Đang tải... (xem toàn văn)
Tính ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng đều địa phương
1 I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM NGUYN TRUNG DÔNG TNH ÊN ÀNH TIM CN CÕA TP I AN NGUYN Tẩ LIN KT CếA Mặ UN ẩI ầNG IU ÀA PH×ÌNG LUN VN THC S TON HÅC Th¡i Nguy¶n - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM NGUYN TRUNG DƠNG TNH ÊN ÀNH TIM CN CÕA TP I AN NGUYN TÈ LIN KT CếA Mặ UN ẩI ầNG IU A PHìèNG Chuyản ngnh: Ôi số v Lỵ thuyát số M số: 60 46 05 LUN VN THC S TON HC Ngữới hữợng dăn khoa hồc: TS Nguyạn Vôn Hong ThĂi Nguyản - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Möc löc Trang Möc löc Líi c£m ìn Mð ¦u Ch÷ìng Ki¸n thùc cð sð 1.1 I ¶an nguy¶n tố liản kát 1.2 Mæ un Ext 1.3 Mổ un ối ỗng iÃu àa ph÷ìng 10 1.4 Chi·u v ë s¥u cõa mỉ un 11 1.5 Vnh v mổ un phƠn bêc 14 Chữỡng Tẵnh ờn nh tiằm cên cừa mët sè mð rëng cõa ë s¥u .16 2.1 M dÂy tứ chiÃu >k v cĂc tẵnh ch§t 16 2.2 Chựng minh nh lỵ 0.0.1 21 2.3 Mởt số tẵnh chĐt liản quan án depthk 22 Chữỡng Tẵnh ờn nh tiằm cên cừa têp i ảan nguyản tố liản kát 27 3.1 Chựng minh nh lỵ 0.0.2 (i) 27 3.1 Chùng minh nh lỵ 0.0.2 (ii) 30 3.1 Chùng minh ành lỵ 0.0.2 (iii) 36 Kát luên 41 T i li»u tham kh£o 42 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lới cÊm ỡn Luên vôn ữủc hon thnh sau hai nôm hồc tÔi Trữớng Ôi hồc sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản v dữợi sỹ hữợng dăn tên tẳnh v nghiảm khưc cừa TS Nguyạn Vôn Hong NhƠn dp ny tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án ThƯy v gia ẳnh Tổi xin by tọ lỏng biát ỡn tợi GS.TSKH Nguyạn Tỹ Cữớng, PGS.TS Nguyạn Quốc Thưng, PGS.TS Lả Thanh Nhn v TS Nguyạn Thà Dung; c¡c th¦y cỉ ð Khoa To¡n v Pháng o tÔo Sau Ôi hồc Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh giÊng dÔy v gióp ï tỉi st thíi gian håc tªp Cuối tổi xin by tọ lỏng biát ỡn tợi ngữới thƠn, bÔn b v tĐt cÊ nhỳng ngữới  giúp ù, ởng viản tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2010 Hồc viản Nguyạn Trung Dơng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mð ¦u Cho (R, m) l v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng, I, J l hai i ¶an cõa R v M l mët R−mỉ un hỳu hÔn sinh Nôm 1979, M Brodmann  chựng minh ữủc rơng cĂc têp AssR (M/J n M ) l ên ành n n M −d¢y k ≥ 1, tứ chiÃu mởt dÂy >k nguyản i x1 , , xr m Ta k½ hi»u ë d i chung n y l depth(I, M ) I , depth0 (I, M ) cõa I > k c¡c ph¦n tû cõa i ∈ {1, , r} v nh÷ sau: cho m ÷đc gåi l xi ∈ / p ta câ vỵi måi Hồ  ch rơng mồi Ãu cõ ở di nhữ v bơng số p Supp(HIi (M )) depthk (I, M ) l ở sƠu lồc kẵ hiằu bi Lu ă v Tang v I M tứ chiÃu dim(R/p) > k tối Ôi b nhĐt cho tỗn tÔi l ở sƠu M dÂy náu vỵi méi p ∈ AssR (M/(x1 , , xi−1 )M ) M −d¢y tø chi·u > k depth(I, J n M/J n+1 M ) ừ lợn GƯn Ơy, M Brodmann v L.T Nhn  nh nghắa khĂi niằm số nguyản v ừ lợn chựng minh kát quÊ trản,  dỹa vo tẵnh ờn nh cừa depth(I, M/J n M ) AssR (J n M/J n+1 M ) I câ dim(R/p) > k °c bi»t, depth−1 (I, M ) l ë d i cõa f-depth(I, M ) cõa M dÂy tối Ôi M I depth1 (I, M ) l ở sƠu suy rởng cừa M ữủc ữủc ành ngh¾a bði L T Nh n Tø â ta câ mët c¥u häi mð °t l : C¥u häi 1: Li»u r¬ng c¡c sè depthk (I, J n M/J n+1 M ) v depthk (I, M/J n M ) câ tr nản ờn nh hay khổng n ừ lợn? Nôm 2008, mởt bi bĂo cừa N T Cữớng, N V Ho ng v P H Kh¡nh (xem [8]), hå  trÊ lới khng nh cho cƠu họi trản, õ cơng l mët k¸t qu£ mð rëng cho mët ành lỵ cừa Brodmann, cử th l nh lỵ sau: nh lỵ 0.0.1 [8, nh lỵ 1.1] Cho (R, m) l vnh a phữỡng, I, J R l cĂc i ảan v M l Rmổ un hỳu hÔn sinh Khi õ vợi måi sè Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn nguy¶n k ≥ −1, c¡c sè depthk (I, J n M/J n+1 M ) v depthk (I, M/J n M ) trð th nh c¡c hơng số rk v sk vợi n ừ lợn Mt khĂc, nôm 1990, C Huneke  ữa giÊ thuyát rơng têp AssR (HIj (M )) I, v mồi j l hỳu hÔn vợi mồi mổ un hỳu hÔn sinh M, mồi i ảan CƠu trÊ lới khng nh cho cƠu giÊ thuyát õ ữủc ữa bi Huneke-R.Y Sharp, G Lyubeznik cho cĂc vnh chẵnh quy a phữỡng chựa mởt trữớng Mc dũ, sau õ A Singh, M Katzman  ch cĂc phÊn vẵ dử cho giÊ thuyát ny, giÊ thuyát õ văn cỏn úng nhiÃu trữớng hủp Chng hÔn, K Khashyarmanesh-Sh Salarian, L.T Nhn  chựng minh rơng vợi mồi j depth1 (I, M ) Tứ õ v tứ nh lỵ 0.0.1 ta thĐy rơng j ≤ r1 = depth1 (I, J n M/J n+1 M ) c¡c tªp n AssR (HIj (M )) l têp hỳu hÔn v i s1 = depth1 (I, M/J n M ) th¼ AssR (HIj (J n M/J n+1 M )) v AssR (HIi (M/J n M )) l hỳu hÔn vợi ừ lợn Vẳ thá nhữ mởt l tỹ nhiản, ngữới ta họi rơng CƠu họi Cho c¡c sè nguy¶n j ≤ r1 v i s1 , liằu rơng cĂc têp AssR (HIj (J n M/J n+1 M )) v AssR (HIi (M/J n M )) câ trð n¶n ên ành hay khỉng n ừ lợn? Cụng bi bĂo nảu trản cừa N T C÷íng, N V Ho ng v P H Kh¡nh (xem [8]), hå ¢ tr£ líi kh¯ng ành cho mët cƠu họi yáu hỡn cƠu họi trản, cử th hồ thu ữủc nh lỵ sau: nh lỵ 0.0.2 [8, nh lỵ 1.2] Cho (R, m) l vnh a phữỡng, I, J ⊆ R l c¡c i ¶an v M l R−mỉ un hỳu hÔn sinh LĐy rk = depthk (I, J n M/J n+1 M ) v sk = depthk (I, M/J n M ) n ừ lợn nhữ nh lỵ 0.0.1 Khi õ cĂc mằnh à sau l úng: r s (i) AssR (HI −1 (J n M/J n+1 M )) v AssR (HI −1 (M/J n M )) l cĂc têp ờn nh n ừ lợn S S (ii) AssR HIj (J n M/J n+1 M )) v AssR HIi (M/J n M )) l c¡c tªp j≤r0 i≤s0 ên ành n õ lỵn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (iii) S t≤j AssR HIt (J n M/J n+1 M ))∪{m} v S t≤i AssR HIt (M/J n M ))∪{m} vỵi måi j ≤ r1 v i ≤ s1 l cĂc têp ờn nh n ừ lợn Nhỳng vĐn à nảu trản cõ mởt ỵ nghắa quan trồng chuyản ngnh Ôi số, Ôi số giao hoĂn v Ôi số ỗng iÃu, vẳ thá nõ  thu hút sỹ quan tƠm cừa nhiÃu nh toĂn hồc trản thá giợi v nữợc Mửc ẵch cừa luên vôn ny l hằ thống mởt số kián thực cƯn thiát và Ôi số giao hoĂn, Ôi số ỗng iÃu cõ liản quan án cĂc cƠu họi 1, 2; Sau õ trẳnh by lÔi mởt cĂch chi tiát chựng minh cho cĂc nh lỵ 0.0.1 v nh lỵ 0.0.2 v mởt số hằ quÊ cừa chúng Luên vôn gỗm chữỡng Chữỡng dnh nhưc lÔi mởt số kián thực cỡ s và Ôi số giao hoĂn, ối ỗng iÃu a phữỡng, mổ un phƠn bêc nhơm phửc cho viằc chựng minh cĂc kát quÊ cừa cĂc chữỡng tiáp sau Trong phƯn Ưu cừa chữỡng 2, chúng tổi giợi thiằu khĂi niằm tø chi·u > k, ë d i cõa M −d¢y tø chiÃu > k I M dÂy Tiáp theo, chúng tổi chựng minh nh lỵ 0.0.1 v hằ quÊ cừa nõ PhƯn cuối cừa chữỡng ny, chúng tổi xt mởt số tẵnh chĐt quan trồng cừa chiÃu >k M dÂy tứ v m rởng cừa ở sƠu Chữỡng cuối cũng, chóng tỉi d nh to n bë cho vi»c chùng minh ành lỵ 0.0.2 Trong õ, trữợc mội phƯn chựng minh chúng tổi Ãu ữa cĂc tẵnh chĐt cõ liản quan Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chữỡng Kián thực cỡ s Trong suốt luên vôn ny, ta luổn kẵ hiằu (R, m) a phữỡng, Noether vợi i ảan cỹc Ôi nhĐt l v nh giao ho¡n, m; v M l R−mæ un húu hÔn sinh 1.1 I ảan nguyản tố liản kát nh nghắa 1.1.1 Mởt i ảan nguyản tố nguyản tố liản kát cừa Ann(x) = p AssR (M ) M p cõa R náu tỗn tÔi mởt phƯn tỷ Têp cĂc i ảan nguyản tố liản kát cừa hoc ữủc gồi l i ảan M x M cho ữủc kẵ hiằu l Ass(M ) Sau Ơy l mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa têp cĂc i ảan nguyản tố liản kát Mằnh à 1.1.2 (a) Cho p l i ¶an nguy¶n tè cõa R Khi â p ∈ AssR (M ) n¸u v ch¿ náu M chựa mởt mổ un ng cĐu vợi R/p (b) Cho p l phƯn tỷ tối Ôi cừa têp cĂc i ảan cõ dÔng Ann(x) õ 6= x ∈ M Khi â p ∈ AssR (M ) Vẳ thá, M 6= v ch AssR (M ) 6= Hìn núa, tªp ZD(M ) c¡c ữợc cừa khổng cừa M chẵnh S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn l hủp cừa cĂc i ảan nguyản tố liản kát cừa M (c) Cho −→ M −→ M −→ M 00 l dÂy khợp cĂc Rmổ un Khi â AssR M ⊆ AssR M ⊆ AssR M ∪ AssR M 00 (d) AssR (M ) ⊆ SuppR (M ) v méi ph¦n tû tèi thiºu cõa SuppR (M ) ·u thuëc AssR (M ) (e) Náu M l Rmổ un hỳu hÔn sinh thẳ AssR (M ) l têp hỳu hÔn Hỡn nỳa, AssR (M ) ⊆ V (Ann M ) v méi ph¦n tû tèi thiºu cõa V (Ann M ) ·u thuëc AssR (M ) Vẳ thá Ann(M ) l giao cĂc i ảan nguyản tố liản kát cừa M (f) Náu N l mỉ un cõa M th¼ AssR (N ) ⊆ AssR (M ) ⊆ AssR (M/N ) ∪ AssR (N ) (h) AssRp (Mp ) = {qRp |q ∈ AssR (M ), q p} Dữợi Ơy l mởt kát quÊ rĐt quan trồng cừa M Brodmann và tẵnh ờn nh cừa têp cĂc i ảan nguyản tố liản kát nh lỵ 1.1.3 Cho I l mët i ¶an cõa R v M l hỳu hÔn sinh Khi õ cĂc têp AssR (M/I n M ) v AssR (I n−1 M/I n M ) khỉng phư thc v o n n õ lỵn 1.2 Mỉ un Ext º ti»n theo dãi, mưc n y, ta nhc ngn gån c¡c kh¡i ni»m mæ un Ext v mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa nõ nh nghắa 1.2.1 Mởt giÊi xÔ Ênh cừa M l mởt dÂy khỵp −→ P2 −→ P1 −→ P0 −→ M −→ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 â mội Pi Chú ỵ 1.2.2 giÊ sỷ Y P1 M, gồi luổn tỗn tÔi Thêt vêy, P0 = yY Ry , tỹ trản têp Y Khi õ ta cõ to n c§u ϕ(ay )y∈Y = Σy∈Y ay y l M GiÊi xÔ Ênh cừa mởt mổ un l mởt hằ sinh cừa Rmổ un bi l mổ un xÔ Ênh t K1 = Ker LĐy Y1 vợi Ry = R, : P0 −→ M l h» sinh cõa l cho K1 v R−mæ un tü sinh bði Y1 Khi õ ta cõ mởt ton cĐu tỹ nhiản f1 : P1 −→ K1 tü nhi¶n tø K1 °t v o µ1 = j1 f1 , â j1 : K1 , P0 P0 Dạ thĐy Im à1 = Ker t K2 = Ker à1 Bơng cĂch lêp luên tữỡng tỹ, ta cõ mởt ton cĐu l mổ un tü v l ph²p nhóng f2 : P2 −→ K2 Im µ2 = Ker µ1 , â µ2 = j2 f2 vỵi cho P2 j2 : K2 , P1 l php nhúng tỹ nhiản Cự tiáp tửc quĂ trẳnh trản ta thu ữủc mởt dÂy khợp à2 µ1 ϕ −→ P1 −→ P0 −→ M −→ â méi Pi l mæ un tü Vẳ mội mổ un tỹ l xÔ Ênh nản dÂy khợp trản l giÊi xÔ Ênh cừa nh nghắa 1.2.3 Cho N phÊn bián, khợp trĂi Cho f2 l M M R−mæ un l X²t h m tû R−mæ un f1 f0 Hom(, N ) LĐy giÊi xÔ Ênh cừa l M µ −→ P2 −→ P1 −→ P0 −→ M −→ T¡c ëng h m tû Hom(−, N ) vo dÂy khợp trản ta cõ phực f f f∗ −→ Hom(P0 , N ) −→ Hom(P1 , N ) −→ Hom(P2 , N ) −→ Khi â ∗ ExtiR (M, N ) = Ker fi∗ / Im fi−1 v o vi»c chån gi£i xÔ Ênh cừa Mổ un ny khổng phử thuởc M Sau Ơy l mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa mổ un Ext M»nh · 1.2.4 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... ny, ta luổn kẵ hiằu (R, m) a phữỡng, Noether vợi i ảan cỹc Ôi nhĐt l vnh giao hoĂn, m; v M l Rmổ un hỳu hÔn sinh 1.1 I ảan nguyản tố liản kát nh nghắa 1.1.1 Mởt i ảan nguyản tố nguyản tố liản... nguyản tố p0 p1 ⊂ pn , â câ ë d i n Chi·u cừa vnh R, kẵ hiằu dim R, l cên trản cừa cĂc ở di cừa cĂc dÂy i ảan nguyản tố R Chi·u cõa mỉ un M , k½ hi»u l dim M cho cõ mởt dÂy nguyản tố cõ... vợi R/p (b) Cho p l phƯn tỷ tối Ôi cừa têp cĂc i ảan cõ dÔng Ann(x) â 6= x ∈ M Khi â p AssR (M ) Vẳ thá, M 6= v ch¿ AssR (M ) 6= Hìn núa, têp ZD(M ) cĂc ữợc cừa khổng cừa M chẵnh Số hóa Trung