Đang tải... (xem toàn văn)
1 Chứng minh rằng với mọi điểm P trên canh BC, ta luôn có diện tích PDE khônh lớn hơn 4 diện tích ABC.. Đường thẳng DE ở vị trí nào thì diện tích PDE đạt giá trị lớn nhất...[r]
(1)PGD KRÔNG BÚK TRƯỜNG THCS LÝ TỰ TRỌNG THI HS GIỎI – Năm học 07-08 Môn Toán – Thời gian 150 phút ĐỀ BÀI: Bài 1: (2đ) Rút gọn biểu thức A x x x x Bài (3đ) Cho biểu thức 2a a 2a a a a a a B 1 1 a a 1 a a1 a/ Rút gọn B B b/ Chứng minh Bài 3: (3đ) Với a, b, c, d là các số dương thỏa mãn a.b = c.d =1 a b c d 2 a b c d Chứng minh bất đẳng thức: Bài (3đ) Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 C 2 2 2 3 2006 2007 2007 20082 là số hữu tỷ Bài (3đ) Cho ba số x, y, z thỏa mãn Hãy tính tổng x y z 2 x y z 1 3 x y z 1 ABC AB AC Bài (3đ) Cho Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABC Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp ABC D a/ Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp BIC b/ Gọi M, N là tiếp điểm đường tròn nội tiếp ABC với các cạnh AB, BC K là hình chiếu vuông góc C xuống đường thẳng AI Chứng minh M, N, K thẳng hàng Bài (3đ) Cho ABC Một đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB D và cắt AC E Chứng minh với điểm P trên canh BC, ta luôn có diện tích PDE khônh lớn diện tích ABC Đường thẳng DE vị trí nào thì diện tích PDE đạt giá trị lớn (2) ĐÁP ÁN ĐỀ THI HS GIỎI TOÁN – Năm học: 07 – 08 Bài (2đ) A x x x x 1 1,5 đ x 1 x 1 x 1 ĐK: x 1 x 1 x 1 x 1 Với x A x x 2 Với x 2 A x x 2 x Bài (3đ) a/ Rút gọn biểu thức M ngoặc (…) 2a a a a 1 a 1 a 1 a 1 a a 1 M Ta có: 0,25đ a 1 a a 2a a a a a 1 a 1 a 1 a a a 1 a 1 a1 2a a a a MTC 1 a 1 a 1 a a 2 2đ 0,25đ 1 a 1 a a 2a a a 1 a a a 2a 2a a a a a 1 a a a a 2a a a a 1 a 1 a a a1 1 a 1 B 1 a a a1 1 a 1 a a a 1 a a1 a 1 a a a 1 a 1 a a 1 a a 1 a a a 0, a 1, a 4) (ĐKXĐ: 1 b/ Vì a 0 a 0 a 1 a 1 a a a a 1 2 a 2 a 1đ Nên a (1) a a 1 Mặt khác: a a nên chia vế (1) cho ta có: (3) a 1 a a và vì a 1 nên dấu “=” không xảy B a 0; a 1; a với Vậy Bài (3đ) ta có: a b c d 2 a b c d 1đ a b c d a b c d 0 a b c d c d 0 1đ c d a b 0 c d a b 0 1đ (luôn đúng với a , b, c, d và ab=cd 1 ) Bài (3đ) Ta có: 1đ 1,5đ 0,5đ C 1 2 32 1 Mỗi số hạng C có dạng: 3 42 1 x 1; y 1; z 1 Bài (3đ) Theo đề ta có 3 Nên x x ; y y ; z z 3 2 x y z x y z 2006 20072 1 2007 20082 1 a b c Trong đó a b c 0 M a b c 1 1 1 1 M abc a b c a b c Mà 1 a b c là số hữu tỷ C là số hữu tỷ (Vì a b c 0 ) 0,5đ 0,5đ 0,5đ x x x 1 y y2 y 1 z z z 1 x x x 0 y y y 0 z z z 0 Đẳng thức xảy 2 Vậy x y z x y z 1 1đ 0,5đ Bài (3đ) a/ D DC BD DC (1) B D A B (T/c góc ngoài tam giác) BI 1,5đ 1 0,5đ 12 Mà A B D DBI BI DBI cân DB DI b/ A 2 ; DB DI DC D là tâm đường tròn ngoại tiếp BIC B BI MN MNB 900 mà M I B C N K D (4) 0,25đ A B C 900 2 A B MNB 2 Chứng minh điểm I, N, K, C cùng nằm trên đường tròn 0,25đ CNK CIK (cùng chắn KC ) A B CIK 2 (T/c góc ngoài tam giác) Mà A C 4 CNK 2 Từ (3), và (4) MNB CNK M, N, K thẳng hàng B, N, C thẳng hàng M, K hai nửa mặt phẳng bờ BC Bài (3đ) 1đ 0,75đ 1đ 0,25đ A Kẻ AH BC AH cắt DE K Đặt AH = h, AK = k S DE h k P PDE S ABC BC h k D K E kh k k2 ab a b a, b 0 B Áp dụng bất đẳng thức Dấu “=” xảy a b Tổng không đổi thì tích lớn a b Ta có k + h – k = h không đổi k 0, h k 0 tích k(h – k) lớn B B k h k k h h2 1 p 42 S PDE S ABC h 4 h S PDE lớn k tức DE là đường trung bình ABC H P C (5)