Đang tải... (xem toàn văn)
Hình vẽ phục vụ tốt cho lời giải có thể với cách giải khác Vì S là đỉnh, H là tâm của hình tròn đáy của hình nón nội tiếp mặt cầu tâm O nên H thuộc đường kính SS’ của mặt cầu.. Đặt SH = [r]
(1)ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I Môn TOÁN – LỚP 12 Thời gian: 90 phút, kể thời gian giao đề A PHẦN CHUNG: (7,0 điểm) Phần dành cho tất học sinh học chương trình chuẩn và chương trình nâng cao Câu I: (3,0 điểm) Cho hàm số y = x - 3x - (1) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) 2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình: - x + 3x +1+ m = 3) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) tiếp điểm có hoành độ x0 = Câu II: (3,0 điểm) 142+ 2+ 1) Rút gọn biểu thức: A= 2) Giải các phương trình sau: 7 .71+ log (x - 3) = 1+ log x x x a) -10.3 + = b) Câu III: (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông C, cạnh SA vuông góc với đáy, góc ABC 60 , BC = a và SA = a Tính thể tích khối chóp đó B PHẦN RIÊNG: (3,0 điểm) Học sinh học chương trình nào làm phần dành riêng cho chương trình đó I Dành cho học sinh học chương trình chuẩn: Câu IVa : (3,0 điểm) y = log (x +1) 1) Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số trên đoạn [1 ; 3] 2) Cho hình nón có đỉnh S, mặt đáy là hình tròn tâm O, đường kính AB = 2R và tam giác SAB vuông a) Tính thể tích khối nón giới hạn hình nón đó b) Giả sử M là điểm thuộc đường tròn đáy cho BAM = 30 Tính diện tích thiết diện hình nón tạo mặt phẳng (SAM) II Dành cho học sinh học chương trình nâng cao: Câu IVb: (3,0 điểm) 1) Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số é1 ù ê ; 4ú ë4 ú û đoạn ê y = log 31 x + log 21 x - 3log x +1 2 trên 2) Cho mặt cầu tâm O, bán kính R Xét hình nón nội tiếp mặt cầu có bán kính đáy r Tính diện tích xung quanh hình nón Hết -ĐÁP ÁN & THANG ĐIỂM CHẤM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ (2) Câu I Ý Nội dung Điểm (3.0 điểm) 1.5 điểm 0.25 Cho hàm số y = x - 3x - (1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) TXĐ: R y ' = Û x = ±1 y’ = 3x2 – 3, y' > Û x < - x > 1; y' < Û -1 < x < ( - ¥ ; - 1) ; ( 1; +¥ ) HS đồng biến trên các khoảng trên khoảng (-1; 1) yCĐ = y(-1) = 1và yCT = y(1) = -3 Bảng biến thiên: x y’ y -¥ + -¥ -1 1 - 0.25 và nghịch biến 0.25 +¥ + 0.25 +¥ -3 Đồ thị: + y '' = 6x, y'' = Û x = Đồ thị có tâm đối xứng là điểm (0; -1) + Các điểm khác thuộc (C) là (- 2; - 3), (2; 1) 11 -6 -4 -2 -2 -1 O 22 0.50 -1 -2 -3 -3 -4 -5 Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình: - x + 3x + + m = 3 Ta có: - x + 3x +1 + m = Û x - 3x - = m (2) (2) là PT HĐGĐ (C) và (d): y = m, (d) song song trùng với Ox Số nghiệm PT (2) đúng số giao điểm (C) và (d) 1.0 điểm 0.25 0.25 (3) Dựa vào đồ thị (C) ta có: - Khi m < -3 m > 1: (d) cắt (C) điểm nên phương trình có nghiệm - Khi m = -3 m = 1: (d) và (C) có hai điểm chung phân biệt nên phương trình có hai nghiệm phân biệt - Khi -3 < m < 1: (d) cắt (C) điểm phận biệt nên phương trình có nghiệm phân biệt (đúng ý cho 0.25) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) tiếp điểm có hoành độ x0 = Þ x0 = y0 = 0.5 điểm 0.25 y’ = 3x2 – Þ y’(2) = PT tiếp tuyến (C) điểm (2; 1) là: y = 9(x – 2) + hay y = 9x – 17 0.25 II (3.0 điểm) 14 Rút gọn biểu thức: 142+ 22+ 7 2+ = 2.a 2+ 7 2+ 1+ 7 1+ .7 = = 2+ 2+ 7 - 1- 2+ 2+ A= A= .71+ 1.0 điểm 7 0.50 1+ .7 =7 0.50 x x Giải phương trình - 10.3 + = x (3 ) PT Û 1.0 điểm x - 10 ( 3) + = 0.25 x Đặt t = > ta phương trình theo t: t2 – 10t + = Û x x Với t = ta = 2.b 0.25 t = t = Với t = ta = Û Û x=0 0.25 x=2 S = { 0; 2} Tập nghiệm phương trình là: log (x - 3) = 1+ log x Giải phương trình Điều kiện: Khi đó: PT Û Û Û Û x- 3>0 Ù >0 Û x - log ( x - 3) = 1- log x log x =1 x- x = 4(x - 3) Û Û Û 0.25 1.0 điểm x >3 log x - log ( x - 3) 0.25 =1 x =4 x- 0.25 0.25 3x = 12 x = (thõa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm x = III 0.50 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông C, cạnh SA vuông góc với đáy, góc ABC 60 , BC = a và SA = a Tính thể tích khối chóp đó 0.25 (1.0 điểm) (4) S a 0.25 C a 600 B A Ta có: AC = BC.tanB = a.tan600 = a Diện tích tam giác ABC: dt(ΔABC) = CA.CB = 0.25 a 3.a = a 0.25 Theo giả thiết SA = a là chiều cao hình chóp Vậy thể tích khối chóp là: 1 V = dt(ΔABC).SA = a a = a3 3 2 IVa 0.25 (3,0 điểm) Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số y = log (x + 1) trên đoạn [1 ; 3] Đặt t = x +1 , x Î [1; 3] Û t Î [2; 4] y = log t Khi đó hàm số đã cho trở thành y = log t < a = <1 2 Vì nên hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +¥ ) 1.0 điểm 0.25 0.25 log =- Giá trị lớn hàm số trên đoạn [2; 4] là log =- 2 2.a 0.50 Giá trị nhỏ hàm số trên đoạn [2; 4] là (đúng ý cho 0.25) Cho hình nón có đỉnh S, mặt đáy là hình tròn tâm O, đường kính AB = 2R và tam giác SAB vuông Tính thể tích khối nón giới hạn hình nón đó Ta có SA và SB là các đường sinh hình nón nên SA = SB Theo giả thiết thì tam giác ASB vuông S có SO là trung tuyến nên chiều cao hình nón là: h = SO = AB = R 1πR πR R = Thể tích khối nón là V= dtđáy.SO = 1.0 điểm 0.25 0.25 (5) S B 0.50 O M 30 R H A Nếu hình vẽ để phục vụ câu a) cho 0.25 2.b Giả sử M là điểm thuộc đường tròn đáy cho góc BAM = 300 Tính diện tích thiết diện hình nón tạo mp(SAM) Vì M thuộc đường tròn đường kính AB nên tam giác ABM vuông M có góc A 300 Þ MA =AB.cosA = 2R.cos300 = R Vì tam giác SOM vuông O nên OS = OM = R Þ SM = R MA = R Gọi H là trung điểm MA, ta có MH = R 2R - R = SH ^ MA Þ SH = SM - MH = Mp(SAM) cắt hình nón theo thiết diện là tam giác SAM cân đỉnh S có SH là đường cao.: 1 R R 15 SΔSAM = SH.AM = 5.R = 2 2 IVb 1.0 điểm 0.25 0.25 0.25 0.25 (3.0 điểm) Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số é1 ù y = log 13 x + log 12 x - 3log x + ê ; 4ú 2 ë4 ú û trên đoạn ê é1 ù x Î ê ; 4ú Û t Î [-2; 2] ê ë4 ú û Đặt t = , ta thấy Bài toán trở thành: Tìm GTLN, GTNN hàm số y = t + t - 3t +1 trên đoạn [-2; 2] 1.0 điểm log x y' = t + 2t - ; y' = Û t = Î [-2; 2] Ú t = - Ï [-2; 2] - 25 y (1) = +1- +1 =y (- 2) = + + +1 = 3; 3 ; y (2) = + - +1 = 3 0.25 0.25 0.25 (6) 25 Vậy GTLN hàm số là , GTNN hàm số là Cho mặt cầu tâm O, bán kính R Xét hình nón nội tiếp mặt cầu có bán kính đáy r Tính DTXQ hình nón 0.25 2.0 điểm S R O M r 0.25 H S' Hình vẽ phục vụ tốt cho lời giải (có thể với cách giải khác) Vì S là đỉnh, H là tâm hình tròn đáy hình nón nội tiếp mặt cầu tâm O nên H thuộc đường kính SS’ mặt cầu Đặt SH = h là chiều cao hình nón 0.25 Vì M thuộc đường tròn (H) nên tam giác MSS’ vuông M Þ r = MH = SH.S'H = h.(2R - h) Û Û 0.50 h2 – 2Rh + r2 = 2 2 h = R + R - r h = R - R - r 2 * Nếu SH = h = R + R - r thì độ dài đường sinh hình nón: 2 2 l = SM = SH + HM = h + r = Diện tích chung quanh hình nón: Sxq =πrl = πr 2R 2+ 2R R 2- r 2R + 2R R - r 0.50 2 * Nếu SH = h = R - R - r thì độ dài đường sinh hình nón: 2 2 l = SM = SH + HM = h + r = Diện tích chung quanh hình nón: Sxq =πrl = πr 2R 2- 2R R 2- r 2R - 2R R - r 0.50 Nếu học sinh tìm hai kết trên (có thể với cách trình bày khác) thì cho nửa số điểm câu này Lưu ý: Phần riêng, học sinh làm không đúng theo chương trình làm hai phần thì không chấm phần riêng đó Học sinh có thể giải các cách khác đúng cho điểm tối đa tương ứng với thang điểm ý và câu đó (7)