MỤC LỤC Chương Chương I Chương II Chương III Nội Dung Trang Vài nét tiểu sử Lời mở đầu Đại cương tổ hợp Cơ sở lý thuyết nguyên lý Dirichlet II.1 Nguyên lý Dirichlet (Nguyên lý chim bồ câu) II.2 Nguyên lý Dirichlet tổng quát II.3 Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu vô hạn phần tử Bài tập ứng dụng III.1 Ứng dụng lý thuyết tổ hợp III.2 Ứng dụng số học III.3 Ứng dụng hình hoc III.3.1.B tốn điểm đường thẳng III.3.2 Bài tốn tơ màu hình III.3.3 Bài tốn diện tích 5 Kết luận 14 Tài liệu tham khảo 14 -1- VÀI NÉT VỀ TIỂU SỬ Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13 tháng 2, 1805 – tháng 5, 1859 ) nhà toán học người Đức cho người đưa định nghĩa đại hàm số Gia đình ơng xuất thân từ thị trấn Richelette Bỉ, mà họ ơng "Lejeune Dirichlet" ("le jeune de Richelette", tiếng Pháp nghĩa "chàng trai trẻ từ Richelette") đặt theo, nơi ơng nội ông sống Dirichlet sinh Düren, nơi cha ông đứng đầu trạm bưu điện Ông giáo dục Đức, sau Pháp, nơi ông học hỏi từ hầu hết nhà tốn học tiếng thời Ơng học từ Georg Ohm Bài báo ông định lý Fermat bao gồm phần chứng minh cho trường hợp n = 5, hoàn thiện Adrien-Marie Legendre, người referees Dirichlet hồn thiện chứng minh ơng thời gian; sau ơng đưa tồn lời giải cho trường hợp n = 14 Vào năm 1831, ông thành hôn với Rebecca Henriette Mendelssohn Bartholdy, cô gái thuộc gia đình danh giá chuyển đổi từ đạo Do Thái sang Thiên chúa giáo; cô cháu gái triết gia Moses Mendelssohn, gái Abraham Mendelssohn Bartholdy em nhà soạn nhạc Felix Mendelssohn Bartholdy Fanny Mendelssohn Ferdinand Eisenstein, Leopold Kronecker, Rudolf Lipschitz học trị ơng Sau ơng qua đời, giảng Dirichlet kết khác ngành số học sưu tập, biên khảo xuất đồng nghiệp bạn ơng nhà tốn học Richard Dedekind tựa đề Vorlesungen über Zahlentheorie (Các giảng số học) -2- LỜI MỞ ĐẦU Ngun lí Dirichlet - cịn gọi nguyên lí chim bồ câu (The Pigeonhole Principle)-hoặc nguyên ý lồng nhốt thỏ nguyên lí xếp đồ vật vào ngăn kéo (The Drawer Principle) - đưa nguyên tắc phân chia phần tử lớp Nguyên lí Dirichlet phát biểu năm 1834 Nguyên lý Dirichlet công cụ hiệu dùng để chứng minh nhiều kết sâu sắc tốn học Nó đặc biệt có nhiều áp dụng lĩnh vực khác toán học Nguyên lý nhiều trường hợp người ta dễ dàng chứng minh tồn mà không đưa phương pháp tìm vật cụ thể, thực tế nhiều toán ta cần tồn đủ Nội dung nguyên lí đơn giản dễ hiểu lại có tác dụng lớn, có nhiều hiệu bất ngờ giải tốn Sử dụng nó, chứng minh nhiều kết sâu sắc Tốn học Đơi có tốn người ta dùng nhiều phương pháp khác để giải mà chưa đến kết quả, nhờ ngun lí Dirichlet mà tốn trở nên dễ dàng giải Ngun lí Dirichlet có nhiều ứng dụng nhiều dạng tập nhiều lĩnh vực khác Toán học, nhiên phạm vi đề tài này, chúng em tập trung khai thác “ứng dụng nguyên lí Dirichlet dạng tổ hợp , số học hình học.” STT Họ tên học viên Mai Xuân Kiên Phạm Bình Ngun Lê Châu Vân Đào Quang Hồ Lê Thị Bích Huy Các thành viên nhóm Công việc (Theo mục ) Ghi Chương II Chương III Chương I Chương III Chương I Chương II Lời mỡ đầu Chương III Vài nét tiểu sử Kết luận Tài liệu -3- Nhận xét Giáo Viên CHƯƠNG I: ĐẠI CƯƠNG V Ề TÔ HỢP Tổ hợp lĩnh vực toán học rời rạc, xuất vào đầu kỷ 17 Hiện lý thuyết tổ hợp áp dụng nhiều lĩnh vực khác Tổ hợp đụng chạm đến nhiều vấn đề khác tốn học, khó định nghĩa cách hình thức Nói chung, lý thuyết tổ hợp gắn liền với việc nghiên cứu phân bố phần tử vào tập hợp Thông thường, phần tử hữu hạn việc phân bố chúng phải thoả mãn điều kiện định Trong nhiều trường hợp việc xác định tồn cấu hình thoả mãn tính chất có ý nghĩa quan trọng mặt lý thyết nhực tế Vì tốn tổ hợp toán tồn tại: Xét tồn cấu hình tổ hợp thỗ mãn tính chất cho trước Bài toán tồn nghiên cứa từ lâu góp phần đáng kể thúc đẩy phát triển lý thuyết tổ hợp nhiều ngành toán học khác , toán sau phần minh hoạ điều CHƯƠNG II: BÀI TỐN NGUY ÊN LÝ DIRICHLET -CƠ SỞ LÍ THUYẾTII.1 Ngun lí Dirichlet – nguyên lí chim bồ câu II.1.1 Phát biểu nguyên lí  Nguyên lý Dirichlet :Nếu xếp nhiều k đối tượng vào k hộp ( k  N* ) tồn hộp chứa đối tượng Chứng minh Sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng: Giả sử khơng có hộp chứa đối tượng số đối tượng khơng lớn k Điều mâu thuẫn với giả thiết “ nhiều k đối tượng “ Vậy nguyên lí chứng minh  Nguyên lí Dirichlet đối ngẫu Cho tập hữu hạn S ≠ ∅ S1, S2, …, Sn tập S cho | S1 | + | S2 | + … + | Sn | > k | S | Khi đó, tồn phần tử  x S cho x phần tử chung k+ tập Si ( i = 1, 2, … n) -4- II.2 Nguyên lý Drichlet tổng quát Nếu xếp nhiều m đối tượng vào n hộp ( n ,m  N* ) tồn hộp chứa đối tượng ( ┐x┌ số ngun nhỏ ≥ x) Chú thích: có tài liệu dùng + [ ]với [x] số nguyên lớn nhỏ x Chứng minh Sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng: Giả sử hộp chứa đối tượng số đối tượng không lớn n.( ) = m Điều mâu thuẫn với giả thiết số đối tượng nhiều m Vậy nguyên lí chứng minh II.3 Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu vô hạn phần tử *Tập phần tử khoảng đường thẳng Trong mục ta kí hiệu d(I) độ dài khoảng I  R • Định lý Cho A khoảng giới nội, A 1, A2, … , An khoảng cho Ai  A (i = 1, 2, …, n) d(A) < d(A1) + d(A2) + … + d(An) Khi nh ất có hai khoảng số khoảng có điểm chung Chứng minh Thật vậy, giả sử khơng có cặp khoảng cho có điểm chung Khi đó, d(A1  A  … An) = d(A1) + d(A2) + … + d(An) > d(A) Mặt khác, từ Ai  A (i = 1, 2, …, n) suy d(A1  A  … An )≤ d(A) Các bất đẳng thức mâu thuẫn với Vậy có hai khoảng số khoảng có điểm chung *Tập phần tử miền phẳng giới hạn đường cong phẳng khép kín Trong mục ta kí hiệu S(A) diện tích miền A mặt phẳng Định lý Nếu A miền giới hạn đường cong phẳng khép kín, cịn A1, A2, … , An miền cho A i  A (i = 1, 2, …, n) S(A) < S(A1) + S(A2) + … + S(An), có hai miền số miền nói có điểm chung Chứng minh Tương tự chứng minh Định lí -5- CHƯƠNG III: BÀI TẬP ỨNG DỤNG Để sử dụng nguyên lý Dirichlet ta phải làm xuất tình nhốt ‘thỏ’ vào ‘chuồng’ thoả mãn điều kiện : + Số ‘thỏ’ phải hiều số chuồng +’Thỏ’ phải nhốt hết vào ‘chuồng’, không bắt buộc chuồng củng phải có thỏ Thường phương pháp Dirichlet áp dụng kèm theo phương pháp phản chứng *Chú ý : Có nhiêù tập có kết luận “giống như” kết luận nguyên lý Dirichlet, nhiên, lời giải khơng hồn tồn sử dụng ngun lý Dirichlet III.1 Ứng dụng lí thuyết tổ hợp Áp dụng ngun lí Dirichlet vào lí thuyết tổ hợp, cịn gọi lí thuyết Ramsey, tên nhà Tốn học người Anh Lí thuyết Ramsey giải tốn phân chia tập tập phần tử Bài tốn sau ví dụ: Bài tốn 1: Chọn người chứng minh có có hai người có số người quen Giải: Ta chia người thành i nhóm ≤ i ≤ (i số ngưòi quen) ta chia thành hai trường hợp +TH1: Có người khơng quên hết ≤ i ≤ 3.vậy theo ngun lý Dirchlet tồn nhóm có hai người quen +TH2: Ai Cũng có người quen ≤ i ≤ 4.vậy theo nguyên lý Dirchlet tồn nhóm có hai người quen Ta tổng qt tốn sau: Bài tốn 2: Trong họp có n người có người có số người quen Giải: Ta chia người thành i nhóm ≤ i ≤ n-1 (i số ngưòi quen) ta chia thành hai trường hợp +TH1: Có người khơng qn hết ≤ i ≤ n-2.vậy theo ngun lý Dirchlet tồn nhóm có hai người quen +TH2: Ai Cũng có người quen ≤ i ≤ n-1.vậy theo nguyên lý Dirchlet tồn nhóm có hai người quen -6- Bài toán 3: Giả sử nhóm người cặp bạn thù Chứng tỏ nhóm có người bạn lẫn có người kẻ thù lẫn Giải: Gọi A người Trong số người nhóm có người bạn A có người kẻ thù A, điều suy từ ngun lí Dirichlet tổng qt ┐2┌=3 Trong trường hợp đầu ta gọi B, C, D bạn A Nếu người có người bạn họ với A lập thành người bạn ( không kẻ thù ), ngược lại, tức người B, C, D bạn chứng tỏ họ ba người thù lẫn Tương tự ta chứng minh trường hợp có người kẻ thù A Bài toán 4:Chứng minh f hàm từ X vào Y, X Y tập hữu hạn m = ┐ | X|/|Y| giá trị Y Điều có nghĩa có m phần tử ┌ có m phần tử X gán với Giải: Xem hàm f từ X vào Y quy tắc xếp X vật f(x) với x Є X vào Y hộp, hộp vật Áp dụng nguyên lí Dirichlet tổng quát ta suy điều phải chứng minh *Ta có số tốn : Bài tốn 5:Chứng minh nhóm có 10 người (trong có người bạn thù) ln có nhóm người bạn người kẻ thù lẫn có nhóm người kẻ thù người bạn Bài tốn 6:Trong giải vơ địch bóng đá có 11 đội tham gia hai đội phải thi đấu với trận chứng minh thời diẻm giải có hai đội có số trận đấu -7- III.2 Ứng dụng số học Các toán số học thường khó khăn việc tìm lời giải ,Tuy nhiên có số lượng khơng nhỏ sử dụng nguyên lý Dirichlet để giải hiệu , mà trình bày tương đối đơn giản mà dễ hiểu Sau số ví dụ điển hình Bài tốn 1:Chứng minh số thuộc tập hợp hai số mà số bội số chọn Giải: Viết số cho dạng: Trong b1,b2,……bn+1 số lẻ Ta có 1≤ b1,b2,……bn+1 ≤ 2n-1 Mặt khác khoảng từ đến có n số lẻ nên tồn hai số Khi đó, hai số có số bội số B tốn 3: Cho a1,a2………… ,an l c ác s ố nguy ên kh ác khoảng [100;200] thoả điều kiện a1+a2+………… +an ≥ 11100 Ch ứng minh r ằng số có âơjt số mà viết dạng thập phân cos hai chữ số giống Giải Chúng ta lập danh sách số khoảng [100;200] ,mà chúng viết hệ thập phân có hai chữ số trùng 100, 101, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 199, 200 Tổng tất số nói 4050 Mặt khác tổng tất số nguyên khoảng [100;200] 15150 Nếu số cho a 1,a2………… ,an khơng có số danh sách a1+a2+………… +an ≤ 15150-4050=11100 điều vô lý Nghĩa số a1,a2………… ,an c ó số mà viết dạng thập phân có hai chữ số giống -8- Bài toán 4: Chứng minh từ tập hợp tuỳ ý gồm n số tự nhiên tách tập hợp (khác rỗng ) chứa số mà tổng chúng chia hết cho n Giải : Gỉa sử tập mà chứa số từ a 1,a2,… ,an mà không thoả mãn khẳng định tốn Khi khơng có số số : S 1=a1,S2= a1+a2;…………,Sn= a1+a2+………+an.mà chia hết cho n Và số dư khác không phép chia cho n n-1, nên theo nguyên lý Dirichlet ta tìm hai số S i Sj (1 ≤ i ≤ j ≤ n) có số dư Suy hiệu Si − Sj chia hết cho n Điều mâu thuẩn với gỉa sử nói trên, điều phải chứng minh Ta có toán sau: Bài toán 5.Chứng minh 52 số tụ nhiên cho tổng hiệu hai số chia hết co 100 Kết luận cịn kơng với 51 số Bài tốn 6.Chứng minh từ 12 số tự nhiên ln chon hai số có hiệu chia hết cho 11 Bài toán Viết n số tự nhiên thành hàng ngang Chứng minh có số chia hết cho n có số số liên tiếp chia hết cho n III.3 Ứng dụng hình học (Nguyên lý Dirichlet vô han) Nếu chia tập hợp vô hạn táo vào hưu hạn ngăn kéo có ngăn kéo có vơ hạn táo III.3.1 Bài toán điểm, đường thẳng Bài tốn1: Trong hình vng cạnh , đặt 51 điểm , phân biệt Chứng minh có số 51 điểm nằm hình trịn bán kính Giải : Chia hình vng cho thành 25 hình vng có cạnh Theo ngun lý Dirichlet ,tồn hình vng (a) chứa điểm số Vậy ba điểm nói nằm hình trịn đồng tâm với đường trịn (a) có bán kính 51 điểm Đường trịn ngoại tiếp (a) có bá kính -9-  Bài tốn 2:Cho ( xi,yi,zi), i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, tập hợp gồm điểm khác có tọa độ ngun khơng gian Chứng minh trung điểm đường nối cặp điểm có tọa độ nguyên Giải: Gọi tọa độ hai điểm khơng gian A (a, b, c) B (d, e, f) Vậy trung điểm đoạn AB O( , , ) Các tọa độ điểm O nguyên a d; b e; c f chẵn lẻ Vì có 23 = ba chẵn lẻ khác (( c, c, c ); (l, l, l ); ( c, c, l ); ( c, l, l ); (c, l, c ); ( l, c, c ); ( l, c, l ); ( l, l, c )) nên theo nguyên lí Dirichlet có điểm có ba chẵn lẻ Vậy có cặp điểm mà điểm chúng có tọa độ ngun • Bài tốn 3: Trong hình vng có cạnh chứa số đường trịn Tổng tất chu vi chúng 10 Chứng minh tồn đường thẳng cắt đường trịn đường trịn đó? Giải Ta chọn cạnh hình vng chiếu vng góc đư ờng trịn xuống cạnh (xem hình 1) Ta có, hình chi ếu đường trịn bán kính R xuống AB đoạn thẳng có độ dài 2R Vì cạnh hình vng chọn có đoạn thẳng chiếu xuống với tổng độ dài 10 10 Mà > Nên theo nguyên lý   Dirichlet đối ngẫu (Định lí 3) suy có điểm M thuộc AB điểm chung c đoạn thẳng c hiếu xuống Khi đó, đường thẳng qua M vng góc với AB cắt đường trịn Bài tốn 4:Cho hình vng 13 đường thẳng, đường thẳng chia hình vng thành hai tứ giác có tỉ số diện tích : 3.Chứng minh số 13 đường thẳng cho, có đường thẳng qua điểm Giải: A M B d E F I D N C - 10 - Gọi d đường thẳng chia hình vng ABCD thành hai tứ giác có tỉ số diện tích : Đường thẳng d khơng thể cắt hai cạnh kề hình vng Giả sử d cắt hai cạnh AB CD M N, cắt đường trung bình EF I Giả sử Như đường thẳng cho chia đường trung bình hình vng theo tỉ số 2:3 Có điểm chia đường trung bình hình vng theo tỉ số : Có 13 đường thẳng, đường thẳng qua điểm Vậy theo nguyên lý Dirichlet có đường thẳng qua điểm Bài toán 5: Bên tam giác ABC cạnh đặt điểm.Chứng minh tồn điểm có khoảng cách nhỏ 0,5 Giải: 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Các đường trung bình tam giác cạnh chia làm tam giác cạnh 0,5 Do tam giác nhỏ có điểm cho, điểm khơng thể rơi vào đỉnh tam giác Vậy khoảng cách hai điểm nhỏ 0,5 Ta có số tốn sau: Bài tốn Trong hình vng đơn vị chọn tuỳ ý 101 điểm (có thể thuộc cạnh cuả hình vng ) cho khơng có ba điểm thẳng hang Chứng minh tồn tam giác với ba đỉnh điểm chọn có diẹn tích nhỏ 0,01 Bài tốn Cho điểm mặt phẳng có toạ độ nguyên Chứng minh tồn hai điểm có trung độ nguyên - 11 - III.3.3 Bài tốn tơ màu hình vẽ Bài toán 1: Giả sử điểm mặt phẳng tô màu đỏ xanh Ch ứng minh t ồn t ại m ột h ình ch ữ nh ật c ó c ác đ ỉnh c ùg m àu Giải : Giả sử ta có lưới vng tạo đường nằm ngang đường thẳng đứng , nút lưới tô màu xanh đỏ A X B Y C Z Xét nút lưới đường dọc , nút có hai cách tơ màu nên ba nút đường dọc có cách tơ màu Có đường dọc, đường có cách tô màu nên theo nguyên lý Dirichlet tồn hai đường có cách tơ màu Chẳng hạn hai ba điểm A, B, C X, Y, Z Vì điểm A, B, C tô hai màu nên tồn hai điểm màu , chẳng hạn B C hình chữ nhật BYZC có đỉnh màu Ta có tốn sau: Bai tốn 2: Một số cung trịn đường trịn tơ màu đen , cung cịn lại tơ màu đỏ Biết tổng độ dài cung màu đen nhỏ chu vi đường tròn Chứng minh kẻ đựoc đường kính đường trịn với hai đầu mút tơ màu đỏ B ài tốn 3: Cho bàn cờ kích thước x với ô tô màu xanh đỏ Chứng minh bàn cờ chứa hình chữ nhât khơng tầm thường (tức khơng có cạnh 1) cho bốn góc màu III.3.4 Bài tốn diện tích Bài tốn Cho hình trịn (C) có diện tích , đặt 17 điểm phân biệt , Chứng minh tìm ba điểm tạo thành tam giác có diện tích bé - 12 - Giải: Chia hình trịn thành (C) thành hình quạt , hình quat có diện tích Theo nguyên lý Dirichlet ,tồn hình quạt (a) chứa điểm số 17điểm cho Tam giác có đỉnh điểm nằm tron hình quạt (a) nên có diện tích nhỏ diện tích hình quạt ,tức bé Bài tốn 2:.Trong hình vng cạnh 15 đặt 20 hình vng nhỏ cạnh đơi khơng cắt nhau.Chứng minh hình vng lớn đặt hình trịn bán kính cho khơng cắt hình vng Giải: Xét hình gồm tất điểm cách hình vng nhỏ cạnh khoảng khơng lớn Rõ ràng hình trịn bán kính có tâm nằm ngồi hình nên khơng thể cắt hình vng nhỏ Diện tích hình 5+п Tâm hình trịn cần tìm cần phải cách cạnh hình vng lớn khoảng lớn 1, tức bên hình vng cạnh 13 Vì 20(5+п) < 132 Hình trịn có tâm điểm khơng bị phủ có tính chất thỏa mãn đề *Ta có tốn sau: Bài tốn Cho tờ giấy kẻ caro vơ tận hình có diện tích nhỏ diện tích giấy Chứng minh hình đặt giấy để khơng che đỉnh Bài tốn Cho hình đa giác cạnh, đỉnh tơ hai màu trắng đen Chứng minh tồn hai tam giác phân biệt có diện ích ,mà đỉnh tam giác tô màu - 13 - KẾT LUẬN Trên xét ba ứng dụng tiêu biểu nguyên lí Dirichlet Xin chân thành cảm ơn PGS.TSKH Trần Quốc Chiến tận tình hướng dẫn cảm ơn anh chị em lớp Cao học Phương pháp Toán sơ cấp khoá 2009 – 2011 giúp đỡ việc sưu tầm tài liệu tham khảo để hoàn thành tiểu luận Trong q trình nghiên cứu khơng tránh khỏi thiếu sót, mong nhận nhiều ý kiến đóng góp q báu để tiểu luận hồn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Giáo trình Lí thuyết tổ hợp – PGS.TSKH Trần Quốc Chiến [2] Chuyên đề chọn lọc Tổ hợp toán rời rạc – GS.TSKHNguyễn Văn Mậu [3] Bài báo nguyên lí Dirichlet – Trương cơng nên [4] Bài báo ngun lí Dirichlet – Nguyễn Văn Linh - 14 - ... minh hoạ điều CHƯƠNG II: BÀI TỐN NGUY ÊN LÝ DIRICHLET -CƠ SỞ LÍ THUYẾTII.1 Ngun lí Dirichlet – nguyên lí chim bồ câu II.1.1 Phát biểu nguyên lí  Nguyên lý Dirichlet :Nếu xếp nhiều k đối tượng vào... gọi nguyên lí chim bồ câu (The Pigeonhole Principle)-hoặc nguyên ý lồng nhốt thỏ nguyên lí xếp đồ vật vào ngăn kéo (The Drawer Principle) - đưa nguyên tắc phân chia phần tử lớp Nguyên lí Dirichlet. .. phương pháp Dirichlet áp dụng kèm theo phương pháp phản chứng *Chú ý : Có nhiêù tập có kết luận “giống như” kết luận nguyên lý Dirichlet, nhiên, lời giải khơng hồn tồn sử dụng ngun lý Dirichlet