Đang tải... (xem toàn văn)
Tập xác định duy nhất các hàm nguyên trên trường đặc số dương
Đại Học Thái Nguyên Trường Đại học Sư phạm Nguyễn Văn Khuyến Tập xác định hàm nguyên trường đặc số dương Luận văn thạc sĩ Toán học Thái Nguyên - 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Đại Học Thái Nguyên Trường Đại häc S ph¹m Nguyễn Văn Khuyến Tập xác định hàm nguyên trường đặc số dương Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mà số: 60.46.05 Luận văn thạc sĩ Toán học Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Hà Huy Khoái Thái Nguyên - 2009 S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Môc lôc Môc lôc Lời nói đầu KiÕn thức sở 1.1 Trường định giá, trường phi Archimed 1.2 Tập xác định nhất, đa thức xác định 1.3 Lý thuyết Nevanlinna trường đặc số d¬ng TËp xác định hàm nguyên trường đặc số dương 11 2.1 Tập không xác định cứng affine trường đặc số dương 11 2.2 Định lý tập xác định 15 2.3 Những ví dụ tập xác định 21 KÕt luËn 31 Tµi liƯu tham kh¶o 32 Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Vấn đề tìm tập xác dịnh hàm trường đặc số dương vấn đề míi cđa lý thut sè Cho ®Õn míi chØ có công trình theo hướng nghiên cứu Luận văn có mục đích giới thiệu kết nhằm tìm cách tiếp cận sâu Nội dung nghiên cứu bao gồm: -Trình bày toán đặt trường đặc số dương, -Xây dựng số tập xác định hàm nguyên trường đặc số dương, -Tính toán số ví dụ cụ thể Trong trình nghiên cứu nhân tử hoá hàm phân hình ( mặt phẳng phức ), F Gross [7], năm 1976, đà đưa khái niệm tập xác định Cung cấp ví dụ tập xác định hàm nguyên phức (khác hằng) đà trở thành chủ đề số báo gần Lý thuyết Nevanlinna đà trở thành công cụ sử dụng để xây dựng ví dụ Boutabaa, Escassut Haddad [5] đà nghiên cứu tập xác định cho hàm nguyên phi Archimed (trong trường đặc số 0) thu hẹp để nghiên cứu đa thức, có biểu thị đẹp mặt hình học cho tập xác định hữu hạn Định lý A (Boutabaa, Escassut vµ Haddad [5]) Cho sè Cho F tập hữu hạn K trường có đặc họ đa thức khác với hệ số S K tập xác định cho F K Khi đó, cứng affine Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn S lµ Cherry vµ Yang [6], năm 1999, đà mở rộng định lý cho trường hợp hàm nguyên phi Archimed khác biến trường đặc số 0, đầy đủ tương ứng với giá trị tuyệt đối phi Archimed Trong suốt luận văn, K trường đầy đủ tương với giá trị tuyệt đối phi Archimed ''Tập xác định nhất'' có nghĩa tập xác định kể bội họ A (K) hàm nguyên phi Archimed khác K Ta coi đa thức trường trường hợp đặc biệt hàm nguyên phi Archimed biến K Do đó, phát biểu toán cho họ hàm nguyên phi Archimed, mệnh đề với đa thức Voloch đà cho chứng minh tuý ''đại số - hình học''của định lý (Boutabaa, Escassut Haddad [5]) làm rõ định lý trường đặc số dương cho tập có lực lượng nguyên tố với n Nghĩa là, Định lý B (Định lý Voloch [3]) Cho K p đầy đủ A (K) họ có đặc số tương ứng với giá trị tuyệt đối phi Achimed Cho K Cho S tập có lực lượng hữu hạn n, giả sử nguyên tố với p p > Khi đó, S tập xác định ∗ nhÊt cđa hä A (K) nÕu vµ chØ S cứng affine hàm nguyên phi Archimed khác Vậy, điều xảy đặc sè p chia hÕt lùc lỵng cđa mét tËp ? Trong [6], Cherry Yang đà cho ví dụ tập phần tử cứng affine, không tập xác định trường đặc số Vì tập cứng affine có lực lượng 2, nên tập xác định có lực lượng trường đặc số ( trường đặc số ) Một số câu hỏi đặt là: Có hay không tập xác định có lực lượng p trường đặc số p ? Tồn hay không tập hữu hạn cứng affine có lực lượng n mà không tập xác định n bội, không luỹ thừa đặc số ? Mục đích luận văn trình bày lại kết Boutabaa, Cherry Escassut [3] cách có chọn lọc theo bố cục riêng nhằm cụ thể hoá nội dung trả lời câu hỏi vừa nêu Với mục ®Ých nh vËy, Số hóa Trung tâm Học liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn luận văn chia làm hai chương Chương Kiến thức sở Trong chương này, trình bày số kiến thức phục vụ cho việc chứng minh số định lý luận văn chương Chương Tập xác định hàm nguyên trường đặc số dương Trước hết, trình bày tập không xác định cứng affine trường đặc số dương Tiếp theo, trình bày định lý chứng minh tập xác định có lực lượng trường đặc số bất kì, trọng tâm luận văn Cuối đưa ví dụ tập xác định nhÊt cã lùc lỵng n, víi mäi n ≥ 4, trường đặc số Với tập có lực lượng nhỏ ta sử dụng công cụ ''đại số - hình học'' trình bày phần cuối chương Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo GS.TSKH Hà Huy Khoái, cán Viện Toán học - Viện Khoa học Công nghệ quốc gia, người đà nhiệt tình hướng dẫn bảo kiến thức, kinh nghiệm trình hoàn thành luận văn nghiên cứu khoa học Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới người thân yêu gia đình, người bạn thân thiết đà động viên, giúp đỡ trình học tập hoàn thành luận văn S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Ch¬ng KiÕn thøc c¬ së 1.1 Trêng định giá, trường phi Archimed Định nghĩa 1.1.1 Cho p số nguyên tố Một số nguyên p-adic mô tả nhiều cách Một phép biểu diễn chuỗi x = a0 + a1 p + a2 p2 + , ∈ Z(∗) Tæng riêng xn = a0 +a1 p+a2 p2 + +an pn cho xn −xn−1 = an pn Mét số nguyên p adic định nghĩa nh mét d·y sè nguyªn x = {x0 , x1 , } tho¶ m·n xn ≡ xn−1 mod pn , n = 1, 2, (**) Tỉng vµ tÝch cđa số nguyên p adic định nghĩa phép nhân đa thức (*) sử dụng Với phép biĨu diƠn (**), ta cã x + y = {xn + yn }, xy = {xn yn } Víi phÐp cộng phép nhân định nghĩa trên, ta có vành số nguyên p-adic, kí hiệu : p x = {xn } gọi đơn vị p (cũng gọi đơn vị p- adic) x0 mod p Đặc biệt, số nguyên a đơn vị p- adic a mod p Định nghĩa 1.1.2 Số nguyên p- adic Trường thương Qp p gọi trường số p- adic Mỗi Qp có dạng pm u, với m số nguyên (có thể âm) u đơn vị S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn θp VËy α cã ''khai triÓn Laurent": a−r a−1 + + + a0 + a1 p + pr p x Một phép biểu diễn khác = r , với x số nguyên p-adic r p Cách biểu diễn thuận lợi cho phép cộng phép nhân Qp Định nghĩa 1.1.3 Định giá p- adic Qp hàm giá trị nguyên vp : Qp Z định nghĩa vp (pm u) = m Tổng quát: Định nghĩa 1.1.4 Một định giá v trường K hàm giá trị thực K \ {0} tho¶ m·n : (a) v(xy) = v(x) + v(y), ∀x, y ∈ K; (b) v(x + y) ≥ min{v(x), v(y)}, x, y K; Quy ước, đặt Một trường v(0) = +∞(v(x) = +∞ ⇔ x = 0) K với định giá v gọi trường định giá Nếu đối c số thực lớn 1, định giá v cảm sinh giá trị tuyệt K , tức |x| = cv(x) Khi v = vp , số c cho p ta thu giá trị tuyệt đối p-adic |x|p = pvp (x) Vì vậy, giá trị tuyệt đối p-adic pn pn ( xấp xỉ b»ng nÕu nh sè mò xÊp xØ b»ng ) Nói cách khác, pe luỹ thừa bậc bậc lớn ta đặt n p chia hết n, |n|p = pe Tổng quát, S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Một giá trị tuyệt đối trường Định nghĩa 1.1.5 thực trường K hàm giá trÞ K | · | : K → R+ = [0, +) thoả mÃn điều kiện sau: (i) |x| 0, dấu đẳng thức xảy nÕu x = 0; (ii) |xy| = |x|.|y|, ∀x, y ∈ K; (iii) |x + y| ≤ |x| + |y|, x, y K Do (b), giá trị tuyệt đối cảm sinh định giá thoả mÃn tính chất mạnh (iii) (iv) |x + y| max{|x|, |y|}, x, y K Một giá trị tuyệt đối thoả mÃn (iv) gọi giá trị tuyệt đối phi Archimed Một trường với giá trị tuyệt đối phi Archimed gọi trường phi Archimed Giá trị tuyệt đối gọi tầm thường , kí hiệu: | · |0 , nÕu: ( : x ∈ K \ {0} |x|0 = : x = Rõ ràng giá trị tuyệt đối phi Archimed K K hiển nhiên đầy đủ tương ứng với giá trị tuyệt đối 1.2 Tập xác định nhất, đa thức xác định Định nghĩa 1.2.1 Cho Cho f đa thức khác hàm nguyên S tập miền giá trị f Ta định nghÜa [ E(f, S) = {(z, m) : f (z) = a víi sè béi m}, a∈S ta cßn hay dùng kí hiệu: ES (f ) Tại z chạy miền xác định f m số nguyên dương Hai hàm f g gọi chia S S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn (víi sè béi) nÕu E(f, S) = E(g, S) Mét tập S gọi tập xác định (kể bội) họ hàm F , víi ∀f, g ∈ F cho E(f, S) = E(g, S) ta có f g Thông thường xét họ hàm F : hàm nguyên (chỉnh hình), hàm phân hình, hàm hữu tỉ, đa thức Định nghĩa 1.2.2 Cho f , g hàm phân hình khác Đa thức P (z) gọi đa thức xác định hàm phân hình từ đẳng thức PS (f ) = PS (g) f g Đa thức hàm phân P (z) gọi đa thức xác định theo nghĩa rộng hình từ đẳng thức PS (f ) = c.PS (g), c 6= th× f g , với f , g phân hình khác Định nghĩa 1.2.3 Một tập gọi cứng affine phép biến đổi affine bảo toàn tập biến đổi đồng 1.3 Lý thuyết Nevanlinna trường đặc số dương Trước hết ta giới thiệu số kí hiệu kiểu Nevanlinna sau phát biểu định lý Nevanlinna mà ta áp dụng việc chứng minh định lý ta chương sau đây, K trường đóng đại số đầy đủ tương ứng với giá trị tuyệt ®èi phi Archimed ®Ỉc sè p ≥ Cho f hàm phân hình (phi Archimed) K Với z0 K kí hiệu wz0 (f ) bậc triệt tiêu f z0 Đó là, nÕu f (z0 ) = 0, th× wz0 (f ) kí hiệu số bội không điểm z0 , f có cực điểm, wz0 (f ) kí hiệu bậc cực điểm Định nghĩa wz+0 (f ) = max{0, wz0 (f )} Với r > 0, ta định nghĩa hàm đếm không điểm X r Z(r, f ) = wz+0 (f ) log + w0+ (f ) log r |z0 | 0