30 CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT CHUNG VỀ PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC CỦA VẬT RẮN TRONG KHÔNG GIAN 2.1 Ma trận cosin chỉ hướng 2.1.1 Định nghĩa ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn Cho vật rắn B và hệ quy chiếu R = { )0( 3 )0( 2 )0( 1 e,e,e rrr }. Trong đó )0( 3 )0( 2 )0( 1 e,e,e rrr là ba véc tơ đơn vị trên các trục Ox 0 , Oy 0 , Oz 0 . Ta gắn chặt vật rắn vào một hệ quy chiếu R = { 321 e,e,e rrr }, với 321 e,e,e rrr là ba véc tơ đơn vị trên các trục Az, Ay, Az, (Hình 2.1). ` Định nghĩa ma trận vuông cấp ba A= ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 3 )0( 32 )0( 31 )0( 3 3 )0( 22 )0( 21 )0( 2 3 )0( 12 )0( 11 )0( 1 e.ee.ee.e e.ee.ee.e e.ee.ee.e rrrrrr rrrrrr rrrrrr (2.1) được gọi là ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn B đối với hệ quy chiếu R 0 . A O Hình 2.0 y 0 z 0 x 0 B y 1 z 1 x1 z y )0( 1 e r )0( 3 e r )0( 2 e r 2 e r 1 e r 3 e r x 1 31 Nếu ta đưa vào ký hiệu a ij = e r )0( i . j e r = cos( e r )0( i . j e r ), với (i,j = 1,2,3) (2.2) Thì ma trận cosin chỉ hướng (2.1) có dạng A = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 333231 232221 131211 aaa aaa aaa (2.3) Từ định nghĩa trên, trong hệ quy chiếu R 0 ta có các hệ thức hiên hệ: )0( 331 )0( 221 )0( 1111 eaeaeae rrrr ++= )0( 332 )0( 222 )0( 1122 eaeaeae rrrr ++= (2.4) )0( 333 )0( 223 )0( 1133 eaeaeae rrrr ++= Nếu ta ký hiệu e i là ma trận cột gồm các phần tử của véc tơ i e r trong hệ qui chiếu R 0 . Ta có: e 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 31 21 11 a a a , e 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 32 22 12 a a a , e 3 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 33 23 13 a a a (2.5) Tìm ma trận cosin chỉ hướng (2.3) có dạng: A = [ e 1, e 2 , e 3 ] (2.6) Ma trận cosin chỉ hướng A còn được gọi là ma trận quay của vật rắn. 2.1.2 Một vài tính chất cơ bản của ma trận cosin chỉ hướng a) Tính chất 1: ma trận cosin chỉ hướng là ma trận trực giao. Theo công thức (2.6): A = [ e 1, e 2 , e 3 ] Ma trận cosin chỉ hướng A là ma trận cột có ba cột là ba véc tơ trực chuẩn. Do đó A là ma trận trực giao. Do tính chất của ma trận cosin chỉ hướng là ma trận trực giao nên A . A T = E . Từ đó nhận được 6 phương trình liên hệ giữa các thành phần của ma trận cosin chỉ hướng như sau: 32 1aaa 2 31 2 21 2 11 =++ 0aaaaaa 323122211211 =++ 1aaa 2 32 2 22 2 12 =++ 0aaaaaa 333123211311 =++ 1aaa 2 33 2 23 2 13 =++ 0aaaaaa 333223221312 =++ Do vậy chỉ có 3 thành phần của ma trận cosin chỉ hướng là độc lập. b)Tính chất 2: Định thức của ma trận cosin chỉ hướng det( A )=1 Từ hệ thức A . A T = E ta suy ra: det( A . A T )= det( A ). det( A T )= det( E )=1 Do: det( A )=det( A T ) nên ta có det( A )= 1± . Ta có thể chứng minh det( A )=1. c)Tính chất 3: Ma trận cosin chỉ hướng có ít nhất một trị riêng 1 1 =λ 2.1.3 Ý nghĩa của ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn Xét một hệ qui chiếu R 0 và R có cùng gốc O. Trong đó hệ qui chiêú R 0 ≡ Ox 0 y 0 z 0 là hệ qui chiếu cố định, Hệ qui chiếu R ≡ Oxyz gắn liền với vật rắn B. Lấy điểm P bất kỳ thuộc vật rắn B. Vị trí của điểm P được xát định bởi vectơ định vị OP = p r .(Hình 2.1) Hình 2.1 Ký hiệu các toạ độ của điểm P trong hệ qui chiếu động Oxyz là x p , y p , z p , các toạ độ của điểm P toạ độ hệ qui chiếu cố định Ox 0 y 0 z 0 là 0 p x , y 0 p , z 0 p . Ta có hệ thức sau: )0( 3 )0( p )0( 2 )0( p )0( 1 )0( pp e.ze.ye.xr rrrr ++= (2.7) z x y 0 y x 0 z 0 )0( 2 e r )0( 3 e r )0( 1 e r 2 e r 3 e r 1 e r P B 33 3p2p1pp e.ze.ye.xr rrrr ++= (2.8) Thế các biểu thức (2.4) vào hệ thức (2.8) ta được: +++= )e.ae.ae.a(xr )0( 331 )0( 221 )0( 111pp rrrr (2.9) +++ )e.ae.ae.a(y )0( 332 )0( 222 )0( 112p rrr )e.ae.ae.a.(z )0( 333 )0( 223 )0( 113p rrr ++ Hay: +++= )z.ay.ax.a(er p13p12p11 )0( 1p rr (2.10) +++ )z.ay.ax.a(e p23p22p21 )0( 2 r )z.ay.ax.a(e p33p32p31 )0( 3 ++ r So sánh các biểu thức (2.7), và (2.10) ta suy ra hệ phương trình: p13p12p11 )0( p z.ay.ax.ax ++= p23p22p21 )0( p z.ay.ax.ay ++= (2.11) p33p32p31 )0( p z.ay.ax.az ++= Hệ phương trình (2.11) có thể viết lại dưới dạng ma trận như sau; ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ p p p 333231 232221 131211 )0( p )0( p )0( p z y x . aaa aaa aaa z y x (2.12) Từ hệ phương trình (2.12) ta rút ra kết luận sau: Ma trận cosin chỉ hướng A biến đổi các toạ độ của điển P bất kỳ thuộc vật rắn trong hệ quy chiếu động Oxyz sang các toạ độ của điểm P đó trong hệ quy chiếu cố định Ox 0 y 0 z 0 2.2 Các ma trận quay cơ bản Ta quy ước hướng quay đơn là hướng ngược chiều kim đồng hồ như hình vẽ ( Hình 2.2) 34 Các phép quay quanh trục x,y,z của hệ toạ độ vuông góc Oxyz được là phép quay cơ bản. Ta tìm ra ma trận quay của phép quay quanh trục một góc ϕ (Hình 2.3). Theo công thức định nghĩa (2.1) ta có: A x0 ( ϕ ) = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 3 )0( 32 )0( 31 )0( 3 3 )0( 22 )0( 21 )0( 2 3 )0( 12 )0( 11 )0( 1 e.ee.ee.e e.ee.ee.e e.ee.ee.e rrrrrr rrrrrr rrrrrr (2.13) A x0 ( ϕ ) = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ϕϕ ϕ−ϕ cossin0 sincos0 001 ` (2.14) Ma trận (2.14) được gọi là ma trận quay của phép quay cơ bản quanh trục x 0 bằng cách tương tự ta xác định được các ma trận quay cơ bản quanh các trục y 0 và z 0 (Hình 2.4). y e z Hình 2.3 y 0 z 0 )0( 3 e r )0( 2 e r 3 e r H×nh 2.2 z O x y ψ θ ϕ 35 A y0 ( ψ ) = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ψψ− ψψ cos0sin 010 sin0cos , A z0 ( θ )= ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ θθ θ−θ 100 0cossin 0sincos (2.15) Từ các công thức (2.14), (2.15) ta dễ dàng tính được: det A x0 ( ϕ ) = det A y0 ( ψ ) = det A z0 ( θ ) Hình 2.4 2.3 Vận tốc góc của vật rắn Vật rắn B chuyển động trong hệ qui chiếu cố định Ox 0 y 0 z 0 . Lấy D là một điểm nào đó thuộc vật rắn B. Gắn chặt vào vật rắn B hệ qui chiếu động Dxyz. Lấy P là một điểm bất kỳ thuộc vật rắn B như hình vẽ (2.5). -Gọi p v r và D v r là vận tốc của điểm P và diểm D bất kỳ trên hệ cố định R 0 -Gọi A là ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn B đối với hệ R 0 [1]. Từ hình vẽ ta có: pDp srr rrr += (2.16) Đạo hàm phương trình (2.16) trong hệ qui chiếu cố định R 0 ta được: dt sd d t rd d t rd p R D R p R 0 0 0 r r r += (2.17) x z x 0 z 0 )0( 3 e r )0( 1 e r 3 e r ψ 1 e r x y x 0 y 0 )0( 2 e r )0( 1 e r 2 e r θ 1 e r 36 P S r Hình 2.5 Theo công thức định nghĩa vận tốc góc của vật rắn [1] ta có: dt sd p R 0 r = p sx rr ω Thay vào công thức (2.17): pDp sxvv rr rr ω+= (2.18) Biểu thức 2.46 dưới dạng ngôn ngữ đại số: p R D R p R s ~ 000 ωvv += (2.19) Mặt khác ta biểu diễn phương trình (2.16) dưới dạng đại số: p R D R p R 000 srr += (2.20) Do A là ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn B nên: pp R 0 A.ss = (2.21) s p: là dạng đại số của véc tơ p s r trên hệ động Dxyz Vậy: pD R p R 00 A.srr += (2.22) Đạo hàm phương trình (2.22) theo t ta được : pD R p R 00 A.svv += (2.23) 0 x 0 z 0 y 0 x y z r D r P P D 37 Vì A là ma trận cosin chỉ hướng nên là ma trận trực giao. Từ công thức (2.21) ta suy ra: p R T p R 1 p 00 sAsAs == − (2.24) Thay (2.24) vào (2.23) ta được: p R T D R p R 000 . sA.Avv += (2.25) So sánh (2.19) và (2.25) ta có : ω ~ = T .AA & (2.26) Như vậy nếu biết ma trận cosin chỉ hướng A của vật rắn B và ma trận A & , ta có thể xác định được các thành phần vận tốc góc của vật rắn B theo công thức (2.26). . )z.ay.ax.a(e p23 p2 2p21 )0( 2 r )z.ay.ax.a(e p33p32p31 )0( 3 ++ r So sánh các biểu thức (2.7), và (2.10) ta suy ra hệ phương trình: p13p12p11 )0( p z.ay.ax.ax ++= p23 p2 2p21 . 30 CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT CHUNG VỀ PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC CỦA VẬT RẮN TRONG KHÔNG GIAN 2.1 Ma trận