Đang tải... (xem toàn văn)
Phương trình schrodinger phi tuyến
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ---------------------------- Phan Thị Vân Huyền PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER PHI TUYẾN LLUUẬẬNN VVĂĂNN TTHHẠẠCC SSĨĨ TTOOÁÁNN HHỌỌCC THÁI NGUYÊN – 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 1 - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ---------------------------- Phan Thị Vân Huyền PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER PHI TUYẾN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số : 60.46.01 LLUUẬẬNN VVĂĂNN TTHHẠẠCC SSĨĨ TTOOÁÁNN HHỌỌCC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS. TSKH. NGUYỄN MINH TRÍ THÁI NGUYÊN – 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn - 2 - MỤC LỤC Trang Chƣơng 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Bất đẳng thức Holder…………………………………………… 4 1.2. Khơng gian Lp……………………………………………………. 5 1.3. Khơng gian Sobolev……………………………………………… 8 1.4. Một số kết quả đã có của phƣơng trình phi tuyến Schrodinger… 10 1.5. Sự đánh giá cho đạo hàm cấp phân số của tốn tử phi tuyến……. 12 Chƣơng 2 ĐỊNH LÝ DUY NHẤT 2.1. Định lý duy nhất………………………………………………… 16 2.2. Bổ đề 2.2…………………………………………………………. 22 2.3. Chứng minh định lý 2.1………………………………………… 25 2.4. Hệ quả……………………………………………………………. 27 Chƣơng 3 SỰ TỒN TẠI ĐỊA PHƢƠNG CỦA Hs - NGHIỆM Hs NGHIỆM TỒN CỤC VỚI ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU NHỎ 3.1. Sự tồn tại địa phƣơng của Hs - nghiệm………………………… . 29 3.2. Hs nghiệm tồn cục với điều kiện ban đầu nhỏ………………… . 42 3.3. Định lý duy nhất cho Hs - nghiệm ………………………………. 47 KẾT LUẬN…………………………………………………………… 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………………………… 51 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 3 - MỞ ĐẦU Phƣơng trình Schrodinger là một trong những phƣơng trình cơ bản nhất trong lý thuyết cơ học lƣợng tử. Từ khi xuất hiện phƣơng trình này đã có một số lớn các công trình nghiên cứu các tính chất của nó. Trƣớc đây phần lớn các nghiên cứu tập trung vào phƣơng trình Schrodinger tuyến tính. Gần đây một số các chuyên gia nhƣ T. Kato, T. Tao, C. Kening, … đã tập trung vào nghiên cứu :Phƣơng trình Schrodinger phi tuyến. Mục tiêu của luận văn này là giới thiệu công trình của T. Kato, một trong những công trình quan trọng trong hƣớng nghiên cứu này. Nội dung luận văn đƣợc chia thành ba chƣơng Chƣơng 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ, bao gồm bất đẳng thức Holder, không gian Lp, không gian Sobolev và một số ký hiệu hình học đƣợc sử dụng trong luận văn. Ngoài ra phần mở đầu còn trình bày về một số kết quả đã có của phƣơng trình phi tuyến Schrodinger dựa theo các tài liệu [11, 12, 14]. Chƣơng 2 ĐỊNH LÝ DUY NHẤT, bao gồm định lý duy nhất (phát biểu và chứng minh định lý), một số chú ý và Hệ quả của nó về tính đặt chỉnh không điều kiện. Chƣơng 3 SỰ TỒN TẠI ĐỊA PHƢƠNG CỦA HS – NGHIỆM. HS – NGHIỆM TOÀN CỤC VỚI ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU NHỎ, bao gồm định lý về sự tồn tại của Hs – nghiệm, với một vài sự hạn chế khi s 0, nếu m 7 và F() không là đa thức của và . Thêm vào độ trơn của F, giả thiết chính ở đây, là k 1 + 42ms nếu s < 2m, k < nếu s = 2m và k = (không cần giả thiết) nếu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 4 - s > 2m. Hs – nghiệm đã đƣợc nghiên cứu chi tiết bởi Cazenave – Weissler [3], ở đây, không gian loại Besov đã đƣợc sử dụng nhƣ những không gian phụ trợ. Ta sử dụng các không gian loại Lebesgue để thay thế, mà sự xuất hiện của nó thì thích hợp hơn cho vấn đề này. Khi đó chúng ta thu đƣợc những kết quả sau sự đánh giá cho khoảng T* của Hs – nghiệm u chỉ phụ thuộc vào ||u(0)||2 (trong đó, = (–)1/2) với giá trị nhất định nào đó của < s, không phụ thuộc vào || (0)||sHu. Những đánh giá này dẫn tới một cách tự nhiên định lý về độ trơn. Ngoài ra định lý tồn tại tổng :Quát đã đƣợc chứng minh cho Hs – nghiệm toàn cục với điều kiện ban đầu nhỏ, dƣới điều kiện thêm vào chính là F() = O (||1+4/m) với nhỏ; F() không cần phải là thuần nhất hoặc là lũy thừa giới hạn. Ở đây, lặp lại tính nhỏ của H||u(0)||với < s là đủ trong hầu hết các trƣờng hợp. Nếu F là một đa thức, thì khoảng biến thiên chấp nhận đƣợc của đƣợc mở rộng. Luận văn đƣợc thực hiện với sự hƣớng dẫn nhiệt tình và đầy trách nhiệm của PGS.TS. Nguyễn Minh Trí. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy. Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên, các thầy trong phòng Phƣơng trình Vi phân của Viện Toán học đã tận tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và viết đề tài này. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 5 - Chƣơng 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Bất đẳng thức Holder Cho một không gian E và một độ đo trên một – đại số các tập con của E. Nếu f(x), g(x) là những hàm số đo được xác định trên E, và p, q là hai số thực sao cho 1 < p < và 111pq thì (1.1.1) 11| | | | | |pqpqE E Efg d f d g d . Để chứng minh định lý trƣớc hết ta có Bổ đề sau Bổ đề. Cho a, b không âm và p, q là là hai số thực sao cho 1 < p < và 111pq thì ta có (1.1.2) ab pap + qbq. Thật Vậy Xét hàm 11()ptttpq (t 0), ta thấy (1) = 0 và 1111'( )pttpp dƣơng với t > 1, âm với t < 1, vậy ()t đạt cực tiểu tại t = 1. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 6 - Do vậy, với mọi t 0 ta có 11pttpq (1) = 0. Đặc biệt t = .ppab 0 (có thể giả thiết b > 0 vì nếu b = 0 thì (1.1.2) hiển nhiên đúng) ta có .10pppqababpq hay pap + qbq – ab 0 đó chính là bất đẳng thức (1.1.2). ■ Chứng minh bất đẳng thức (1.1.1). Áp dụng bất đẳng thức (1.1.2) cho 11| | | |,| | | |pqpqfgabfg, ta đƣợc 11| | | | | || | | || | | |pqpqpqpqfg f gp f q gfg. Lấy tích phân hai vế ta có 11| | | | | |111| | | || | | |pqpqpqpqfg f gpqp f q gfg từ đó suy ra bất đẳng thức (1.1.1). ■ 1.2. Không gian Lp 1.2.1. Định nghĩa. Cho một không gian E và một độ đo trên một – đại số các tập con của E. Họ tất cả các hàm số f(x) có lũy thừa bậc p (1 p ) của mođun khả tích trên E, tức là sao cho ||pEfd được gọi là không gian Lp(E, ). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 7 - Khi E là một tập đo đƣợc Lebesgue trong k, và là độ đo Lebesgue, thì ta viết là Lp(E). Nếu E = [a, b] 1, và là độ đo Lebesgue thì ta viết Lp[a, b] hoặc p[a, b]L và nếu E = [0, 1] thì ta viết đơn giản là Lp. Ta có Tập hợp Lp(E, ), trong đó, ta không phân biệt các hàm tương đương nhau (nghĩa là bằng nhau hầu khắp nơi), là một không gian vectơ định chuẩn. Với các phép toán thông thƣờng về nhân hàm số với số và cộng hàm số, và với chuẩn là 1|| || | |ppEf f d. 1.2.2. Một số ký hiệu (i) Lr(Lq) là Lr((0, T); Lq(m)), ở đây, 1 q, r và 0 < T < , với chuẩn là 11()()00|| ( , )|| = ( , ) || ( , )||r q qmmrrTTrqrqLLLu x t u x t dx dt u x t dt . (ii) L(L) sẽ đƣợc hiểu nhƣ là L(T), ở đây, T= (0, T) m, với chuẩn là m()(0, T) || ( , )|| = ess sup | ( , )|LLu x t u x t. (iii) ab và ab lần lƣợt là min{a, b} và max{a, b}. (iv) Để làm đơn giản các chứng minh trong các chƣơng sau ta sử dụng các ký hiệu hình học giới thiệu trong [12] và vài nơi khác. Ký hiệu P = (x, y); 0 x, y 1 là một điểm trong hình vuông đơn vị = [0, 1] [0, 1] 2. Ta viết x = x(P), y = y(P). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 8 - Đoạn thẳng nối P, Q đƣợc kí hiệu bởi (PQ), [PQ], [PQ) . tùy theo nó là mở hoặc đóng tại điểm cuối và kí hiệu độ dài của PQ bởi |PQ|. Ta cũng xem xét P nhƣ một vectơ 2 chiều với gốc O = (0, 0), Vì vậy, aP (a 0) và P + Q là có ý nghĩa (miễn là chúng vẫn thuộc ). Ta giới thiệu sự sắp xếp thẳng \ trong . Q\ P tức là Q là dƣới P, nghĩa là x(Q) = x(P) và y(Q) y(P). Với bất kỳ đoạn thẳng trong , R\ [\R] nghĩa là có S sao cho R\S [S\R]. Có một vài điểm quan trọng đặc biệt trong B = 1( ,0)2; B' = (12, 1); C = (12 – 1m, 12); C' = (12 + 1m, 12); (C = (0, 14); C' = (1, 34) nếu m = 1). Đoạn thẳng l = [BC) và l' = [BC') là quan trọng nhất (l = [BC]; l' = [B'C'] nếu m = 1). Đó là các phần của các đoạn thẳng x + 2ym = 12 và x + 2ym = 12 + 2m. (xem hình 1 và 1a). Hình.1. Hình.1a. m = 3 B' C' B C l l' m = 1 B' C' B C l l' O O Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 9 - Cuối cùng ta đặt L(P) = Lr(Lq) nếu :P = (1q, 1r); Chuẩn trong L(P) đƣợc kí hiệu là || :L(P)||, hoặc đơn giản là || :P||. Cụ thể với P = (1q, 1r); u L(P) thì ||u :P|| = 11()00( , ) || ( , ) ||qmmrrTTrqrqLu x t dx dt u x t dt . BC biểu thị lớp các hàm số liên tục, bị chặn. C biểu thị là hằng số dƣơng bất kỳ. 1.3. Không gian Sobolev 1.3.1. Định nghĩa (i) Với s là số nguyên, s > 0, ký hiệu Hs() là không gian các hàm thuộc L2() có đạo hàm suy rộng Du, || s, Du L2(), với chuẩn là ||u||s = 122||||sD u dx. Chú ý Đây là không gian Hilbert với tích vô hƣớng ||( , ) ( ). ( ) ssu v D u x D v x dx. Với s = 0 thì H0() L2(). (ii) Nếu s là số thực tùy ý thì Hs(n) được định nghĩa là ()snH {u S ' | 1ˆ( ) ( )nlocuL sao cho 22ˆ(1 | | ) | ( )|nsud } < . ()snH là không gian Hilbert với tích vô hƣớng [...]... 2 | | s d < Vậy | D u ( x) | C || u ||s sup | D u ( x) | A || u ||s || u ||C k A || u ||s ■ x | | k 1.4 Một số kết quả đã có của phƣơng trình phi tuyến Schrodinger Xét bài toán về giá trị ban đầu của phƣơng trình phi tuyến Schrodinger tu = i(u – F(u)), t 0, x m, m (NLS) Với các giả thiết dƣới đây của F(u) (1.4.1) F C1 ( , ); F(0) = 0, (1.4.2) DF() = O(||k –... có điều kiện trong L2, với một không gian phụ Lr ((0, T); Lq ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 - - http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.5 Sự đánh giá cho đạo hàm cấp phân số của toán tử phi tuyến Bổ đề A1 Giả sử F C1( ; ); G C( ; ) sao cho (1.5.1) |F'( + (1 – ) | ()(G() + G( )); , , 0 1, ở đây, (.) L1(0, 1) Khi đó ta có với 0 < s < 1 thì (1.5.2) 1... 1 p 1 s 1 q || || c || || || || , s s 1 1 s 1 p s s 1 q || || c || || || || s 1 Kết quả đó đƣợc làm trội bởi ||s+1||p||||q Điều này kéo theo (1.5.4), hoàn thành quá trình qui nạp ■ (1.5.6) đƣợc kéo theo từ (1.5.4) nhƣ công thức (1.5.2) đƣợc kéo theo từ bất đẳng thức Holder thông thƣờng Những kết quả trƣớc có thể đƣợc chứng minh nếu F() là một đa thức của và ... Mục đích của phần này là để chỉ ra rằng định lý duy nhất (của (NLS)) không đòi hỏi tính khả vi của nghiệm Sử dụng định lý này sự tồn tại của các không gian phụ trợ đã đƣợc chỉ ra là có thể bỏ đƣợc Lời trình bày của định lý đƣợc biểu diễn trong dạng "Tính duy nhất trong không gian ." Nó có nghĩa là (1) Chỉ ra rằng u là một nghiệm của (NLS) với t (0, T); (2) Giá trị ban đầu u(0) = lim u(t) tồn tại... đó, F(u) L(B) + L(R) L1(L2 + L1), Vì vậy, (NLS) là có nghĩa với tu L1(H–2 + L1 + L2) L1(H–m – 1) Từ đó dễ dàng kết luận rằng u(0) H–m – 1 S' tồn tại Vì vậy, (NLS) là tƣơng đƣơng với phƣơng trình tích phân sau Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24 - - http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.2.5) u = (u(0)) + GF(u), trong đó, t (2.2.6) ( )(t) = U(t), Gf(t) = i U (t ) f (... Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27 - - http://www.lrc-tnu.edu.vn (d) k = Điều đó có nghĩa là không có giả thiết nào về tốc độ tăng của F() Trong trƣờng hợp này ta quay lại phƣơng trình tích phân (2.2.7) Nếu u, v L( T ), giá trị của F() với || đủ lớn là không cần để ý đến Do đó, ta có thể giả thiết rằng F() = 0 với || lớn, và một điều kiện bất kỳ của những điều kiện trƣớc... định lý của ta chỉ áp dụng với đa thức F có bậc nhỏ hơn hoặc bằng (s) Nó là điều thất vọng nếu m 7, giá trị của s chỉ lớn 1 đã bị loại trừ với F không là đa thức, hoặc là đa thức, duy nhất đa thức tuyến tính là đƣợc chấp nhận (bởi vì, (s) < 2) (b) Có một lý thuyết độc lập cho H2– nghiệm (xem [3, 12, 15]), nó sẽ bổ sung cho kết quả của ta Nó chỉ ra rằng (NLS) là đặt chỉnh trong H2 nếu F C1 và . Một số kết quả đã có của phƣơng trình phi tuyến Schrodinger Xét bài toán về giá trị ban đầu của phƣơng trình phi tuyến Schrodinger (NLS) tu = i(u. nghiên cứu :Phƣơng trình Schrodinger phi tuyến. Mục tiêu của luận văn này là giới thiệu công trình của T. Kato, một trong những công trình quan
![(2.2.1) [BQ]\P l, P+ (k –1) Q\ l' (xem hình 5) Khi đó sự duy nhất là trong = L(B) L(Q) - Phương trình schrodinger phi tuyến](https://media.store123doc.com/figures/001/269/bq-p-p-q-xem-hinh-l-b-1269678.png)
![(3.2.1) R= hP P+ (j –1)Q j, j= {h}, ..., {s}, k. (xem hình 7), Q j (OP] vì j h - Phương trình schrodinger phi tuyến](https://media.store123doc.com/figures/001/269/r-hp-p-q-xem-hinh-q-vi-1269681.png)