Đang tải... (xem toàn văn)
Gäi M vµ N lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña D trªn AB vµ AC.. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc.[r]
(1)đề thi HSG huyện năm học 2011 – 2012 M«n to¸n líp Thêi gian: 120 phót phßng gD- ®t Y£N THÕ trờng thcs đồng lạc m· §Ò: 001 3 Bµi 1: 1) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a b c 3abc 2) Cho a 3ab 5 vµ Bµi 2: 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh: b3 3a2b 10 TÝnh S = a2 b2 x 2x x 2x 0 2) Cã tån t¹i hay kh«ng sè nguyªn d¬ng n cho n6 26n 212011 23 3 20113 20113 Bµi 3: Rót gän biÓu thøc A = Bµi 4: Cho ABC vu«ng t¹i A, cã AB < AC KÎ ph©n gi¸c AD Gäi M vµ N lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña D trªn AB vµ AC BN c¾t CM t¹i K, AK c¾t DM t¹i I, BN c¾t DM t¹i E, CM c¾t DN t¹i F 1) Chøng minh r»ng EF // BC 2) Chøng minh r»ng K lµ trùc t©m cña AEF 3) TÝnh sè ®o cña BID Bµi 5: Cho a, b, c, d, e > tháa m·n ®iÒu kiÖn a + b + c + d + e = P a b c d a b c a b T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc abcde Lu ý: Học sinh không đợc sử dụng bất kì loại máy tính bỏ túi nào - HÕt - đáp án đề thi HSG huyện lớp M«n to¸n Thêi gian: 120 phót phßng gD- ®t Y£N THÕ trờng thcs đồng lạc m· §Ò: 001 Bµi 1: (5 ®iÓm) 1) (3 ®iÓm) a3 b c 3abc = a b 3ab a b c 3abc (1 ®) (2) = a b c a b = a b c a 2 c a b c 3ab a b c 2 b c ab bc ac Ta cã a 3ab 5 2) (2 ®iÓm) b vµ b 3a b 10 Suy 125 = Bµi 2: (5 ®iÓm) a 3 3ab2 1) (3 ®iÓm) x 2x x 2x 0 x 2x x V× x 1 0 x 1 ; (0,5 ®) 4 b 6a b 9a b 100 a b 3a b 3a b a b 2 a 6a b 9a b 25 2 4 (1 ®) 25 3a2b 100 (1 ®) 2 (0,5 ®) 2 Do đó S = a b = 2x 0 x 1 x 1 (1 ®) 0 0 (1,5 ®) (0,5 ®) x 0 Nên phơng trình tơng đơng x 0 x = VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt x = n 2011 2) (2 ®iÓm) Gi¶ sö tån t¹i n N* cho n 26 21 Ta cã 26n cã tËn cïng lµ vµ 212011 cã tËn cïng lµ Vậy n6 có tận cùng phải là 5, đó n có tận cùng là (0,5 ®) (0,5 ®) (0,5 ®) 402 .5 26 215 21 n 2011 Khi đó n 26 21 có dạng 25 76 01 21 01 21 , v« lÝ VËy kh«ng tån t¹i sè nguyªn d¬ng n tháa m·n bµi to¸n (0,5 ®) (0,5 ®) (0,5 ®) Bµi 3: (2 ®iÓm) NhËn xÐt r»ng mçi sè h¹ng cña tæng cã d¹ng 2 k k 1 k k k 1 k 1 k 1 1 k k 1 k k k 1 k k Ta cã 1.2 2010. 1 S 3.4 2012 1 = 2012 2011 víi k = 2, 3, …, 2011 2010 2012 2012 (1 ®) 1 2012 2012 1 1 2011 2011 1 S 22 2012 20112 2011 2 2 2 = 3.1006.2011 Bµi 4: (6 ®iÓm) VÏ h×nh kh«ng chÝnh x¸c kh«ng cho ®iÓm c¶ bµi (1 ®) 1) (2 đ) Chứng minh đợc tứ giác AMDN lµ h×nh vu«ng (0,5 ®) MF BD BM BM ME FC DC MA DN ED (1®) MF ME hay FC ED EF // DC hay EF // BC (0,5 ®) A 2) (2 đ) Theo định lí Thales ta có AN DN NC NF NF AB AB AC AM AN (0,5 ®) M K B E I N F (3) D AN NF hay AB AN vµ BAN ANF 90 NAF ABN NAF NBA AF BN LËp luËn t¬ng tù cã AE CM VËy K lµ trùc t©m cña AEF 3) (2 ®) K lµ trùc t©m cña AEF AK EF mµ EF // BC AK BC KÕt hîp víi DM AB I lµ trùc t©m cña ABD 0 0 VËy BID 180 BAD 180 45 135 C (0,5 ®) (0,5 ®) (0,5 ®) (0,5 ®) (1 ®) Bµi 5: (2 ®iÓm) x y Ta cã 2 0 x 2xy y 4xy x y 4xy DÊu “=” x¶y x = y (0,5 ®) x y 4xy ¸p dông liªn tiÕp B§T ta cã 2 = (a + b + c + d + e) 4(a + b + c + d)e (1) (a + b + c + d)2 4(a + b + c)d (2) (a + b + c)2 4(a + b)c (3) (a + b)2 4ab (4) Do a, b, c, d, e > nên các vế các BĐT trên dơng Nhân vế chúng và rút gọn ta đợc 16(a + b + c + d)(a + b + c)(a + b) 256abcde a b c d a b c a b 16 P abcde (1 ®) a b c d e 4 a b a b c d e c a b c d a b c d 1 a b e 2 DÊu “=” x¶y vµ chØ 1 Vậy GTNN P 16 đạt đợc a = b = ; c = ; d = và e = (0,5 ®) Lu ý: Mọi cách giải khác đúng cho điểm tối đa -HÕt - (4)