1; m = 4 2 C m = D m 6= Lời giải Ta có A(0; 4m3 ), B(2m; 0) Suy OA vuông góc với OB Do đó S∆OAB = 4m4 = Vậy m = 1; m = −1 Chọn đáp án B Câu 92 Tìm tất các giá trị thực tham số m để hàm số y = (m − 1)x4 − 2(m − 3)x2 + không có cực đại A ≤ m ≤ B m ≤ C m ≥ D < m ≤ Lời giải Ta có y = 4(m − 1)x3 − 4(m − 3)x = 4x((m − 1)x2 − m + 3) Xét với m = ⇒ y = 4x2 + hàm số không có cực đại Vậy m = thỏa mãn (1) Xét với m > đó hàm số là hàm bậc trùng phương với hệ số a > để hàm số không có cực đại thì y = có nghiệm x = m−3 ≤ ⇔ < m ≤ (2) Hay (m − 1)x2 − m + = vô nghiệm ⇔ x2 = m−1 Xét với m < hàm số bậc trùng phương có hệ số a < luôn có cực đại (3) Kết luận : Từ (1),(2),(3) ta có để hàm số không có cực đại thì ≤ m ≤ (28) 28 Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số Chọn đáp án A Câu 93 Gọi S là tập hợp tất các giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x − mx2 + (m2 − 1)x có hai điểm cực trị là A và B cho A, B nằm khác phía và cách đường thẳng y = 5x − Tính tổng tất các phần tử S A B C −6 D Lời giải Ta có y = x2 − 2mx + m2 , y = ⇔ x = Ç m − 1, x = m + å Ç å 1 2 Đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị A m − 1; (m − 1) (m + 2) và A m + 1; (m + 1) (m − 2) å Ç m3 − 3m Trung điểm I AB có tọa độ: I m; Yêu cầu đề bài thỏa mãn và I thuộc đường thẳng y = 5x − 9, hay m3 − 3m = 5m − ⇔ m3 − 18m + 27 = Suy tổng các phần tử S Chọn đáp án A Câu 94 Tìm tất các giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = x4 + 2mx2 + có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân 1 A m = − √ B m = −1 C m = √ 3 9 Lời giải D m = x = 0; y = x4 + 2mx2 + 1; y = 4x3 + 4mx; y = ⇔ 4x(x2 + m) = ⇔ x = −m Dựa vào đây ta thấy m phải là giá trị nhỏ nên ta loại đáp án C và D Thử với đáp án B: với m = −1 ta có y = có nghiệm x = 0; x = −1; x = y(0) = 1; y(−1) = 0; y(1) = ⇒ điểm cực trị là: A(0; 1); B(−1; 0); C(1; 0) Ta thử lại cách vẽ điểm A, B, C trên cùng hệ trục tọa độ và tam giác này vuông cân Chọn đáp án B Tìm m để hàm số, đồ thị hàm số các hàm số khác có cực trị thỏa mãn điều kiện Câu 95 Có tất bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm số y = x8 + (m − 2)x5 − (m2 − 4)x4 + đạt cực tiểu x = A B C D Vô số Lời giải Ta có y = 8x7 + 5(m − 2)x4 − 4(m2 − 4)x3 Đặt g(x) = 8x4 + 5(m − 2)x − 4(m2 − 4) Có trường hợp cần xét liên quan (m2 − 4): • Trường hợp 1: m2 − = ⇔ m = ±2 + Khi m = ⇒ y = 8x7 ⇒ x = là điểm cực tiểu + Khi m = −2 ⇒ y = x4 (8x4 − 20) ⇒ x = không là điểm cực tiểu (29) Giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số 29 • Trường hợp 2: m2 − 6= ⇔ m 6= ±2 Khi đó x = không là nghiệm g(x) Ta có x3 đổi dấu từ − sang + qua x0 = 0, đó y = x3 g(x) đổi dấu từ − sang + qua x0 = ⇔ lim g(x) > ⇔ m2 − < x→0 Kết hợp các trường hợp giải ta nhận m ∈ {2; 1; 0; −1} Chọn đáp án C Câu 96 Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để hàm số y = |3x4 − 4x3 − 12x2 + m| có điểm cực trị? A B C D Lời giải Xét hàm số y = 3x4 − 4x3 − 12x2 + m có y = 12x3 − 12x2 − 24x = ⇔ 12x (x2 − x − 2) = x=0 x = −1 ⇔ x=2 Lập BBT đồ thị hàm số f (x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + m ta có : Đồ thị hàm số y = |3x4 − 4x3 − 12x2 + m| vẽ cách : +) Lấy đối xúng phần đồ thị hàm số nằm phía trục Ox qua trục Ox +) Xóa phần đồ thị bên trục Ox Do đó để đồ thị hàm số y = |3x4 − 4x3 − 12x2 + m| có điểm cực trị thì : f (0) > m>0 f (−1) < ⇔ −5 + m < ⇔ < m < Do m ∈ Z ⇒ m ∈ {1; 2; 3; 4} −32 + m < f (2) < Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán Chọn đáp án D §3 Giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số GTLN, GTNN trên đoạn [a;b] î √ ó Câu 97 Tìm giá trị lớn M hàm số y = x4 − 2x2 + trên đoạn 0; √ A M = B M = C M = D M = Lời giải x=0 Ta có f (x) = 4x3 − 4x f (x) = ⇔ x √ = −1 f (0) = 3, f (1) = 2, f ( 3) = Vậy M = x = Chọn đáp án D ñ Câu 98 Tìm giá trị nhỏ m hàm số y = x2 + A m = Lời giải 17 B m = 10 ô trên đoạn ; x C m = D m = (30) 30 Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số 2x3 − = Bảng biến thiên: x2 x2 − + Tập xác định D = R \ {0} Ta có y = 2x − x y0 17 y Chọn đáp án D Câu 99 Giá trị lớn hàm số y = x4 − 4x2 + trên đoạn [−2; 3] A 201 B C D 54 Lời giải Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn [−2; 3] Ta có y = 4x3 − 8x x = ∈ [−2; 3] y = ⇔ 4x3 − 8x = ⇔ √ x = ± ∈ [−2; 3] Ä√ ä Ä √ ä = Ta có f (−2) = 9, f (3) = 54, f (0) = 9, f − = 5, f Vậy giá trị lớn hàm số trên đoạn [−2; 3] f (3) = 54 Chọn đáp án D Câu 100 Giá trị lớn hàm số y = x4 − x2 + 13 trên đoạn [−1; 2] 51 C 13 D 85 A 25 B Lời giải Chọn đáp án A Câu 101 Tìm giá trị nhỏ hàm số y = A min[2;4] y = B min[2;4] y = −2 x2 + trên đoạn [2; 4] x−1 C min[2;4] y = −3 D min[2;4] y = 19 Lời giải x2 + x−1 2x(x − 1) − x2 − x2 − 2x − y0 = = (x − 1)2 (x − 1)2 y= x = −1 loại y0 = ⇔ x = thỏa mãn Có y(2) = 7; y(3) = 6; y(4) = 19 ⇒ y = [2;4] Chọn đáp án A Câu 102 Giá trị lớn hàm số f (x) = x4 − 4x2 + trên đoạn [−2; 3] A 50 Lời giải B C D 122 (31) Giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số 31 0 3 Ta có: f (x) = 4x − 8x ⇒ f (x) = ⇔ 4x − 8x = ⇔ x=0 √ x=− √ x= f (−2) = Ä √ ä f − =1 ⇒ f (0) = Ä√ ä =1 f ⇒ M ax f (x) = 50 [−2; 3] f (3) = 50 Chọn đáp án A Câu 103 (QG17,101) Tìm giá trị nhỏ m hàm số y = x3 − 7x2 + 11x − trên đoạn [0; 2] A m = 11 C m = −2 B m = D m = Lời giải y = 3x2 − 14x + 11 có hai nghiệm x = ∈ [0; 2], x = − 11 ∈ / [0; 2] y(0) = −2; y(1) = 3; y(2) = đó m = y = −2 [0;2] Chọn đáp án C Câu 104 Cho hàm số y = x+m (m là tham số thực) thỏa mãn y = Mệnh đề nào [2;4] x−1 đây đúng? A m < −1 B < m ≤ C m > D ≤ m < Lời giải Chọn đáp án C Câu 105 Cho hàm số y = x+m (m là tham số thực) thỏa mãn min[1;2] y + max[1;2] y = x+1 16 Mệnh đề nào đây đúng? A m ≤ B m > C < m ≤ D < m ≤ Lời giải x+m liên tục và đơn điệu trên đoạn [1; 2] x+1 nên ta có min[1;2] y + max[1;2] y = 1+m + 2+m = 16 ⇔ m = 3 Do hàm số y = Chọn đáp án B Câu 106 Tìm giá trị nhỏ m hàm số y = x4 − x2 + 13 trên đoạn [−2; 3] 51 49 51 A m = B m = C m = 13 D m = 4 Lời giải √ x=0 51 √ Có y = 4x − 2x ⇒ y = ⇔ ⇒ y = x = ± x=± Chọn đáp án A Câu 107 Gọi S là tập hợp tất các giá trị tham số thực m cho giá trị lớn hàm số y = |x3 − 3x + m| trên đoạn [0; 2] Số phần tử S là (32) 32 Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số A B C D Lời giải Xét hàm số f (x) = x3 − 3x + m trên [0; 2] ta có : f (x) = 3x2 − = ⇔ x = ±1 BBT : x y0 y m − + m−2 m+2 TH1 : + m < ⇔ m < −2 ⇒ max y = − (−2 + m) = − m ⇔ − m = ⇔ m = −1 (loại) [0;2] Ä ä m+2>0 TH2 : ⇔ −2 < m < ⇔ max y = − m = ⇔ m = −1 nhận [0;2] m<0 Ä ä m>0 TH3 : ⇔ < m < ⇔ max y = + m = ⇔ m = nhận [0;2] −2 + m < TH4 : −2 + m > ⇔ m > ⇔ max y = − m = ⇔ m = −1 (loại) [0;2] Chọn đáp án B Câu 108 Một vật chuyển động theo quy luật s = − t3 + 6t2 với t (giây) là khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển khoảng thời gian đó Hỏi khoảng thời gian giây, kể từ bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt bao nhiêu? A 144 m/s B 36 m/s C 243 m/s D 27 m/s Lời giải Vận tốc vật tính bởi: v(t) = −t2 + 12t Ta có v (t) = −2t + 12 Bảng biến thiên: t v0 + − 36 v 27 Dựa vào bảng biến thiên ta có vận tốc lớn vật đạt 36 m/s Chọn đáp án B Câu 109 Một vật chuyển động theo quy luật s = − t3 + 6t2 với t (giây) là khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển khoảng thời gian đó Hỏi khoảng thời gian giây, kể từ bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt bao nhiêu? A 24 m/s B 108 m/s C 18 m/s D 64 m/s Lời giải Vận tốc v = v(t) = s0 = − t2 + 12t Ta cần tìm giá trị lớn hàm v(t) với t ∈ [0; 6] Dễ tính giá trị lớn đó 24 m/s, đạt thời điểm t = Chọn đáp án A (33) Giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số 33 GTLN, GTNN trên khoảng Câu 110 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình vẽ bên Mệnh đề nào đây đúng ? x −∞ y0 + − +∞ + +∞ y −∞ A yCĐ = Lời giải B yCT = −1 C y = −1 D max y = R R Dựa vào bảng biến thiên ta suy yCĐ = Chọn đáp án A Câu 111 Tính giá trị nhỏ hàm số y = 3x + trên khoảng (0; +∞) x √ √ 33 B y = C y = D y = A y = (0;+∞) (0;+∞) (0;+∞) (0;+∞) Lời giải √ ⇒y= √ = 3 Bảng biến thiên Ta có y = − y = ⇔ − ⇔ x = √ 3 x x 3 √ Vậy y = 3 (0;+∞) Chọn đáp án A Câu 112 Ông A dự định sử dụng hết m2 kính để làm bể cá kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghéo có kích thước không đáng kể) Bể cá có dung tích lớn bao nhiêu (kết làm tròn đến hàng phần trăm)? A 1, 01 m3 B 0, 96 m3 C 1, 33 m3 D 1, 51 m3 Lời giải Chọn đáp án A Ứng dụng GTNN, GTLN bài toán phương trình, bpt, hệ pt Câu 113 Có bao nhiêu giá trị nguyên dương tham số m để phương trình √ m + 3 m + sin x = » sin x có nghiệm thực? A Lời giải B C D (34) 34 Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số » √ √ Ta có: m + 3 m + sin x = sin x ⇔ m + 3 m + sin x = sin3 x √ Đặt m + sin x = u ⇒m + sin x = u3 thì phương trình trên trở thành m + 3u = sin3 x m + 3v = u3 Đặt sin x = v thì ta ⇒ (v − u)+(v − u) (v + uv + u2 ) = ⇔ (v − u) (3 + v + uv + u m + 3u = v √ Do + v + uv + u2 > 0, ∀u, v nên phương trình trên tương đương u = v Suy m + sin x = sin x ⇔ m = sin3 x − sin x Đặt sin x = t (−1 ≤ t ≤ 1) và xét hàm f (t) = t3 −3t trên [−1; 1] có f (t) = 3t2 −3 ≤ 0, ∀t ∈ [−1; 1] Nên hàm số nghịch biến trên [−1; 1] ⇒ −1 = f (1) ≤ f (t) ≤ f (−1) = ⇒ −2 ≤ m ≤ Vậy m ∈ {−2; −1; 0; 1; 2} Chọn đáp án A Bài toán ứng dụng, tối ưu, thực tế Câu 114 Ông A dự định sử dụng hết 5, m2 kính để làm bể các kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể) Bể cá códung tích lớn bao nhiêu (kết làm tròn đến hàng phần trăm)? A 1, 17 m3 B 1, 01 m3 C 1, 51 m3 D 1, 40 m3 Lời giải Chọn đáp án A Câu 115 Cho nhôm hình vuông cạnh 12 cm Người ta cắt bốn góc nhôm đó bốn hình vuông nhau, hình vuông có cạnh x (cm), gập nhôm lại hình vẽ đây để cái hộp không nắp Tìm x để hộp nhận có thể tích lớn A x = B x = C x = D x = Lời giải Thể tích hộp là 1 (4x + 12 − 2x + 12 − 2x)3 = 128 (12 − 2x)2 = 4x(12 − 2x)2 ≤ 4 27 Dấu xảy 4x = 12 − 2x ⇔ x = Vậy x = thì thể tích hộp lớn Chọn đáp án B Câu 116 Một vật chuyển động theo quy luật s = − t3 + 9t2 , với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật khoảng thời gian đó Hỏi khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt bao nhiêu ? (35) Đường tiệm cận 35 A 216(m/s) B 30(m/s) C 400(m/s) D 54(m/s) Lời giải Vận tốc thời điểm t là v(t) = s0 (t) = − t2 + 18t nên vận tốc lớn vật đạt v (t) = −3t + 18 = ⇔ t = Chọn đáp án D Câu 117 Ông A dự định sử dụng hết 6,5 m2 kính để làm bể cá kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể) Bể cá có dung tích lớn bao nhiêu (kết làm tròn đến hàng phần trăm)? A 2,26 m3 B 1,61 m3 C 1,33 m3 D 1,50 m3 Lời giải Ta có 2x2 + 2xh + 4xh = 6, ⇔ h = 6,5 − 2x2 6x √ 13 √ ! 6,5x − 2x3 13 Lại có V = 2x2 h = = f (x), với x ∈ 0; √ 13 39 f (x) = − 2x2 , f (x) = ⇔ x = ± 6 Do h > 0, x > nên 6,5 − 2x2 > ⇔ < x < h x 2x √ x f (x) + f (x) √ 39 Vậy V f Chọn đáp án D ! 39 √ 13 39 54 √ 13 − √ 13 39 = ≈ 1,50 m3 54 §4 Đường tiệm cận Bài toán xác định các đường tiệm cận hàm số (không chứa tham số) biết BBT, Câu 118 Tìm số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = A B x2 − 3x − x2 − 16 C D Lời giải x2 −3x−4x2 −16 ∞ = x→−4 x2 − 16 = ⇐⇒ x = −4 hay x = Ta có lim x2 −3x−4x2 −16 lim x+1x+4 = = x→4 x→4 và lim Nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng Chọn đáp án C Câu 119 Đường thẳng nào đây là tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = 2x + x+1 (36) 36 Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số A x = B y = −1 C y = D x = −1 Lời giải 2x + 2x + = −∞; lim + = +∞ x→−1 x→−1 x+1 x+1 nên x = −1 là phương trình tiệm cận đứng Tập xác định D = R \ {−1} và lim + Chọn đáp án D x2 − 5x + Câu 120 Tìm số tiệm cận đồ thị hàm số y = x2 − A B C D Lời giải Ta có limx→+∞ y = 1; limx→−∞ y = đó đường thẳng y = là tiệm cận ngang đồ thị hàm số đã cho Lại có: limx→1+ y = − 32 ; limx→1− y = − 32 limx→−1+ y = +∞; limx→−1− y = −∞ Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = −1 Chọn đáp án D √ x+9−3 là x2 + x C Câu 121 Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = A B D Lời giải Tập xác định D√= [−9; +∞) \ {−1; 0} x+9−3 = +∞ lim + x→−1 x2 + x √ Ta có ⇒ x = −1 là tiệm cận đứng x + − = −∞ lim x→−1− √ x +x x+9−3 = nên x = không thể là tiệm cận Ngoài lim x→0 x2 + x Chọn đáp án D Câu 122 Đồ thị hàm số nào các hàm số đây có tiệm cận đứng? 1 1 A y = √ B y = C y = D y = x x +x+1 x +1 x +1 Lời giải Hàm số y = √ có mẫu thức có nghiệm x = ⇒ đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x Chọn đáp án A √ x + 16 − Câu 123 Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = là x2 + x A B C D Lời giải Chọn đáp án D Câu 124 Cho hàm số y = f (x) có lim f (x) = và lim f (x) = −1 Khẳng định nào sau đây x→+∞ x→−∞ là khẳng định đúng ? A Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang B Đồ thị hàm số đã cho có đúng tiệm cận ngang (37) Đường tiệm cận 37 C Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = và y = −1 D Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x = và x = −1 Lời giải Vì lim f (x) = nên hàm số có tiệm cận ngang y = x→∞ Vì lim f (x) = nên hàm số có tiệm cận ngang y = −1 x→−∞ Vậy hàm số có tiệm cận ngang Chọn đáp án C Câu 125 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình vẽ đây Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận? x −∞ −2 +∞ y0 − + +∞ y −∞ A B C D Lời giải lim y = −∞ nên x = −2 là TCĐ lim y = +∞ nên x = là TCĐ lim y = nên y = là x→2+ x→0 x→+∞ TCN Chọn đáp án B Câu 126 Đồ thị hàm số nào đây có tiệm cận đứng √ x2 x2 − 3x + x B y = C y = x2 − A y = D y = x−1 x +1 x+1 Lời giải x2 − 3x + (x − 2) (x − 1) +) Đáp án A: y = = = x − ⇒ đồ thị hàm số không có tiệm cận x−1 x−1 đứng +) Đáp án B: Ta có: x2 + > ∀x ∈ R ⇒ đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng +) Đáp án C: Đồ thị hàm số có TCN x +) Đáp án D: Có lim = ∞ ⇒ x = −1 là tiệm cận đứng đồ thị hàm số x→−1 x + Chọn đáp án D √ x + 25 − Câu 127 Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = là x2 + x A B C D Lời giải Chọn đáp án C (38) 38 Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số √ 2x − − x2 + x + Câu 128 Tìm tất các tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = x2 − 5x + A x = −3 và x = −2 B x = −3 C x = và x = D x = Lời giải Tập xác định D = R \√{2; 3} √ 2x − − x2 + x + 2x − − x2 + x + = − ; lim− =− lim+ 2 x→2 x√ − 5x + 6 x→2 x√− 5x + 6 2x − − x2 + x + 2x − − x2 + x + = +∞; lim− = −∞ và lim+ x→3 x→3 x2 − 5x + x2 − 5x + nên x = là phương trình tiệm cận đứng (Chú ý: Dùng Casio để tìm lim) Chọn đáp án D Bài toán xác định các đường tiệm cận hàm số có chứa tham số x+1 Câu 129 Tìm tất các giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = √ mx + A Không có giá trị thực nào m thỏa mãn yêu cầu đề bài B m < C m = D m > Lời giải Để hàm số có tiệm cận ngang thì phải tồn lim y 6= lim y x→+∞ x→−∞ 1+ x+1 x = √1 , tồn m > √ lim y = lim = lim x→+∞ x→+∞ x→+∞ m mx + m+ x 1+ x+1 x Có lim y = lim √ = lim = − √ , tồn m > x→+∞ x→+∞ m mx + x→+∞ − m+ x Khi đó hiển nhiên lim y 6= lim y.Vậy m > x→+∞ x→−∞ Chọn đáp án D §5 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Nhận dạng đồ thị, bảng biến thiên Câu 130 Đường cong hình bên là đồ thị bốn hàm số đây y Hàm số đó là hàm số nào? O A y = −x3 + x2 − C y = x3 − x2 − Lời giải x B y = x4 − x2 − D y = −x4 + x2 − Từ đồ thị ta hàm số là đa thức bậc trùng phương có hệ số a dương và hệ số b âm nên chọn y = x4 − x2 − (39) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 39 Chọn đáp án B Câu 131 Đường cong hình bên là đồ thị hàm số y = ax + b với a, b, c, d là cx + d y các số thực Mệnh đề nào đây đúng? A y > 0, ∀x ∈ R B y < 0, ∀x ∈ R C y > 0, ∀x 6= D y < 0, ∀x 6= O x Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng xác định Nên hàm số không xác định x = và y > 0, ∀x 6= Chọn đáp án D Câu 132 Cho hàm số y = (x − 2)(x2 + 1) có đồ thị (C) Mệnh đề nào sau đây đúng? A (C) cắt trục hoành hai điểm B (C) cắt trục hoành điểm C (C) không cắt trục hoành D (C) cắt trục hoành ba điểm Lời giải (C) ∩ Ox ⇔ y = ⇔ x = Chọn đáp án B Câu 133 (QG17,102) Đường cong hình bên là đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c với y a, b, c là các số thực Mệnh đề nào đây đúng? A Phương trình y = có ba nghiệm thực phân biệt B Phương trình y = có hai nghiệm thực phân biệt x O C Phương trình y = vô nghiệm trên tập số thực D Phương trình y = có đúng nghiệm thực Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số có ba điểm cực trị Do đó phương trình y = có ba nghiệm thực phân biệt Chọn đáp án A Câu 134 Đường cong hình vẽ bên y là đồ thị hàm số nào đây? A y = −x4 + x2 − B y = x4 − 3x2 − O x C y = −x3 − 3x − D y = x3 − 3x − Lời giải Chọn đáp án D (40) 40 Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số Câu 135 Đường cong hình bên là đồ thị bốn hàm số đây y Hàm số đó là hàm số nào? A y = x4 − 2x2 + B y = −x4 + 2x2 + C y = −x3 + 3x2 + D y = x3 − 3x2 + x O Lời giải Đây là đồ thị hàm số có dạng y = ax3 + bx2 + cx + d, ta thấy x → +∞ thì y → +∞ đó a > Chọn đáp án D Câu 136 Đường cong hình vẽ bên là hàm số nào đây? A y = x4 − 3x2 − B y = x3 − 3x2 − C y = −x3 + 3x2 − D y = −x4 + 3x2 − y O x Lời giải Vì đồ thị có dạng hình chữ M nên không thể là đồ thị hàm số bậc ba Vì lim = −∞ nên chọn y = −x4 + 3x2 − x→±∞ Chọn đáp án D Câu 137 Đường cong hình vẽ bên y là đồ thị hàm số nào đây? A y = x3 − 3x2 − B y = x4 − x2 − C y = −x4 + x2 − D y = −x3 + 3x2 − O x Lời giải Chọn đáp án D Câu 138 Đường cong hình bên là đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D đây Hỏi hàm số đó là hàm số nào ? A y = −x2 + x − B y = −x3 + 3x + C y = x3 − 3x + Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số ta loại đáp án A và C Dựa vào đồ thị hàm số ta suy bảng biến thiên hàm số có dạng D y = x4 − x2 + (41) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 41 Như ta thấy y = có nghiệm phân biệt và y trái dấu với hệ số a nên hệ số a > Chọn đáp án C Câu 139 Đường cong hình vẽ bên là đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D đây Hỏi đó là hàm số nào? y x O A y = 2x + x+1 B y = 2x − x+1 C y = 2x − x−1 D y = 2x + x−1 Lời giải Ç å Tiệm cận đứng x = −1 Tiệm cận ngang y = Không qua điểm A ,0 Đồ thị hàm số có dạng hàm số đồng Çbiến å nên chọn Hoặc ta có thể xét đồ thị qua điểm A , nên chọn Chọn đáp án B Câu 140 Đường cong hình bên y là đồ thị hàm số nào đây? A y = −x4 + 2x2 + B y = x4 − 2x2 + C y = x3 − 3x2 + D y = −x3 + 3x2 + O x (42) 42 Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số Lời giải Quan sát đồ thị hàm số ta thấy đây là dạng đồ thị hàm bậc bốn trùng phương với hệ số a âm Vậy có đáp án A thỏa mãn Chọn đáp án A Câu 141 Đồ thị hàm số y = A B x−2 có bao nhiêu tiệm cận? x2 − C D Lời giải x−2 = Do đó, đồ thị hàm số này có đường tiệm cận đứng x = −2 và x −4 x+2 đường tiệm cận ngang y = Ta có y = Chọn đáp án D Câu 142 Đường cong hình bên là đồ thị bốn hàm số đây y A y = x3 − 3x + x O Hàm số đó là hàm số nào? B y = x4 − x2 + C y = x4 + x2 + D y = −x3 + 3x + Lời giải Dựa vào hình vẽ, ta thấy đây là đồ thị cùa hàm số bậc và hệ số a > Chọn đáp án A Câu 143 Đường cong hình bên là đồ thị hàm số y = ax + b cx + d với a, b, c, d là các số thực y O x Mệnh đề nào đây đúng? A y < 0, ∀x 6= B y < 0, ∀x 6= C y > 0, ∀x 6= D y > 0, ∀x 6= Lời giải Theo hình vẽ ta có hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định và có tiệm cận đứng là x = ⇒ y < 0, ∀x 6= Chọn đáp án A Câu 144 Hình nào đây là đồ thị hàm số y = |x − 2|(x2 − 1)? (43) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 43 y y x x O A O B y y x x O O C D Lời giải Đồ thị hàm số y = |x − 2|(x2 − 1) là Cách 2: Hàm số y = (x − 2)(x2 − 1) có bảng xét giấu là −∞ x (x − 2) -1 +∞ - | - | - + (x − 1) + - + | + y - + - + Hàm số y = |x − 2|(x2 − 1) có bảng xét dấu là x −∞ -1 +∞ |x − 2| + | + | + + (x2 − 1) + - + | + y + - + + Từ bảng xét dấu ta nhận xét đồ thị hàm số y = |x − 2|(x2 − 1) Trên các khoảng (−∞; −1), (−1; 0) và (1; 2) lấy đối xứng đồ thị hàm số y = (x − 2)(x2 − 1) Trên khoảng (2; +∞) là đồ thị hàm số y = (x − 2)(x2 − 1) Chọn đáp án A x − x có đồ thị (C) Có bao nhiêu điểm A thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) A cắt (C) hai điểm phân biệt M (x1 ; y1 ), N (x2 ; y2 ) (M, N khác A) thỏa Câu 145 Cho hàm số y = mãn y1 − y2 = 6(x1 − x2 ) ? (44) 44 Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số A B C D Lời giải * Nhận xét đây là hàm số trùng phương có hệ số a > x=0 √ = − √ x0 = * Phương trình tiếp tuyến A(x0 ; y0 ) ( là đường thẳng qua hai điểm M, N ) có hệ số góc: y1 − y2 k= = Do đó để tiếp tuyến A(x0 ; y0 ) có hệ số góc k = > và cắt (C) hai điểm x1 − x2 √ √ 21 (hoành độ điểm uốn) phân biệt M (x1 ; y1 ), N (x2 ; y2 ) thì − < x0 < và x0 6= − x0 = −2 x * Ta có y = x − 7x nên suy hàm số có điểm cực trị * Ta có phương trình: y (x0 ) = ⇔ x30 − 7x0 − = ⇔ x0 = −1 x0 = 3(l) Vậy có điểm A thỏa yêu cầu Chọn đáp án B Biện luận số giao điểm dựa vào đồ thị, bảng biến thiên Câu 146 Cho hàm số y = −x4 + 2x2 có đồ thị hình bên Tìm tất các giá trị thực tham số m y −1 x O để phương trình −x4 + 2x2 = m có bốn nghiệm thực phân biệt A m > B ≤ m ≤ C < m < D m < Lời giải Dựa vào đồ thị, phương trình có bốn nghiệm thực phân biệt < m < Chọn đáp án C Câu 147 Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [−2; 2] y và có đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm thực phương trình 3f (x) − = trên đoạn [−2; 2] là A B C D −2 −1 O x −1 Lời giải Chọn đáp án A Câu 148 (45) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 45 Cho hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d ∈ R) Đồ thị hàm số y y = f (x) hình vẽ bên Số nghiệm thực phương trình 3f (x)+4 = là A B C D x O −2 Lời giải Ta có 3f (x) + = ⇔ f (x) = − Dựa vào đồ thị đường thẳng y = − cắt đồ thị hàm số y = f (x) ba điểm phân biệt Chọn đáp án A Câu 149 Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [−2; 4] y và có đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm thực phương trình 3f (x) − = trên đoạn [−2; 4] là A B −2 C 2 O D 4x −3 Lời giải Chọn đáp án B Câu 150 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau Số nghiệm phương trình f (x)−2 = là x −∞ y0 +∞ y − −1 + −2 B − −∞ A +∞ C D Lời giải Số nghiệm phương trình f (x) − = ⇔ f (x) = là số giao điểm đồ thị hàm số y = f (x) và đường thẳng y = Theo BBT ta thấy đường thẳng y = cắt đồ thị hàm số y = f (x) điểm phân biệt Chọn đáp án B Câu 151 Cho hàm số y = f (x) xác định trên R \ {0}, (46) 46 Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số liên tục trên khoảng xác định và có bảng biến thiên sau Tìm tập hợp tất các giá trị tham số thực m cho phương trình f (x) = m có ba nghiệm thực phân biệt A [−1; 2] B (−1; 2) C (−1; 2] D (−∞; 2] Lời giải Nhìn bảng biến thiên ta thấy f (x) = m có ba nghiệm phân biệt và −1 < m < Chọn đáp án B Câu 152 Tìm tất các giá trị thực tham số m để đường thẳng y = −mx cắt đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 − m + ba điểm phân biệt A, B, C cho AB = BC A m ∈ (−∞; 3) B m ∈ (−∞; −1) C m ∈ (−∞; +∞) D m ∈ (1; +∞) Lời giải Để đường thẳng y = −mx cắt đồ thị hàm số (C) : y = x3 − 3x2 − m + ba điểm phân biệt là phương trình hoành độ giao điểm (x − 1)(x2 − 2x − + m) = có ba nghiệm phân biệt, giải ra m < Nhận thấy (C) có điểm uốn U (1; −m) luôn thuộc đường thẳng y = −mx nên để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì m < Chọn đáp án A Sự tương giao hai đồ thị (liên quan đến tọa độ giao điểm) Câu 153 Đồ thị hàm số y = x4 − 2x2 + và đồ thị hàm số y = −x2 + có tất bao nhiêu điểm chung ? A B C Lời giải x = D √ x4 − 2x2 + = −x2 + ⇔ x4 − x2 − = ⇔ √ x=− Chọn đáp án D Câu 154 Cho hàm số y = x3 − 3x có đồ thị (C) Tìm số giao điểm (C) và trục hoành A B C D Lời giải √ Ta có y = ⇔ x3 − 3x = ⇔ x = 0, x = ± Do đó số giao điểm (C) và trục hoành là Chọn đáp án B Câu 155 Biết đường thẳng y = −2x + cắt đồ thị hàm số y = x3 + x + điểm nhất; kí hiệu (x0 ; y0 ) là tọa độ điểm đó Tìm y0 A y0 = Lời giải B y0 = C y0 = D y0 = −1 (47) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 47 Phương trình hoành độ giao điểm đường thẳng và đồ thị hàm số là: x3 + x + = −2x + ⇔ x3 + 3x = ⇔ x = y(0) = Chọn đáp án C Câu 156 Tìm tất các giá trị thực tham số m để đường thẳng y = mx − m + cắt đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + x + ba điểm A, B, C phân biệt cho AB = BC A m ∈ (−∞; 0] ∪ [4; +∞) Ç å ( C m ∈ − )(4); +∞ Lời giải B m ∈ R D m ∈ (−2; +∞) Đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + x + có tâm đối xứng là I(1; 1) luôn nằm trên đường thẳng y = mx − m + nên cần đường thẳng cắt đồ thị ba điểm phân biệt thì thỏa mãn đề bài Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị và đường thẳng là x3 −3x2 +x+2 = mx−m+1 ⇐⇒ (x − 1) ((x − 1)2 − (m + 2)) = Phương trình này có nghiệm phân biệt m + > ⇐⇒ m > −2 Chọn đáp án D x−2 có đồ thị (C).Gọi I là giao điểm hai tiệm cận (C) Xét x+2 tam giác ABI có hai đỉnh A, B thuộc (C), đoạn thẳng AB có độ dài bằng: √ √ B C D A 2 Câu 157 Cho hàm số y = Lời giải √ Dễ thấy hệ số góc đường thẳng IA là k = tan 165◦ = − Ä√ ä Suy IA : y = − (x + 2) + Ä√ ä 4 √ Hoành độ điểm A thỏa mãn − (x + 2) + = − ⇒ (x + 2)2 = (x + 2) 2− s » Ä√ ä2 4 √ + 3−2 √ = Suy IA = (x + 2)2 + (y − 1)2 = 2− 2− Chọn đáp án B 14 x − x có đồ thị (C) Có bao nhiêu điểm A thuộc (C) cho 3 tiếp tuyến (C) A cắt (C) hai điểm phân biệt M (x1 ; y1 ) , N (x2 ; y2 ) (M, N 6= A) thỏa Câu 158 Cho hàm số y = mãn y1 − y2 = (x1 − x2 )? A B C D Lời giải √ x=− 28 x=0 Cách 1: Gọi d là tiếp tuyến (C) A y = x3 − x ⇒ y = ⇔ 3 √ x= Ä √ √ ä Do đó tiếp tuyến A cắt (C) M , N ⇒ xA ∈ − 7; y1 − y2 Ta có: y1 − y2 = (x1 − x2 ) ⇒ = ⇒ kd = x1 − x2 (48) 48 Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số x =3 A xA = −1 28 xA = −1 Đối chiếu điều kiện: Vậy có điểm A thỏa ycbt xA − xA = ⇔ 3 xA = −2 xA = −2 å Ç 14 Cách 2: Gọi A a; a − a là tọa độ tiếp điểm 3 Ç å 28 14 Phương trình tiếp tuyến A là d : y = a − a (x − a) + a4 − a2 3 3 Phương trình hoành độ giao Ç å điểm (C) và d là: 28 14 28 x − x = a − a (x − a) + a4 − a2 3 3 3 x=a ⇔ (x − a)2 (x2 + 2ax + 3a2 − 14) = ⇔ x + 2ax + 3a2 − 14 = (1) Để (C) cắt d điểm phân biệt ⇔ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác a ( √ ) ∆>0 Ä √ √ ä ⇔ a ∈ − 7; \ ± √ ⇔ 6a − 14 6= Ç å 28 Theo đề bài: y1 − y2 = (x1 − x2 ) ⇔ a − a (x1 − x2 ) = (x1 − x2 ) 3 a=3 28 ⇔ a − a=8⇔ a = −1 3 a = −2 a = −1 Đối chiếu điều kiện: Vậy có điểm A thỏa đề bài a = −2 Chọn đáp án B x−1 có đồ thị (C) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận (C) x+2 Xét tam giác ABI có hai đỉnh A, B thuộc (C), đoạn thẳng AB có độ dài √ √ √ A B C D 2 Câu 159 Cho hàm số y = Lời giải x−1 =1− có I(−2; 1) là giao điểm hai đường tiệm cận x + 2å x + 2 å Ç Ç 3 #» A a − 2; − a ∈ (C) IA = a; − a IA = a + a å Ç å và Xét Ç ⇒ 3 #» IB B b − 2; − IB = b2 + ∈ (C) = b; − b b b2 IA2 = IB # » # » Tam giác ABI và cos IA, IB = cos 60◦ 9 a2 + = b2 + (1) 9 2 a b a + = b + a b ⇔ #» # » ⇔ ab + IA.IB ab = (2) = IA.IB a2 + a2 Ta có (C) : y = Từ (2) ta suy ab > vàÇa2 6= b2 (do å A 6≡ B) Từ (1) ta suy (a2 − b2 ) − 2 = ⇒ ab = ab (49) Với ab = 3, thay vào (2) ta tìm a2 + = 12 Vậy AB = IA = a2 a2 + √ = a Chọn đáp án B x−2 có đồ thị (C) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận (C) x+1 Xét tam giác ABI có hai đỉnh A, B thuộc (C), đoạn thẳng AB có độ dài √ √ √ √ A B 2 C D Câu 160 Cho hàm số y = Lời giải Chọn đáp án A Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Câu 161 Cho hàm số y = x4 − x2 có đồ thị (C) Có bao nhiêu điểm A thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) A cắt (C) hai điểm phân biệt M (x1 ; y1 ), N (x2 ; y2 ) thỏa mãn y1 − y2 = (x1 − x2 )? A B C D Lời giải Chọn đáp án D −x + có đồ thị (C) và điểm A(a; 1) Gọi S là tập hợp tất các x−1 giá trị thực a để có đúng tiếp tuyến (C) qua A Tổng giá trị tất phần tử S Câu 162 Cho hàm số y = A B C D Lời giải −1 (x − 1)2 Giả sử tiếp tuyến qua A (a; 1) là tiếp tuyến điểm có hoành độ x = x0 , −1 −x0 + đó phương trình tiếp tuyến có dạng : y = (d) (x − x0 ) + x0 − (x0 − 1) TXĐ : x = R\ {1} ; y = Vì A ∈ d nên thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta có : = −x0 + x0 − ⇔ −a + x0 − x20 + 3x0 − = x20 − 2x0 + ⇔ 2x20 − 6x0 + + a = (∗) −1 (a − x0 ) + (x0 − 1)2 Để có tiếp tuyến qua A thì phương trình (*) có nghiệm ⇔ ∆0 = ⇔ − (3 + a) = ⇔ − 2a = ⇔ a = ⇒ S = Chọn đáp án B ® ´ Chương Hàm số lũy thừa- Hàm số mũ và Hàm số lô-ga-rít §1 Lũy thừa Tính giá trị biểu thức chứa lũy thừa √ Câu 163 Rút gọn biểu thức P = x · x với x > A P = x B P = x2 C P = 49 √ x D P = x (50) 50 Chương Hàm số lũy thừa- Hàm số mũ và Hàm số lô-ga-rít Lời giải 1 1 Ta có: P = x x = x + = x = √ x Chọn đáp án C Câu 164 Rút gọn biểu thức Q = b : Ta có Q = b : A Q = b2 Lời giải √ b với b > C Q = b− B Q = b D Q = b √ 5 b = b3 : b3 = b3−3 = b3 Chọn đáp án D Ä ä2016 √ ä2017 Ä √ Câu 165 Tính giá trị biểu thức P = + 4 3−7 √ A P = B P = − Ä √ √ ä2016 C P = + D P = + Lời giải √ äÄ √ ä2016 Ä √ √ ä2017 Ä √ ä2016 Ä ä2016 3−7 = 7+4 7+4 3−7 7+4 √ ä2 ò2016 Ä √ √ ä ïÄ ä2016 Ä 3−7 = 7+4 2+ Ä √ ä ïÄ √ ä2 ò2016 ï Ä √ ä2 ò2016 Ä = 7+4 2+ − 2− √ äï Ä √ ä2 Ä √ ä2 ò2016 Ä = 7+4 − 2+ 2− √ ä √ ä Ä Ä = + = + Chọn đáp án C Biến đổi, rút gọn, biểu diễn các biểu thức chứa lũy thừa q » √ Câu 166 Cho biểu thức P = x x2 x3 , với x > Mệnh đề nào đây đúng ? 13 A P = x Lời giải q P = x » √ x2 B P = x 24 q x3 = x » 3 x2 x q = C P = x » x x = » x.x = » 13 D P = x 13 x = x 24 Chọn đáp án B §2 Hàm số lũy thừa Tập xác định hàm số chứa hàm lũy thừa Câu 167 Tìm tập xác định D hàm số y = (x − 1) A D = (−∞; 1) B D = (1; +∞) C D = R D D = R \ {1} Lời giải Chọn đáp án B −3 Câu 168 Tìm tập xác định D hàm số y = (x2 − x − 2) A D = R B D = (0; +∞) (51) Lô-ga-rít 51 C D = (−∞; −1) ∪ (2; +∞) D D = R \ {−1; 2} Lời giải Điều kiện xác định: x2 − x − 6= ⇔ x 6= −1 và x 6= Chọn đáp án D Đạo hàm hàm số lũy thừa Câu 169 Với a là số thực dương tuỳ ý, ln(7a) − ln(3a) ln 7 ln(7a) B C ln A ln(3a) ln 3 Lời giải D ln(4a) Chọn đáp án C §3 Lô-ga-rít Tính giá trị biểu thức chứa lô-ga-rít Câu 170 Cho a là số thực dương khác Tính I = log√a a A I = 12 C I = −2 B I = D I = Lời giải I = log√a a = loga 12 a = loga a = Chọn đáp án D Câu 171 Với a, b là các số thực dương tùy ý và a khác 1, đặt P = loga b3 + loga2 b6 Mệnh đề nào đây đúng? A P = loga b B P = 27 loga b C P = 15 loga b D P = loga b Lời giải P = loga b3 + loga2 b6 = loga b + 12 loga b = loga b Chọn đáp án D Câu 172 (QG17,102) Cho a là số thực dương khác Mệnh đề nào đây đúng với số thực dương x, y? x y loga xy x y loga xy A loga = loga x − loga y B loga = loga x + loga y C = loga (x − y) D = loga x loga y Lời giải Áp dụng công thức sách giáo khoa loga x y = loga x − loga y Chọn đáp án A Câu 173 Với a là số thực dương bất kỳ, mệnh đề nào đây đúng? C log a3 = log a A log(3a) = log a B log a3 = log a Lời giải D log(3a) = log a Ta có: log a3 = log Chọn đáp án C Câu 174 (QG17,102) Cho loga b = và loga c = Tính P = loga (b2 c3 ) (52) 52 Chương Hàm số lũy thừa- Hàm số mũ và Hàm số lô-ga-rít A P = 31 B P = 13 C P = 30 D P = 108 Lời giải Ta có P = loga (b2 c3 ) = loga b + loga c = 2.2 + 3.3 = 13 Chọn đáp án B Câu 175 Cho a là số thực dương tùy ý khác Mệnh đề nào đây đúng? 1 C log2 a = D log2 a = − loga A log2 a = loga B log2 a = log2 a loga Câu 176 Với a, b, x là các số thực dương thỏa mãn log2 x = log2 a + log2 b, mệnh đề nào đây đúng? A x = 3a + 5b B x = 5a + 3b C x = a5 + b3 D x = a5 b3 Lời giải Ta có log2 x = log2 a + log2 b = log2 a5 + log2 b3 = log2 (a5 b3 ) ⇒ x = a5 b3 Chọn đáp án D Ç 2å a Câu 177 Cho a là số thực dương khác Tính I = log a 1 B I = C I = − A I = 2 Lời giải.Å ã Å ã a a I = log a2 = log a2 = (vì a 6= 2) 2 Chọn đáp án B D I = −2 Câu 178 Với các số thực dương a, b bất kì Mệnh đề nào đây đúng ? A ln(ab) = ln a + ln b a ln a C ln = b ln b Lời giải B ln(ab) = ln a ln b a D ln = ln b − ln a b log tích tổng log, log thương hiệu log tử log mẫu Chọn đáp án A Câu 179 Cho a là số thực dương, a 6= và P = log √ a a Mệnh đề nào đây đúng? A P = B P = C P = D P = Lời giải 3 Ta có log √ a a = log a = loga a = a3 Chọn đáp án C Câu 180 Cho loga x = 3, logb x = với a, b là các số thực lớn Tính P = logab x A P = 12 B P = 12 C P = 12 D P = 12 Lời giải loga x = 3, logb x = 4, a, b > nên x > và logx a = 31 , logx b = logx ab = 12 Vậy logab x = Chọn đáp án D logx ab = nên logx a + logx b = 12 đó 12 (53) Lô-ga-rít 53 1+log12 x+log12 y log12 (x+3y) = Câu 181 Cho x, y là các số thực lớn thỏa mãn x2 + 9y = 6xy Tính M = A M = 14 C M = 21 B M = D M Lời giải Ta có x2 + 9y = 6xy ⇔ (x + 3y)2 = 12xy nên M = 1+log12 x+log12 y log12 (x+3y) = log12 (12xy) log12 (x+3y)2 = Chọn đáp án B Câu 182 Với các số thực dương x, y tùy ý, đặt log3 x = α, log3 y = β Mệnh đề nào đây đúng? Ç √ å3 Ç √ å3 ã Å x α A log27 −β =9 y Ç √ å3 ã Å x α C log27 +β =9 y x α = + β y Ç √ å3 x α D log27 = − β y B log27 Câu 183 Cho log3 a = và log2 b = Tính I = log3 [log3 (3a)] + log b2 A I = B I = C I = D I = Lời giải Ta có I = log3 [log3 (3a)] + log b2 = log3 (log3 + log3 a) + log2−2 b2 1 ⇒ I = log3 (1 + 2) − log2 b = log3 − log2 b = − = 2 Chọn đáp án D Câu 184 Với số thực dương a và b thỏa mãn a2 + b2 = 8ab, mệnh đề nào đây đúng? B log(a + b) = + log a + log b A log(a + b) = (log a + log b) 1 C log(a + b) = (1 + log a + log b) D log(a + b) = + log a + log b 2 Lời giải a2 + b2 = 8ab ⇔ (a + b)2 = 10ab ⇔ log(a + b)2 = log(10ab) ⇔ log(a + b) = (1 + log a + log b) Chọn đáp án C Biến đổi, rút gọn, biểu diễn biểu thức chứa lô-ga-rít Câu 185 Với a là số thực dương tùy ý, ln(5a) − ln(3a) ln(5a) B ln(2a) C ln A ln(3a) Lời giải 5a Ta có ln(5a) − ln(3a) = ln = ln 3a Chọn đáp án C D ln ln Ç å Câu 186 Với a là số thực dương tùy ý, log3 A − log3 a B − log3 a a C n#»3 = (2; 1; 3) D n#»2 = (−1; 3; 2) Lời giải Chọn đáp án A Câu 187 ÇVới các số thực dương a, b bất kì Mệnh đề nàoÇdưới åđây đúng ? 3å 2a 2a3 A log2 = + 3log2 a − log2 b B log2 = + log2 a − log2 b b b (54) 54 Chương Hàm số lũy thừa- Hàm số mũ và Hàm số lô-ga-rít Ç C log2 2a3 b å Ç = + 3log2 a + log2 b D log2 2a3 b å = + log2 a + log2 b Lời Ç giải å 2a3 = log2 (2a3 ) − log2 (b) = log2 + log2 a3 − log2 b = + 3log2 a − log b log2 b Chọn đáp án A Câu 188 Đặt a = log2 3, b = log5 Hãy biểu diễn log6 45 theo a và b a + 2ab 2a2 − 2ab A log6 45 = B log6 45 = ab ab 2a2 − 2ab a + 2ab D log6 45 = C log6 45 = ab + b ab + b Lời giải 2+ log3 45 log3 (32 5) + log3 b = 2ab + a log6 45 = = = log3 log3 (2.3) + log3 ab + b 1+ b Chọn đáp án C Câu 189 Cho các số thực dương a, b, với a 6= 1Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? A loga2 (ab) = loga b B loga2 (ab) = + loga b 1 C loga2 (ab) = loga b D loga2 (ab) = + loga b 2 Lời giải 1 1 loga2 (ab) = loga (ab) = (1 + loga b) = + loga b 2 2 Chọn đáp án D √ √ Câu 190 Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a 6= 1, a 6= b và loga b = Tính P = b log √b a a √ √ √ √ A P = −5 + 3 B P = −1 + C P = −1 − D P = −5 − 3 Lời giải √ √ b loga b − 3−1 Ta có log b = =√ = −1 − a a 21 3−2 loga b − Chọn đáp án C √ Câu 191 Cho a > 0, b > thỏa mãn log3a+2b+1 (9a2 + b2 + 1) + log6ab+1 (3a + 2b + 1) = Giá trị a + 2b A B C D Lời giải 3a + 2b + 2 >1 log3a+2b+1 (9a2 + b2 + 1) > Ta có a > 0, b > nên 9a + b + > ⇒ log 6ab+1 (3a + 2b + 1) > 6ab + > Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương ta » log3a+2b+1 (9a2 + b2 + 1) + log6ab+1 (3a + 2b + 1) > log3a+2b+1 (9a2 + b2 + 1) log6ab+1 (3a + 2b + 1) » ⇒ > log6ab+1 (9a2 + b2 + 1) ⇒ log6ab+1 (9a2 + b2 + 1) (55) Hàm số mũ Hàm số lô-ga-rít 55 ⇒ 9a2 + b2 + 6ab + ⇒ (3a − b)2 ⇒ 3a = b Với 3a = b, dấu “=” bất đẳng thức đầu tiên đã xảy nên log3a+2b+1 (9a2 + b2 + 1) = log6ab+1 (3a + 2b + 1) = ⇔ log3b+1 (2b2 + 1) = log2b2 +1 (3b + 1) = ⇔ 2b2 + = 3b + ⇔ 2b2 − 3b = ⇔ b = (vì b > 0) +3= 2 Chọn đáp án C Vậy a + 2b = Câu 192 Cho a > 0, b > thỏa mãn log2a+2b+1 (4a2 + b2 + 1) + log4ab+1 (2a + 2b + 1) = Giá trị a + 2b 15 A Lời giải B C D Chọn đáp án A So sánh các biểu thức lô-ga-rít Câu 193 Cho hai số thực a và b, với < a < b Khẳng định nào đây là khẳng định đúng ? A loga b < < logb a B < loga b < logb a C logb a < loga b < D logb a < < loga b Lời giải logb a < < loga b Chọn đáp án D Câu 194 Cho a > 0; b > thỏa mãn log4a+5b+1 (16a2 + b2 + 1) + log8ab+1 (4a + 5b + 1) = Giá trị a + 2b bằng: A B C 27 D 20 Lời giải Áp dụng BĐT Cauchy: 16a2 + b2 ≥ 8ab Suy log4a+5b+1 (16a2 + b2 + 1) + log8ab+1 (4a + 5b + 1) ≥ log4a+5b+1 (8ab + 1) + log8ab+1 (4a + 5b + 1) ≥ log4a+5b+1 (8ab + 1) = Dấu = xảy ra: 4a = b 27 ⇒ a + 2b = ⇒ b=3 a= Chọn đáp án C §4 Hàm số mũ Hàm số lô-ga-rít Tập xác định hàm số mũ, hàm số lô-ga-rít Câu 195 Tìm tập xác định D hàm số y = log3 (x2 − 4x + 3) √ √ A D = (2 − 2; 1) ∪ (3; + 2) B D = (1; 3) C D = (−∞; 1) ∪ (3; +∞) D D = (−∞; − √ 2) ∪ (2 + √ 2; +∞) (56) 56 Chương Hàm số lũy thừa- Hàm số mũ và Hàm số lô-ga-rít Lời giải Điều kiện xác định x2 − 4x + > ⇔ x ∈ (−∞; 1) ∪ (3; +∞) Chọn đáp án C Câu 196 (QG17,102) Tính đạo hàm hàm số y = log2 (2x + 1) A y = B y = (2x + 1) ln (2x + 1) ln 2 C y = D y = 2x + 2x + Lời giải Chọn đáp án B A D = R \ {−2} x−3 x+2 B D = (−∞; −2) ∪ [3; +∞) C D = (−2; 3) D D = (−∞; −2) ∪ (3; +∞) Câu 197 Tìm tập xác định D hàm số y = log5 Lời giải Hàm số xác định x−3 x+2 > ⇐⇒ x ∈ (−∞; −2) ∪ (3; +∞) Chọn đáp án D Câu 198 Tìm tập xác định D hàm số y = log2 (x2 − 2x − 3) A D = (−∞; −1] ∪ [3; +∞) B D = [−1; 3] C D = (−∞; −1) ∪ (3; +∞) D D = (−1; 3) Lời giải x2 − 2x − > ⇔ x ∈ (−∞; −1) ∪ (3; +∞) Chọn đáp án C Câu 199 Tìm tất các giá trị thực tham số m để hàm số y = log (x2 − 2x − m + 1) có tập xác định là R A m ≥ B m < C m ≤ D m > Lời giải Hàm số y = log (x2 − 2x − m + 1) xác định ⇔ x2 − 2x − m + > Hàm số có tập xác định là R ⇔ bất phương trình x2 − 2x − m + > xảy với x ⇔ ∆ = + (m − 1) < ⇔ m < Chọn đáp án B Câu 200 Tìm tất các giá trị thực tham số m để hàm số y = ln(x2 − 2x + m + 1) có tập xác định là R A m = B < m < C m < −1 m > D m > Lời giải x2 − 2x + m + > với x ∈ R ⇐⇒ ∆0 = − m − < ⇐⇒ m > Chọn đáp án D Tính đạo hàm hàm số mũ, hàm số lô-ga-rít (57) Hàm số mũ Hàm số lô-ga-rít 57 Câu 201 Tính đạo hàm hàm số y = 13x A y = x.13x−1 B y = 13x ln 13 C y = 13x D y = 13x ln 13 Lời giải y = 13x ln 13 Chọn đáp án B Câu 202 Cho hàm số f (x) = 2x 7x Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ? A f (x) < ⇔ x + x2 log2 < B f (x) < ⇔ x ln + x2 ln < C f (x) < ⇔ x log7 + x2 < D f (x) < ⇔ + x log2 < Lời giải 2 f (x) < ⇔ 2x 7x < ⇔ 7x < 2−x ⇔ x2 ln < −x ln ⇔ x ln + x2 ln < ⇔ x + x2 log2 < ⇔ x log7 + x2 < Chọn đáp án D Câu 203 Tính đạo hàm hàm số y = x+1 4x − 2(x + 1) ln 22x − 2(x + 1) ln C y = 2x2 Lời giải x+1 y= 4xx x − (x + 1) ln − 2(x + 1) ln y0 = = 42x 22x Chọn đáp án A + 2(x + 1) ln 22x + 2(x + 1) ln D y = 2x2 B y = A y = √ Câu 204 Tính đạo hàm hàm số y = ln + x + 1 Ä ä √ √ B y = A y = √ 1+ x+1 x+1 1+ x+1 Ä ä Ä ä √ √ D y = √ C y = √ x+1 1+ x+1 x+1 1+ x+1 Lời giải Ä ä0 √ Ä Ä ää0 √ 1+ x+1 Ä ä √ √ ln + x + = = √ 1+ x+1 x+1 1+ x+1 Chọn đáp án A Ä Câu 205 Tìm đạo hàm hàm số y = log x ln 10 A y = B y = x x Lời giải y = log x ⇒ y = (log x)0 = x ln 10 Chọn đáp án C ä C y = x ln 10 ln x Câu 206 Cho hàm số y = , mệnh đề nào đây đúng? x 1 A 2y + xy 00 = − B y + xy 00 = C y + xy 00 = − x x x Lời giải D y = 10 ln x D 2y + xy 00 = x2 (58) 58 Chương Hàm số lũy thừa- Hàm số mũ và Hàm số lô-ga-rít − ln x 00 −3 + ln x ,y = x2 x3 − ln x −3 + ln x − ln x − + ln x −1 Khi đó 2y + xy 00 = + x = = 2 3 x x x x Chọn đáp án A Ta có y = Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số mũ, lô-ga-rít Câu 207 Cho hai hàm số y = ax , y = bx với a, b là hai số thực dương khác 1, có đồ thị là (C1 ) và (C2 ) hình bên y (C1 ) (C2 ) Mệnh đề nào đây đúng? A < a < b < O B < b < < a x C < a < < b D < b < a < Lời giải Theo hình vẽ ta có hàm y = ax đồng biến ⇒ a > và hàm số y = bx nghịch biến ⇒ b < Chọn đáp án B Câu 208 Cho ba số thực dương a, b, c khác Đồ thị các hàm số y = ax , y = bx , y = cx cho hình vẽ bên Mệnh đề nào đây đúng? , A a < b < c B a < c < b C b < c < a D c < a < b Lời giải Từ đồ thị suy < a < < c < b Chọn đáp án B Câu 209 Tìm tập hợp tất các giá trị tham số thực m để hàm số y = ln (x2 + 1) − mx + đồng biến trên khoảng (−∞; +∞) A (−∞; −1] Lời giải B (−∞; −1) C [−1; 1] D [1; +∞) (59) Hàm số mũ Hàm số lô-ga-rít 59 2x − m ≥ 0, ∀x ∈ (−∞; +∞) +1 y = ln (x2 + 1) − mx + đồng biến trên (−∞; +∞) ⇔ y = x2 2x −2x2 + ⇔ g(x) = = ⇔ x = ±1 ≥ m, ∀x ∈ (−∞; +∞) Mà g (x) = x +1 (x + 1)2 2x Dựa vào bảng biến thiên g(x) ta có: ≥ m, ∀x ∈ (−∞; +∞) ⇔ m ≤ −1 x +1 Chọn đáp án A Câu 210 Cho hàm số f (x) = x ln x Đồ thị nào đây là đồ thị hàm số y = f (x) Tìm đồ thị đó y y O y x A O y 1 B x O x C O D x Lời giải Ta có f (x) = (x ln x)0 = ln x + 1, ∀x > 0.f (1) = Hàm số f (x) = ln x + 1, x 6= có điều kiện x > 0, nên loại đáp án A và D Hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ x = < nên loại e B Đồ thị hàm số f (x) = ln x + là : y O x Chọn đáp án C Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức chứa hàm mũ, hàm lô-ga-rít Câu 211 Xét các số thực a, b thỏa mãn a > b > Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P = log2a (a2 ) + 3logb b A Pmin = 19 B Pmin = 13 Ä ä a b C Pmin = 14 D Pmin = 15 Lời giải Å ã ï Å Å ã h i2 a a ãò2 a a ta có P = log a (a ) + 3logb = 2log ab a + 3logb = log ab b + 3logb b b b b Å bã h i2 a P = + log ab b + 3logb Đặt t = log ab b > (vì a > b > 1), b Ta có P = 4(1 + t)2 + 3t = 4t2 + 8t + + = f (t) t 3 8t + 8t − (2t − 1)(4t2 + 6t + 3) Nên f (t) = 8t + − = = t t2 t2 Ä ä Vậy f (t) = ⇔ t = Khảo sát hàm số, ta có Pmin = f 12 = 15 2 Å ã Chọn đáp án D Câu 212 Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log3 Pmin P√ = x + y 11 − 19 A Pmin = 1−xy x+2y B Pmin = 3xy + x + 2y − Tìm giá trị nhỏ √ 11 + 19 = (60) 60 Chương Hàm số lũy thừa- Hàm số mũ và Hàm số lô-ga-rít C Pmin √ 18 11 − 29 = 21 D Pmin √ 11 − = Lời giải Chọn đáp án D 9t với m là tham số thực Gọi S là tập hợp tất các giá trị 9t + m2 m cho f (x) + f (y) = với số thực x, y thỏa mãn ex+y ≤ e(x + y) Tìm số phần tử Câu 213 Xét hàm số f (t) = S A B D C Vô số Lời giải ex+y ≤ e(x + y) ⇔ ex+y−1 ≤ x + y ⇔ ex+y−1 − ≤ x + y − Xét g(t) = et − t − với t ∈ R g (t) = et − = ⇔ t = Bảng biến thiên g(t) sau t g (t) −∞ − 0 +∞ +∞ + +∞ g(t) Từ bảng biến thiên ta thấy g(t) ≥ ∀t ∈ R, tức là ex+y−1 − ≥ x + y − 1, kết hợp với giả thiết suy ex+y−1 = x + y ⇔ x + y = Từ đó, với x + y = 1, f (x) + f (y) = f (x) + f (1 − x) = 9x 91−x 9x m2 u2 + 18u + 9m2 + = = + = với u = 9x > 9x + m2 91−x + m2 9x + m2 + 9x · m2 √ m2 u2 + (m4 + 9)u + 9m2 f (x) + f (1 − x) = ∀x ⇔ m4 + = 18 ⇔ m = ± Chọn đáp án D − ab = 2ab + a + b − Tìm giá trị nhỏ a+b √ √ 10 − 10 − C Pmin = D Pmin = 2 Câu 214 Xét các số thực dương a, b thỏa mãn log2 Pmin P√= a + 2b √ 10 − 3 10 − B Pmin = A Pmin = 2 Lời giải Giả thiết tương đương với log2 (2 − 2ab) + (2 − 2ab) = log2 (a + b) + (a + b) ⇔ − 2ab = a + b hàm f (t) = log2 t + t đồng biến trên tập √ xác định 10 − Rút a theo b thay vào P, đó Pmin = Chọn đáp án A Bài toán thực tế Câu 215 Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 6, 6%/ năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng thì sau năm số tiền lãi nhập vào vốn để tính lãi cho năm Hỏi sau ít bao nhiêu năm người đó thu (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền ban đầu, giả định khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra? (61) Hàm số mũ Hàm số lô-ga-rít A 11 năm B 10 năm 61 C 13 năm D 12 năm Lời giải Chọn đáp án A Câu 216 Một người gửi 50 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 6%/năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng thì sau năm số tiền lãi nhập vào gốc để tính lãi cho năm Hỏi sau ít bao nhiêu năm người đó nhận số tiền nhiều 100 triệu đồng bao gồm gốc và lãi? Giả định suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi và người đó không rút tiền A 13 năm B 14 năm C 12 năm D 11 năm Lời giải Số tiền sau x năm tính công thức S = A(1 + 0, 06)x Do số tiền ban đầu là 50 triệu nên 50(1, 06)x > 100 ⇒ x ≥ 12 Vậy sau ít 12 năm số tiền lớn 100 triệu Chọn đáp án C Câu 217 Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 6, %/năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng thì sau năm số tiền lãi nhập vào vốn để tính lãi cho năm Hỏi sau ít bao nhiêu năm người đó thu (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra? A 13 năm B 10 năm C 11 năm D 12 năm Lời giải Chọn đáp án D Câu 218 Một người gởi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0, 4%/tháng Biết không rút tiền khỏi ngân hàng thì sau mối tháng, số tiền lãi nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng Hỏi sau đúng tháng, người đó lĩnh số tiền (cả vốn ban đầu và lãi) gần với số nào đây, thời gian này người đó không rút tiền và lãi suất không thay đổi? A 102.424.000 đồng B 102.423.000 đồng C 102.016.000 đồng D 102.017.000 đồng Lời giải Ta có: T = P (1 + r)n = 100(1 + 0, 4%)6 ≈ 102, 424 triệu Chọn đáp án A Câu 219 Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách : Sau đúng tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách đúng tháng, số tiền hoàn nợ lần là và trả hết tiền nợ sau đúng tháng kể từ ngày vay Hỏi, theo cách đó, số tiền m mà ông A phải trả cho ngân hàng lần hoàn nợ là bao nhiêu ? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi thời gian ông A hoàn nợ 100.(1, 01)3 A m = (triệu đồng) B m = (1, 01)3 (triệu đồng) (1, 01)3 − (62) 62 Chương Hàm số lũy thừa- Hàm số mũ và Hàm số lô-ga-rít C m = 100 × 1, 03 (triệu đồng) D m = 120.(1, 12)3 (triệu đồng) (1, 12)3 − Lời giải Lãi suất 12% / năm = 1% / tháng (do vay ngắn hạn) Sau tháng 1, ông A còn nợ 100.1, 01 − m (triệu) Sau tháng 2, ông còn nợ (100.1, 01 − m).1, 01 − m = 100.1, 012 − 2, 01m (triệu) Sau tháng 3, ông hết nợ đó (100.1, 012 − 2, 01m).1, 01 − m = 100.1, 013 − 3, 0301m = ⇒ m = 100.1, 013 1, 013 = (triệu 3, 0301 1, 013 − đồng) Chọn đáp án B Câu 220 Đầu năm 2016, ông A thành lập công ty Tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên năm 2016 là tỷ đồng Biết sau năm thì tổng số tiền dùng để trả lương cho nhân viên năm đó tăng thêm 15% so với năm trước Hỏi năm nào đây là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên năm lớn tỷ đồng? A Năm 2023 B Năm 2022 C Năm 2021 D Năm 2020 Lời giải Áp dụng công thức (1 + 0, 15)m > ⇔ m > 4, 9594 Vậy sau năm tức là năm 2021 Chọn đáp án C Câu 221 Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 7,5 %/năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng thì sau năm số tiền lãi nhập vào vốn để tính lãi cho năm Hỏi sau ít bao nhiêu năm người đó thu (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền đã gửi, giả định khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra? A 11 năm B năm C 10 năm D 12 năm Lời giải Ç n Áp dụng công thức: Sn = A(1 + r) ⇒ n = log(1+r) Sn A å ⇒ n = log(1+7,5%) (2) ≈ 9,6 Chọn đáp án C §5 Phương trình mũ và phương trình lô-ga-rít Phương trình Câu 222 Tìm tất các giá trị thực tham số m để phương trình 3x = m có nghiệm thực A m ≥ B m ≥ C m > D m 6= Lời giải Vì 3x > với x ∈ R nên phương trình 3x = m có nghiệm thực m > Chọn đáp án C Câu 223 Phương trình 52x+1 = 125 có nghiệm là (63) Phương trình mũ và phương trình lô-ga-rít A x = Lời giải B x = 63 C x = D x = Chọn đáp án C Câu 224 Tìm nghiệm phương trình log2 (x − 5) = A x = 21 B x = C x = 11 D x = 13 Lời giải Điều kiện: x − > ⇔ x > Pt ⇔ x − = 24 ⇔ x = 21 (thỏa điều kiện) Chọn đáp án A Câu 225 (QG17,102) Tìm nghiệm phương trình log2 (1 − x) = A x = −4 B x = −3 C x = D x = Lời giải Điều kiện: x < Ta có log2 (1 − x) = ⇔ − x = ⇔ x = −3 Vậy phương trình có nghiệm x = −3 Chọn đáp án B Câu 226 (QG17,102) Tìm tập nghiệm S phương trình log√2 (x − 1) + log (x + 1) = ¶ ¶ √ © √ √ © A S = + B S = − 5; + C S = {3} D S = n √ o 3+ 13 Lời giải Tập xác định D = (1; +∞) Với x ∈ D, phương trình đã cho tương đương với log√2 (x − 1) + log (x + 1) = ⇔ log2 (x − 1) − log2 (x + 1) = ⇔ log2 √ x = + (chọn) ⇔ x2 − 2x + = 2x + ⇔ x2 − 4x − = ⇔ √ x = − (loại) (x−1)2 (x+1) =1 Chọn đáp án A Câu 227 Phương trình 22x+1 = 32 có nghiệm là B x = C x = A x = 2 Lời giải D x = Ta có 22x+1 = 32 ⇔ 2x + = ⇔ x = Chọn đáp án B Câu 228 Tìm nghiệm phương trình log25 (x + 1) = A x = −6 B x = C x = D x = 23 Lời giải Điều kiện x > −1 Phương trình tương đương với x + = 25 = ⇒ x = Chọn đáp án C (64) 64 Chương Hàm số lũy thừa- Hàm số mũ và Hàm số lô-ga-rít Câu 229 Tập nghiệm S phương trình log3 (2x + 1) − log3 (x − 1) = A S = {4} B S = {3} C S = {−2} D S = {1} Lời giải Điều kiện x > Phương trình tương đương với log3 2x + 2x + =1⇔ = ⇔ 2x + = 3x − ⇒ x = x−1 x−1 Chọn đáp án A Câu 230 Giải phương trình log4 (x − 1) = A x = 63 B x = 65 C x = 80 D x = 82 Lời giải Điện x > Phương trình ⇔ x − = 64 ⇔ x = 65 Chọn đáp án B Câu 231 Tập nghiệm phương trình log3 (x2 − 7) = là ¶ √ √ © A − 15; 15 B {−4; 4} C {4} D {−4} Lời giải Chọn đáp án B Phương pháp đưa cùng số Câu 232 Tìm nghiệm phương trình 3x−1 = 27 A x = B x = C x = D x = 10 Lời giải 3x−1 = 27 ⇔ 3x−1 = 33 ⇔ x − = ⇔ x = Chọn đáp án C Câu 233 Tìm tập nghiệm S phương trình log2 (x − 1) + log2 (x + 1) = A S = {−3; 3} B S = {4} √ √ D S = {− 10; 10} C S = {3} Lời giải Điều kiện: x ≥ Ta có: log2 (x−1)+log2 (x+1) = ⇒ log2 (x2 −1) = ⇒ x2 −1 = 23 ⇒ x=3 x = −3 Đối chiếu điều kiện, ta x = Chọn đáp án C Câu 234 Tổng giá trị tất các nghiệm phương trình log3 x log9 x log27 x log81 x = 82 Lời giải A Điều kiện: x > B 80 C D (65) Phương trình mũ và phương trình lô-ga-rít 65 1 2 ⇔ log3 x log32 x.log33 x.log34 x = ⇔ · · (log3 x)4 = 3 x = = (tm) log3 x = 82 ⇔ ⇔ (log3 x)4 = 16 ⇔ ⇒ x1 + x2 = + = −2 9 log3 x = −2 x2 = = (tm) Chọn đáp án A log3 x log9 x.log27 x.log81 x = Phương pháp đặt ẩn phụ Câu 235 Cho phương trình 4x + 2x+1 − = Khi đặt t = 2x , ta phương trình nào đây? A 2t2 − = B t2 + t − = C 4t − = D t2 + 2t − = Lời giải x 4x + 2x+1 − = ⇐⇒ (22 ) + 2.2x − = ⇐⇒ (2x )2 + 2.2x − = Thay t = 2x ta t2 + 2t − = Chọn đáp án D Câu 236 Gọi S là tập các giá trị nguyên tham số m cho phương trình 4x − m.2x+1 + 2m2 − = có hai nghiệm phân biệt Hỏi S có bao nhiêu phần tử? A B C D Lời giải Chọn đáp án D Câu 237 Tìm tập hợp các giá trị tham số thực m để phương trình 6x + (3 − m) 2x − m = có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) A [3; 4] B [2; 4] Lời giải Ta có: 6x + (3 − m) 2x − m = (1) ⇔ C (2; 4) D (3; 4) 6x + 3.2x =m 2x + 6x + 3.2x xác định trên R, x+1 12x ln + 6x ln + 3.2x ln có f (x) = > 0, ∀x ∈ R nên hàm số f (x) đồng biến trên R (2x + 1)2 Suy < x < ⇔ f (0) < f (x) < f (1) ⇔ < f (x) < vì f (0) = 2, f (1) = Xét hàm số f (x) = Vậy phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) m ∈ (2; 4) Chọn đáp án C Câu 238 Tìm giá trị thực tham số m để phương trình log23 x − m log3 x + 2m − = có hai nghiệm thực x1 ,x2 thỏa mãn x1 x2 = 81 A m = −4 B m = C m = 81 D m = 44 Lời giải Đặt t = log3 x Phương trình trở thành t2 − mt + 2m − = (?) Phương trình đã cho có hai nghiệm x1 x2 = 81 ⇒ log3 (x1 x2 ) = log3 x1 + log3 x2 = log3 81 = Do đó phương trình (?) có hai nghiệm thỏa mãn t1 + t2 = m = Chọn đáp án B (66) 66 Chương Hàm số lũy thừa- Hàm số mũ và Hàm số lô-ga-rít Câu 239 Tìm tất các giá trị thực tham số m để phương trình 4x − 2x+1 + m = có hai nghiệm thực phân biệt A m ∈ (−∞; 1) B m ∈ (0; +∞) C m ∈ (0; 1] D m ∈ (0; 1) Lời giải Xét phương trình 4x − 2x+1 + m = Đặt 2x = t > 0, phương trình đã cho trở thành t2 − 2t + m = Ta có ∆0 = − m Phương trình đã cho có nghiệm thực phân biệt phương trình t2 − 2t + m = có nghiệm dương phân biệt, đó ∆0 >0 m <1 P > ⇔ m > ⇔ < m < 2>0 S>0 Chọn đáp án D Câu 240 Gọi S là tập hợp tất các giá trị nguyên tham số m cho phương trình 16x − m.4x+1 + 5m2 − 45 = có hai nghiệm phân biệt Hỏi S có bao nhiêu phần tử? A 13 B C D Lời giải Đặt t = 4x , t > Phương trình đã cho trở thành t2 − 4mt + 5m2 − 45 = (∗) Với nghiệm t > phương trình (∗) tương ứng với nghiệm x phương trình ban đầu Do đó, yêu cầu bài toán tương đương phương trình (∗) có hai nghiệm dương phân biệt Khi đó ∆0 >0 − m2 + 45 > S > ⇔ 4m > 5m2 − 45 > >0 ⇔ P √ − 5<m m > m < −3 m>3 √ <3 √ ⇔ < m < Do m ∈ Z nên m ∈ {4; 5; 6} Chọn đáp án B Câu 241 Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên tham số m cho phương trình 9x − m.3x+1 + 3m2 − 75 = có hai nghiệm phân biệt Hỏi S có bao nhiêu phần tử? A B C 19 D Lời giải Chọn đáp án B Câu 242 Có bao nhiêu giá trị nguyên dương tham số m để phương trình 16x − 2.12x + (m − 2)9x = có nghiệm dương? A Lời giải B C D (67) Phương trình mũ và phương trình lô-ga-rít 67 Ç å2x 4 x x Xét phương trình 16 − 2.12 + (m − 2) = ⇔ − + m − = Đặt t = >0 3 ta t2 − 2t + m − = ⇔ m = +Ç2t å − t2 (∗) Để phương trình đã cho có nghiệm dương x x > thì phương trình (∗) có nghiệm t = > Xét hàm f (t) = + 2t − t2 , t ∈ (1; +∞) có: f (t) = 2−2t < 0, ∀t > nên hàm số nghịch biến trên (1; +∞) Suy f (t) < f (1) = ⇒ m < x x Ç å Ç å x Mà m nguyên dương nên m ∈ {1; 2} Chọn đáp án B Câu 243 Tìm giá trị thực tham số m để phương trình 9x − 2.3x+1 + m = có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = A m = B m = −3 C m = D m = Lời giải Đặt t = 3x > Phương trình đã cho trở thành: t2 − 6t + m = (*) ∆0 ≥ m ≤ Phương trình (*) có hai nghiệm dương S > ⇔ ⇔ < m ≤ (**) m > P > Gọi t1 , t2 là hai nghiệm (*) Ta có: x1 = log3 t1 ; x2 = log3 t2 Mà x1 + x2 = nên log3 t1 + log3 t2 = ⇒ t1 t2 = ⇒ m = (thỏa (**)) Chọn đáp án C Câu 244 Xét các số nguyên dương a, b cho phương trình a ln2 x + b ln x +5 = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 và phương trình log2 x + b log x + a = có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 thỏa mãn x1 x2 > x3 x4 Tìm giá trị nhỏ Smin S = 2a + 3b A Smin = 30 B Smin = 25 C Smin = 33 D Smin = 17 Lời giải Xét hai phương trình at2 + bt + = (1) và 5t2 + bt + a = (2) (1) có hai nghiệm t1 , t2 và (2) có hai nghiệm t3 , t4 Để hai phương trình có nghiệm thì ∆ > ⇐⇒ b2 > 20a Giả sử t1 = ln x1 ; t2 = ln x2 ; t3 = log x3 ; t4 = log x4 Theo giả thiết x1 x2 > x3 x4 ⇐⇒ et1 +t2 > 10t3 +t4 , theo b b Viet ta có e− a > 10− , dẫn đến a > > Vì a nguyên, nên giá trị nhỏ a = 3, suy ln 10 giá trị nhỏ b = Vậy Smin = 30 Chọn đáp án A Phương pháp hàm số, đánh giá Câu 245 Cho phương trình 7x +m = log7 (x − m) với m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên m ∈ (−25; 25) để phương trình trên có nghiệm? A B 25 C 24 Lời giải 7x + m = log7 (x − m) ⇔ 7x + x = log7 (x − m) + x − m ⇔ x = log7 (x − m) ⇔ m = x − 7x g(x) = x − 7x ⇔ g (x) = − 7x ln g (x) = ⇔ x = log7 ln D 26 (68) 68 Chương Hàm số lũy thừa- Hàm số mũ và Hàm số lô-ga-rít Do đó m ≤ −0, 85, m ∈ (−25; 25) ⇒ −25 < m ≤ −0, 85 ⇒ m ∈ {−24; −23; ; −1} Vậy có 24 giá trị nguyên m Chọn đáp án C Câu 246 Hỏi phương trình 3x2 − 6x + ln(x + 1)3 + = có bao nhiêu nghiệm phân biệt? A B C D Lời giải Điều kiện: x > −1 Phương trình đã cho tương đương với 3x2 − 6x + ln(x + 1) = ⇔ x2 − 2x + ln(x + 1) = Xét hàm y = x2 − 2x + ln(x + 1), y = 2(x − 1) + x+1 √ y = ⇔ 2x2 − = ⇔ x = ± (thỏa mãn điều kiện) √ ! √ ! √ ! √ ! 2 2 y ≈ −0, 38; y − ≈ 0, 67 ⇒ y y − < 2 2 Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt Chọn đáp án C Câu 247 Cho phương trình 5x + m = log5 (x − m) với m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên m ∈ (−20; 20) để phương trình đã cho có nghiệm? A 20 B 19 C D 21 Lời giải Điều kiện x > m Ta có 5x + m = log5 (x − m) ⇔ 5x + x = x − m + log5 (x − m) (1) Xét hàm số f (t) = 5t + t, f (t) = 5t ln + > 0, ∀t ∈ R Do đó từ (1) suy x = log5 (x − m) ⇔ m = x − 5x Xét hàm số g(x) = x − 5x , g (x) = − 5x ln 5, g (x) = ⇔ x = log5 = − log5 ln = x0 ln Bảng biến thiên x −∞ g (x) − log5 ln + +∞ − g(x0 ) g(x) −∞ −∞ Do đó để phương trình có nghiệm thì m g(x0 ) ≈ −0, 92 Các giá trị nguyên m ∈ (−20; 20) là {−19; −18; · · · ; −1}, có 19 giá trị m thỏa mãn Chọn đáp án B Câu 248 Cho phương trình 2x +m = log2 (x − m) với m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên m ∈ (−18; 18) để phương trình đã cho có nghiệm? A B 19 C 17 D 18 Lời giải Chọn đáp án C (69) Bất phương trình mũ và lô-ga-rít 69 Câu 249 Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên đoạn [−2017; 2017] để phương trình log(mx) = log(x + 1) có nghiệm nhất? A 2017 B 4014 C 2018 D 4015 Lời giải Điều kiện x > −1 log(mx) = log(x + 1) ⇔ log(mx) = log(x + 1)2 mx = x2 + 2x + ⇔ m = x + + x Xét hàm số f (x) = x + + 2, x ∈ (−1; +∞) x 1 f (x) = − , f (x) = ⇔ − = ⇔ x = ±1 Bảng biến thiên x x Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm và m < 1 m=4 Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm và [−2017; 2017] Chọn đáp án C Bài toán thực tế Câu 250 Số lượng loại vi khuẩn A phòng thí nghiệm tính theo công thức s(t) = s(0).2t , đó s(0) là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, s(t) là số lượng vi khuẩn A có sau t phút Biết sau phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu ? A 48 phút B 19 phút C phút D 12 phút Lời giải s (3) = s (0) 23 ⇒ s (0) = s (3) 10000000 = 78125 s (t) = = 128 ⇒ t = 78125 Chọn đáp án C §6 Bất phương trình mũ và lô-ga-rít Bất phương trình Câu 251 Giải bất phương trình log2 (3x − 1) > 10 C x < D x > A x > B < x < 3 Lời giải Điều kiện: x > BPT ⇔ 3x − > ⇔ x > Kết hợp điều kiện ta x > 3 Chọn đáp án A Câu 252 Tìm tập nghiệm S bất phương trình log (x + 1) < log (2x − 1) A S = (2; +∞) B S = (−∞; 2) C S = Ä ä ;2 D S = (−1; 2) (70) Lời giải x + x > −1 ⇒ x > 12 (∗) 2x − > x > Ä ä log (x + 1) < log (2x − 1) ⇔ x + > 2x − ⇔ x − < ⇔ x < Kết hợp (∗) ⇒ S = 12 ; ĐKXĐ: >0 ⇔ Chọn đáp án C > C S = (−2; +∞) Câu 253 Tìm tập nghiệm S bất phương trình 5x+1 − A S = (1; +∞) B S = (−1; +∞) D S = (−∞, −2) Lời giải > ⇔ 5x+1 > 5−1 ⇔ x + > −1 ⇔ x > −2 Chọn đáp án C Ta có 5x+1 − Phương pháp đưa cùng số Câu 254 Tập hợp nghiệm bất phương trình 22x < 2x−6 là A (0; 6) B (−∞; 6) C (0; 64) D (6; +∞) Lời giải TXĐ: D = R Ta có: 22x < 2x+6 ⇔ 2x < x + ⇔ x < Vậy tập nghiệm bất phương trình là (−∞; 6) Chọn đáp án B Phương pháp đặt ẩn phụ Câu 255 Tìm tập nghiệm S bất phương trình log22 x − log2 x + ≥ A S = (−∞; 2) ∪ [16; +∞) B S = [2; 16] C S = (0; 2] ∪ [16; +∞) D S = (−∞; 1] ∪ [4; +∞) Lời giải Bất phương trình có nghĩa x > Đặt t = log2 x bất phương trình thành t2 − 5t + ≥ ⇐⇒ t ≥ hay t ≤ ⇐⇒ log2 x ≥ hay log2 x ≤ ⇐⇒ x ≥ 24 hay x ≤ Vậy tập nghiệm bất phương trình là S = (0; 2] ∪ [16; +∞) Chọn đáp án C Câu 256 Tìm tất các giá trị thực tham số m để bất phương trình log22 x−2 log2 x+3m−2 < có nghiệm thực A m < B m < C m < D m ≤ Lời giải Đặt t = log2 x Với giá trị t, luôn có giá trị x tương ứng Bất phương trình đã cho trở thành t2 − 2t + 3m − < 0; ∆0 = − 3m Vì hệ số a = > 0, bất phương trình t2 − 2t + 3m − < có nghiệm ⇔ ∆0 > ⇔ m < Chọn đáp án A 70 (71) 71 Chương Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng §1 Nguyên hàm Định nghĩa, tính chất và nguyên hàm Câu 257 (QG17,101) Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = cos 3x R R sin 3x A cos 3xdx = sin 3x + C B cos 3xdx = + C R R sin 3x + C D cos 3xdx = sin 3x + C C cos 3xdx = − Lời giải R 1R sin 3x cos 3xdx = cos 3xd(3x) = +C 3 Chọn đáp án B Câu 258 Nguyên hàm hàm số f (x) = x3 + x là A x4 + x2 + C B 3x2 + + C C x3 + x + C D x + x + C Lời giải Z 1 (x3 + x) dx = x4 + x2 + C Chọn đáp án D Ta có Câu 259 Nguyên hàm hàm số f (x) = x4 + x2 là 1 A 4x3 + 2x + C B x5 + x3 + C C x4 + x2 + C Lời giải D x5 + x3 + C Chọn đáp án B Câu 260 Nguyên hàm hàm số f (x) = x3 + x2 là 1 C 3x2 + 2x + C A x4 + x3 + C B x4 + x3 + C Lời giải D x3 + x2 + C Chọn đáp án B Câu 261 Z dx 3x − A ln B ln C ln D ln Lời giải Chọn đáp án C Câu 262 (QG17,101) Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (x) = − sin x và f (0) = 10 Mệnh đề nào đây đúng? A f (x) = 3x + cos x + B f (x) = 3x + cos x + C f (x) = 3x − cos x + D f (x) = 3x − cos x + 15 Lời giải R f (x) = (3 − sin x)dx = 3x + cos x + C Do f (0) = 10 ⇒ + C = 10 ⇒ C = Vậy hàm số là f (x) = 3x + sin x + Chọn đáp án A (72) 72 Chương Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng 5x − R dx B = − ln(5x − 2) + C 5x − 2 R dx D = ln |5x − 2| + C 5x − Câu 263 (QG17,102) Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = dx = ln |5x − 2| + C 5x − R dx C = ln |5x − 2| + C 5x − Lời giải R R dx 1 Ta có = d(5x − 2) = ln |5x − 2| + C 5x − 5(5x − 2) Chọn đáp án A A R Câu 264 Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = 7x Z Z 7x A 7x dx = 7x ln + C B 7x dx = + C ln Z Z x+1 C 7x dx = 7x+1 + C D 7x dx = + C x+1 Câu 265 Tìm nguyên hàm F (x) hàm số f (x) = sin x + cos x thỏa mãn F π = 2 Å ã A F (x) = cos x − sin x + B F (x) = − cos x + sin x + C F (x) = − cos x + sin x − D F (x) = − cos x + sin x + Lời giải Ta có F (x) = Z f (x) dx = − cos x + sin x + C Mà F π = nên C = Å ã Chọn đáp án D Câu 266 Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = sin x Z Z A C Z sin x dx = cos x + C B sin x dx = sin 2x + C D Lời giải Z Ta có sin x dx = Z Z sin x dx = sin2 x + C sin x dx = −2 cos x + C sin x dx = −2 cos x + C Chọn đáp án D √ Câu 267 Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = 2x − √ √ R R A f (x)dx = (2x − 1) 2x − + C B f (x)dx = (2x − 1) 2x − + C 3 √ √ R R 1 D f (x)dx = (2x − 1) 2x − + C C f (x)dx = − (2x − 1) 2x − + C Lời giải √ R√ 1R (2x − 1) 2x − 1dx = (2x − 1) d(2x − 1) = + C = (2x − 1) 2x − + c 2 Chọn đáp án B Câu 268 Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = cos 2x Z Z 1 A f (x) dx = sin 2x + C B f (x) dx = − sin 2x + C 2 Z Z C f (x) dx = sin 2x + C D f (x) dx = −2 sin 2x + C Lời giải Áp dụng công thức Z cos(ax + b)dx = thay a = và b = để có kết sin(ax + b) + C với a 6= 0; a (73) Nguyên hàm 73 Chọn đáp án A Câu 269 Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = x2 + x3 − + C x R x3 C f (x)dx = + + C x Lời giải Ç å R x3 2 Ta có x + dx = − + C x x Chọn đáp án A A R f (x)dx = x2 x3 − + C x R x3 D f (x)dx = + + C x B R f (x)dx = Câu 270 Họ nguyên hàm hàm số f (x) = 3x2 + là x3 A x3 + C B + x + C C 6x + C Lời giải Z Ta có: Ä D x3 + x + C ä 3x2 + dx = x3 + x + C Chọn đáp án D Câu 271 Cho F (x) là nguyên hàm hàm số f (x) = ex + 2x thỏa mãn F (0) = F (x) B F (x) = 2ex + x2 − x D F (x) = e + x + A F (x) = ex + x2 + x C F (x) = e + x + Lời giải Z Z Ta có f (x) dx = Tìm (ex +2x) dx = ex +x2 +C ⇒ F (0) = 1+C = Chọn đáp án D 1 ⇒ C = ⇒ F (x) = ex +x2 + 2 và F (2) = Tính F (3) x−1 C F (3) = D F (3) = Câu 272 Biết F (x) là nguyên hàm f (x) = A F (3) = ln − Lời giải Z B F (3) = ln + 1 dx = ln |x − 1| + C F (2) = ⇔ ln + C = ⇔ C = x−1 Vậy F (x) = ln |x − 1| + Suy F (3) = ln + F (x) = f (x)dx = Z Chọn đáp án B Câu 273 Cho hàm số f (x) xác định trên R\{ 12 } thỏa mãn f (x) = , f (0) = và f (1) = 2x − Giá trị biểu thức f (−1) + f (3) A + ln 15 B + ln 15 C + ln 15 D ln 15 Lời giải dx = ln |2x − 1| + C = ln |2x − 1| + C 2x − f (0) = C = ⇔ f (x) = ln |2x − 1| + ⇒ f (−1) = ln + 1; f (3) = ln + ⇒ f (−1) + f (3) = Ta có : f (x) = Z f (x) dx = Z ln + ln + = ln 15 + Chọn đáp án C Phương pháp đổi biến số (74) 74 Chương Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng Câu 274 Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (2) = − f (1) 35 A − 36 Lời giải và f (x) = 2x[f (x)]2 với x ∈ R Giá trị B − C − f (x) Ta có f (x) = 2x[f (x)] ⇔ = 2x ⇔ f (x) [f (x)] Từ f (2) = − suy C = − 2 Ç å =− Do đó f (1) = −12 + − Chọn đáp án B ñ f (x)6=0 Câu 275 Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (2) = − f (1) A − 35 Lời giải B − 19 36 D − ô0 = −2x ⇔ 15 = −x2 + C f (x) và f (x) = x3 [f (x)]2 với x ∈ R Giá trị 71 20 C − 79 20 D − Chọn đáp án D Phương pháp nguyên hàm phần Câu 276 Cho F (x) = x2 là nguyên hàm hàm số f (x)e2x Tìm nguyên hàm hàm số f (x)e2x A R f (x)e2x dx = −x2 + 2x + C B R f (x)e2x dx = −x2 + x + C C R f (x)e2x dx = 2x2 − 2x + C D R f (x)e2x dx = −2x2 + 2x + C Lời giải 2x F (x) = x là nguyên hàm f (x)e 2x nên 2x = f (x)e Đặt dv R ⇒ f (x)e 2xd 2x x = f (x)e R − f (x)e 2xd u = e2x = f (x)dx du = 2e2xd x v = f (x) ⇒ x = 2x − 2x + C Chọn đáp án D Câu 277 Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (2) = − trị f (1) bằng? −41 A 100 Lời giải B −1 10 và f (x) = 4x3 [f (x)]2 với x ∈ R Giá 25 C −391 400 D f (x) = 4x3 [f (x)]2 Z Z f (x) f −1 (x) Lấy nguyên hàm hai vế ta có dx = 4x dx ⇔ = x4 + C −1 [f (x)]2 −1 Thay x = vào hai vế ta có: = 16 + C ⇔ C = −1 25 1 Vậy − = x + 9, đó − = + = 10 ⇔ f (1) = − f (x) f (1) 10 Chọn đáp án B −1 40 Ta có f (x) = 4x3 [f (x)]2 ⇔ (75) Tích phân 75 Câu 278 Cho F (x) = − số f (x) ln x f (x) Tìm nguyên hàm hàm là nguyên hàm hàm số 3x x ln x ln x A f (x) ln x dx = + + C B f (x) ln x dx = − + C x 5x x 5x Z Z ln x ln x 0 C f (x) ln x dx = + + C D f (x) ln x dx = − + + C x 3x x 3x Lời giải Ç å f (x) 1 Từ giả thiết, = (F (x)) = − = Suy f (x) = x 3x x x Z Để tính f (x) ln x dx, dùng tích phân phần với u = ln x và dv = f (x) dx Z Z Chọn đáp án C Câu 279 Cho F (x) = f (x) ln x f (x) Tìm nguyên hàm hàm số là nguyên hàm hàm số 2x x Ç å ln x A f (x) ln x dx = − + + C 2xå Ç x Z ln x C f (x) ln x dx = − + + C x x Lời giải Z ln x + + C x x Z ln x D f (x) ln x dx = + + C x 2x B Z f (x) ln x dx = f (x) f (x) dx = f (x) ln x − + C Mặt khác, = x x Ç Ç å0 å2x Z ln x ln x =⇒ f (x) ln x = − Vậy f (x) ln x dx = − + + C 2 2x x x 2x Chọn đáp án A Z f (x) ln x dx = Z ln x df (x) = f (x) ln x − Z Câu 280 Cho F (x) = (x − 1)ex là nguyên hàm hàm số f (x)e2x Tìm nguyên hàm hàm số f (x)e2x A R f (x)e2x dx = (4 − 2x)ex + C C R f (x)e2x dx = (2 − x)ex + C 2−x x e + C R D f (x)e2x dx = (x − 2)ex + C B R f (x)e2x dx = Lời giải Ta có f (x)e2x = F (x) = xex Suy R f (x)e2x dx = e2x f (x) − f (x)e2x dx = xex − 2(x − 1)ex = (2 − x)ex + C R Chọn đáp án C §2 Tích phân Định nghĩa, tính chất và tích phân ln x Tính I = F (e) − F (1) x C I = D I = Câu 281 Cho F (x) là nguyên hàm hàm số f (x) = B I = 1e A I = e Lời giải Ta có I = R e ln x dx x = Re ln xd(ln x) = (ln x)2 e = 12 Chọn đáp án C Câu 282 Cho A I = R2 −1 R2 g(x)dx = −1 Tính I = 17 B I = C I = 2 f (x)dx = và −1 R2 −1 [x + 2f (x) − 3g(x)] dx 11 D I = (76) 76 Chương Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng Lời giải R2 −1 [x + 2f (x) − 3g(x)] dx = R2 −1 xdx + R2 −1 f (x)dx − R2 −1 g(x)dx = x2 2 + 2.2 − 3.(−1) = −1 Chọn đáp án C Câu 283 Cho Z π A f (x) dx = Tính I = π B + Z π [f (x) + sin x] dx C D + π Lời giải I= Z π [f (x) + sin x] dx = Z π f (x) dx + π Z π 2 sin x dx = − cos x =7 Chọn đáp án A Câu 284 Z2 e3x−1 dx 1 A (e5 − e2 ) Lời giải Ta có Z2 17 B e − e2 C e5 − e2 D (e + e2 ) 3x−1 e 1 dx = e3x−1 = (e5 − e2 ) 3 Chọn đáp án A Câu 285 Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên đoạn [1; 2], f (1) = và f (2) = Tính I = Z f (x) dx B I = −1 A I = Lời Zgiải I= D I = C I = f (x)dx = f (x) = f (2) − f (1) = − = 1 Chọn đáp án A ln x Câu 286 Cho F (x) là nguyên hàm hàm số f (x) = Tính I = F (e) − F (1) x 1 C I = D I = A I = e B I = e Lời giải Ta có I = R e ln x dx x = Re ln xd(ln x) = (ln x)2 e = 21 Chọn đáp án C Câu 287 Cho A I = Lời giải R2 −1 R2 g(x)dx = −1 Tính I = 17 B I = C I = 2 f (x)dx = và −1 R2 −1 [x + 2f (x) − 3g(x)] dx 11 D I = x2 −1 [x + 2f (x) − 3g(x)] dx = −1 xdx + −1 f (x)dx − −1 g(x)dx = Chọn đáp án C R2 R2 Câu 288 Cho Z A π R2 f (x) dx = Tính I = π B + 2 R2 Z π + 2.2 − 3.(−1) = −1 [f (x) + sin x] dx C D + π 17 (77) Tích phân 77 Lời giải I= Z π [f (x) + sin x] dx = Z π f (x) dx + Z π π 2 sin x dx = − cos x =7 Chọn đáp án A Z dx 2x + B ln 35 A ln Lời giải Câu 289 C ln D ln Chọn đáp án D Z dx Câu 290 Tích phân x+3 16 5 A B log C ln 225 3 Lời giải Z dx = ln |x + 3| = ln − ln = ln Ta có: x+3 Chọn đáp án C Câu 291 Cho Z1 Ç 1 − x+1 x+2 D 15 å dx = a ln + b ln với a, b là các số nguyên Mệnh đề nào đây đúng? B a − 2b = A a + b = C a + b = −2 D a + 2b = Lời giải Z1 Ç 1 − x+1 x+2 å a =2 b = −1 dx = (ln |x + 1| − ln |x + 2|) = ln − ln ⇒ ⇒ a + 2b = Chọn đáp án D Rπ Câu 292 Tính tích phân I = cos3 x sin xdx A I = − π Lời giải B I = −π D I = − C I = Sử dụng máy tính I = Chọn đáp án C Câu 293 Biết I = Z a + b + c A S = dx = a ln + b ln + c ln 5, với a, b, c là các số nguyên Tính S = +x x2 B S = Lời Zgiải C S = −2 D S = dx 1 1 dx Ta có: = = − Khi đó: I = x(x + 1) x x+1 x2 + x x2 + x å x +x Z 4Ç 1 dx = (ln x − ln(x + 1)) = (ln − ln 5) − (ln − ln 4) = ln − ln − ln I= − x x+1 3 Suy ra: a = 4, b = −1, c = −1 Vậy S = I= Chọn đáp án B Phương pháp đổi biến số Z (78) 78 Chương Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng R6 Câu 294 Cho f (x)dx = 12 Tính I = A I = R2 f (3x)dx B I = 36 C I = D I = Lời giải I= R2 R f (3x)d(3x) = 13 R f (u)du (với u = 3x) ⇒ I = 12 = f (3x)dx = 13 0 Chọn đáp án D Câu 295 Tính tích phân I = đúng? A I = R3√ udu R2 √ 2x x2 − 1dx cách đặt u = x2 − 1, mệnh đề nào đây B I = R2√ udu C I = R3√ udu D I = R2√ udu Lời giải Đặt u = x2 − 1, du = 2xdx Đối cận x-1 u=0 x=2 u=3 Vậy I = R3√ udu Chọn đáp án C Câu 296 Cho Z55 16 dx √ = a ln + b ln + c ln 11 với a, b, c là các số hữu tỉ Mệnh đề nào x x+9 đây đúng? A a − b = −c B a + b = c C a + b = 3c D a − b = −3c Lời giải √ Đặt t = x + ⇒ t2 = x + ⇒ 2t dt = dx Đổi cận: x = 16 ⇒ t = ; x = 55 ⇒ t = Ñ é Z55 Z8 Z8 Z Z8 dx 2t dt dt dt dt √ Ta có = =2 = − (t2 − 9)t t2 − t−3 t+3 x x+9 16 5 = (ln |x − 3| − ln |x + 3|) 1 Vậy a = , b = , c = − Mệnh đề a − b = −c đúng 3 Chọn đáp án A Câu 297 Cho Z f (x) dx = 16 Tính tích phân I = 1 = ln + ln − ln 11 3 Z f (2x) dx 0 A I = 32 B I = C I = 16 D I = Lời Zgiải f (2x)dx.Đặt t = 2x ⇒ dt = 2dx Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = Z Z 4 Khi đó: I = f (t)dt = f (x)dx = 2 Chọn đáp án B I= Câu 298 Cho A S = R1 1+e dx = a + b ln , với a, b là các số hữu tỉ Tính S = a3 + b3 +1 B S = −2 C S = D S = ex Lời giải R1 R1 ex dx = dx Đặt t = ex ⇒ dt = ex dx, x e +1 (ex +Ç1)ex å e Re Re 1 t e+1 I= dt = − dt = ln = − ln Khi đó a = 1, b = −1 suy t(t + 1) t t+1 t+1 (79) Tích phân 79 S = Chọn đáp án C Câu 299 Cho hàm số f (x) liên tục trên R và thoả mãn f (x) + f (−x) = √ + cos 2x, ∀x ∈ R 3π R Tính I = f (x)dx − 3π A I = −6 C I = −2 B I = D I = Lời giải Đặt t = −x ⇒ dt = −dx − 3π ⇒I =− Z 3π Z2 f (−x)dx = 3π f (−x)dx − 3π 3π ⇒ 2I = Z2 3π Z2 √ | cos x|dx + cos 2xdx + − 3π − 3π 3π ⇒I= Z2 π | cos x|dx = − 3π −2 Z π (− cos x)dx + Z2 − 3π cos xdx + − π2 − 3π Z (− cos x)dx = π Do đó I = Chọn đáp án D Câu 300 Biết Z √ √ dx √ = a − b − c với a, b, c là các số nguyên dương Tính (x + 1) x + x x + √ P =a+b+c A P = 24 B P = 12 C P = 18 D P = 46 Lời giải √ R √ dx dx √ Ä√ ä Đặt t = = 12 » x+ x+1 ⇒ √ √ (x + 1) x + x x + x (x + 1) x + x + √ √ Ç å 1 x+ x+1 tdx dx 2dt √ + √ dt = dx = √ √ dx = √ √ ⇒ √ √ = Suy x x + 1√ √ t x x+1 x x+1 x x+1 Ç å √ √ R √2+√3 2dt 2+ 1 √ √ √ √ I = 1+ = − = −2 − = 32 − 12 − Do đó a = 32; b = √ t2 t 1+ 2+ 2+1 12; c = ⇒ a + b + c = 46 Tính I = R2 Chọn đáp án D Phương pháp tích phân phần Câu 301 Cho Z e (1 + x ln x) dx = ae2 + be + c với a, b, c là các số hữa tỉ Mệnh đề nào đây đúng? B a + b = −c A a + b = c Lời giải åe x2 ln x x2 (1 + x ln x) dx = x + − 1 Vậy a = , b = 1, c = − ⇒ a − b = c 4 Chọn đáp án C Z e Ç =e+ C a − b = c D a − b = −c e2 e2 e2 − −1+ = +e− 4 4 (80) 80 Chương Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng Câu 302 Cho Z e (2 + x ln x) dx = a.e2 + b.e + c với a, b, c là các số hữu tỉ Mệnh đề nào đây đúng? A a + b = −c C a − b = c B a + b = c D a − b = −c Lời giải Chọn đáp án C Re Câu 303 Tính tích phân I = x ln xdx e2 − B I = A I = Lời giải e2 + C I = e2 − D I = Dùng máy tính kiểm tra đáp án x2 dx ,v = u = ln x, dv = xdx ⇒ du = xÇ 2å e Re x x2 ln x e2 e2 e2 + I= dx = − − = − 1 2 4 Chọn đáp án C R1 Câu 304 Cho hàm số f (x) thỏa mãn R1 0 (x + 1)f (x)dx = 10 và 2f (1) − f (0) = Tính I = f (x)dx A I = −12 B I = D I = −8 C I = 12 Lời giải R1 (x + 1)f (x)dx = 10 Đặt u = x + 1, du = dx, dv = f (x)dx, v = f (x) R1 R1 0 I = [(x + 1)f (x)] |10 − f (x)dx = 10 ⇒ f (x)dx = 2f (1) − f (0) − 10 = − 10 = −8 Chọn đáp án D Tích phân hàm ẩn Tích phân đặc biệt Câu 305 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f (1) = 0, Z Z 1 và x2 f (x)dx = Tích phân f (x)dx 0 7 A B C D Lời giải Ç 3å Z Z Z x 1 Ta có = x f (x)dx = f (x)d = x f (x) − x f (x)dx 3 3 0 0 ÇZ Vậy nên theo Cauchy-Schwarz ta có = Z x f (x)dx å2 ≤ Z 1Ä x ä dx Z [f (x)] dx = Z [f (x)] dx = [f (x)] dx Dấu xảy đến và f (x) = kx3 , kết hợp f (1) = để có f (x) = (1 − x4 ) Từ đó mà có I = Chọn đáp án A ∀ x ∈ R (81) Ứng dụng tích phân 81 §3 Ứng dụng tích phân Diện tích hình phẳng giới hạn các đồ thị √ Câu 306 Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y = + cos x, trục hoành và các đường π thẳng x = 0, x = Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành có thể tích V bao nhiêu? A V = π − B V = (π − 1)π C V = (π + 1)π D V = π + Lời giải Chọn đáp án C Câu 307 Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = ex , y = 0, x = 0, x = Mệnh đề nào đây đúng? A S = π Z2 2x e dx B S = Z2 x e dx C S = π Z2 x e dx D S = Z2 e2x dx Lời giải Diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = ex , y = 0, x = 0, x = tính theo công thức S= Z2 x |e | dx = Z2 ex dx Chọn đáp án B Câu 308 Gọi S là diện tích hình phẳng (H) giới hạn các đường y = f (x) trục hoành và hai đường thẳng x = −1, x = −2 (như hình vẽ bên) Đặt a = R0 −1 f (x)dx, b = R2 f (x)dx,mệnh đề nào đây đúng? y −1 O A S = b − a B S = b + a x C S = −b + a D S = −b − a Lời giải Ta có S = R0 −1 |f (x)|dx + Chọn đáp án A Câu 309 R2 |f (x)|dx = −a + b = b − a (82) 82 Chương Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng Một vật chuyển động với vận tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian t(h) v có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt I đầu chuyển động, đồ thị đó là phần đường parabol có đỉnh I(2; 9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là đoạn thẳng song song với trục hoành Tính quãng đường s mà vật di chuyển đó (kết làm tròn đến hàng phần trăm) A s = 23, 25(km) B s = 21, 58(km) C s = 15, 50(km) D s = 13, 83(km) O t Lời giải Trong [0; 1], v(t) là phần parabol đỉnh (2; 9) và qua (0; 4) nên có phương trình 31 v(t) = − 45 t2 + 5t + Tại t = v(1) = Trong [1; 3], v(t) là phần đường thẳng song song trục hoành nên có phương trình v(t) = Do v = s0 (t) nên s = R1Ä ä − 45 t2 + 5t + dt + R3Ä 31 ä dt = 31 25912 21, 58 ≈ Chọn đáp án B Câu 310 Cho hai hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx − và g (x) = dx2 + ex + y (a, b, c, d, e ∈ R) Biết đồ thị hàm số y = f (x) và y = g (x) cắt ba điểm có hoành độ là −3, −1, (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị đã cho có diện tích 253 125 A B 12 12 253 125 C D 48 48 −3 −1 O x Lời giải Do đồ thị hàm số y = f (x) và y = g (x) cắt ba điểm có hoành độ là −3, −1, nên f (x) − g (x) = a (x + 3) (x + 1) (x − 2) ∀x ∈ R ⇔ f (x) − g (x) = a (x3 + 2x2 − 5x − 6) ∀x ∈ R Hay ax3 + (b − d) x2 + (c − e) x − = a (x3 + 2x2 − 5x − 6), ∀x ∈ R ⇔ a = Z ä 1Ä Vậy diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị trên là: S = x + 2x − 5x − dx −3 Z −1 Ä Z ä ä Ä 253 x + 2x2 − 5x − dx + − x3 + 2x2 − 5x − dx = = 48 −3 −1 Chọn đáp án C Câu 311 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3 − x và đồ thị hàm số y = x − x2 37 A 12 Lời giải B Xét phương trình hoành độ giao điểm C 81 12 D 13 (83) Ứng dụng tích phân 83 x = −2 3 x − x = x − x ⇔ x + x − 2x = ⇔ x=0 x=1 Diện tích cần tính: S= R1 |x3 − x − x + x2 |dx = −2 R0 R1 (x3 + x2 − 2x)dx + (−x3 − x2 + 2x)dx = −2 37 + = 12 12 Chọn đáp án A Câu 312 Cho hình thang cong (H) giới hạn các đường y = ex , y = 0, x = 0, x = ln Đường thẳng x = k (0 < k < ln 4) chia (H) thành hai phần có diện tích là S1 và S2 hình vẽ bên Tìm k để S1 = 2S2 A k = ln B k = ln Lời giải Z Z k Ta có S1 = ex dx = ex |k0 = ek − và S2 = Ä ä C k = ln ln k D k = ln ex dx = ex |ln = − ek k Ta có S1 = 2S2 ⇔ ek − = − ek ⇔ k = ln Chọn đáp án D y Câu 313 Cho hình (H) là hình phẳng giới hạn parabol √ √ y = 3x2 , cung tròn có phương trình y = − x2 (với ≤ x ≤ 2) và trục hoành (phần tô đậm √hình vẽ)> Diện tích √ (H) √ √ 4π − 4π + − − 2π 4π + B C .D A 12 12 2x O Lời giải √ √ x = 1(T M ) Ta có: 3x2 = − x2 ⇔ 3x4 + x2 − = ⇔ (x2 − 1) (x2 + 4) = ⇔ x = −1(L) √ √ Z 2√ Z 2√ Z 1√ Z 2√ 3 Do đó: S = 3x2 dx + − x2 dx = x + − x2 dx = + − x2 dx 3 1 π Z 2√ x = ⇒ sin t = ⇒ t = Tính I = − x2 dx Đặt x = sin t ⇒ dx = cos tdt Đổi cận π6 x = ⇒ sin t = ⇒ t = π/2 π Z π/2 Z 2√ Z π/2 » Z π/2 2 I= − x dx = − 4sin t.2 cos tdt = 4cos tdt = (cos 2t + 1) dt = sin 2t + 2t π/6 π/6 π/6 π/6 π √ √ √ 2π 4π − Suy S = + − = 3 Chọn đáp án B Câu 314 y Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f (x) hình bên Đặt g(x) = 2f (x) − (x + 1)2 Mệnh đề nào đây đúng? A g(−3) > g(3) > g(1) B g(1) > g(−3) > g(3) C g(3) > g(−3) > g(1) D g(1) > g(3) > g(−3) −3 O −2 x (84) 84 Chương Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng Lời giải Ta có g (x) = (f (x) − (x + 1)) Từ g(3) − g(1) = R3 R3 g (x)dx = (f (x) − (x + 1)) dx R3 R3 Tương tự g(3) − g(−3) = −3 g (x)dx = −3 < suy g(3) < g(1) (f (x) − (x + 1)) dx > suy g(−3) < g(3) Chọn đáp án D Câu 315 Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f (x) hình bên Đặt g(x) = 2f (x) + (x + 1)2 y −3 x O −2 −4 Mệnh đề nào đây đúng? A g(1) < g(3) < g(−3) B g(1) < g(−3) < g(3) C g(3) = g(−3) < g(1) D g(3) = g(−3) > g(1) Lời giải g (x) = 2f (x)0 + 2(x + 1) Từ đồ thị ta có g (x) = có nghiệm là −3; 1; và có g(1) < g(3), g(−3) Mặt khác từ đồ thị ta có Z (−g (x)) dx > Z −3 (−g (x)) dx Suy g(3) < g(−3) y −3 x O −2 −4 Vậy ta có g(1) < g(3) < g(−3) Chọn đáp án A và g(x) = dx2 + ex + (a, b, c, d, e ∈ R) Biết đồ thị hàm số y = f (x) và y = g(x) cắt ba điểm có hoành độ là Câu 316 Cho hai hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx − −3; −1; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị đã cho có diện tích A B C D Lời giải (85) Ứng dụng tích phân 85 y −3 −1 O x Do (C) : y = f (x) và (C ) : y = g(x) cắt điểm phân biệt có hoành độ −3; −1 và nên f (x) − g(x) = A(x + 3)(x + 1)(x − 1) Từ giả thiết ta có f (0) − g(0) = − 3 nên −3A = − ⇔ A = 2 1 3 ⇒ f (x) − g(x) = (x + 3)(x + 1)(x − 1) = x3 + x2 − x − 2 2 Diện tích hình phẳng cần tìm là S= = Z−1 Z1 −3 Z−1ñ −1 [f (x) − g(x)] dx + −3 [g(x) − f (x)] dx ô 3 x + x − x− dx − 2 2 Z1 ñ −1 ô 3 x + x − x− dx = − (−2) = 2 2 Chọn đáp án C Câu 317 Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f (x) hình bên y O −3 x −1 −3 Đặt g(x) = 2f (x) + x2 Mệnh đề nào đây đúng? A g(3) < g(−3) < g(1) B g(1) < g(3) < g(−3) C g(1) < g(−3) < g(3) D g(−3) < g(3) < g(1) Lời giải Ta có g (x) = 2f (x) + 2x = ⇔ f (x) = −x Từ hình bên suy g (x) = x = −3, x = x = Hơn nữa, khoảng (−3; 1) đồ thị y = f (x) nằm đồ thị y = −x nên g (x) âm khoảng (−3; 1) Xét tương tự khoảng (1; 3), ta bảng biến thiên g(x) sau (86) 86 Chương Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng y −3 O −1 x −3 y = −x y = f (x) x g (x) −3 − + g(−3) g(3) g(x) g(1) Cần so sánh g(−3) với g(3) Ta có: g(3) − g(−3) = = −2 Z [(−x) − f (x)] dx + −3 Z Z g (x) dx = −3 Z [f (x) + x] dx = −3 [f (x) − (−x)] dx = 2(−S1 + S2 ) < ⇒ g(3) < g(−3), đó S1 , S2 là diện tích phần hình phẳng giới hạn hai đường y = f (x) và y = −x, tương ứng −3 < x < và < x < Chọn đáp án B Câu 318 Cho hai hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx + và g (x) = dx + ex − (a, b, c, d, e ∈ R) Biết đồ thị hàm số y = f (x) và y = g (x) cắt ba y điểm có hoành độ là −2; 1; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị đã cho có diện tích 253 125 A B 48 24 125 253 C D 48 24 Lời giải −2 O x Chọn đáp án A Bài toán thực tế sử dụng diện tích hình phẳng Câu 319 Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời 58 gian quy luật v (t) = t + t (m/s), đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A 120 45 bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A chậm giây so với A và có giá tốc a (m/s2) ( a là số) Sau B xuất phát 15 giây thì đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 25 (m/s) Lời giải B 36 (m/s) C 30 (m/s) D 21 (m/s) (87) Ứng dụng tích phân 87 Chọn đáp án C Câu 320 Ông An có mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn 16m và độ dài trục bé bằng10m Ông muốn trồng hoa trên dải đất rộng 8m và nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1 m2 Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền làm tròn đến hàng nghìn.) A 7.862.000 đồng B 7.653.000 đồng C 7.128.000 đồng D 7.826.000 đồng Lời giải x2 y + = a2 b Từ giả thiết ta có 2a = 16 ⇒ a = và 2b = 10 ⇒ b = 5» y = − 64 − y (E1 ) 2 x y Vậy phương trình elip là + =1⇒ 5» 64 25 y= 64 − y (E1 ) Khi đó diện tích dải vườn giới hạn bởiZcác đường (E1 ); (E2 ); x = −4; x = và diện tích Z √ 5 4√ dải vườn là S = 64 − x2 dx = 64 − x2 dx −4 √ ! π + Tính tích phân này phép đổi biến x = sin t, ta S = 80 √ ! π Khi đó số tiền là T = 80 + 100000 = 7652891, 82 ' 7.653.000 Chọn đáp án B Giả sử elip có phương trình Câu 321 Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là phần đường parabol có đỉnh I(2; 9) với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là đoạn thẳng song song với trục hoành Tính quãng đường v s mà vật di chuyển đó A s = 26, km B s = 28, km O I t C s = 27 km D s = 24 km Lời giải Theo giả thiết, đỉnh parabol là I(2; 9) nên phương trình nó có dạng y = − a(x − 2)2 Và parabol qua gốc tọa độ nên a = Phần đoạn thẳng đồ thị có phương trình (88) 88 Chương Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng 27 (3 ≤ x ≤ 4) Quãng đường mà vật di chuyển là s = y= Z4 Z3 Ç − x2 + 9x å dx + 27 dx = 27 Chọn đáp án C Câu 322 Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời 11 t + t m/s, đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt gian quy luật v(t) = 180 18 đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A chậm giây so với A và có gia tốc a m/s2 ( a là số) Sau B xuất phát 10 giây thì đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 22 m/s B 15 m/s C 10 m/s D m/s Lời giải + Từ đề bài, ta suy ra: tính từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động bị chất điểm B bắt kịp thì A 15 giây, B 10 giây + Biểu thức vận tốc chất điểm B có dạng Z vB (t) = a dt = at + C, lại có vB (0) = nên vB (t) = at + Từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động bị chất điểm B bắt kịp thì quãng đường hai chất điểm là Do đó å Z15 Ç Z10 11 t + t dt = at dt ⇔ 75 = 50a ⇔ a = 180 18 0 Từ đó, vận tốc B thời điểm đuổi kịp A vB (10) = · 10 = 15 m/s Chọn đáp án B Thể tích giới hạn các đồ thị (tròn xoay) Câu 323 Viết công thức tính thể tích V khối tròn xoay tạo quay hình thang cong, giới hạn đồ thị hàm số y = f (x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b(a < b), xung quanh trục Ox Rb A V = π f (x)dx a Rb B V = f (x)dx a Rb C V = π f (x)dx Rb D V = π |f (x)|dx a a Lời giải Rb V = π f (x)dx a Chọn đáp án A Câu 324 Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] Gọi D là hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) Theerb tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành tính theo công thức A V = π Z b C V = π Za f (x)dx b a Lời giải f (x)dx B V = 2π D V = π Z b Z ab a f (x)dx f (x)dx (89) Ứng dụng tích phân 89 Công thức tính thể tích khối tròn xoay tạo thành là: V = π Z b f (x) dx a Chọn đáp án A Câu 325 Cho hình phẳng (H) giới hạn các đường y = x3 + 3, y = 0, x = 0, x = Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành quay (H) xung quanh trục Ox Mệnh đề nào đây đúng? A V = π C V = Z 2Ä ä2 x + dx Z 0Ä B V = π ä2 x + dx D V = Z 2Ä ä x2 + dx Z 0Ä ä x2 + dx 0 Lời giải Chọn đáp án A Câu 326 Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y = √ + sin x, trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = π Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành có thể tích V bao nhiêu? A V = (π + 1) C V = 2π B V = 2π (π + 1) D V = 2π Lời giải √ Ta có −1 ≤ sin x ≤ ⇔ ≤ + sin x ≤ ⇔ ≤ y ≤ √ Do đường cong y = + sin x không cắt trục hoành π Rπ Vậy, ta có V = π (2 + sin x) dx = (2x − cos x) = 2π (π + 1) Chọn đáp án B Câu 327 Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y = √ x2 + 1, trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành có thể tích V bao nhiêu? A V = 4π Lời giải Ta có V = π B V = 2π Z Ä√ x2 + ä2 dx = C V = D V = 4π Chọn đáp án A Câu 328 Cho hình phẳng (H) giới hạn các đường thẳng y = x2 + 2, y = 0, x = 1, x = Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành quay (H) xung quanh trục Ox Mệnh đề nào đây Z Äđúng? ä A V = π x2 + dx C V = π Z12 Ä ä x + dx B V = D V = Z 2Ä ä2 Z12 Ä ä x2 + dx x2 + dx Lời giải Chọn đáp án A Câu 329 Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y = ex , trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành có thể tích V bao nhiêu? (90) 90 Chương Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng A V = πe2 B V = π (e2 + 1) C V = e2 − D V = π (e2 − 1) Lời giải V =π Z1 (ex )2 dx = π 2x π (e2 − 1) e = 2 Chọn đáp án D Câu 330 Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 2(x − 1)ex , trục tung và trục hoành Tính thể tích V khối tròn xoay thu quay hình (H) xung quanh trục Ox A V = − 2e B V = (4 − 2e)π C V = e2 − D V = (e2 − 5)π Lời giải Xét giao điểm 2(x − 1)ex = ⇔ x = Thể tích cần tính: R1 R1 0 V = π [2(x − 1)ex ]2 dx = 4π (x − 1)2 e2x dx = π(e2 − 5) (dùng máy tính thử) Chọn đáp án D Thể tích tính theo mặt cắt S(x) Câu 331 Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x = và x = , biết cắt vật thể mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ x ≤ x ≤ √ thì thiết diện là hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và 3x2 − √ 124π A V = 32 + 15 B V = √ 124 C V = D V = (32 + 15)π Lời giải √ Diện tích thiết diện hình chữ nhật là: S(x) = 3x 3x2 − √ R R Thể tích V cần tìm là:V = 13 S(x)dx = 13 3x 3x2 − 2dx √ Đặt t = 3x2 − ⇔ t2 = 3x2 − ⇒ tdt = 3xdx, x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = Khi đó R 124 V = 15 t2 dt = t3 = 3 Chọn đáp án C Bài toán thực tế và ứng dụng thể tích Câu 332 Một người chạy thời gian giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị là Ç phần å đường parabol với đỉnh I ; và trục đối xứng song song với trục tung hình bên Tính quãng s đường người đó chạy khoảng thời gian 45 phút, kể từ bắt đầu chạy v I O t (91) Ứng dụng tích phân A s = 4, km 91 B s = 2, km C s = 4, km D s = 5, km Lời giải Từ giả thiết ta có hàm vận tốc là v(t) = −32t + 32t Vậy s = Z Ä ä −32t2 + 32t dt = 4, km Chọn đáp án C Ứng dụng tích phân vào bài toán liên môn (lý, hóa, sinh, kinh tế) Câu 333 Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời 13 gian quy luật v (t) = t + t (m/s), đó t (giây) là khoảng thời gian từ lúc A bắt 100 30 đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A chậm 10 giây so với A và có gia tốc a (m/s2 ) ( a là số) Sau B xuất phát 15 giây thì đuổi kịp A.Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 15 (m/s) B (m/s) C 42 (m/s) D 25 (m/s) Lời giải Quãng đường chất điểm Ç å A từ lúc bắt đầu tới lúc gặp nhau: Z 25 13 375 s1 = t + t dt = 100 30 Vận tốc chất điểm B: v (t) = at + C B xuất phát từ trạng thái nghỉ nên v (0) = ⇒ C = Z 15 Quãng đường B từ lúc xuất phát đến gặp nhau: s2 = 225a 375 Suy ra: = ⇔a= 2 Vậy vận tốc B lúc gặp là v = 15 = 25 (m/s) atdt Chọn đáp án D Câu 334 Một ô tô chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = −5t + 10(m/s), đó t là khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét ? A 0,2m B 2m C 10m D 20m Lời giải Ô tô còn thêm giây 5t2 Quãng đường cần tìm là s = v(t)dt = (−5t + 10)dt = − + 10t 0 R2 Chọn đáp án C Câu 335 R2 Ç å = 10(m) (92) v Một vật chuyển động với vận tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị là phần đường parabol có đỉnh I(2; 9) và trục đối xứng song I song với trục tung hình bên Tính quãng đường s mà vật di chuyển đó A s = 24, 25(km) B s = 26, 75(km) C s = 24, 75(km) D s = 25, 25(km) t O Lời giải Ta có v(t) = − 34 t2 + 3t + Quãng đường s = R3 v(t)dt = 24, 75 Chọn đáp án C Chương Số phức §1 Khái niệm số phức Xác định các yếu tố số phức Câu 336 (QG17,101) Số phức nào đây là số ảo? A z = −2 + 3i C z = −2 B z = 3i D z = √ + i Lời giải Số phức ảo là số phức có phần thực nên chọn z = 3i Chọn đáp án B Câu 337 (QG17,101) Cho hai số phức z1 = − 7i và z2 = + 3i Tìm số phức z = z1 + z2 A z = − 4i C z = −2 + 5i B z = + 5i D z = − 10i Lời giải z = z1 + z2 = − 7i + + 3i = − 4i Chọn đáp án A Câu 338 (QG17,102) Cho số phức z = − i + i3 Tìm phần thực a và phần ảo b z A a = 0, b = B a = −2, b = C a = 1, b = D a = 1, b = −2 Lời giải Ta có z = − i + i3 = − 2i Vậy phần thực z là 1, phần ảo z là −2 Chọn đáp án D Câu 339 Cho số phức z = + i Tính |z| A |z| = B |z| = C |z| = D |z| = √ Lời giải √ √ |z| = 22 + = Chọn đáp án D Câu 340 Số phức −3 + 7i có phần ảo A B −7 C −3 Lời giải 92 D (93) Khái niệm số phức 93 Chọn đáp án D Câu 341 Số phức + 6i có phần thực A −5 B C −6 D Lời giải Chọn đáp án B Câu 342 Số phức có phần thực và phần ảo là A −1 − 3i B − 3i C −1 + 3i D + 3i Lời giải Chọn đáp án D Câu 343 Cho số phức z = − 2i Tìm phần thực và phần ảo số phức z̄ A Phần thực −3 và Phần ảo −2i B Phần thực −3 và Phần ảo −2 C Phần thực và Phần ảo 2i D Phần thực và Phần ảo Lời giải Số phức liên hợp z là + 2i, phần thực 3, phần ảo Chọn đáp án D Câu 344 Điểm M hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức z Tìm phần thực và phần ảo số phức z A Phần thực là −4 và phần ảo là B Phần thực là và phần ảo là −4i C Phần thực là và phần ảo là −4 D Phần thực là −4và phần ảo là 3i Lời giải Điểm M hệ trục Oxy có hoành độ x = và tung độ y = −4 Vậy số phức z có phần thực là và phần ảo là −4 Chọn đáp án C √ Câu 345 Kí hiệu a, b là phần thực và phần ảo số phức − 2i Tìm a, b √ √ √ A a = 3; b = B a = 3; b = 2 C a = 3; b = D a = 3; b = −2 Lời giải √ √ z = − 2i có phần thực là và phần ảo là −2 Chọn đáp án D Câu 346 Cho số phức z = − 2i Điểm nào đây là điểm biểu diễn số phức w = iz trên mặt phẳng tọa độ? A Q(1; 2) B N (2; 1) C M (1; −2) D P (−2; 1) Lời giải w = iz = i(1 − 2i) = + i nên điểm biểu diễn w là N (2; 1) Chọn đáp án B Câu 347 (94) 94 Chương Số phức Số phức nào đây có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm M y M hình bên? A z4 = + i B z2 = + 2i C z3 = −2 + i D z1 = − 2i −2 O x Lời giải Điểm M có tọa độ là (−2, 1) đó M biểu diễn số phức z3 = −2 + i Chọn đáp án C Câu 348 Tìm số phức z thỏa mãn z + − 3i = − 2i A z = − 5i C z = − 5i B z = + i D z = − i Lời giải Ta có z + − 3i = − 2i ⇔ z = + i Chọn đáp án B Câu 349 Cho số phức z1 = − 2i, z2 = −3 + i Tìm điểm biểu diễn số phức z = z1 + z2 trên mặt phẳng tọa độ A N (4; −3) B M (2; −5) C P (−2; −1) D Q (−1; 7) Lời giải Ta có z = z1 + z2 = −2 − i Chọn đáp án C Câu 350 Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức phương trình z + = Gọi M , N là các điểm biểu diễn z1 , z2 trên mặt phẳng tọa độ Tính T = OM + ON với O là gốc tọa độ √ A T = 2 B T = C T = D T = Lời giải Giả sử z1 = 2i và z2 = −2i, ta có M (0; 2) và N (0; −2) Do đó, T = OM + ON = Chọn đáp án D Câu 351 Cho hai số phức z1 = 1−3i và z2 = −2−5i Tìm phần ảo b số phức z = z1 −z2 A b = −2 B b = C b = D b = −3 Lời giải z = z1 − z2 = − 3i − (−2 − 5i) = + 2i ⇒ b = Chọn đáp án B Câu 352 Cho số phức z = − 3i Tìm phần thực a z A a = C a = −3 B a = D a = −2 Câu 353 Tìm tất các giá trị thực x, y cho x2 − + yi = −1 + 2i √ √ √ A x = − 2, y = B x = 2, y = C x = 0, y = D x = 2, y = −2 Lời giải x2 Có x2 − + yi = −1 + 2i ⇔ Chọn đáp án C − = −1 y=2 x =0 y =2 ⇒ (95) Khái niệm số phức 95 Câu 354 Tìm số phức liên hợp số phức z = i (3i + 1) A z̄ = − i B z̄ = −3 + i D z̄ = −3 − i C z̄ = + i Lời giải Ta có z = i(3i + 1) = 3i2 + i = −3 + i, suy z = −3 − i Chọn đáp án D Câu 355 Tính môđun số phức z biết z̄ = (4 − 3i)(1 + i) √ √ √ A |z| = 25 B |z| = C |z| = Lời giải Ta có z̄ = (4 − 3i)(1 + i) = + i ⇒ z = − i Do đó |z| = » D |z| = √ √ 72 + (−1)2 = Chọn đáp án C Câu 356 Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn z + + 3i − |z|i = Tính S = a + 3b A S = 73 B S = −5 D S = − 37 C S = Lời giải Chọn đáp án B Câu 357 Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức phương trình 3z − z + = Tính P = |z1 | + |z2 | A P = √ B P = √ Lời giải Phương trình 3z − z + = có nghiệm z1,2 = √ Do đó |z1 | = |z2 | = 1+11 √ = Vậy P = √ C P = 23 √ D P = 14 √ 1±i 11 Chọn đáp án B Câu 358 Cho số phức z thỏa mãn |z| = và |z + 3| = |z + − 10i| Tìm số phức w = z − + 3i A w = −3 + 8i B w = + 3i C w = −1 + 7i D w = −4 + 8i Lời giải Gọi z = x + yi, (x, y ∈ R) Từ |z + 3| = |z + − 10i| , ta có y = 5, suy x = Vậy w = −4 + 8i Chọn đáp án D Câu 359 Cho số phức z thỏa mãn |z + 3| = và |z − 2i| = |z − − 2i| Tính |z| √ √ C |z| = 10 D |z| = 10 A |z| = 17 B |z| = 17 Lời giải Đặt z = a + bi với a, b ∈ R Dùng công thức tính mô-đun số phức biến đổi giả thiết đã cho thành hệ phương trình, giải hệ phương trình ta thu a, b và tính |z| Chọn đáp án C Câu 360 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z − 3i| = và A B Vô số C z z−4 là số ảo? D Lời giải Chọn đáp án C (96) 96 Chương Số phức Câu 361 Gọi S là tập hợp tất các giá trị thực tham số m để tồn số phức z √ thỏa mãn z.z và z − + i = m Tìm số phần tử S A B C Lời giải D √ 3)2 + (y + 1)2 = m2 (m ≥ 0) Để có m+1=2 số phức z, nghĩa là hai đường tròn tiếp xúc ⇐⇒ Vậy có giá trị m thỏa |m − 1| = mãn Tập hợp z là giao hai đường tròn x2 + y = và (x − Chọn đáp án A Biểu diễn hình học số phức Câu 362 M y Điểm M hình vẽ bên là biểu diễn số phức A z = −2 + B z = − C z = + i D z = + i Lời giải 2i −2 O x 2i Điểm M (−2; 1) biểu diễn số phức z = −2 + i Chọn đáp án A Câu 363 Xét các số phức z thỏa mãn (z + 2i) (z − 2) là số ảo Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn có bán kính √ √ A B 2 C D Lời giải Giả sử z = x + yi, (x, y ∈ R) Ta có: (z + 2i) (z − 2) = [x + (2 − y) i] (x − + yi) = (x2 − 2x + y − 2y) + (2x − 2y − 4) i (z + 2i) (z − 2) là số ảo x2 − 2x + y − 2y = ⇔ (x − 1)2 + (y − 1)2 = Chọn đáp án D Câu 364 Xét các số phức z thỏa mãn (z̄ − 2i) (z + 2) là số ảo Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn có bán kính √ √ A 2 B C D Lời giải Chọn đáp án B Câu hỏi lý thuyết Câu 365 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z| (z − − i) + 2i = (7 − i) z? A B C Lời giải Đặt |z| = m ≥ ta có: |z| (z − − i) + 2i = (7 − i) z ⇔ z (|z| − + i) = (6 + i) |z| − 2i ⇔ z [(m − 7) + i] = 6m + (m − 2) i ⇒ |z [(m − 7) + i]| = |6m + (m − 2) i| » ⇔ m (m − 7)2 + = » 36m2 + (m − 2)2 D (97) Phép cộng, trừ và nhân số phức 97 ⇔ (m − 1) (m3 − 13m2 + 4) = ⇔ m=1 m − 13m + = ⇔ m=1 m ≈ 12, 976 m ≈ 0, 5672 , m ≈ −0, 543(l) thử lại MTCT ta chọn đáp án Chọn đáp án B §2 Phép cộng, trừ và nhân số phức Thực phép tính Câu 366 Cho hai số phức z1 = − 3i và z2 = + 3i Tìm số phức z = z1 − z2 A z = 11 C z = −1 − 10i B z = + 6i D z = −3 − 6i Lời giải z = z1 − z2 = (4 − 3i) − (7 + 3i) = (4 − 7) + (−3i − 3i) = −3 − 6i Chọn đáp án D Câu 367 Cho hai số phức z1 = + i và z2 = − 3i Tính môđun số phức z1 + z2 √ √ A |z1 + z2 | = 13 B |z1 + z2 | = C |z1 + z2 | = D |z1 + z2 | = Lời giải z1 + z2 = − 2i ⇒ |z1 + z2 | = » 32 + (−2)2 = √ 13 Chọn đáp án A Câu 368 Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn z + + i = |z| Tính S = 4a + b A S = B S = C S = −2 D S = −4 Lời giải √ a + = a2 + b Ta có Giải ta b = −1, a = − 43 b+1=0 Chọn đáp án D √ Câu 369 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z + − i| = 2 và (z − 1)2 là số ảo? A B Lời giải. C D (x + 2)2 Ta có hệ + (y − 1)2 = Giải ta cặp nghiệm (x − 1)2 − y = Chọn đáp án C Xác định các yếu tố số phức qua các phép toán Câu 370 Tìm hai số thực x và y thỏa mãn (3x + yi) + (4 − 2i) = 5x + 2i với i là đơn vị ảo A x = −2; y = B x = 2; y = C x = −2; y = D x = 2; y = Lời giải Chọn đáp án B (98) 98 Chương Số phức Câu 371 Trên mặt phẳng tọa độ, điểm M là điểm biểu diễn số phức z (như hình vẽ bên) Điểm nào hình vẽ là điểm biểu diễn số phức 2z? A Điểm N B Điểm Q C Điểm E D Điểm P Lời giải Xét M (a, b) biểu diễn số phức z = a + bi(a, b ∈ R) trên mặt phẳng phức Oxy Vậy E(2a, 2b) biểu diễn số phức 2z = 2a + 2bi(a, b ∈ R) trên mặt phẳng phức Oxy Chọn đáp án C Bài toán tập hợp điểm Câu 372 Tìm hai số thực x và y thỏa mãn (2x − 3yi) + (1 − 3i) = x + 6i với i là đơn vị ảo A x = −1; y = −3 B x = −1; y = −1 C x = 1; y = −1 D x = 1; y = −3 Lời giải x + Ta có (2x − 3yi) + (1 − 3i) = x + 6i ⇔ x + − (3y + 9)i = ⇔ 3y =0 +9=0 x = −1 y = −3 ⇔ Chọn đáp án A Câu 373 Xét các điểm số phức z thỏa mãn (z + i)(z + 2) là số ảo Trên mặt phẳng tạo độ, tập hợp tất các điểm biểu diễn số phức z là một√đường tròn có bán kính√bằng 5 A B C D 2 Lời giải Gọi z = x + yi (x, y ∈ R) Ta có (z + i)(z + 2) = (x − yi + i)(x + yi + 2) = (x2 + 2x + y − y) + (x − 2y + 2)i = Vì (z + i)(z + 2) là số ảo nên ta có: x + 2x + y − y = ⇔ (x + 1) + y − Trên mặt phẳng toạ độ, tập hợp tất các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có bán √ kính Chọn đáp án C Ç 2 §3 Phép chia số phức Bài toán quy giải phương trình, hệ phương trình nghiệm thực Câu 374 Có bao nhiêu số phức z thoả mãn |z| (z − − i) + 2i = (5 − i)z A B C Lời giải Ta có |z| (z − − i) + 2i = (5 − i)z ⇔ z (|z| − + i) = |z| + (|z| − 2) i Lấy môđun vế phương trình trên ta » |z| (|z| − 5)2 + = » (4 |z|)2 + (|z| − 2)2 Đặt t = |z| , t > ta D å (99) Phép chia số phức » t (t − 5)2 + = » 99 (4t)2 + (t − 2)2 ⇔ (t − 1)(t3 − 9t2 + 4) = Phương trình có nghiệm phân biệt t > có số phức z thoả mãn Chọn đáp án B Câu 375 Tìm hai số x và y thỏa mãn (2x − 3yi) + (3 − i) = 5x − 4i với i là đơn vị ảo A x = −1; y = −1 B x = −1; y = C x = 1; y = −1 D x = 1; y = Lời giải Chọn đáp án D Câu 376 Cho số phức z thỏa mãn (1 + i)z = − i Hỏi điểm biểu diễn z là điểm nào các điểm M, N, P, Q hình bên ? A Điểm P B Điểm Q Lời giải (1 + i)z = − i ⇒ z = C Điểm M D Điểm N 3−i = − 2i ⇒ Q(1; −2) là điểm biểu diễn z 1+i Chọn đáp án B Câu 377 Tính môđun số phức z thỏa mãn z (2 − i) + 13i √ = √ 34 A |z| = 34 B |z| = 34 C |z| = Lời giải − 13i (1 − 13i) (2 + i) z (2 − i) + 13i = ⇔ z = ⇔z= ⇔ z = − 5i − i (2 − i) (2 + i) » √ |z| = 32 + (−5)2 = 34 √ 34 D |z| = Chọn đáp án A Câu 378 Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn (1 + i) z + 2z = + 2i Tính P = a + b A P = B P = C P = −1 D P = − 12 Lời giải (1 + i) z + 2z = + 2i (1) Ta có: z = a + bi ⇒ z = a − bi Thay vào (1) ta (1 + i) (a + bi) + (a − bi) = + 2i ⇔ (a − b) i + (3a − b) = + 2i a − b = a = ⇒ P = −1 ⇔ (a − b) i + (3a − b) = + 2i ⇔ ⇔ 3a − b = b = − Chọn đáp án C √ 10 Câu 379 Xét số phức z thỏa mãn (1 + 2i) |z| = − + i Mệnh đề nào đây đúng ? z 1 3 B |z| > C |z| < D < |z| < A < |z| < 2 2 Lời giải √ √ Ta có z −1 = z Vậy (1 + 2i) |z| = z10 − + i⇔ (|z| + 2) + (2 |z| − 1) i = |z|102 z |z| 2 10 10 ⇒ (|z| + 2) + (2 |z| − 1)2 = |z| |z|2 = |z| Đặt |z| = a > 2 ⇒ (a + 2) + (2a − 1) = Ä 10 a2 ä ⇔a +a −2=0⇔ a =1 a2 = −2 ⇒ a = ⇒ |z| = (100) 100 Chương Số phức Chọn đáp án D Câu 380 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z + 3i| = B A Vô số √ 13 và C z là số ảo? z+2 D Lời giải Đặt z = a + bi với a, b ∈ R |z + 3i| = a2 là số ảo ⇔ + b2 + 2a = √ 13 ⇔ a2 + (b + 3)2 = 13 Do đó, z a2 + b2 + 2a + 2bi = z+2 (a + 2)2 − b2 z 6= −2 a2 + (b + 3)2 = 13 Giải hệ phương trình ta z = −2(loại) và z = − + i 5 a2 + b2 + 2a = Chọn đáp án D Câu 381 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z| (z − − i) + 2i = (6 − i) z ? A B C D Lời giải Chọn đáp án B Câu 382 Cho số phức z = + 5i Tìm số phức w = iz + z A w = − 3i B w = −3 − 3i C w = + 7i D w = −7 − 7i Lời giải z̄ = − 5i ⇒ w = i(2 + 5i) + − 5i = −3 − 3i Chọn đáp án B Câu 383 Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện: |z − i| = và z là số ảo? A B C D Lời giải Gọi số phức cần tìm là z = a + bi(a; b ∈ R) Ta có |z − i| = ⇔ a2 + (b − 1)2 = 25 Và z = (a + bi)2 = a2 − b2 + 2abi là số ảo a2 − b2 = ⇔ a2 = b2 b = ⇒ a = ±4, Vậy có số Khi đó ta có b2 + (b − 1)2 = 25 ⇔ 2b2 − 2b − 24 = ⇔ b = −3 ⇒ a = ±3 Chọn đáp án C Câu 384 Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thoả mãn z + + i − |z|(1 + i) = và |z| > Tính P =a+b A P = −1 Lời giải B P = −5 C P = D P = √ z + + i − |z| (1 + i) = ⇔ a + bi + + i − a2 +b2 (1 + i) = √ a + − a2 + b = Ä ä √ √ ⇔ a + − a2 + b + b + − a2 + b i = ⇔ ⇔ a−b+1 = ⇔ √ b + − a2 + b = b=a+1 (101) Phương trình bậc hai hệ số thực 101 ⇒a+2− ⇔ a ≥ −2 √ a2 + (a + 1)2 = ⇔ a + = 2a2 + 2a + ⇔ a + 4a + = 2a2 + 2a + » a ≥ −2 a2 − 2a − = a≥ −2 ⇔ a = (tm) a = −1 (tm) Vì |z| > ⇒ z = + 4i ⇒ a=3 b=4 ⇔ a=3 b=4 a = −1 b=0 ⇒P =a+b=3+4=7 Chọn đáp án D Bài toán tập hợp điểm Câu 385 Cho các số phức z thỏa mãn|z| = Biết tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w = (3 + 4i)z + i là đường tròn Tính bán kính r đường tròn đó A r = B r = C r = 20 D r = 22 Lời giải w−i x + (y − 1)i 3x − 4(y − 1) + [3(y − 1) + 4x] = = + 4i 3å+ 4i 25 Ç å2 Ç 3x − 4y + 4x + 3y − 16 = |z|2 = + ⇒ x2 + (y − 1)2 = 400 ⇒ r = 20 25 25 Chọn đáp án C √ Câu 386 Xét các số phức a = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn |z − − 3i| = Tính P = a + b w = x + yi (x, y ∈ R) ⇒ z = |z + − 3i| + |z − + i| đạt giá trị lớn A P = 10 B P = C P = D P = Lời giải Gọi M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z √ Từ giả thiết, ta có |z − − 3i| = ⇔ (x − 4)2 + (y − 3)2 = suy M thuộc đường tròn (C) √ tâm I (4; 3) , bán kính R = Khi đó P = M A + M B, với A (− 1; 3) , B (1; − 1) Ta có P = M A2 + M B + 2M A.M B ≤ (M A2 + M B ) M A2 + M B AB Gọi E (0; 1) là trung điểm AB⇒ M E = − Do đó P ≤ 4.M I + AB 2 √ mà M E ≤ CE = Ä √ ä2 Ä √ ä2 suy P ≤ + = 200 Với C là giao điểm đường thẳng EI với đường tròn (C) MA = MB √ Vậy P ≤ 10 Dấu xảy và ⇒ M (6; 4) ⇒ a + b = 10 M ≡C Chọn đáp án A §4 Phương trình bậc hai hệ số thực Giải phương trình Tính toán biểu thức nghiệm (102) 102 Chương Số phức Câu 387 Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức phương trình z −z +6 = Tính P = A P = Lời giải B P = 12 Phương trình z − z + = có nghiệm z2 = Chọn đáp án A z1 = C P = − D P = 6 √ 23 + i 1 √2 ⇒ P = + = z1 z2 23 − i Câu 388 Phương trình nào đây nhận hai số phức + A z + 2z + = B z − 2z − = 1 + z1 z2 √ 2i và − C z − 2z + = √ 2i là nghiệm? D z + 2z − = Lời giải Tổng hai số phức là và tích chúng là nên hai số phức là nghiệm z − 2z + = Chọn đáp án C Câu 389 Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần ảo dương phương trình 4z − 16z + 17 = Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào đây là điểm biểu diễn số phức w = iz0 ? A M1 Ä ä ;2 Ä ä B M2 − 21 ; Ä ä C M3 − 41 ; D M4 Ä ä ;1 Lời giải Xét phương trình 4z − 16z + 17 = có ∆0 = 64 − 4.17 = −4 = (2i)2 − 2i + 2i Phương trình có hai nghiệm z1 = = − i, z2 = = + i 4 1 Do z0 là nghiệm phức có phần ảo dương nên z0 = + i Ta có w = iz0 = − + 2i 2 Ç å Điểm biểu diễn w = iz0 là M2 − ; Chọn đáp án B Câu 390 Kí hiệu z1 và z2 là hai nghiệm phức phương trình z + z + = Tính P = z12 + z22 + z1 z2 A P = B P = C P = −1 D P = Lời giải z1 Theo Viet, ta có + z2 z1 z2 = −1 = Do đó P = z12 + z22 + z1 z2 = (z1 + z2 )2 − z1 z2 = Chọn đáp án D Câu 391 Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức phương trình 4z − 4z + = Giá trị biểu thức |z1 | + |z2 | √ A √ B C D √ Lời giải có: ∆0 = 4√− 3.4 = −8√= 8i2 ⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt: + 2i √ √ z1 = = + i 1 3 √ 4√ √2 ⇒ |z1 | = |z2 | = + = ⇒ |z1 | + |z2 | = = − 2i 2 = − i z2 = 2 Ta (103) Chọn đáp án D Phương trình quy bậc hai Câu 392 Kí hiệu z1 , z2 , z3 và z4 là bốn nghiệm phức phương trình z − z − 12 = Tính tổng T = |z1 | + |z2 | + |z3 | + |z4 | A T = √ B T = √ C + √ D T = + Lời giải z = ±2 z − z − 12 = ⇔ (z − 4)(z + 3) = ⇔ √ z = ±i √ √ √ ⇒ T = + + + = + Chọn đáp án C §5 Cực trị Phương pháp hình học √ Câu 393 Xét các số phức z thỏa mãn |z + − i| + |z − − 7i| = Gọi m, M là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn |z − √1 + i|.√Tính P = m + M √ √ √ √ + 73 B P = C P = + 73 A P = 13 + 73 Lời giải √ √ + 73 D P = Gọi M là điểm biểu diễn số phức z, F1 (−2; 1), F2 (4; 7) và N (1; −1) √ √ Từ |z + − i| + |z − − 7i| = Çvà F1 F2å= nên ta có M là đoạn thẳng F1 F2 Gọi H là 3 hình chiếu N lên F1 F2 , ta có H − ; √ 2 √ + 73 Suy P = N H + N F2 = Chọn đáp án B HÌNH HỌC 12 Chương Khối đa diện §1 Khái niệm khối đa diện Nhận diện hình đa diện, khối đa diện Câu 394 (QG17,101) Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi khác có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D mặt phẳng Lời giải Hình hộp chữ nhật không là hình lập phương có các mặt phẳng đối xứng là các mặt phẳng trung trực các cặp cạnh đối nên có mặt phẳng đối xứng Chọn đáp án B 103 (104) 104 Chương Khối đa diện Câu 395 (QG17,102) Mặt phẳng (AB C ) chia khối lăng trụ ABC.A0 B C thành các khối đa diện nào? A Một khối chóp tam giác và khối chóp ngũ giác B Một khối chóp tam giác và khối chóp tứ giác C Hai khối chóp tam giác D Hai khối chóp tứ giác Lời giải B0 A0 C0 A B C Có khối chóp tam giác A0 ABC và khối chóp tứ giác A0 BCC B Chọn đáp án B Câu 396 Hình lăng trụ tam giác có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D mặt phẳng Xác định số đỉnh, cạnh, mặt bên khối đa diện Câu 397 Hình đa diện hình vẽ bên có bao nhiêu mặt? A B 10 C 12 D 11 Lời giải Đếm 11 mặt (Chú ý ta có thể dò lại nhờ định lý Euler Đ + M = C + 2) Chọn đáp án D Phép biến hình không gian Câu 398 Cho khối lăng trụ ABC.A0 B C , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB 2, √ khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC và 3, hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng (A0 B C ) là trung điểm M B C và A0 M = Thể tích khối lăng trụ đã cho √ A B √ C Lời giải Dựng AK⊥BB ⇒ AK⊥A0 A, tương tự dựng AE⊥C C ⇒ AE⊥A0 A Từ đó A0 A⊥ (AKE) ⇒ AA0 ⊥KE EK⊥B B Do đó ta có ⇒ EK = d (C, BB ) = EK⊥C C D (105) Khối đa diện lồi và khối đa diện 105 Suyra tam giác AKE vuông A, suy AI = với I là trung điểm KE Suy M I = A0 A⊥ (AKE) Do ⇒ M I⊥ (AKE) AM ⊥ (A0 B C ) \ [I Suy ((AKE) , (A0 B C )) = (M\ I, AM ) =√AM Å ã MI \ Suy cos (AKE) , (A0 B C ) = = AM SAKE √ Nên VABC.A0 B C = SABC AM = = 3.2 √ = cos α Chọn đáp án B √ §2 Khối đa diện lồi và khối đa diện Nhận diện loại đa diện Câu 399 Cho hình bát diện cạnh a Gọi S là tổng diện tích tất các mặt hình bát diện đó Mệnh đề nào đây đúng? √ √ A S = 3a2 B S = 3a2 √ C S = 3a2 D S = 8a2 Lời giải Hình bát diện có mặt là các tam giác √ cạnh a nên diện tích √ a2 S = = 3a2 Chọn đáp án C S A D B C S0 Câu 400 Hình đa diện nào đây không có tâm đối xứng ? A Tứ diện B Bát diện C Hình lập phương D Lăng trụ lục giác Lời giải Tứ diện làm gì có tâm đối xứng Chọn đáp án A (106) 106 Chương Khối đa diện Câu 401 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, [ = 120◦ , mặt phẳng (AB C ) tạo với đáy góc 60◦ Tính thể tích V khối lăng trụ đã BAC cho 3a3 B Lời giải √ a2 S∆ABC = Gọi M là trung điểm B C \ Khi đó, AM A0 = 60◦ , A0 M = √ a Suy AA0 = 3a Vậy V = Chọn đáp án A A V = V = 9a3 C V = a3 D V = 3a3 a A B C A0 B0 M C0 §3 Khái niệm thể tích khối đa diện Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần khối đa diện Câu 402 Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao 4a Thể tích khối lăng trụ đã cho A 4a3 B 16 a C a D 16a3 Lời giải Chọn đáp án A Tính thể tích các khối đa diện Câu 403 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A0 B C có BB = a, đáy ABC là tam giác vuông cân √ B và AC = a Tính thể tích V khối lăng trụ đã cho a3 a3 a3 A V = a3 B V = C V = D V = Lời giải √ Tam giác ABC vuông cân B và AC = a đó AB = BC = a Thể tích khối lăng trụ là V = BB SABC = a 12 a.a = a3 Chọn đáp án D Câu 404 Thể tích khối chóp có chiều cao h và diện tích đáy B là 1 A V = Bh B V = Bh C V = Bh D V = Bh (107) Khái niệm thể tích khối đa diện 107 Lời giải Công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là V = Bh Chọn đáp án A √ Câu 405 Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3, SA vuông góc với đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với√đáy góc 60◦ Tính thể tích V khối chóp S.ABCD a3 3a3 A V = B V = C V = a3 D V = 3a3 3 Lời giải √ √ √ [ = 60◦ suy SH = AB tan 60◦ = a Vậy, V = a 3.a2 = a3 Từ giả thiết ta có SBA Chọn đáp án C Câu 406 Cho khối chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy Tính thể tích V chóp đã cho √ √ khối 2a 2a3 B V = A V = Lời giải √ C V = 14a3 √ D V = 14a3 Chọn đáp án D Câu 407 Cho khối chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a và cạnh bên 2a Tính thể tích V chóp S.ABC √ √ khối 13a3 11a3 A V = B V = 12 12 Lời giải √ C V = 11a3 √ D V = 11a3 Gọi H là trọng tâm tam giác ABC Khi đó SH là chiều √ cao khối chóp √ √ a 33 2 Ta có: CH = , SH = SC − CH = 3√ √ √ a2 33 11a3 Do đó V = = 12 Chọn đáp án B S A C H B Câu 408 Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 4, AB = 6, BC = 10 và CA = Tính thể tích V khối chóp S.ABC A V = 40 B V = 192 C V = 32 D V = 24 Lời giải Nửa chu vi tam giác ABC là p = 12 ⇒ S∆ABC = 24.4 = 32 Chọn đáp án C » p(p − 6)(p − 10)(p − 8) = 24 ⇒ V = (108) 108 Chương Khối đa diện Câu 409 Cho khối chóp có đáy hình vuông cạnh a và chiều cao 2a Thể tích khối chóp đã cho A 4a3 B a C 2a3 D AB = a Lời giải Diện tích đáy hình chóp là Sđáy = a2 1 Thể tích khối chóp đã cho là V = Sđáy × h = a2 × 2a = a3 3 Chọn đáp án B Câu 410 Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao 2a Thể tích khối lăng trụ đã cho B a3 A a3 3 Lời giải C 2a3 D 4a3 Chọn đáp án C √ Câu 411 Tính thể tích V khối √ lập phương ABCD.A0 B C D0 , biết AC = a √ 6a3 A V = a3 B V = C V = 3a3 D V = a3 Lời giải AC Cạnh hình lập phương là √ = a ⇒ Thể tích V = a3 Chọn đáp án A Câu 412 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA √ vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = √ √ √ 2a Tính thể tích V khối chóp S.ABCD √ 2a 2a 2a A V = D V = B V = C V = 2a Lời giải √ √ 2a V = SA.SABCD = a 2a = 3 Chọn đáp án D Câu 413 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh 2a và thể tích a3 Tính chiều cao h hình √ chóp đã cho √ 3a 3a A h = B h = Lời giải √ C h = 3a D h = √ 3a √ √ (2a)2 = a √ 3a√3 = 3a a2 Do đáy là tam giác nên S∆ABC = Mà V = 31 S∆ABC h ⇒ h = 3V S∆ABC = Chọn đáp án D Câu 414 Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SC tạo với mặt√ phẳng (SAB) góc √ 30◦ Tính thể tích V khối chóp đã cho √ 6a3 2a3 2a3 A V = B V = C V = D V = 2a3 3 Lời giải Chọn đáp án B (109) Khái niệm thể tích khối đa diện 109 Câu 415 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi M , N là trung điểm các cạnh AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D Mặt phẳng (M N E) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V Tính V √ √ đa3 diện, đó khối √ √ 11 2a3 2a 2a3 13 2a3 B V = C V = 216 A V = D V = 216 216 18 Lời giải Chọn đáp án B Câu 416 Cho khối chóp S.ABCD có đáy √là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và khoảng a Tính thể tích V khối chóp đã cho cách từ A đến mặt phẳng (SBC) √ a3 a3 3a A V = B V = a3 C V = D V = Lời giải Gọi H là chân đường vuông góc A lên cạnh SB Ta có SA ⊥ BC và BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AH √ a Mà AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ d (A, (SBC)) = AH = 1 Xét ∆SAB vuông A có AH là đường cao ⇒ = + 2 AH SA AB 1 ⇒ SA = a ⇒ = 2+ a /2 a SA2 Diện tích đáy ABCD là SABCD = a2 ⇒ thể tích khối chóp S.ABCD S H A B D C 1 a3 V = SA.SABCD = a.a2 = 3 Chọn đáp án D √ Câu 417 Cho khối lăng trụ ABC.A0 B C , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB 5, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC và 2, hình chiếu vuông góc √ A lên mặt phẳng (A0 B C ) là trung điểm M B C và A0 M = Thể tích khối trụ đã cho √ A Lời giải √ 15 B Chọn đáp án B √ C √ D 15 Câu 418 Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi vuông góc với nhau; AB = 6a, AC = 7a và AD = 4a Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm các cạnh BC, CD, DB Tính thể tích V tứ diện AM N P (110) 110 Chương Khối đa diện 28 B V = 14a3 C V = a3 A V = a3 Lời giải 1 VABCD = AB.AC.AD = 28a3 ⇒ VAM N P = VABCD = 7a3 Chọn đáp án D D V = 7a3 Câu 419 Cho tứ diện ABCD có thể tích 12 và G là trọng tâm tam giác BCD Tính thể tích V khối chóp A.GBC A V = B V = C V = D V = Lời giải d (G, (ABC)) GI 1 = = ⇒ d (G, (ABC)) = d (D, (ABC)) d (D, (ABC)) DI 3 1 Nên VG.ABC = d (G, (ABC)) S∆ABC = VDABC = 3 Chọn đáp án B Câu 420 Cho lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác vuông cân A, cạnh √ AC = 2 Biết AC tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60◦ và AC = Tính thể tích V khối đa diện ABCB C A B C D 16 A V = B V = 3 Lời giải √ C V = √ 16 D V = Tính thể tích khối đa diện ABCB C thể tích khối lăng trụ ABC.A0 B C trừ thể tích khối chóp A.A0 B C Giả sử đường cao lăng trụ là C H AH = 60◦ \ Khi đó góc AC mặt phẳng (ABC) là góc C √ C 0H Ta có: sin 60◦ = ⇒ C H = 3; S∆ABC = AC √ Ä √ ä2 √ VABC.A0 B C = C H.S∆ABC = 2 = √ VA.A0 B C = C H.S∆ABC = VABC.A0 B C = 3 √ √ √ 16 VABB C C = VABC.A0 B C − VA.A0 B C = − = 3 Chọn đáp án D Câu 421 Tính thể tích V khối lăng trụ tam giác có tất các cạnh a √ √ √ √ a3 a3 a3 a3 A V = B V = C V = D V = 12 Lời giải √ √ 1a a2 Khối lăng trụ tam giác có chiều cao h = a và diện tích đáy S = AH.BC = a = 2 √ a2 Vậy V = S.h = (111) Khái niệm thể tích khối đa diện 111 A0 C0 B0 A C B Chọn đáp án D Câu 422 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy, SD tạo với mặt√ phẳng (SAB) góc 30◦ Tính thể tích √ V khối chóp S.ABCD √ 3 √ 6a 6a 3a A V = B V = 3a3 D V = C V = 18 3 Lời giải √ ◦ ◦ 3a Góc SD và mp (SAB) là DSA = 30 ⇒ SA = a cot 30 = √ √ 1 3 Khi đó V = Bh = a2 a = a 3 Chọn đáp án D √ Câu 423 Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB = x và các cạnh còn lại Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn √ √ √ A x = B x = 14 C x = √ D x = Lời giải Gọi M, N là trung điểm CD, AB Khi đó ta tính AM = BM = 3, suy MN = q 9− x2 Gọi h là chiều cao khối chóp hạ từ đỉnh A, ta có h = x » 9− x4 √ và hmax x = Chọn đáp án C Câu 424 Xét khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân A, SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Gọi α là góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) Tính cos α thể tích khối chóp √ S.ABC nhỏ √ A cos α = B cos α = C cos α = 3 Lời giải D cos α = Gọi I là trung điểm BC và H là chân đường cao kẻ từ A xuống SI, theo giả thiết ta có AH = ’ = α Xét các tam giác vuông AHI, SAI (tương ứng vuông H và A), và SIA AH AH AI có AI = = , HI = = Suy SI = = sin α sin α tan α tan α HI cos α · sin α 1 Diện tích tam giác SBC là SI · BC = SI · 2AI = 2 sin α · cos α Để thể tích khối chóp S.ABC nhỏ thì S4SBC phải nhỏ nhất, tức là sin2 α · cos α lớn (112) 112 Chương Khối đa diện Đặt t = cos α, với ≤ t ≤ 1, đó sin2 α · cos α = (1 − cos2 α) cos α = t − √ t = f (t) Khảo sát hàm số f (t) trên [0; 1], ta tìm max f (t) = √ ⇔ cos α = [0;1] 3 Chọn đáp án B Câu 425 Cho khối lăng trụ ABC.A0 B C , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB 2, √ khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC và√ 3, hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng (A0 B C ) là trung điểm M B C và A0 M = Thể tích khối lăng trụ đã cho √ √ A B C D Lời giải A Gọi N là trung điểm BC Kẻ AE⊥ BB E, AF ⊥ CC F AE ⊥ AA0 Ta có ⇒ AA0 ⊥ (AEF ) AF ⊥ AA0 ⇒ AA0 ⊥ EF ⇒ EF ⊥ BB √ Theo giả thiết AE = 1, AF = 3, EF = C N B F H E Do AE + AF = EF nên 4AEF vuông A Gọi H = EF ∩ M N thì H là trung điểm đoạn A0 C0 EF , đó AH = EF = M AA0 ⊥ (AEF ) Ta lại có B0 M N k AA0 ⇒ M N ⊥ (AEF ) ⇒ M N ⊥ EF 1 1 4AM N vuông A có đường cao AH nên = − = ⇒ AM = AM AH AN √ 4 4AM N có M N = AN + AM = √ ⇒ SBCC B = EF.M N = √ = √ 3 √ 3 1 Vậy VABC.A0 B C = 3VABCC = VA.BCC B = SBCC B d(A, EF ) = √ = 2 2 Chọn đáp án A V0 = V Lời giải V0 = V Chọn đáp án A A B V0 = V C V0 = V D V0 = V Các bài toán khác (góc, khoảng cách, ) liên quan đến thể tích khối đa diện √ Câu 426 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a Tam giác SAD cân S và mặt bên (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S.ABCD a3 Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng (SCD) B h = a C h = a D h = a A h = a 3 Lời giải (113) Gọi H là trung điểm AD ⇒ SH ⊥ (ABCD) Có HS = 3VS.ABCD 4a3 = √ SABCD ( 2a) Vẽ HK ⊥ SD K ⇒ HK ⊥ (SCD) AB//(SCD) ⇒ d = d(B; (SCD)) = d(A; (SCD)) = 2d(H; (SCD)) = 2HK 1 Có = + ⇒ HK = a ⇒ d = a 2 HK HS HD 3 Chọn đáp án B Câu 427 Cho hình vuông ABCD và ABEF có cạnh 1, nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với Gọi S là điểm đối xứng với B qua đường thẳng DE Thể tích khối đa diện ABCDSEF A Lời giải B 11 12 C D Gọi M, I là trung điểm DF, DE ⇒ AM ⊥ (DCEF ) Vì S là điểm đối xứng√với B qua DE⇒ M là trung điểm SA Suy SA⊥ (DCEF ) và SM = AM = DF = 2 1 Khi đó VABCDSEF = VADF.BCE + VS.DCEF = AB.S∆ ADF + SM.SDCEF ⇒ VABCDSEF = + √ 2√ 2= Chọn đáp án D Chương Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu §1 Khái niệm mặt tròn xoay Thể tích khối nón, khối trụ √ Câu 428 (QG17,101) Tính thể tích V khối trụ có bán kính đáy r = và chiều cao h = √ √ C V = 32π D V = 32 2π A V = 128π B V = 64 2π Lời giải √ √ V = 2.π.42 = 64 2π Chọn đáp án B Câu 429 (QG17,102) Cho khối nón có bán kính đáy r = V khối nón√đã cho 16π A V = Lời giải √ và chiều cao h = Tính thể tích √ C V = 16π B V = 4π D V = 12π 1 Thể tích khối nón đã cho là V = πr2 h = π.3.4 = 4π 3 Chọn đáp án B √ Câu 430 Cho hình nón có bán kính đáy r = và độ dài đường sinh l = Tính diện tích xung quanh Sxq hình nón đã cho A Sxq = 12π √ B Sxq = 3π C Sxq = Lời giải √ Sxq = πrl = 3π 113 √ 39π √ D Sxq = 3π (114) 114 Chương Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Chọn đáp án B Câu 431 Thể tích khối trụ tròn xoay có bán kính r và chiều cao h B 2πrh C πr2 h D πr2 h A πr2 h 3 Lời giải Chọn đáp án D Câu 432 (QG17,102) Cho tứ diện ABCD có cạnh 3a Hình nón (N ) có đỉnh A và đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Tính diện tích xung quanh Sxq (N ) √ B Sxq = 3πa2 A Sxq = 6πa2 C Sxq = 12πa2 √ D Sxq = 3πa2 Lời giải √ Bán kính đáy R = 32 3a2 √ = a √ √ Suy diện tích xung quanh Sxq = πRl = πa 3.3a = πa2 3 Chọn đáp án B Câu 433 Cho khối (N ) có bán kính đáy và diện tích xung quanh 15π Tính thể tích V khối nón (N ) A V = 12π B V = 20π C V = 36π D V = 60π Lời giải Gọi l là đường sinh hình nón, ta có l = √ R2 + h2 √ Diện tích xung quanh hình nón là 15π, suy 15π = πRl ⇔ 15 = 32 + h2 ⇔ h = Thể tích khối nón là V = 31 πR2 h = 13 π.32 = 12π (đvtt) Chọn đáp án A Câu 434 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có độ dài cạnh đáy a và chiều cao h Tính thể tích V khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho πa2 h πa2 h A V = B V = C V = 3πa2 h Lời giải D V = πa2 h Khối trụ ngoại tiếp lăng trụ tam giác có hình tròn đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác đáy lăng trụ, và chiều cao chiều cao lăng trụ √ 3a Tam giác cạnh a có bán kính đường tròn ngoại tiếp √ !2 3a πa h Vậy thể tích khối trụ cần tìm là V = h.S = h.π = (đvtt) 3 Chọn đáp án B Câu 435 Cho hai hình vuông có cùng cạnh (115) Khái niệm mặt tròn xoay 115 xếp chồng lên cho đỉnh X hình vuông là tâm hình vuông còn lại (như hình vẽ) Tính thể tích V vật thể tròn xoay quay mô hình trên xung quanh trục XY Ä √ ä 125 + π A V = Ä √ ä 125 + π C V = 24 Lời giải Ä √ ä 125 + 2 π B V = Ä 12√ ä 125 + π D V = 125π √ 2 125π Thể tích khối tròn xoay tạo thành từ hình vuông XEY F là V2N = πR h = 125π Thể tích khối tròn xoay tạo thành từ tam giác XDC là VN = πR h = 24 √ 5+4 Thể tích cần tìm V = VT + V2N − VN = 125π 24 Chọn đáp án C Thể tích hình trụ tạo thành từ hình vuông ABCD là VT = πR2 h = [ = 30◦ Tính thể Câu 436 Trong không gian cho tam giác ABC vuông A, AB = a và ACB tích V khối nhận quay tam giác ABC quanh AC √ nón √ cạnh 3 √ 3πa 3πa A V = B V = 3πa3 C V = D V = πa3 Lời giải Khối nón nhận quay tam giác ABC quanh cạnh AC có bán kính đáy là AB = a, đường √ cao là AC = 3a Chọn đáp án A √ Câu 437 (QG17,101) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có các cạnh a Tính thể tích V khối nón có đỉnh S và tròn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác√ABCD √ đường πa3 2πa3 πa3 2πa3 A V = B V = C V = D V = 6 Lời giải Chọn đáp án C Câu 438 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B C D0 có AD = 8, CD = 6, AC = 12 Tính diện tích toàn phần Stp hình trụ có hai đường tròn đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hai hình chữ nhật ABCD và A0 B C D0 √ B Stp = 10(2 11 + 5)π √ D Stp = 5(4 11 + 5)π A Stp = 576π C Stp = 26π Lời giải √ Ta có AC = AB + BC = 10, √ √ CC = AC 02 − AC = 11 Do đó hình trụ có bán kính đáy là r = AC = 5, (116) 116 Chương Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu √ đường sinh l = CC = 11 √ Vậy Stp = 2πrl + 2πr2 = 10(2 11 + 5)π Chọn đáp án B B A C D B0 A0 C0 D0 Câu 439 Tính thể tích V khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh a πa3 πa3 πa3 B V = πa3 C V = D V = A V = Lời giải √ !2 a3 2 V = Bh = πR h = π a=π 2 Chọn đáp án D Câu 440 Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R = Mặt phẳng (P ) cách O khoảng và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có tâm (H) Gọi T là giao điểm tia HO với (S), tính thể tích V khối nón có đỉnh T và đáy là hình tròn (C) 32π 16π A V = B V = 16π C V = 3 Lời giải √ √ 32π Ta có SH = 4, r = R2 − HO2 = 2 Vậy V = 4.π.8 = 3 Chọn đáp án A D V = 32π Câu 441 Cho hình nón (N ) có đường sinh tạo với đáy góc 60◦ Mặt phẳng qua trục (N ) cắt (N ) thiết diện là tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp Tính thể tích V khối nón giới hạn (N ) √ A V = 3π B V = 9π √ C V = 3π D V = 3π Lời giải Thiết diện qua trục (N ) là tam giác cân đỉnh, đường sinh tạo với đáy góc 60◦ suy thiết diện tam giác Tam giác có tâm đường tròn nội tiếp trùngÇ với trọng tâm, từ đó tính cạnh tam giác å 1 ·√ · = 3π thiết diện là √ và đường cao là V = π · 3 Chọn đáp án D Câu 442 Cho hình nón đỉnh S có chiều cao h = a và bán kính đáy r = 2a Mặt phẳng (P ) √ qua S cắt đường tròn đáy A và B cho AB = 3a Tính khoảng cách d từ tâm đường tròn đáy đến √ (P ) 3a A d = Lời giải √ B d = a C d = 5a √ 2a D d = (117) Khái niệm mặt tròn xoay 117 Gọi H là trung điểm AB, O là tâm đường tròn đáy và K là hình chiếu O lên SH Khi đó √ khoảng cách O và (P ) là√d = OK Ta có AH = a 3, OA = r = 2a nên OH = a 4SOH a vuông cân O nên OK = Chọn đáp án D Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, độ dài đường sinh, chiều cao, bán kính đáy, th Câu 443 Diện tích xung quanh hình trụ tròn xoay có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l A πrl B 4πrl C 2πrl D πrl Lời giải Chọn đáp án C Câu 444 Trong không gian, cho tam giác ABC vuông A, AB = a và AC = √ 3a Tính độ dài đường sinh l hình nón, nhận quay tam giác ABC xung quanh trục AB √ √ A l = a B l = 2a C l = 3a D l = 2a Lời giải Đường sinh hình nón có độ dài đoạn BC = √ AB + AC = 2a Chọn đáp án D Câu 445 Cho hình nón có diện tích xung quanh 3πa2 và bán kính đáy a Tính độ dài đường √ sinh l hình nón đã cho √ 5a B l = 2a A l = Lời giải Sxq 3πa2 Sxq = πRI ⇒ l = = = 3a πR πa Chọn đáp án D C l = 3a D l = 3a Câu 446 Cho hình nón có diện tích xung quanh 3πa2 và bán kính đáy a Độ dài đường sinh hình nón đã cho √ A 2a B 3a C 2a D 3a Lời giải Sxq = πrl = π.a.l = 3πa2 ⇒ l = 3a Vậy l = 3a Chọn đáp án B Câu 447 Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = và AD = Gọi M, N là trung điểm AD và BC Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục M N , ta hình trụ Tính diện tích toàn phần Stp hình trụ đó A Stp = 4π B Stp = 2π C Stp = 6π D Stp = 10π Lời giải Hình trụ có bán kính đáy r = 1, chiều cao h = nên có Sϕ = 2πr2 + 2πrh = 4π Chọn đáp án A (118) 118 Chương Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Câu 448 Cho tứ diện ABCD có cạnh Tính diện tích xung quanh Sxq hình trụ có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác BCD và chiều cao chiều cao tứ diện ABCD √ 15 2π = √ √ 15 3π A Sxq B Sxq C Sxq = D Sxq = 3π Lời giải √ √ a 6 Tứ diện cạnh a có chiều cao h = ⇒ h = Tam giác BCD nên bán kính √ √ a = Diện tích xung quanh hình trụ S = 2πrh = đường tròn nội tiếp tam giác r = 6 √ √ √ 4 16 2π 2π = 3 Chọn đáp án A √ = 2π Bài toán thực tế khối nón, khối trụ Câu 449 Một bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác có cạnh đáy 3mm và chiều cao 200mm Thân bút chì làm gỗ và phần lõi làm than chì Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao chiều dài bút và đáy là hình tròn có bán kính 1mm Giả định 1m3 gỗ có giá a triệu đồng, 1m3 than chì có giá 9a triệu đồng Khi đó giá nguyên liệu làm bút chì trên gần với kết nào đây? A 97, 03a (đồng) B 10, 33a (đồng) C 9, 7a (đồng) D 103, 3a (đồng) Lời giải.√ √ √ √ 3 27 27 Sday = a = Vgo = 200 = 2700 ; Vruot chi = π.R2 h = 200π 2 a đồng 1m có giá a triệu đồng ⇒ 1mm3 có giá 1000 Tổng số tiền cần chi mua nguyên liệu là: ä Ä √ a a 9a 9a Vgo + Vruot chi = 2700 − 200π + 200π ' 9, 7a 1000 1000 1000 1000 Chọn đáp án C Câu 450 Một bút chì khối lăng trụ lục giác có cạnh đáy mm và chiều cao 200 mm Thân bút chì làm gỗ và phần lõi làm than chì Phần lõi có dạng khối trụ có ciều cao chiều dài bút chì và đáy là hình tròn bán kính mm Giả định m3 gỗ có giá trị a (triệu đồng), m3 than chì có giá trị 8a (triệu đồng) đó giá nguyên vật liệu làm bút chì trên gần với kết nào sau đây? A 9,7.a (đồng) B 97,03.a (đồng) C 90,7.a (đồng) D 9,07.a (đồng) Lời giải Thể tích phần phần lõi làm than chì: Vr = πR2 h = π.10−6 0, = 0, 2.10−6 π m3 Thể tích chiếc√bút chì khối lăng trụ lục √ giác đều: 3 27 −6 V = B.h = (3.10−3 ) (0,2) = 10 m 10 √ 27 −6 Thể tích phần thân bút chì làm gỗ: Vt = V − Vr = 10 − 0,2.10−6 π m3 10 Giá nguyên vật liệu√làm bút chì: ! 27 −6 −6 −6 0,2.10 π.8a + 10 − 0,2.10 π a ≈ 9,07.10−6 a (triệu đồng) 10 (119) Mặt cầu 119 Chọn đáp án D Câu 451 Một bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác có cạnh đáy mm và chiều cao 200 mm Thân bút chì làm gốc và phần lõi làm than chì Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao chiều dài bút và đáy là hình tròn có bán kính mm Giả định m3 gỗ có giá α (triệu đồng), 1m3 than chì có giá 7α (triệu đồng) Khi đó giá nguyên vật liệu làm bút chì trên gần với kết nào đây? A 84, 5.α (đồng) B 9, 07.α (đồng) C 8, 45.α (đồng) D 90, 07.α (đồng) Lời giải Chọn đáp án C Câu 452 Từ tôn hình chữ nhật kích thước 50cm × 240cm, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao 50cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa đây) : • Cách : Gò tôn ban đầu thành mặt xung quanh thùng • Cách : Cắt tôn ban đầu thành hai nhau, gò đó thành mặt xung quanh thùng Kí hiệu V1 là thể tích thùng gò theo cách và V2 là tổng thể tích hai thùng gò V1 theo cách Tính tỉ số V2 V1 = V2 Lời giải A B V1 = V2 C V1 = V2 D V1 = V2 Một đường tròn có bán kính r thì có chu vi và diện tích là C = 2πt; S = πr2 ⇒ S = Gọi chiều dài tấmÄ tôn ä là a thì tổng diện tích đáy thùng theo cách là a a a2 S1 V1 S1 = ; S2 = 2 = ⇒ =2⇒ = 4π 4π 8π S2 V2 Chọn đáp án C C2 4π §2 Mặt cầu Bài toán sử dụng định nghĩa, tính chất, vị trí tương đối Câu 453 Cho mặt cầu bán kính R ngoại tiếp hình lập phương cạnh a Mệnh đề nào đây đúng? √ A a = 3R Lời giải √ B a = 3R C a = 2R D a = √ 3R (120) 120 Chương Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu √ Hình lập phương√ có độ dài đường chéo là a Từ đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập √ a 3R phương là R = Do a = Chọn đáp án D Câu 454 Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh 2a √ √ √ A R = 33a B R = a C R = 3a D R = 3a Lời giải √ Cạnh hình lập phương 2a nên đường chéo hình lập phương 2a đó bán kính mặt √ cầu ngoại tiếp hình lập phương a Chọn đáp án D Câu 455 Diện tích mặt cầu bán kính R B 2πR2 A πR2 Lời giải C 4πR2 D πR2 Chọn đáp án C Câu 456 Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông C, AB vuông góc với mặt phẳng (BCD), AB = 5a, BC = 3a và CD = 4a Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD √ 5a A R = Lời giải √ 5a B R = sÇ Có DB = 5a ⇒ R = DB å2 AB + Ç å √ 5a C R = √ 5a D R = √ 5a = Chọn đáp án C Câu 457 (QG17,102) Cho mặt cầu (S) có bán kính 4, hình trụ (H) có chiều cao và hai đường tròn đáy nằm trên (S) Gọi V1 là thể tích khối trụ (H) và V2 là thể tích V1 khối cầu (S) Tính tỉ số V2 V1 V1 V1 V1 A = B = C = D = V2 16 V2 V2 16 V2 Lời giải √ √ √ 256π Ta có V2 = Bán kính đáy trụ r = 42 − 22 = 3, suy V1 = 4.π(2 3)2 = 48π Chọn đáp án A Câu 458 Cho hình trụ có diện tích xung quanh 50π và độ dài đường sinh đường kính đường tròn √ đáy Tính bán kính r đường tròn đáy √ 2π A r = B r = C r = π Lời giải √ Ta có Sxq = 2π.r.l = 2π.r.2r = 50π ⇒ r = Chọn đáp án D √ D r = Câu 459 Trong tất các hình chóp tứ giác nội tiếp mặt cầu có bán kính 9, tính thể tích V khối chóp có thể tích lớn (121) Mặt cầu 121 A V = 144 B V = 576 √ C V = 576 √ D V = 144 Lời giải Gọi OH = x » Khi đó độ dài cạnh đáy chóp là 2(81 − x2 ) Vậy V = f (x) = (9 + x)(81 − x2 ) f (x) = (x + 9)(9 − 3x) Vậy thể tích lớn x = 3, với V = 576 Chọn đáp án B S O R A B H D C Khối cầu ngoại tiếp khối đa diện Câu 460 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 3a, BC = 4a, SA = 12a và SA vuông góc với đáy Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 5a 17a 13a A R = B R = C R = D R = 6a 2 Lời giải [ = SBC [ = SDC [ = 90◦ Theo giả thiết ta suy SAC Do đó mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD có đường kính là SC √ √ Ta có AC = AB + BC = 5a, SC = SA2 + AC = 13a SC 13a Vậy R = = 2 Chọn đáp án C S A B D C Câu 461 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B C D0 có AB = a, AD = 2a và AA0 = 2a Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB C 3a 3a A R = 3a B R = C R = D R = 2a Lời giải C = ABC \ \0 = 90◦ nên mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB C có đường kính AC Ta có AB 1» 3a Do đó bán kính là R = a + (2a)2 + (2a)2 = 2 Chọn đáp án C (122) 122 Chương Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu √ Câu 462 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, cạnh bên 5a Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD √ √ 25a A R = 3a B R = 2a C R = Lời giải D R = 2a Xác định nhanh: ABCD là hình vuông nên tâm cầu ngoại tiếp tứ giác nằm trên OS ABCD là √ hình vuông cạnh 2a ⇒ OD = 3a Tọa độ hóa tứ giác sau: Gốc tọa độ O là tâm hình vuông ABCD Ox trùng với tia OD (chiều dương từ O đến D) Oy trùng với tia OC (chiều dương từ O đến C) Oz trùng với tia OS (chiều dương từ O đến S) Ta tọa độ điểm: O(0; 0; 0), S(0; 0; 4a), D(3a; 0; 0) x =0 z = 4t Phương trình OS : y = 0(t ∈ R)I ∈ OS ⇒ I(0; 0; 4t) I là tâm mặt cầu tứ diện nên IS = ID ⇔ 16(a − t)2 = 6a2 + 16t2 ⇔ t = a 32 å Ç 25 Suy I 0; 0; a ⇒ IS = R = a 8 Chọn đáp án C Câu 463 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh 1, mặt bên SAB là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp √ hình chóp đã cho √ 15π 15π A V = B V = 18 54 Lời giải √ 3π C V = 27 D V = 5π Gọi M, N, P, Q là trung điểm AB, tâm đường tròn ngoại tiếp ∆SAB, tâm cầu ngoại tiếp chóp và tâm đường ⇒ √ tròn√ngoại tiếp ∆SBC √ √ M N P Q là hình vuông suy 3 3 P N = MQ = = ; NB = = 3 √ √ 15 2 Bán kính hình cầu ngoại tiếp chóp là R = P B = P N + N B = √ 15π Thể tích V = πR3 = 54 Chọn đáp án B Bài toán tổng hợp khối nón, khối trụ, khối cầu Câu 464 Cho mặt cầu tâm O, bán kính R Xét mặt phẳng (P ) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C) Hình nón (N ) có đỉnh S nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn (C) và có chiều cao là h(h > R) Tính h để thể tích khối nón tạo nên (N ) có giá trị lớn A h = √ 3R B h = √ 2R C h = 4R D h = 3R (123) Lời giải Gọi I là tâm mặt cầu và H, r là tâm và bán kính (C) Ta có IH = h − R và r2 = R2 − IH = 2Rh − h2 π π Thể tích khối nón V = πr2 h = h(2Rh − h2 ) = h.h.(2R − h) 3 Ç å Ç å3 Ç å h + h + 4R − 2h 4R 4R Ta có h.h.(4R − 2h) ≤ = ⇒ h (2R − h) ≤ 3 4R Do đó V lớn h = 4R − 2h ⇔ h = Chọn đáp án C Chương Phương pháp tọa độ không gian §1 Hệ tọa độ không gian Tìm tọa độ điểm, véc-tơ liên quan đến hệ trục Oxyz Câu 465 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; −4; 3) và B(2; 2; 7) Trung điểm đoạn AB có tọa độ là A (1; 3; 2) C (2; −1; 5) B (2; 6; 4) D (4; −2; 10) Lời giải xM Gọi M là trung điểm đoạn thẳng AB Khi đó yM zM xA + xB =2 yA + yB = = −1 ⇒ M (2; −1; 5) zA + zB = =5 = Chọn đáp án C Câu 466 (QG17,102) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 2; 1) Tính độ dài đoạn thẳng OA A OA = Lời giải Ta có OA = B OA = C OA = √ D OA = √ √ 22 + 22 + 12 = = Chọn đáp án A Câu 467 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M (2; 3; −1), N (−1; 1; 1) và P (1; m − 1; 2) Tìm m để tam giác M N P vuông N A m = −6 C m = −4 B m = D m = Lời giải # » # » Ta có N M = (3; 2; −2) và N P = (2; m − 2; 1) # »# » Tam giác M N P vuông N và N M N P = ⇔ m = Chọn đáp án B #» Câu 468 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc-tơ #» a = (2; 1; 0) và b = (−1; 0; −2) #» Tính cos #» a, b #» A cos #» a, b = 25 #» B cos #» a, b = − 123 (124) 124 Chương Phương pháp tọa độ không gian #» #» D cos #» a, b = C cos #» a, b = − 25 Lời giải #» #» a b 2 (−1) + 1.0 + (−2) #» #» √ √ Ta có cos a , b = #» #» = =− 5 |a| b Chọn đáp án B Câu 469 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (3; −2; 3) và B (−1; 2; 5) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB A I (−2; 2; 1) B I (1; 0; 4) C I (2; 0; 8) D I (2; −2; −1) Lời giải Tọa độ trung điểm I đoạn AB với A(3; −2; 3) và B(−1; 2; 5) tính I (1; 0; 4) Chọn đáp án B Câu 470 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(3; −4; 0), B(−1; 1; 3) và C(3; 1; 0) Tìm tọa độ điểm D trên trục hoành cho AD = BC A D(−2; 0; 0) D(−4; 0; 0) B D(0; 0; 0) D(−6; 0; 0) C D(6; 0; 0) D(12; 0; 0) D D(0; 0; 0) D(6; 0; 0) Lời giải Ta có D ∈ Ox nên D(a; 0; 0) Mặt khác AD = BC hay » (a − 3)2 + (−4)2 = √ a=6 32 + 42 ⇔ a=0 Chọn đáp án D Tích vô hướng và ứng dụng Câu 471 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I (−1; 0; 2) và qua điểm A (0; 1; 1) Xét các điểm B, C, D thuộc (S) cho AB, AC, AD đôi vuông góc với Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn A B Lời giải C D Chọn đáp án C Phương trình mặt cầu (xác định tâm, bán kính, viết PT mặt cầu đơn giản, vị trí tương đối Câu 472 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x + 3)2 + (y + 1)2 + (z − 1)2 = Tâm (S) có toạ độ là A (−3; −1; 1) B (−3; 1; −1) C (3; −1; 1) D (3; 1; −1) Lời giải Chọn đáp án A Câu 473 Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S): (x − 5)2 + (y − 1)2 + (z + 2)2 = có bán kính A √ Lời giải √ B C D (125) Hệ tọa độ không gian 125 Chọn đáp án A Câu 474 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x + 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R (S) A I(−1; 2; 1) và R = B I(1; −2; −1) và R = C I(−1; 2; 1) và R = D I(1; −2; −1) và R = Lời giải I(−1; 2; 1) và R = Chọn đáp án A Câu 475 Trong không gian với hệ tọa độ, Oxyz tìm tọa độ tâm I và bán kính R mặt cầu (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 4)2 = 20 √ A I(−1; 2; −4), R = C I(−1; 2; −4), R = 20 √ B I(−1; 2; −4), R = √ D I(1; −2; 4), R = Lời giải √ Mặt cầu (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 4)2 = 20 có tâm I(1; −2; 4), bán kính R = Chọn đáp án D Câu 476 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(−2; 0; 0), B(0; −2; 0) và C(0; 0; −2) Gọi D là điểm khác O cho DA, DB, DC đôi vuông góc với và I(a; b; c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.Tính S = a + b + c A S = −4 B S = −1 C S = −2 D S = −3 Lời giải Nhận xét OA = OB = OC và OA, OB, OC đôi vuông góc Do đó ta có Ç thể xét trường å hợp D là điểm đối xứng với O qua ABC 4 Khi đó D − , − , − 3 # » # » Từ M I = Ç DE, å 1 dẫn đến I − , − , − 3 Vậy S = −1 Chọn đáp án B C M I D A B E Các bài toán cực trị (126) 126 Chương Phương pháp tọa độ không gian Câu 477 (QG17,102) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất các giá trị m để phương trình x2 + y + z − 2x − 2y − 4z + m = là phương trình mặt cầu B m ≥ A m > C m ≤ D m < Lời giải Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu + + − m > ⇔ m < Chọn đáp án D Câu 478 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + (y + 2)2 + (z − 2)2 = Tìm bán kính R (S) A R = √ C R = 2 B R = Lời giải Mặt cầu (S) có bán kính R = √ D R = 64 √ = 2 Chọn đáp án C Câu 479 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x−5)2 +(y−1)2 +(z+2)2 = Tính bán kính R (S) A R = Lời giải Bán kính R = B R = 18 √ C R = D R = 9=3 Chọn đáp án A Câu 480 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(−2; 1; 2) và qua điểm A(1; −2; −1) Xét các điểm B, C, D thuộc (S) cho AB, AC, AD đôi vuông góc với Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn A 72 B 216 C 108 D 36 Lời giải D Đặt AB = a, AC = b, AD = c thì ABCD là tứ diện vuông P đỉnh A, nội tiếp mặt cầu (S) Khi đó ABCD là tứ diện đặt góc A hình hộp chữ nhật M N c tương ứng có các cạnh AB, AC, AD và đường chéo AA0 là I đường kính cầu Ta có a2 + b2 + c2 = 4R2 1 Xét V = VABCD = abc ⇔ V = a2 b2 c2 36 a B 2 Mà a + b + c > √ Với R = IA = 3 √ a2 b c ⇔ Ç a +b +c å3 Ç 2 >a b c ⇔ 4R å3 b C A E √ > 36.V ⇔ V R 27 Vậy Vmax = 36 Chọn đáp án D Câu 481 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I (1; 2; 3) và qua điểm A (5; −2; −1) Xét các điểm B, C, D thuộc mặt cầu (S) cho AB, AC, AD đôi vuông góc với Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn bằng? (127) Phương trình mặt phẳng A 256 127 B 128 C 256 D 128 Lời giải Đặt AB = a, AC = b, AD = c thì ABCD là tứ diện vuông đỉnh A, nội tiếp mặt cầu (S) Khi đó ABCD là tứ diện đặt góc A hình hộp chữ nhật tương ứng có các cạnh AB, AC, AD và đường chéo AA0 là đường kính cầu Ta có a2 + b2 + c2 = 4R2 1 Xét V = VABCD = abc ⇔ V = a2 b2 c2 √ å3 å3 Ç 36 Ç √ a2 + b + c 4R2 2 2 2 2 Mà a + b + c ≥ a b c ⇔ ≥a b c ⇔ ≥ 36.V ⇔ V ≤ R 3 27 √ 256 256 Với R = IA = ⇒ V ≤ Vậy Vmax = 3 Chọn đáp án C §2 Phương trình mặt phẳng Tích có hướng và ứng dụng Câu 482 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vectơ nào đây là vecto pháp tuyến mặt phẳng (Oxy)? #» A i = (1; 0; 0) #» B k = (0; 0; 1) #» C j = (0; 1; 0) #» = (1; 1; 1) D m Lời giải #» k = (0; 0; 1) là vectơ đơn vị trục Oz nên là vecto pháp tuyến mặt phẳng (Oxy) Chọn đáp án B Câu 483 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào đây là phương trình mặt phẳng qua điểm M (1; 2; −3) và có véctơ pháp tuyến là #» n = (1; −2; 3)? A x − 2y + 3z − 12 = B x − 2y − 3z + = C x − 2y + 3z + 12 = D x − 2y − 3z − = Lời giải Áp dụng công thức A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = ta được: (x − 1) − 2(y − 2) + 3(z + 3) = ⇔ x − 2y + 3z + 12 = Chọn đáp án C Câu 484 Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P ): 2x + 3y + z − = có vectơ pháp tuyến là A n#»4 = (2; 3; 1) B n#»2 = (−1; 3; 2) C n#»1 = (2; 3; −1) D n#»3 = (1; 3; 2) Lời giải Chọn đáp án A Câu 485 (QG17,102) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào đây là phương trình mặt phẳng (Oyz)? A y = Lời giải B x = C y − z = D z = (128) 128 Chương Phương pháp tọa độ không gian Mặt phẳng (Oyz) vuông góc với trục Ox đó nó nhận (1, 0, 0) là véc-tơ pháp tuyến, (Oyz) qua điểm O(0, 0, 0) Vậy phương trình mặt phẳng (Oyz) là 1(x−0)+0(y−0)+0(z−0) = hay x = Chọn đáp án B Câu 486 (QG17,102) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4; 0; 1) và B(−2; 2; 3) Phương trình nào đây là phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB? A 3x − y − z = B 3x + y + z − = C 3x − y − z + = D 6x − 2y − 2z − = Lời giải Chọn đáp án A Câu 487 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) : x + y + z − = Điểm nào đây khôngthuộc (α)? A N (2; 2; 2) B Q(3; 3; 0) C P (1; 2; 3) D M (1; −1; 1) Lời giải Thay tọa độ M vào phương trình mặt phẳng (α) ta − + − = −5 6= ⇒ M ∈ / (α) Chọn đáp án D Câu 488 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M (3; −1; −2) và mặt phẳng (α) : 3x − y + 2z + = Phương trình nào đây là phương trình mặt phẳng qua M và song song với (α) A 3x + y − 2z − 14 = B 3x − y + 2z + = C 3x − y + 2z − = D 3x − y − 2z + = Lời giải Mặt phẳng song song với (α) và qua điểm M là 3x − y + 2z − = Chọn đáp án C Xác định VTPT Câu 489 Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P ) : x + 2y + 3z − = có véc-tơ pháp tuyến là A n#» = (3; 2; 1) B n#»3 = (−1; 2; 3) C n#»4 = (1; 2; −3) D n#»2 = (1; 2; 3) Lời giải Mặt phẳng (P ) : x + 2y + 3z − = có véc-tơ pháp tuyến là n#»2 = (1; 2; 3) Chọn đáp án D Câu 490 Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P ): 2x + y + 3z − = có vectơ pháp tuyến là A n#»4 = (1; 3; 2) B n#»1 = (3; 1; 2) C n#»3 = (2; 1; 3) D n#»2 = (−1; 3; 2) Lời giải Chọn đáp án C (129) Phương trình mặt phẳng 129 Câu 491 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 3x − z + = Vectơ nào đây là vectơ pháp tuyến (P) ? A n#» = (−1; 0; −1) B n#» = (3; −1; 2) C n#»3 = (3; −1; 0) D n#»2 = (3; 0; −1) Lời giải Có (P): 3x + 0y − z + = nên (3; 0; −1) là VTPT (P) Chọn D Chọn đáp án D Câu 492 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(−1; 1; 1), B(2; 1; 0), C(1; −1; 2) Mặt phẳng qua A và vuông góc với BC có phương trình là A x + 2y − 2z + = B x + 2y − 2z − = C 3x + 2z − = D 3x + 2z + = Lời giải Chọn đáp án A Viết phương trình mặt phẳng Câu 493 Trong không gian Oxyz, mặt phẳng qua điểm A(2; −1; 2) và song song với mặt phẳng (P ): 2x − y + 3z + = có phương trình là A 2x − y + 3z − = B 2x − y + 3z + 11 = C 2x − y − 3z + 11 = D 2x − y + 3z − 11 = Lời giải Gọi mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P ), mặt phẳng (Q) có dạng 2x − y + 3z + D = A(2; −1; 2) ∈ (Q) ⇒ D = −11 Vậy mặt phẳng cần tìm là 2x − y + 3z − 11 = Chọn đáp án D Câu 494 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (5; −4; 2) và B (1; 2; 4) Mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng AB có phương trình là A 2x − 3y − z + = B 3x − y + 3z − 13 = C 2x − 3y − z − 20 = D 3x − y + 3z − 25 = Lời giải Chọn đáp án C Câu 495 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 1; 1) và B(1; 2; 3) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A và vuông góc với đường thẳng AB A x + y + 2z − = B x + y + 2z − = C x + 3y + 4z − = D x + 3y + 4z − 26 = Lời giải # » (P) nhận AB = (1; 1; 2) làm VTPT (P) qua A ⇒ (P): x+y −1+2(z −1) = ⇔ x+y +2z −3 = Chọn đáp án A Câu 496 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; 0; 0); B (0; −2; 0);C (0; 0; 3) Phương trình nào dây là phương trình mặt phẳng (ABC)? (130) 130 y z x + + = −2 Lời giải A Chương Phương pháp tọa độ không gian B x y z + + = −2 C x y z + + = 1 −2 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn qua điểm A, B,C là: D x y z + + = −2 x y z + + =1 −2 Chọn đáp án C Câu 497 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M (2; 0; 0), N (0; −1; 0) và P (0; 0; 2) Mặt phẳng (M N P ) có phương trình là y z x + = A + −1 x y z C + + = 2 Lời giải x y z + + = −1 −1 x y z D + + = −1 B Phương trình đoạn chắn mặt phẳng qua các điểm M (2; 0; 0) , N (0; −1; 0) , P (0; 0; 2) là: x y z + + =1 −1 Chọn đáp án D Câu 498 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(−1; 2; 1) và B(2; 1; 0) Mặt phẳng qua A và vuông góc với AB có phương trình là A 3x − y − z − = B 3x − y − z + = C x + 3y + z − = D x + 3y + z − = Lời giải # » Ta có: AB = (3; −1; −1) Mặt phẳng (P) vuông góc với AB nên nhận vecto AB làm vecto pháp tuyến Phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với AB là: (x + 1)−(y − 2)−(z − 1) = ⇔ 3x − y − z + = Chọn đáp án B Tìm tọa độ điểm liên quan đến mặt phẳng Câu 499 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x − 2y + z − = Điểm nào đây thuộc (P )? A Q(2; −1; 5) B P (0; 0; −5) C N (−5; 0; 0) D M (1; 1; 6) Lời giải Ta có − 2.1 + − = nên M ∈ (P ) Chọn đáp án D Câu 500 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1; −2; 0), B(0; −1; 1), C(2; 1; −1) và D(3; 1; 4) Hỏi có tất bao nhiêu mặt phẳng cách bốn điểm đó ? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D Có vô số mặt phẳng Lời giải Ta có phương trình mặt phẳng (ABC) : x + z − = ⇒ D 6∈ (ABC) ⇒ A, B, C, D không đồng phẳng Gọi (P) là mặt phẳng cách điểm A, B, C, D: Có trường hợp + Có điểm nằm khác phía với điểm còn lại so với mặt phẳng (P): Có mặt phẳng (P) thỏa (131) Phương trình mặt phẳng 131 mãn + Mỗi phía mặt phẳng (P) có điểm: Có mặt phẳng (P) thỏa mãn Vậy có mặt phẳng thỏa mãn Chọn đáp án C Câu 501 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; −1; 1) Hình chiếu vuông goác A trên mặt phẳng (Oyz) là điểm B N (0; −1; 1) A M (3; 0; 0) C P (0; −1; 0) D Q(0; 0; 1) Lời giải Khi chiếu điểm A (3; −1; 1) lên mặt phẳng (Oyz) thì tung độ và cao độ giữ nguyên, hoành độ Vậy N (0; −1; 1) Chọn đáp án B Câu 502 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 6x − 2y + z − 35 = và điểm A(−1; 3; 6) Gọi A0 là điểm đối xứng với A qua (P ), tính OA0 √ √ √ A OA0 = 26 B OA0 = C OA0 = 46 D OA0 = √ 186 Lời giải Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên (P ) và ∆ là đường thẳng qua A; ∆ ⊥ (P ) Suy x = −1 + 6t z =6+t ∆ y = − 2t ; ⇒ A0 (11; −1; 8) ⇒ OA0 = √ 186 Chọn đáp án D Câu 503 Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1; 1; 2) Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P ) qua M và cắt các trục x0 Ox, y Oy, z Oz các điểm A, B, C cho OA = OB = OC 6= 0? A B C D Lời giải x y z + + = 1, với A (a; 0; 0) , B (0; b; 0) , C (0; 0; c) a b c 1 Ta có OA = OB = OC ⇔ |a| = |b| = |c| và M ∈ (P ) ⇒ + + = (∗) a b c a=b=c a = b = −c và , mà a = b = − c không thỏa mãn điều kiện (∗) Suy a = −b = c a = −b = −c Vậy có mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán Phương trình mặt phẳng (P ) có dạng Chọn đáp án A Khoảng cách Câu 504 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ): 3x + 4y + 2z + = và điểm A(1; −2; 3) Tính khoảng cách d từ A đến (P ) 5 A d = B d = C d = √ 29 29 Lời giải √ D d = (132) 132 Chương Phương pháp tọa độ không gian |3.1 + 4.(−2) + 2.3 + 4| √ =√ 2 +4 +2 29 Chọn đáp án C d(A; (P )) = Vị trí tương đối hai mặt phẳng, mặt cầu và mặt phẳng Câu 505 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 1) và mặt phẳng (P ) : 2x + y + 2z + = Biết mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính Viết phương trình mặt cầu (S) A (S): (x + 2)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = B (S): (x + 2)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 10 C (S): (x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = D (S): (x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 10 Lời giải |2.2 + + 2.1 + 2| √ = 22 √ + + 22 √ Bán kính mặt cầu là R = d2 + 12 = 10 ⇒ (S) : (x − 2)2 + (y − 1)2 = 10 Có d = d(I; (P )) = Chọn đáp án D Câu 506 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dây là phương trình mặt cầu có tâm I (1; 2; −1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P ) : x − 2y − 2z − = 0? A (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z − 1)2 = B (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = C (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = D (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z − 1)2 = Lời giải Gọi mặt cầu cần tìm là (S) Ta có (S) là mặt cầu có tâm I(1; 2; −1) và bán kính R Vì (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P ) : x − 2y − 2z − = |1 − 2.2 − 2.(−1) − 8| = nên ta có R = d(I; (P )) = » 12 + (−2)2 + (−2)2 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = Chọn đáp án C Câu 507 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(3; 2; −1) và qua điểm A(2; 1; 2) Mặt phẳng nào đây tiếp xúc với (S) A? A x + y − 3z − = B x − y − 3z + = C x + y + 3z − = D x + y − 3z + = Lời giải #» #» IA = (−1; −1; 3) suy mặt phẳng qua A(2; 1; 2) và nhận IA = (−1; −1; 3) làm VTPT là: x + y − 3z + = Chọn đáp án D Câu 508 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I (1; 2; 3) và mặt phẳng (P ) : 2x − 2y − z − = Mặt cầu tâm I tiếp xúc với (P ) điểm H Tìm tọa độ điểm H A H (−1; 4; 4) B H (−3; 0; −2) C H (3; 0; 2) D H (1; −1; 0) Lời giải H là hình chiếu điểm I lên mặt phẳng (P ) Xét (P ) có vtpt là #» n = (2; −2; −1) x−1 y−2 z−3 Phương trình đường thẳng qua I và vuông góc với (P ) là d : = = −2 −1 (133) Phương trình mặt phẳng 133 x =3 −z−4=0 Tọa độ H là nghiệm hệ x − y = ⇒ H (3; 0; 2) y−2 z−3 ⇔ = = z = 2 −2 −1 2x − 2y Chọn đáp án C Câu 509 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào đây là phương trình mặt cầu qua ba điểm M (2; 3; 3), N (2; −1; −1), P (−2; −1; 3) và có tâm thuộc mặt phẳng (α) : 2x + 3y − z + = 0? A x2 + y + z − 2x + 2y − 2z − 10 = B x2 + y + z − 4x + 2y − 6z − = C x2 + y + z + 4x − 2y + 6z + = D x2 + y + z − 2x + 2y − 2z − = Lời giải I(2; −1; 3) ∈ (α); IM = IN = IP = Vậy mặt cầu có phương trình x2 +y +z −4x+2y−6z−2 = Chọn đáp án B Câu 510 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét các điểm A (0; 0; 1), B (m; 0; 0), C (0; n; 0), D (1; 1; 1) với m > 0; n > và m + n = Biết m, n thay đổi, tồn mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng (ABC)√và qua d Tính bán kính R mặt cầu đó?√ 3 C R = D R = A R = B R = 2 Lời giải Gọi I(1; 1; 0) là hình chiếu vuông góc D lên mặt phẳng (Oxy) x y Ta có: Phương trình mặt phẳng (ABC) là: + +z =1 m n Suy phương trình tổng quát (ABC) là nx + my + mnz − mn = |1 − mn| Mặt khác d(I, (ABC)) = √ = (vì m + n = 1) và ID = = d(I, (ABC)) m + n2 + m n2 Nên tồn mặt cầu tâm I (là hình chiếu vuông góc D lên mặt phẳng Oxy) tiếp xúc với (ABC) và qua D Khi đó R = Chọn đáp án A Câu 511 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P ) : x − 2y + 2z − = và mặt cầu (S) : x2 + y + z + 2x − 4y − 2z + = Giả sử điểm M ∈ (P ) và N ∈ (S) cho vectơ # » M N cùng phương với vectơ #» u (1; 0; 1) và khoảng cách M và N lớn Tính M N √ √ A M N = B M N = + 2 C M N = D M N = 14 Lời giải Mặt cầu (S) : (x + 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 1, có tâm I(−1; 2; 1) và bán kính R = Gọi ∆ là x = −1 + t đường thẳng qua I và có vectơ phương #» u = (1; 0; 1), đó ∆ : y = z =1+t Đường thẳng ∆ cắt (P ) M (1; 2; 3) Ç å Ç å 1 1 √ √ √ √ ; 2; − , N2 −1 + ; 2; + Đường thẳng ∆ cắt (S) hai điểm N1 −1 − 2 2 (134) 134 Chương Phương pháp tọa độ không gian √ √ √ Ta có M N1 = 2 + 1, M N2 = 2 − nên ta có M N = 2 + Chọn đáp án B Câu 512 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 1), B(3; −1; 1) và C(−1; −1; 1) Gọi S1 là mặt cầu có tâm A, bán kính 2; S2 và S3 là hai mặt cầu có tâm là B, C và bán kính Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với ba mặt cầu (S1 ), (S2 ), (S3 )? A B C D Lời giải Gọi (P ) là mặt phẳng tiếp xúc (S1 ), (S2 ), (S3 ) cóphương trình dạng ax + by + cz + d = với |a + 2b + c + d| =2 a2 + b2 + c2 = đó điều kiện tiếp xúc là |3a − b + c + d| = | − a − b + c + d| b = a +c + d |2b + c + d| =2 Nếu a = thì | − b + c + d| = ⇒ |2b+c+d| = 2|−b+c+d| ⇔ |3b| =2 Nếu b = a + c + d thì | − 2a| = ⇒ b = 32 , a = b= b= b= − 23 , a = 12 , a = − 12 − 23 , a = − 12 (1) (2) (2), (3) ⇔ a = = (3) c+d=0 ⇒ b = có mặt phẳng (P c + d = 4b ⇒ |3b| = có mặt phẳng ( ⇒ có mặt phẳng (P ) ⇒ có mặt phẳng (p) ⇒ có mặt phẳng (P ) ⇒ có mặt phẳng (P ) Vậy có mặt phẳng thỏa đề bài Chọn đáp án B §3 Phương trình đường thẳng không gian Xác định VTCP x+2 y−1 Câu 513 Trong không gian Oxyz, điểm nào đây thuộc đường thẳng d : = = 1 z+2 ? A P (1; 1; 2) B N (2; −1; 2) C Q(−2; 1; −2) D M (−2; −2; 1) Lời giải Chọn đáp án C Câu 514 (QG17,102) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; −1; 3), B(1; 0; 1) và C(−1; 1; 2) Phương trình nào đây là phương trình chính tắc đường thẳng qua A và song song với đường thẳng BC? x = −2t A y = −1 + t z = + t x y+1 z−3 = = C −2 1 Lời giải B x − 2y + z = D x−1 y z−1 = = −2 1 (135) Phương trình đường thẳng không gian 135 Chọn đáp án C x =2−t Câu 515 Trong không gian Oxyz, đường thẳng d : y = + 2t có véc-tơ phương là z = + t A #» u = (2; 1; 3) B #» u = (−1; 2; 1) C #» u = (2; 1; 1) D #» u = (−1; 2; 3) Lời giải Chọn đáp án B Câu 516 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : vectơ phương là A u#» = (−1; 2; 1) B u#»2 = (2; 1; 0) y−1 z x−2 = = Đường thẳng d có −1 C u#»3 = (2; 1; 1) D u#»4 = (−1; 2; 0) Lời giải Véc tơ phương d là #» u = (−1; 2; 1) Chọn đáp án A Câu 517 (QG17,102) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; −2; 3) và hai mặt phẳng (P ) : x + y + z + = 0, (Q) : x − y + z − = Phương trình nào đây là phương trình đường thẳng qua A, song song với (P ) và (Q)? x = x = −1 + t A y = z = −3 − t Lời giải B y = −2 z = − 2t x x = + 2t C y = −2 z = + 2t =1+t D y = −2 z = − t (P ) có véc-tơ pháp tuyến n#»1 (1; 1; 1), (Q) có véc-tơ pháp tuyến n#»2 (1; −1; 1) Ta có [n#», n#»] = (2; 0; −2) Đường thẳng cầntìm nhận véc-tơ #» u (1; 0; −1) làm véc-tơ phương Vậy phương trình đường x = + t thẳng cần tìm là y = −2 z = − t Chọn đáp án D Câu 518 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 1; 0) và B (0; 1; 2) Véctơ nào đây là véctơ phương đường thẳng AB? #» #» A b = (−1; 0; 2) B #» c = (1; 2; 2) C d = (−1; 1; 2) D #» a = (−1; 0; −2) Lời giải # » AB = (−1; 0; 2) là véctơ phương đường thẳng AB Chọn đáp án A Câu 519 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1; 2; 3) Gọi M1 , M2 là hình chiếu vuông góc M trên các trục Ox, Oy Véctơ nào đây là véctơ phương đường thẳng M1 M2 ? A u#» = (1; 2; 0) B u#»3 = (1; 0; 0) C u#»4 = (−1; 2; 0) D u#»1 = (0; 2; 0) (136) 136 Chương Phương pháp tọa độ không gian Lời giải # » Ta có M1 (1; 0; 0) và M2 (0; 2; 0) Do đó, M1 M2 = (−1; 2; 0) là véctơ phương đường thẳng M1 M2 Chọn đáp án C x =1 z =5−t Câu 520 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : y = + 3t (t ∈ R) Vectơ nào đây là vectơ phương d ? A #» u = (1; 3; −1) B #» u = (0; 3; −1) C #» u = (1; −3; −1) D #» u = (0; 3; 1) Lời giải x =1 Đường thẳng d : y = + 3t (t ∈ R) nhận véctơ #» u = (0; 3; −1) làm VTCP z = − t Chọn đáp án B Câu 521 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; −1; 2), B(−1; 2; 3) và đường x−1 y−2 z−1 thẳng d : = = Tìm điểm M (a; b; c) thuộc d cho M A2 + M B = 28, biết 1 c < A M (−1; Ç 0; −3).å C M ; ;− 6 Lời giải B M (2; Ç 3; 3) å D M − ; − ; − 6 Vì M ∈ d nên tọa độ M có dạng M (1 + t; + t; + 2t) Ta có M A2 + M B = 28 ⇔ t2 + (t + 3)2 + (2t − 1)2 + (t + 2)2 + t2 + (2t − 2)2 = 28 ⇔ 12t2 − 2t − 10 = ⇔ t = 1; t = − Với t = ⇒ M (2;Ç 3; 3) loại vì c < å Với t = − ⇒ M ; ;− thỏa yêu cầu bài toán 6 Chọn đáp án C Viết phương trình đường thẳng Câu 522 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 2) và đường thẳng d có phương x−1 y z+1 trình : = = Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, vuông góc và cắt d 1 x−1 y z+2 x−1 y z+2 A ∆: = = B ∆: = = 1 1 −1 x−1 y z−2 x−1 y z−2 C ∆: = = D ∆: = = 2 1 −3 Lời giải Phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc (d): (x − 1) + y + 2(z − 2) = ⇔ x + y + 2z − = (P) Giao d và (P) là B(2; 1; 1) x−1 y z−2 Phương trình đường thẳng cần tìm là AB: = = 1 −1 Chọn đáp án B (137) Phương trình đường thẳng không gian 137 Câu 523 Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz phương trình nào đây là phương trình x = + 2t chính tắc đường thẳng d : y = 3t z ? = −2 + t y z−2 x+1 = = x+1 y z−2 C = = −2 Lời giải x−1 y z+2 = = −2 x−1 y z+2 D = = B A Dựa vào phương trình tham số ta suy d qua A(1; 0; −2) và có vtcp #» u (2; 3; 1) nên suy d có y z+2 x−1 = = phương trình chính tắc là Chọn đáp án D Câu 524 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (−1; 1; 3) và hai đường thẳng y+3 z−1 x+1 y z x−1 = = , ∆0 : = = Phương trình nào đây là phương trình ∆: 1 −2 đường thẳng qua M , vuông góc với ∆ và ∆0 x = −1 − t x = −1 − t x = −t x = −1 − t A y = + t z = + 3t C y = − t z = + t B y = + t z = + t D y = + t z = + t Lời giải ∆ và ∆ có các vecto phương là u#»1 = (3; 2; 1) và u#»2 = (1; 3; −2) Khi đó [u#»1 , u#»2 ] = (−7; 7; 7) nên đường thẳng vuông góc với d và ∆ có vecto phương là x = −1 − t #» u = (−1; 1; 1) Do đó phương trình đường thẳng y =1+t z =3+t Chọn đáp án D Câu525 (QG17,101) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng x = + 3t x−1 y+2 z d1 : y = −2 + t , d2 : = = và mặt phẳng (P ) : 2x + 2y − 3z = Phương trình nào −1 z = đây là phương trình mặt phẳng qua giao điểm d1 và (P ), đồng thời vuông góc với d2 ? A 2x − y + 2z + 22 = B 2x − y + 2z + 13 = C 2x − y + 2z − 13 = D 2x + y + 2z − 22 = Lời giải Xét phương trình 2(1 + 3t) + 2(−2 + t) − = ⇒ t = ⇒ d1 ∩ (P ) = M (4; −1; 2) Mặt phẳng qua M và vuông góc với d nhận u#» = (2; −1; 2) làm vtpt ⇒ phương trình mặt phẳng: 2 2(x − 4) − (y + 1) + 2(z − 2) = ⇒ 2x − y + 2z − 13 = Chọn đáp án C (138) 138 Chương Phương pháp tọa độ không gian Câu 526 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; −2; −3), B (−1; 4; 1) và y−2 z+3 x+2 = = Phương trình nào đây là phương trình đường đường thẳng d : −1 thẳng qua trung điểm đoạn thẳng AB và song song với d? x y−1 z+1 x y−2 z+2 A = = B = = 1 −1 x y−1 z+1 x−1 y−1 z+1 C = = D = = −1 −1 Lời giải Trung điểm đoạn AB là M (0; 1; −1), xét d có véc-tơ phương là #» u = (1; −1; 2) ⇒ phương trình đường thẳng qua M và song song với d là x y−1 z+1 = = −1 Chọn đáp án C x = + 3t Câu 527 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d : y = −3 + t và z = − 2t y+1 z x−4 = = Phương trình nào đây là phương trình đường thẳng thuộc mặt d0 : −2 phẳng chứa d và d0 đồng thời cách hai đường thẳng đó? x−3 y+2 z−2 x+3 y+2 z+2 A = = B = = −2 −2 x+3 y−2 z+2 x−3 y−2 z−2 C = = D = = −2 −2 Lời giải Từ giả thiết, d song song với d0 , d qua điểm A(2; −3; 4) và d0 qua điểm B(4; −1; 0) Đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường thẳng song song với d và qua trung điểm M (3; −2; 2) AB Chọn đáp án A x−3 y−1 z+7 = = −2 Đườngthẳng qua A, vuông góc với d và cắt trục Oxcó phương trình là x = −1 + 2t x = + t x = −1 + 2t x = + t Câu 528 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng d : A y = 2t z = 3t Lời giải B y = + 2t z = + 2t C y = −2t z = t D y = + 2t z = + 3t # » Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm và B = ∆ ∩ Ox ⇒ B(b; 0; 0) và BA = (1 − b; 2; 3) # » Do ∆ ⊥ d, ∆ qua A nên BA.u#»d = ⇔ 2(1 − b) + − = ⇔ b = −1 x = −1 + 2t # » Từ đó ∆ qua B(−1; 0; 0), có véc-tơ phương là BA = (2; 2; 3) nên ∆ : y = 2t z Chọn đáp án A = 3t x y+1 z−1 = = và mặt phẳng (P ) : x − 2y − z + = Đường thẳng nằm (P ) đồng thời cắt và vuông góc với ∆ có phương Câu 529 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ : (139) Phương trình đường thẳng không gian trình là x=1 A y = − t z = + 2t 139 x = −3 B y = −t z = 2t x=1+t C y = − 2t z = + 3t x = + 2t D y = − t z=2 Lời giải Chọn đáp án A y+5 z−3 x−1 = = −1 Phương trình nào đây là phương trình hình chiếu vuông góc d trên mặt phẳng x + = Câu 530 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : 0? x = −3 z = −3 + 4t A y = −5 − t x = −3 z = + 4t B y x = −3 z =3−t C y = −5 + t = −5 + 2t x = −3 z = + 4t D y = −6 − t Lời giải Chọn A(1; −5; 3; ) ∈ d, B(3; −6; 7) ∈ d Gọi A0 , B là hình chiếu vuông góc A, B lên # » (P ) ⇒ A0 (−3; −5; 3), B (−3; −6; 7) Vectơ CP hình chiếu là A0 B = (0; −1; 4) Chọn đáp án D y−3 z+2 x−5 x−3 = = ; d2 : = Câu 531 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : −1 −2 −3 y+1 z−2 = và mặt phẳng (P ) : x + 2y + 3z − = Đường thẳng vuông góc với (P ), cắt s1 và d2 có phương trình là x−1 y+1 z x−2 y−3 z−1 A = = B = = 3 y−3 z+2 x−1 y+1 z x−3 = = D = = C 3 Lời giải Gọi đường thẳng cần tìm là ∆ Vì ∆⊥ (P ) ⇒ #» u = #» n = (1; 2; 3) ∆ Khi đó phương trình đường thẳng ∆ có dạng (P ) A = d1 ∩ ∆ ⇒ A (3 − t; − 2t; x − x0 y − y0 z − z0 = = Gọi B = d2 ∩ ∆ ⇒ B (5 − 3t0 ; −1 + Ta thử đáp án: Đáp án A: − 2t + −2 + t 2−t − 2t −2 + t 3−t−1 = = ⇔ = = ⇔ 12 − 6t = −4 + 2t ⇔ t = ⇒ A∈∆⇒ 3 0 0 − 3t − −1 + 2t + 2+t − 3t t +2 B∈∆⇒ = = ⇔ = t0 = ⇔ t0 = ⇒ B (2; 1; 3) 3 x−1 y+1 z Vậy đáp án A có đường thẳng = = vuông góc với mp(P ) và cắt d1 tạiA (1; −1; 0) , cắt d2 B (2; 1; 3) thỏa mãn yêu cầu bài toán Chọn đáp án A x=1+t Câu 532 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : y = + t , gọi ∆ là đường thẳng z=3 qua điểm A (1; 2; 3) và vecto phương #» u = (0; −7; −1) Đường phân giác góc nhọn tạo d và ∆ có phương trình là: (140) 140 Chương Phương pháp tọa độ không gian x = + 6t x = −4 + 5t A y = + 11t z = + 8t x = −4 + 5t x = + 5t B y = −10 + 12t z = −2 + t C y = −10 + 12t D y = − 2t z =2+t z =3−t Lời giải » = (0; −7; −1) Ta có vtcp d: u#»1 = (1; 1; 0); VTCP đường thẳng ∆ là u# ∆ #» # » ») = u1 u∆ < Góc vecto phương là: cos (u#»1 ; u# ∆ »| |u#»1 | |u# ∆ #» Nên ta chọn vtcp d là: u = (−1; −1; 0) ngược hướng với vtcp u#»1 å Ç #» 1 #» −12 #» ;− Chuẩn hóa để tìm vtcp đường phân giác: m = #» u + #» ∆ = √ −1; |u| 5 ∆ #» Chọn w = (5; 12; 1) là vtcp đường phân giác tạm gọi là d Loại C và D x−1 y−2 z−3 Dễ thầy d và ∆ và d0 cùng qua điểm A (1; 2; 3) ⇒ d0 : = = 12 x = −4 + 5t Thay điểm (−4; −10; 2) phương trình y = −10 + 12t thấy thoả mãn z =2+t Chọn đáp án C x = + 3t Câu 533 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : y = + 4t Gọi ∆ là đường thẳng z = qua điểm A(1; 1; 1) và có véc-tơ phương #» u = (1; −2; 2) Đường phân giác góc nhọn tạo d và ∆ có phương trình là x = −1 + 2t x = + 7t A y = + t z = + 5t Lời giải B y = −10 + 11t z = −6 − 5t x x = −1 + 2t C y = −10 + 11t z = − 5t x = + 3t D y = + 4t z = − 5t = + t0 Phương trình tham số đường thẳng ∆ : y = − 2t0 z = + 2t0 # » Chọn điểm B(0; 3; −1) ∈ ∆ ta có AB = (−1; 2; −2) và AB = # » Chọn điểm C(4; 5; 1) ∈ d ta có AC = (3; 4; 0) và AC = # »# » [ < 90◦ Phân giác góc nhọn BAC [ có véctơ phương Ta có AB.AC = > ⇒ BAC #» # » # » #» u = AC.AB + AB.AC = (4; 22; −10) hay u0 = (2; 11; −5) x = −1 + 2t Kiểm tra các kết ta chọn phương án y = −10 + 11t z = − 5t (141) Phương trình đường thẳng không gian 141 Chọn đáp án C x = + 3t Câu 534 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : y = + 4t Gọi ∆ là đường thẳng z=1 qua điểm A (1; 1; 1) và có vectơ phương #» u = (−2; 1; 2) Đường phân giác góc nhọn tạo d và ∆ có phương trình là x = + 27t A y = + t z =1+t x = −18 + 19t C y = −6 + 7t z = −11 − 10t x = −18 + 19t x=1−t B y = −6 + 7t z = 11 − 10t D y = + 17t z = + 10t Lời giải Chọn đáp án B Ç å 8 Đường thẳng qua Câu 535 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 2; 1), B − ; ; 3 tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) có phương trình là x+1 y−3 z+1 x+1 y−8 z−4 = = B = = −2 −2 x + 31 y − 53 z − 11 x + 92 y − 29 z − 59 = = D = = C −2 −2 Lời giải h # » # »i Ta có OA; OB = k (1; − 2; 2)⇒ Vectơ phương đường thẳng (d) là #» u = (1; − 2; 2) #» #» Chú ý: Với I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ ABC, ta có đẳng thức vectơ sau: BC.IA + CA.IB + # » #» AB.IC = BC.xA + CA.xB + AB.xC xI = BC + CA + AB BC.yA + CA.yB + AB.yC ⇒ Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ yI = BC + CA + AB BC.z A + CA.zB + AB.zC zI = BC + CA + AB Khi đó, xét tam giác ABO ⇒ Tâm nội tiếp tam giác là I (0; 1; 1) x+1 y−3 z+1 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là (d) : = = −2 Chọn đáp án A A Tìm tọa độ điểm liên quan đến đường thẳng x=1−t Câu 536 Trong không gian Oxyz, điểm nào đây thuộc đường thẳng d: y = + t ? z = + 3t A P (1; 2; 5) B N (1; 5; 2) C Q (−1; 1; 3) D M (1; 1; 3) Lời giải Chọn đáp án B (142) 142 Chương Phương pháp tọa độ không gian Góc Câu 537 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào đây là phương trình đường thẳng qua điểm A(2; 3; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P ) : x + 3y −z + = 0? x = + 3t x = + t x = + t x = + 3t A y = 3t z = − t Lời giải B y = 3t z = − t C y = + 3t z = − t D y = 3t z = + t Chọn đáp án B Khoảng cách Câu 538 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x − 2y − z + = và x−1 y+2 z−1 đường thẳng ∆ : = = Tính khoảng cách d ∆ và (P ) 2 A d = B d = C d = D d = 3 Lời giải Ta có véctơ pháp tuyến mặt phẳng (P ) : 2x − 2y − z + = là n#»p = (2; −2; 1) y+2 z−1 x−1 » = (2; 1; 2) = = là u# ∆ Véctơ phương đường thẳng ∆ : 2 |2.1 − 2.(−2) − 1| #» # » Mà np u∆ = nên ∆//(P ) Vậy d((P ); ∆) = d(M0 ; (P )) với M0 (1; −2; 1) ∈ ∆ d = » = 22 + (−2)2 + (−1)2 = Chọn đáp án D Vị trí tương đối hai đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng Câu 539 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào đây là phương trình mặt x−1 y+2 z−3 phẳng qua điểm M (3; −1; 1) và vuông góc đường thẳng ∆ : = = ? −2 A 3x − 2y + z + 12 = B 3x + 2y + z − = C 3x − 2y + z − 12 = D x − 2y + 3z + = Lời giải » = (3; −2; 1) làm vecto pháp tuyến Mặt phẳng qua điểm M (3; −1; 1) vuông góc với ∆ nhận u# ∆ nên phương trình mặt phẳng là: 3(x − 3) − 2(y + 1) + (z − 1) = ⇐⇒ 3x − 2y + z − 12 = Chọn đáp án C Câu 540 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (−2; 3; 1) và B (5; −6; −2) Đường AM thẳng AB cắt mặt phẳng (Oxz) điểm M Tính tỉ số BM AM AM AM AM A = B = C = D = BM BM BM BM Lời giải √ # » # » M ∈ (Oxz) ⇒ M (x ; ; z) AB = (7 ; ; 1) ⇒ AB = 59 AM = (x + ; − ; z − 1) x + = 7k x = −9 # » # » và A, B, M thẳng hàng ⇒ AM = k.AB (k ∈ R) ⇔ − = 3k ⇔ − = k ⇒ M (−9 ; ; 0) z −1=k z =0 (143) Phương trình đường thẳng không gian 143 √ # » BM = (−14 ; − ; − 2) ⇒ BM = 118 = 2.AB Chọn đáp án A Bài toán liên quan đường thẳng - mặt phẳng - mặt cầu Câu 541 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1; −2; 3) Gọi I là hình chiếu vuông góc M trên trục Ox Phương trình nào đây là phương trình mặt cầu tâm I bán kính IM ? A (x − 1)2 + y + z = 13 √ C (x − 1)2 + y + z = 13 B (x + 1)2 + y + z = 13 D (x + 1)2 + y + z = 17 Lời giải Hình chiếu vuông góc M trên Ox là I(1; 0; 0) Mà IM = √ 13 » (1 − 1)2 + (−2 − 0)2 + (3 − 0)2 = nên phương trình mặt cầu là (x − 1)2 + y + z = 13 Chọn đáp án A Oxyz, cho mặt cầu x−2 y z−1 (S) : (x + 1)2 + (y − 1)2 + (z + 2)2 = và hai đường thẳng d: = = , −1 x y z−1 ∆: = = Phương trình nào đây là phương trình mặt phẳng tiếp 1 −1 xúc với (S), song song với d và ∆? Câu 542 (QG17,102) Trong A x + z + = không gian B x + y + = với hệ tọa độ C y + z + = D x + z − = Lời giải √ (S) có tâm I(−1; 1; −2) và bán kính R = d có véc-tơ phương u#»1 (1; 2; −1), ∆ có véc-tơ phương u#»2 (1; 1; −1) Ta có [u#»1 , u#»2 ] = (−1; 0; −1) Vì mặt phẳng (P ) cần tìm song song với d và ∆ nên nó nhận #» n (1; 0; 1) làm véc-tơ phương Phương trình (P ) có dạng x + z + d = Vì (S) tiếp xúc với (P ) nên d(I, (P )) = R ⇔ d=5 |d − 3| √ √ = 2⇔ d=1 Vậy ta hai mặt phẳng là x + z + = và x + z + = Chọn đáp án A Câu 543 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ có phương trình : x − 10 y−2 z+2 = = 1 Xét mặt phẳng (P ) : 10x + 2y + mz + 11 = 0, m là tham số thực Tìm tất các giá trị m để mặt phẳng (P ) vuông góc với đường thẳng ∆ A m = −2 Lời giải B m = C m = −52 D m = 52 (144) 144 Chương Phương pháp tọa độ không gian Đường thẳng ∆ nhận (5; 1; 1) là VTCP (P) nhận (10; 2; m) là VTPT (d) ⊥ (P ) ⇔ (10; 2; m) = k.(5; 1; 1) ⇔ k = và m = Chọn đáp án B Câu 544 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : y z−5 x+1 = = và −3 −1 mặt phẳng (P ) : 3x − 3y + 2z + = Mệnh đề nào đây đúng ? A d cắt và không vuông góc với (P ) B d vuông góc với (P ) C d song song với (P ) D d nằm (P ) Lời giải Chọn đáp án A x+1 y z+2 = = và mặt phẳng −1 (P ) : x + y − z + = Đường thẳng nằm (P ) đồng thời cắt và vuông góc với ∆ có phương Câu 545 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ : trình là x = −1 + t A y = −4t x=3+t B y = −2 + 4t z =2+t z = −3t x=3+t C y = −2 − 4t z = − 3t x = + 2t D y = −2 + 6t z =2+t Lời giải Đường thẳng d nằm (P ) đồng thời cắt và vuông góc với ∆ î »ó = (1; −4; −3) là VTCP d nên có véc-tơ phương u#»d = n# (P») , u# ∆ Tọa độ giao điểm (P ) và ∆ là M (3; −2; 2), đó d qua M (3; −2; 2) x=3+t Vậy phương trình d là y = −2 − 4t z = − 3t Chọn đáp án C Câu 546 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = và điểm A (2; 3; 4) Xét các điểm M thuộc (S) cho đường thẳng AM tiếp xúc với (S), M thuộc mặt phẳng có phương trình là? A 2x + 2y + 2z − 15 = B x + y + z − = C 2x + 2y + 2z + 15 = D x + y + z + = Lời giải Mặt cầu (S) có tâm I (1; 2; 3) và bán kính R = √ √ √ Ta có IA = Khi đó AM = IA2 − R2 = Ç å AM 2 10 # » # » #» Hạ M H⊥AI thì AH = = √ hay AH = AI ⇔ HA + 2HI = ⇒ H ; ; AI 3 3 #» Khi đó ta có M thuộc mặt phẳng (P ) qua H và nhận véctơ IA = (1; 1; 1) làm véc tơ pháp tuyến nên M ∈ (P ) : x + y + z − = √ √ Hướng Tính AM = IA2 − R2 = M thuộc mặt cầu tâm A bán kính AM và M thuộc (S) (145) Phương trình đường thẳng không gian 145 (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = Tọa độ M là nghiệm hệ phương trình: (x − 2)2 + (y − 3)2 + (z − 4)2 = hay điểm M thuộc mặt phẳng (P ) : x + y + z − = Chọn đáp án B Câu 547 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = và điểm A(2; 3; −1) Xét các điểm M thuộc (S) cho đường thẳng AM tiếp xúc với (S), M luôn thuộc mặt phẳng có phương trình A 6x + 8y + 11 = B 3x + 4y + = C 3x + 4y − = D 6x + 8y − 11 = Lời giải Mặt cầu (S) có tâm I(−1; −1; −1) và bán kính R = √ * Ta tính AI = 5, AM = AI − R2 = * Phương trình mặt cầu (S ) tâm A(2; 3; −1), bán kính AM = là: (x − 2)2 + (y − 3)2 + (z + 1)2 = 16 * M luôn thuộc mặt phẳng (P ) = (S) ∩ (S ) có phương trình: 3x + 4y − = Chọn đáp án C Câu 548 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P ) song song và x−2 y z x y−1 z−2 cách hai đường thẳng d1 : = = và d2 : = = −1 1 −1 −1 A (P ) : 2x − 2z + = B (P ) : 2y − 2z + = C (P ) : 2x − 2y + = D (P ) : 2y − 2z − = Lời giải Chọn đáp án B Câu 549 (QG17,101) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y + z = 9, điểm M (1; 1; 2) và mặt phẳng (P ) : x + y + z − = Gọi ∆ là đường thẳng qua M , thuộc (P ) và cắt (S) hai điểm A, B cho AB nhỏ Biết ∆ có vectơ phương là #» u (1; a; b) Tính T = a − b A T = −2 B T = C T = −1 D T = Lời giải √ (S) có tâm là O và bán kính R = 3, (P ) có vecto pháp tuyến #» n = (1; 1; 1) Ta có OM = ≥ » √ d[O, ∆] suy AB = R2 − d2 [O, ∆] ≥ Đẳng thức xảy ∆ ⊥ OM M Khi đó h# » i OM , #» n = (−1, 1, 0) là môt vecto phương ∆ Theo giả thiết #» u (1; a; b) là môt vecto phương ∆ nên a = −1, b = Vậy T = −1 Chọn đáp án C Câu 550 (QG17,102) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4; 6; 2), B(2; −2; 0) và mặt phẳng (P ) : x + y + z = Xét đường thẳng d thay đổi thuộc (P ) và qua B, gọi H là hình chiếu vuông góc A trên d Biết d thay đổi thì H thuộc đường tròn cố định Tính bán kính R đường tròn đó √ A R = B R = Lời giải C R = D R = √ (146) 146 Chương Phương pháp tọa độ không gian Mặt cầu đường kính AB có tâm I(3; 2; 1) và bán kính R0 = √ 18 H luôn thuộc mặt phẳng (P ) và mặt cầu đường kính AB √ √ Khoảng cách từ I đến (P ) là d = Từ đó suy R = Chọn đáp án A Câu 551 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; −2; 6), B(0; 1; 0) và mặt cầu (S) : (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 25 Mặt phẳng (P ) : ax + by + cz − = qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ Tính T = a + b + c A T = B T = C T = D T = Lời giải Chọn đáp án A Câu 552 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x − 2)2 + (y − 3)2 + (z + 1)2 = 16 và điểm A (−1; −1; −1) Xét các điểm M thuộc (S) cho đường thẳng AM tiếp xúc với (S), M luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là A 3x + 4y − = B 3x + 4y + = C 6x + 8y + 11 = D 6x + 8y − 11 = Lời giải Chọn đáp án A (147)