Đang tải... (xem toàn văn)
Lý thuyết nevanlinna và ứng dụng nghiên cứu phương trình hàm
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM---------------------------------LÝ ANH TIẾNLÝ THUYẾT NEVANLINNA VÀ ỨNG DỤNG NGHIÊN CỨUPHƯƠNG TRÌNH HÀMChuyên ngành: Giải tíchMã số: 60.46.01LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCNgười hướng dẫn khoa học: GS-TSKH Hà Huy KhoáiThái nguyên 2008 1MỞ ĐẦUVấn đề phân tích hàm phân hình, hàm nguyên là một trong những vấnđề quan trọng của lý thuyết hàm và giải tích phức, có nhiều ứng dụng trong lýthuyết hệ động lực. Trong những năm gần đây, các kết quả và công cụ của lýthuyết Nevanlinna được áp dụng rộng rãi vào bài toán phân tích các hàmnguyên và hàm phân hình. Mục đích của luận văn là trình bày cơ sở lý thuyết Nevanlinna, đặc biệtlà những phần liên quan đến bài toán phân tích hàm phân hình và trình bàymột số kết quả gần đây trong lý thuyết phân tích hàm nguyên và hàm phânhình.Nội dung luận văn gồm 2 chương:Chương 1: Cơ sở lý thuyết Nevanlinna, trong chương này trình bày cácđịnh lý cơ bản, quan hệ số khuyết và một số ví dụ ứng dụng.Chương 2: Phương trình hàm( ) ( )P f Q g, trong chương này trìnhbày về sự tồn tại nghiệm,f gđối với phương trình hàm( ) ( )P f Q g, khi,P Q là 2 đa thức thuộc[ ]z.Để hoàn thành được luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng vàbiết ơn sâu sắc tới GS-TSKH Hà Huy Khoái, người thầy đã tận tình dạy bảo,hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.Tác giả xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô giáo trongtrường Đại học sư phạm Thái Nguyên, Đại học sư phạm Hà Nội, Viện toánhọc Việt Nam đã giảng dạy và giúp đỡ tác giả hoàn thành khoá học.Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Sở giáo dục và đào tạo tỉnhBắc Giang, trường THPT Lục Ngạn số 2 Bắc Giang, gia đình và các bạnđồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ về mọi mặt trong suốt quá trình tác giảhọc tập và hoàn thành luận văn.Thái Nguyên tháng 9 năm 2008 2CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT NEVANLINNA1.1. Hàm phân hình1.1.1. Định nghĩa. Điểmađược gọi là điểm bất thường cô lập của hàm( )f znếu hàm( )f zchỉnh hình trong một lân cận nào đó của a, trừ ra tại chínhđiểm đó.1.1.2. Định nghĩa. Điểm bất thường cô lậpz a của hàm( )f zđược gọi làa) Điểm bất thường khử được nếu tồn tại giới hạn hữu hạn của( )f zkhiz dần đến a.b) Cực điểm của( )f z nếulim ( )z af z .c) Điểm bất thường cốt yếu nếu không tồn tạilim ( )z af z.1.1.3. Định nghĩa. Hàm( )f z chỉnh hình trong toàn mặt phẳng phứcđượcgọi là hàm nguyên.Như vậy, hàm nguyên là hàm không có các điểm bất thường hữu hạn.1.1.4. Định nghĩa. Hàm( )f zđược gọi là hàm phân hình trong miềnD nếu nó là hàm chỉnh hình trong D, trừ ra tại một số bất thường là cực điểm.NếuD thì ta nói( )f z phân hình trên, hay đơn giản,( )f z là hàm phânhình.* Nhận xét. Nếu( )f z là hàm phân hình trênD thì trong lân cận của mỗiđiểm, ( )z D f zcó thể biểu diễn được dưới dạng thương của hai hàm chỉnhhình.Với các phép toán cộng và nhân các hàm số thông thường trên lớp cáchàm nguyên và phân hình, tập hợp các hàm nguyên sẽ tạo thành một vành và 3gọi là vành các hàm nguyên, kí hiệu là( ). Tập hợp các hàm phân hình sẽtạo thành một trường và gọi là trường các hàm phân hình, kí hiệu là( ).1.1.5. Định nghĩa. Điểm0z gọi là cực điểm cấp0m của hàm( )f z nếutrong lân cận của0z, hàm01( ) ( )( )mf z h zz z, trong đó( )h z là hàm chỉnhhình trong lân cận của0zvà0( ) 0h z .1.1.6. Tính chất. Nếu( )f z là hàm phân hình trênD thì( )f z cũng là hàmphân hình trênD. Hàm( )f z và( )f z cũng có các cực điểm tại những điểmnhư nhau. Đồng thời, nếu0z là cực điểm cấp0m của hàm( )f z thì0z làcực điểm cấp1m của hàm( )f z.* Nhận xét. Hàm( )f z không có quá đếm được các cực điểm trênD.1.1.7. Tính chất. Cho hàm( )f z chỉnh hình trong, điều kiện cần và đủ để( )f z không có các điểm bất thường khác ngoài cực điểm là( )f z là hàm hữutỷ. 41.2. Định lý cơ bản thứ nhất1.2.1. Công thức Poisson – JensenĐịnh lý: Giả sử( ) 0f z là một hàm phân hình trong hình tròn z R với0 R . Giả sử( 1,2, ., )a M là các không điểm, mỗi không điểmđược kể một số lần bằng bội của nó,b( 1,2, ., )v N là các cực điểm củaf trong hình tròn đó, mỗi cực điểm được kể một số lần bằng bội của nó. Khiđó nếu. , (0 )iz r e r R ,( ) 0; ( )f z f z thì:2 222 201log ( ) log ( )2 2 cos( )iR rf z f Re dR Rr r 2 21 1( )( )log logM NvvvR z aR z bR a z R b z . (1.1)Chứng minh.*Trường hợp 1. Hàm( )f z không có không điểm và cực điểm trong{ }z R. Khi đó ta cần chứng minh2 222 201log ( ) log ( )2 2 cos( )iR rf z f Re dR Rr r . (1.1a)*Trước hết ta sẽ chứng minh công thức đúng tại0z , nghĩa là cần chứngminh201log (0) log ( e )2if f R d.Do( )f zkhông có không điểm và cực điểm trong hình tròn nên hàmlog ( )f zchỉnh hình trong hình tròn đó. Theo định lý Cauchy ta có:201 1log (0) log ( ) log ( ) .2 2iz Rdzf f z f Re di z Lấy phần thực ta thu được kết quả tại0z 5201log (0) log ( e ) .2if f R d*Vớiz tuỳ ý, chúng ta xét ánh xạ bảo giác biếnR thành1w và biếnz thành0.w Đó là ánh xạ2( )R zwR z,như vậyR tương ứng với1w . TrênR , ta có:22( )log log log log( ) log( ),R zw R z R zR z Nên222 2( ).( )( )R z ddw d zdw z R z R z z (1*)Dolog ( )f z là chỉnh hình trongz R, theo định lý Cauchy ta có1log ( ) log ( )2Rdf z fi z . (2*)Mặt khác221 1log ( ) log ( )2 2R Rzd df fRi R z iz . (3*)Doz z R suy ra2RRz nghĩa là điểm2Rz nằm ngoài vòng trònR , nên hàm21log ( )fRz là hàm chỉnh hình. Như vậy tích phântrong vế bên phải của (3*) bằng 0. Kết hợp với (1*) và (2*) ta có:222( )1log ( ) log ( )2 ( )( )RR z df z fi R z z . (1.2)Hơn nữa, trên R ,.iRe ,id iRe d và2 ( )( )( ) ( )( )i i iR z z R R re Re re = 6 2 22 cosiRe R Rr r .kết hợp với (1.2) ta thu được2 222 201 ( )log ( ) log ( )2 2 cos( )iR r df z f ReR Rr r . (1.3)lấy phần thực hai vế của đẳng thức (1.3) ta được 2 222 201 ( )log ( ) log ( )2 2 cosiR r df z f ReR Rr r .Đây là điều cần chứng minh.*Trường hợp 2. Hàm( )f zkhông có không điểm và cực điểm bên trong{ }z R, nhưng có hữu hạn không điểm và cực điểm cjtrên biênR ,Với0 nhỏ tuỳ ý, ta đặt:{ } { }j jD z R U c ,GọiD là chu tuyến củaD và là các cung lõm vào trênD. Như vậymiềnD bao gồm những phần trên đường trònR cùng với các phần lõmvào của đường tròn nhỏ bán kính và tâm là các không điểm hoặc cực điểm( )f z trênR . Giả sửiz re trong miềnz R, tồn tạiđủ nhỏ saochoz D. Khi đó:222( )1log ( ) log ( )2 ( )( )DR z df z fi R z z \1 12 2Di i . (1.2a)Giả sử0z là một không điểm hay cực điểm của( )f z trênz R vàlà cung tròn ứng với0z trênD. Khi đó trên0,0( ) ( ) .mf z c z z 7trong đó0m nếu0z là không điểm và0m nếu0z là cực điểm. Suy ra1log ( ) (log )f z O khi0 .Như vậy1 1(log ). . ,2O M trong đóM là một đại lượng bị chặn. Ta thấy1(log ). . 0O M khi0 Cho0 trong công thức (1.2a), tính tích phân thứ nhất sẽ dần đến tíchphân trong vế phải của (1.3) , tích phân thứ hai sẽ dần đến 0. Như vậy ta cũngthu được công thức (1.3) trong trường hợp này và từ đó suy ra (1.1).*Trường hợp 3. Bây giờ ta xét trường hợp tổng quát, tức là( )f z có cáckhông điểm và cực điểm trongz Rđặt21211 ( )( ) ( ) .( )NvMvvR bfR aR bR a y. (1.4)Hiển nhiên hàm( ) không có không điểm hoặc cực điểm trongR .Như vậy chúng ta có thể áp dụng công thức (1.1a) cho hàm( ) . Hơn thếnữa, nếuiRe thì:2( ) ( )1( )R a R aR a a và2( ) ( )1( )v vv vR b R bR b b ,nên( ) ( )f y.vậy2 222 201log ( ) log ( )2 2 cos( )iR rz Re dR Rr r y y = 82 222 201log ( )2 2 cos( )iR rf Re dR Rr r . (1.5)Mặt khác2 21 1( )( )log ( ) log ( ) log logM NvvvR z aR z bz f zR a z R b z y2 21 1( )( )log ( ) log logM NvvvR z aR z bf zR a z R b z .Thaylog ( )zy vào (1.5) ta thu được kết quả.*Ý nghĩa. Công thức Poisson-Jensen chỉ ra rằng, nếu biết giá trị của modulus( )f z trên biên, các cực điểm, không điểm của hàm( )f z trongz R, thì tacó thể tìm được giá trị của modulus( )f z bên trong đĩaz R.*Nhận xét. Một trường hợp quan trọng của công thức Poisson-Jensen là khi0z . Cho0z trong định lý (1.2.1) ta thu được công thức Jensen.201 11log (0) log ( log log2M Nivvabf f Re dR R (1.6)với giả thiết( ) 0,f z . Khi giả thiết không thỏa mãn, tức là( )f z có tại 0cực điểm hoặc không điểm cấpk, chỉ cần thay đổi công thức thích hợp bằngcách xét hàm( )/kf z z.1.2.2. Hàm đặc trưng1.2.2.1. Một số khái niệmPhần này trình bày khái niệm hàm đếm, hàm xấp xỉ, hàm đặc trưng vàcác tính chất của chúng. Trước hết ta định nghĩa:log max{log ,0}x x.Rõ ràng nếu0x thìlog log log (1/ )x x x .Như vậy: 92 2 20 0 01 1 1 1log ( ) log ( ) log2 2 2 ( )i iif Re d f Re d df Re .Ta đặt201( , ) log ( )2im R f f Re d. (1.7)Gọi1 2, , .,Nr r r, là các mô đun của các cực điểm1 2, , .,Nb b b của( )f z trongz R. Khi đó01 1log log log ( , )N NRv vv vR R Rdn t fb r t . (1.8)trong đó( , )n t f là số cực điểm của hàm( )f z trongz t, cực điểm bậcqđược đếmq lần. Thật vậy, trước hết bằng phương pháp tích phân từng phần ta có:00 0 0log ( , ) log . ( , ) | ( , ) log ( , )R R RRR R R dtdn t f n t f n t f d n t ft t t t . (a)Mặt khác không mất tính tổng quát ta giả sử1 20 .Nr r r R . Khi đó1 210 0( , ) ( , ) ( , ) . ( , )rNR r r Rrdt dt dt dtn t f n t f n t f n t ft t t t .Ta thấy rằng:2301( , ) 2 .112N víi víi víi víit rr t rn t f r t rN r t R Nên1 210 0( , ) ( , ) ( , ) . ( , )NR r r Rr rdt dt dt dtn t f n t f n t f n t ft t t t = [...]... là hàm xấp xỉ độ lớn trung bình của log ( ) trên là lớn Giá trị ( , ) có quan hệ với các cực điểm Hàm 10 ( , ) được gọi là hàm đặc trưng của ( ) Nó đóng vai trò quan trọng chủ yếu trong lý thuyết của hàm phân hình 1.2.2.2 Một số tính chất của hàm đặc trưng Chúng ta tiếp tục nghiên cứu một số tính chất đơn giản của hàm ( , ), ( , ) và ( , ) Chú ý rằng nếu 1 , , là các số phức thì p log , log 1 1 và. .. , 4) ( , 2) (1) (1) ( , 5) (1) Ta được điều phải chứng minh 1.2.4 Định lý Cartan về đồng nhất thức và tính lồi Bây giờ chúng ta sẽ phát biểu và chứng minh một số định lý của H.Cartan 1.2.4.1 Định lý Giả sử ( ) là một hàm phân hình trong ( , ) 1 2 2 0 ( , ) log 16 (0) , với (0 Khi đó: ) Chứng minh Ta áp dụng công thức Jensen (1.6) cho hàm với ( ) 1 và thu được: 1 2 2 0 log log 1 log log 0 1 Như vậy... tại và ví dụ cụ thể về nó là hàm ( ) là sin ; cos với ( ) 1 gồm toàn nghiệm bội 2 và ( ) Trong các trường hợp khác, vấn đề nói chung là rất khó và đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu và cho kết quả trong trường hợp tổng quát (Christoffel-Schwarz, Lê Văn Thiêm, Drasin…) 1.4.2 Định lý 5 điểm của Nevanlinna 1.4.2.1 Định nghĩa Giả sử là hàm phân hình trên nghĩa: ( tập các nghiệm phân biệt của phương trình. .. tính một lần Từ kết quả này cũng suy ra định lý Picard, nói rằng hàm phân hình nhận mọi giá trị, trừ ra cùng lắm là hai giá trị Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày định lý cơ bản thứ hai của Nevanlinna và đưa ra một số ứng dụng trực tiếp của định lý đó 1.3.2 Bất đẳng thức cơ bản Để đơn giản, chúng ta sẽ viết thay cho ( ,1/ ) và ( , ) ( , ) 1.3.2.1 Định lý Giả sử Giả sử ( , ) thay cho 1 là các số... chung của các phương trình là nghiệm của phương trình 1 5 ( ) 1 , 1 1 2 0 , nên ta suy ra: 2 1 , 1 2 1 (1) 2 Như vậy: 5 ( ) 1 là giới nội khi , điều này mâu thuẫn vì 1, 2 khác hàm hằng Như vậy định lý được chứng minh *Nhận xét: Nghịch ảnh của 5 điểm đủ đảm bảo xác định một hàm phân hình Số 5 đó là tốt nhất và không thể thay thế bởi số nhỏ hơn Ta có thể lấy ví dụ để chứng tỏ điều này Xét hàm 2 1; 3 1;... Trong thực tế tồn tại hàm phân hình mà có 4 giá trị của trình để phương gồm toàn nghiệm bội 2 Đó chính là hàm elliptic Weiestrass ( ) ( ) , là hàm thoả mãn phương trình: ( )2 với ( ) với 2; 1 )( ( ) 2 )( ( ) 3) là các số phức hữu hạn phân biệt Rõ ràng 1, 2 , 3 ( ) ( ( ) ( ) cực điểm bội 2 tại ( ) 1,2,3 Như vậy, mọi nghiệm của 3 phương trình 3 0 khi ( ) 1; đều là nghiệm bội Ngoài ra hàm elliptic Weiestrass... bởi vì ( ) giả sử tại và 1 2 phương trình nghiệm bội Khi đó ( ) nên với tất cả các giá trị khác sin 1;sin (1) (1) 2 sin , với 1 0 gồm toàn 2 ( 1) phương trình 1; 2 nghiệm đơn Chẳng hạn xét hàm ( ) 1 thì (sin ) ( ) ( 2 ) 1/ 2, thế thì ( 1) sin 0; 1 ( 2) ( ) 2 ( ) 1; đều phải có 2 1 ta thấy: khi 0 như thế nghĩa là các phương trình cos đều gồm toàn nghiệm bội Nếu 1 , suy ra phương trình sin 2 ( 1) ( 1)... 0 ( , ) ( , ) log 2 0 ( , 1 2 ) 2 0 ( , ) log Vậy Định lý được chứng minh 17 2 2 0 ( , ) log 0 ) 1 2 (0) (0) , với (0 log , (0) ) 1.2.4.2 Hệ quả 1 Hàm đặc trưng Nevanlinna log với 0 ( , ) là một hàm lồi tăng của Chứng minh Ta thấy rằng ta suy ra hàm ) hiển nhiên là hàm tăng, lồi của log nên ( , ( , ) cũng có tính chất như vậy và bổ đề được chứng minh Trong trường hợp này chúng ta có: 1 2 ( , ) 2... nghiệm của phương trình quá ít so với cấp tăng của nó) Ví dụ 3: cho là một hàm phân hình, khi đó tập hợp các giá trị của cho phương trình ( ) sao gồm toàn nghiệm bội có không quá 4 điểm Thật vậy, nếu mọi nghiệm của phương trình ( ) đều là nghiệm bội thì ta có: ( , ) ( , ) ( , ) Suy ra: 1 2 1 2 ( ) 1 lim Theo định lý số khuyết ta có trình ( ) 1 ( , ) 2 ( , ) ( ) ( , ) ( , ) 1 2 2 nên số các điểm để phương. .. log (1.13) 1.2.3 Định lý cơ bản thứ nhất của Nevanlinna 1.2.3.1 Định lý Giả sử là hàm phân hình, , 1 , trong đó là một số phức tùy ý, khi đó ta có 1 ( , ) ( , ) ( , ) log (0) log log 2 Ta thường dùng định lý cơ bản thứ nhất dưới dạng , trong đó 1 , 1 ( , ) (1) , (1) là đại lượng giới nội *Ý nghĩa Vế trái trong công thức của định lý đo số lần phải là hàm ( , ) không phụ thuộc vào và gần , sai khác một . HỌC SƯ PHẠM---------------------------------LÝ ANH TIẾNLÝ THUYẾT NEVANLINNA VÀ ỨNG DỤNG NGHIÊN CỨUPHƯƠNG TRÌNH HÀMChuyên ngành: Giải tíchMã số: 60.46.01LUẬN. đề phân tích hàm phân hình, hàm nguyên là một trong những vấnđề quan trọng của lý thuyết hàm và giải tích phức, có nhiều ứng dụng trong l thuyết hệ động