Đang tải... (xem toàn văn)
Båi dìng HSG th¸ng 9 Chủ đề:căn bậc hai –căn bậc ba DẠNG 1: RÚT GỌN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC.... nhận giá trị là số nguyên..[r]
(1)Båi dìng HSG th¸ng Chủ đề:căn bậc hai –căn bậc ba DẠNG 1: RÚT GỌN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Bài 1: Cho biểu thức P= 1 a2+ + − ( 1+ √ a ) ( − √a ) 1− a3 a) Rút gọn P b) Tìm Min P Bài 2: Cho x, y là hai số khác thỏa mãn: x2 + y = y2 + x x + y +xy xy - x-y Bài 3: Tính giá trị biểu thức Q = x + y Tính giá trị biểu thức : P = Biết x2 -2y2 = xy và x ≠ 0; x + y ≠ Bài 4: Cho biểu thức 15 √ x −11 √ x −2 √ x +3 + − P= x +2 √ x −3 1- √ x √ x+3 a) Tìm các giá trị x cho P = 2 b) Chứng minh P ≤ Bài 5: Cho biểu thức 3a+ √ 9a −3 √ a+1 √ a− − + P= a+ √ a − √ a+2 1− √ a a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị nguyên a để P nguyên Bài 6: Cho biểu thức √a+ √a-4+ √ a − √ a-4 P= 16 √ 1- + a a a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị nguyên a (a >8) để P nguyên Bài 7: Cho biểu thức √a − : − P= √ a− a − √a √ a+1 a − a) Rút gọn P b) Tính giá trị P a = + √ c) T ìm các giá trị a cho P < ( )( Bài 8: Cho biểu thức √ x 8x x−1 − : √ − P= 2+ √ x − x x − √ x √ x ( )( ) ) (2) a) Rút gọn P b) Tính x để P = -1 c) T ìm m để với giá trị x > ta có m( √ x - 3)P > x + Bài 9: Cho biểu thức y - √ xy x y x+ y : + − P = √ x− √ x + √ y √ xy + y √ xy − x √ xy a) Tìm x, y để P có nghĩa b) Rút gọn P c) Tìm giá trị P với x = 3, y = + √ Bài 10: Cho biểu thức ( P= )( ) x +1 x-1 x − 4x − x +2007 − + x −1 x +1 x x −1 ( ) a) Tìm x để P xác định b) Rút gọn P c) Tìm các giá trị nguyên x để P nguyên Bài 11: Rút gọn P P= ( a+ √ a2 − b2 a − √ a2 −b √ a4 − a2 b − : b2 a − √ a2 −b a+ √ a2 − b2 ) Với | a | >| b | > Bài 12: Cho biểu thức √ x −2 − √ x+2 1− x P= x −1 x +2 √ x +1 √2 a) Rút gọn P b) Chứng minh < x < thì P > c) Tìm GTLN P Bài 13: Chứng minh giá trị biểu thức 2x x+1 x +10 + √ + √ P= x +3 √ x+2 x+ √ x+3 x+ √ x +6 Không phụ thuộc vào biến số x Bài 13: Chứng minh giá trị biểu thức − √ √ 7+4 √ 3− x √ P = √ x+ √ −4 √5 √ 2+ √5+ √ x Không phụ thuộc vào biến số x ( )( ) Bài 15: Cho biểu thức x2 − √ x x 2+ √ x − + x +1 P= x + √ x+1 x − √ x+ Rút gọn P với ≤ x ≤ Bài 16: Cho biểu thức x − √ x 2x + √ x 2( x −1) − + P= x + √ x+ √x √ x −1 a) Rút gọn P b) Tìm GTNN P √ (3) 2√x P c) Tìm x để biểu thức Q = nhận giá trị là số nguyên Bài 17: Cho biểu thức 2x √ x + x − √ x x+ √ x x−1 x − ⋅ + √ P= x −1 2x+ √ x − √ x − x √ x −1 a) Tìm x để P có nghĩa b) Rút gọn P c) Với giá trị nào x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm GTNN đó ( ) Bài 18: Rút gọn biểu thức 3+ √ 3− √ − P= √ 10+ √3+ √ √10+ √ − √ Bài 19: Rút gọn biểu thức a) A = √ 4+ √ − √ − √ b) B = √ 4+ √ 10+ √ 5+ √ − √ 10+ √5 c) C = √ 4+ √ 15+ √ − √ 15 −2 √ 3− √5 Bài 20: Tính giá trị biểu thức P = √ x+24 +7 √ x −1+ √ x+ −3 √ x −1 Với ≤ x ≤ Bài 21: Chứng minh rằng: P = √ 3+ √ 5− √ 13+ √ 48 √ 6+ √ là số nguyên Bài 22: Chứng minh đẳng thức: 3 1+ √ 1− √ 2 + √3 − − √3 1+ 1+ √ √ =1 Bài 23: Cho x = √3 √2+7 − √3 √ 2− Tính giá trị biểu thức f(x) = x3 + 3x Bài 24: Cho E = 1+ xy 1− xy − x+ y x− y Tính giá trị E biết: x = √ 4+ √ √ 2+ √2+ √2 √ − √ 2+ √ √ − √ 12+ √ 20 y= √ 18 −2 √ 27+ √ 45 2+¿ 2007 2008 Bài 25: Tính P = 1+2007 Bài 26: Rút gọn biểu thức sau: P= Bài 27: + 2007 2008 √¿ 1+ √ + + + √ 5+ √9 Tính giá rẹi biểu thức: √ 2001+ √ 2005 (4) P = x3 + y3 - 3(x + y) + 2004 biết x = √3 3+2 √2+ √3 −2 √ y = √3 17+12 √2+ √3 17 −12 √ √ a+1 − √ a −1 + √a √ a− Bài 28: Cho biểu thức A = √ a− √a+ √a a) Rút gọn A b) Tính A với a = (4 + √ 15 )( √ 10 - √ ) √ − √ 15 Bài 29: Cho biểu thức ( A= )( √ x − √ ( x −1 ) +√ x+ √ ( x − ) ⋅ − √x ( −4 ( x −1 ) x−1 ) ) a) x = ? thì A có nghĩa b) Rút gọn A Bài 30: Cho biểu thức 1+ √ − x − √ 1+ x + + P= − x + √ 1− x 1+ x+ √1+ x √ 1+ x a) Rút gọn P b) So sánh P với √ Bài 31: Cho biểu thức P= − + √ x +1 x √ x +1 x − √ x +1 a) Rút gọn P b) Chứng minh: ≤ P ≤ Bài 32: Cho biểu thức √ a −9 a+3 √ a+1 −√ − P= a− √ a+6 √ a− − √ a a) Rút gọn P b) a = ? thì P < c) Với giá trị nguyên nào a thì P nguyên Bài 33: Cho biểu thức x 2√ x 1− x − − P= √ xy −2 y x +√ x −2 √ xy −2 √ y 1− √ x a) Rút gọn P b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + = Bài 34: Cho biểu thức x 2√ x 1− x − − P= √ xy −2 y x +√ x −2 √ xy −2 √ y 1− √ x a) Rút gọn P b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + = Bài 35: Cho biểu thức 3 1 1 √ x + y √ x+ x √ y+ √ y + + + : P= √ x √ y √ x +√ y x y √ xy 3+ √ x y a) Rút gọn P b) Cho xy = 16 Tìm Min P [( ) ] (5) DẠNG 2: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT Bài 1: Cho a > b > thỏa mãn: 3a2 +3b2 = 10ab Tính giá trị biểu thức: P= a− b a+ b Bài 2: Cho x > y > và 2x2 +2y2 = 5xy Tính giá trị biểu thức E = x−y x+ y Bài 3: 1) Cho a + b + c = CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc 2) Cho xy + yz + zx = và xyz ≠ Tính giá trị biểu thức: yz xz xy + 2+ 2 x y z M= Bài 4: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc Tính giá trị biểu thức: P= (1+ ab )(1+ bc )(1+ ca ) Bài 5: a) Phân tích thành nhân tử: (x + y + z)3 - x3 - y -z3 b) Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = và x3 + y3 + z3 = Tính giá trị biểu thức: A = x2007 + y2007 + z2007 Bài 6: Cho a + b + c = và a2 + b2 + c2 = 14 Tính giá trị biểu thức: P = a + b4 + c4 Bài 7: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn: a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 Tính giá trị biểu thức P = a2007 + b2007 Bài 8: Cho x y + =1 a b và xy =−2 Tính ab x3 y3 + a3 b3 Bài 9: Cho a + b + c = Tính giá trị biểu thức 1 + + 2 2 b +c − a a+c − b a+b − c x4 y4 + = Bài 10: Cho ; x2 + y2 = Chứng minh rằng: a b a+b P= a) bx2 = ay2; b) a+b ¿1004 ¿ x 2008 y 2008 + = a1004 b 1004 ¿ Bài 11: Chứng minh xyz = thì: 1 + + 1+x + xy 1+ y+yz 1+ z+ xz =1 Bài 12: Cho a + b + c = Tính giá trị biểu thức: A = (a – b)c3 + (c – a)b3 + (b – c)a3 Bài 13: Cho a, b, c đôi khác Tính giá trị biểu thức: (6) P= 2 a b c + + (a − b)(a −c ) ( b− c )(b −a) (c − b)(c −a) Bài 14: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc Chứng minh: Tam giác đã cho là tam giác Bài 15: Chứng minh rằng: Nếu a,b,c khác thì: b−c c −b a− b 2 + + = + + (a − b)(a −c ) (b− c )(b −a) (c − a)(c −b) a −b b − c c − a Bài 16: Cho biết a + b + c = 2p Chứng minh rằng: 1 1 abc + + − = p − a p −b p − c p p (p − a)( p −b)( p −c ) Bài 17: Cho a, b khác thỏa mãn a + b = Chứng minh : 2(ab −2) a b + = 2 b − a −1 a b +3 x y z a b c Bài 18: Cho a + b + c =1 và x + y + z =0 x2 y2 z2 Tính giá trị biểu thức A = + + a b c a b c Bài 19: Cho a, b, c đôi khác và b− c + c −a + a −b =0 Tính giá trị P = b − c ¿2 ¿ c − a ¿2 ¿ a − c ¿2 ¿ ¿ ¿ a ¿ Bài 20: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) b) x(y + z)2 + y(z + x)2 + z(x + y)2 – 4xyz Bài 21: Cho ba số phân biệt a, b,c Chứng minh biểu thức A = a4(b – c) + b4(c – a) + c4(a – b) luôn khác Bài 22: Cho bốn số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b = c + d và ab + = cd Chứng minh: c = d Bài 23: Cho x , y là các số dương thỏa mãn điều kiện: 9y(y – x) = 4x2 Tính giá trị biểu thức: A = x−y x+ y Bài 24: Cho x, y là các số khác khác cho 3x2 – y2 = 2xy Tính giá trị phân thức A = xy 2 − x + xy+ y Bài 25: Cho x, y, z khác và a, b, c dương thoả mãn ax + by + cz = và a + b +c = 2007 Tính giá trị biểu thức: P= x−y¿ x − z ¿ +ab ¿ y − z ¿ +ac ¿ bc ¿ ax 2+ by +cz ¿ (7) Bài 26: Cho x, y, z khác và x + y + z = 2008 Tính giá trị biểu thức: P= Bài 27: 3 x y z + + ( x − y)(x − z ) ( y − x )( y − z) (z − y)(z − x) ¿ x + y + z=1 2 x + y + z =1 Cho 3 x + y + z =1 ¿ {{ ¿ Tính giá trị biểu thức: P = x2007 + y2007 + z2007 Bài 28: Cho a, b, c là độ dài các cạnh tam giác Tính giá trị biểu thức: b+ c ¿2 a −¿ (a+b − c) ¿ a −c ¿2 −b2 ¿ (a+b+ c)¿ ¿ ¿ P= Bài 29: Cho biểu thức P = (b2 + c2 – a2)2 – 4b2c2 Chứng minh a, b, c là ba cạnh tam giác thì P < Bài 30: Cho các số dương x, y ,z thỏa mãn: ¿ xy + y + z=3 yz + y + z=8 zx + x+ z=15 ¿{{ ¿ Tính giá trị biểu thức: P = x + y + z Bài 31: Cho các số x, y, z thỏa mãn hệ phương trình: ¿ x 2+ y 2+ z 2=1 x 3+ y3 + z 3=1 ¿{ ¿ Tính giá trị biểu thức P = xyz (Đề thi HSG tỉnh 2003) √ 2+ √ 3+ √ 6+ √ 8+ Bài 32: a) Thu gọn biểu thức: P = √ 2+ √3+ √ b) Tính giá trị biểu thức: Q = x−y x+ y Biết x2 – 2y2 = xy và y ≠ , x + y ≠ (Đề thi HSG tỉnh 2004-2005) Bài 33: Chứng minh nếu: x + y + z = thì: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (Đề thi HSG tỉnh 2005-2006) Bài 34: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện: a2 = b2 + c2 a) So sánh a và b + c b) So sánh a3 và b3 + c3 (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007) Bài 35: 1) Giải phương trình: x3 -6x – 40 = 2) Tính A = √3 20+14 √ 2+ √3 20 − 14 √ (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007) (8) DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x2 – 2(m – 1)x – – m = (1) a) Giải phương trình m = b) Chứng tỏ phương trình có nghiệm số với m c) Tìm m cho nghiệm số x1, x2 phương trình thỏa mãn điều kiện x 21 + x 22 10 Bài 2: Cho các số a, b, c thỏa điều kiện: ¿ c>0 ( c +a ) <ab+ bc − ac ¿{ ¿ Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = luôn luôn có nghiệm Bài 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện: a2 + ab + ac < Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm phân biệt Bài 4: Cho phương trình x2 + px + q = Tìm p, q biết phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: ¿ x − x 2=5 3 x − x 2=35 ¿{ ¿ Bài 5: CMR với giá trị thực a, b, c thì phương trình (x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = luôn có nghiệm Bài 6: CMR phương trình ax2 + bx + c = ( a 0) có nghiệm biết 5a + 2c = b Bài 7: Cho a, b, c là độ dài các cạnh tam giác CMR phương trình sau có nghiệm: (a2 + b2 – c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 – c2) = Bài 8: CMR phương trình ax2 + bx + c = ( a 0) có nghiệm 2b c ≥ +4 a a Bài 9: Cho phương trình : 3x2 - 5x + m = Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: x 21 - x 22 = Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 4)x +m2 – = Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: a) A = x1 + x2 -3x1x2 đạt GTLN b) B = x12 + x22 - đạt GTNN c) Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m Bài 11: Giả sử x1, x2 là hai nghiệm phương trình bậc 2: 3x2 - cx + 2c - = Tính theo c giá trị biểu thức: 1 S = x3 + x3 Bài 12: Cho phương trình : x2 - √ x + = Có hai nghiệm là x1, x2 Không giải phương trình trên hãy tính giá trị biểu thức: A= x +5 x1 x 2+3 x 3 x1 x 2+ x x (9) Bài 13: Cho phương trình: x2 – 2(a - 1)x + 2a – = (1) 1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với giá trị a 2) Tìm giá trị a để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 = Tìm giá trị a để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x1 < < x2 Bài 14: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + m – = (1) a) CMR phương trình (1) có nghiệm với giá trị m b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm phương trình (1) Tìm GTNN M = x12 + x22 Bài 15: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện: 1 + = a b CMR ít hai phương trình sau phải có nghiệm: x2 + ax + b = và x2 + bx + a = Bài 16: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m +10 = (1) a) Giải và biện luận số nghiệm phương trình (1) theo m b) Tìm m cho 10x1 x2 + x12 + x22 đạt GTNN Tìm GTNN đó Bài 17: Chứng minh với số a, b, c khác 0, tồn các phương trình sau phải có nghiệm: ax2 + 2bx + c = (1) bx2 + 2cx + a = (2) cx2 + 2ax + b = (2) Bài 18: Cho phương trình: x2 – (m - 1)x + m2 + m – = (1) a) CMR phương trình (1) luôn luôn có nghiệm trái dấu với giá trị m b) Với giá trị nào m, biểu thức P = x12 + x22 đạt GTNN Bài 19: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x – - m = (1) 1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với giá trị m 2) Tìm giá trị m để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 10 3) Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: E = x12 + x22 đạt GTNN Bài 20: Giả sử phương trình bậc 2: x2 + ax + b + = có hai nghiệm nguyên dương CMR: a2 + b2 là hợp số DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO Giải phương trình: Bài 1: x3 + 2x2 + √ x + √ Bài 2: (x + 1)4 = 2(x4 + 1) Bài 3: 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2 Bài 4: 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x Bài 5: (x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144 Bài 6: (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272 Bài 7: a) (x + √ )4 + (x + 1)4 = 33 + 12 √ (10) Bài 8: Bài 9: Bài 10: Bài 11: Bài 12: Bài 13: Bài 14: Bài 15: Bài 16: Bài 17: Bài 18: Bài 19: Bài 20: Bài 21: Bài 22: Bài 23: Bài 24: Bài 25: Bài 26: b) (x - 2)6 + (x - 4)6 = 64 a) x4 - 10x3 + 26x2 - 10x + = b) x4 + 3x3 - 14x2 - 6x + = c) x4 - 3x3 + 3x + = a) x4 = 24x + 32 b) x3 + 3x2 - 3x + = |x − 8| +|x −9| =1 2x 7x − =1 x − x+ x +5 x+ x2 =12 x + ( x +2 )2 2 x −2 x+ x −4 −5 + 48 =0 20 x +1 x −1 x −1 3x 7x + =− a) x −3 x+1 x + x +1 x −10 x+15 4x = b) x − x+ 15 x − 12 x +15 2 x −3 x +5 x −5 x +5 − =− c) x −4 x+5 x −6 x +5 81 x =40 a) x2 + ( x +9 )2 x =15 b) x2 + ( x +1 )2 x −1 x −1 40 + = a) x x −2 2 x+2 x −2 x2 − b) x+1 + x −1 − 2 =0 x −1 8− x 8−x c) x x −1 x − x − =15 x −1 x2 + = 8( Đề thi HSG V1 2004) x √ x −1 − √ x −1=√ x −2 √3 x+1+ √3 − x=2 √ x+2 √ x −1+ √ x − √ x −1=2 3x2 + 21x + 18 + √ x+7 x +7=2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) a) (x - 2)4 + (x - 3)4 = b) x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + = c) x4 + 10x3 + 26x2 + = (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = ( Đề thi HSG V1 2003) a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = b) (x2 + 3x - 4)(x2 + x - 6) = 24 a) x3 - 6x + = b) x4 - 4x3 + 3x2 + 2x - = a) x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 12 = b) x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = (11) Bài 27: Bài 28: Bài 29: Bài 30: Bài 31: Bài 32: Bài 33: Bài 34: x 48 x + −10 − =0 x2 x ( ) a) Phân tích thành nhân tử: 2(a2 + b2) -5ab b) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = √ x3 +1 ( Đề thi HSG 1998) x −14 =3 √ x −5 − 3+ √ x − x4 - √ x -5 = ( Đề thi HSG 2000) x4+ − x=0 x −2 ( Đề thi HSG V2 2003) a) x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 = b) (x2 - x + 1)4 - 10(x2 - x + 1)2 +9x4 = (x + √ x + 2)(x + √ x +18) = 168x (Đề thi HSG 2005) a) x2 + 4x + = √ x +3 b) √ x3 +8 = 2x2 - 6x + 4 =2 √ 2− x+3 √3 x+1+ √3 x +2+√3 x +3=0 c) √ 2− x+ Bài 35: Bài 36: Cho phương trình: x4 -4x3 +8x = m a) Giải phương trình m = b) Định m để phương trình có nghiệm phân biệt Bài 37: Cho phương trình (x + a)4 + (x + b)4 = c Tìm điều kiện a, b, c để phương trình có nghiệm Bài 38: Giải phương trình: x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - = Bài 39: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 4x4 + 8x2y + 3y2 - 4y - 15 = Bài 40: x2 + 9x + 20 = √ x +10 Bài 41: x2 + 3x + = (x + 3) √ x+1 Bài 42: x2 + √ x+2006 =2006 DẠNG 5: BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1) Với a, b > thì a+b ≥ √ ab Dấu đẳng thức xảy nào? Bài 2) CMR với số a, b, x, y ta có: (a2 +b 2)(x + y 2)≥ (ax + by)2.Dấu đẳng thức xảy nào? Bài 3) Cho a, b, c, d > Cm: √ ab+ √ cd ≤ √ ( a+c ) ( b+d ) Bài 4) CM bất đẳng thức: √ a2 +b2 + √ c +d ≥ √ ( a+ c )2 + ( b+ d )2 Bài 5) Cho a, b, c là các số dương cm bất đẳng thức: a2 b2 c2 a+ b+c + + ≥ b+c c +a a+b Bài 6) CM với n nguyên dương thì: 1 1 + + + > n+1 n+2 2n Bài 7) Cho a3 + b3 = Cmr: a + b Bài 8) Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = -2 (1) (12) a2 + b2 + c2 = (2) [ CMR số a, b, c thuộc đoạn −4 ;0 ] biễu diễn trên trục số Bài 9) Cho a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b = CMR: 2a2 + 3b2 Bài 10) Cho a, b là hai số thỏa mãn điều kiện: a + 4b = 1 Dấu đẳng thức xảy nào? (Đề thi HSG 2003) CM: a2 + 4b2 √ − 2+ √ 2+ √ 2+ √2 < 2− √ 2+ √2+ √ Bài 11) Chứng minh: Bài 12) Chứng minh: a) (a2 +b 2)( x + y 2) ≥ (ax + by)2 b) 0< √ x − 2+ √ − x ≤2 a b (Đề thi HSG 2001) c Bài 13) Cho a, b, c > Cm: b+c + c +a + a+b ≥ 1 Bài 14) Cho S=1+ + + + √2 √3 √ 100 CMR: S không là số tự nhiên 1 Bài 15) a) Cho x, y dương CMR: x + y ≥ x+ y Dấu xảy nào? a+b +c b) Tam giác ABC có chu vi P= Cm: 1 1 1 + + ≥2 + + p − a p −b p − c a b c ( ) Dấu xảy tam giác ABC có đặc điểm gì? Bài 16) a) CM x > ta có: x ≥2 √x− b) Cho a > 1, b > Tìm GTNN của: P= a b + b −1 a− Bài 17) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác CM: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Bài 18) CMR a, b, c > và a + b + c = thì ( 1a + b1 + 1c ) ≥ Bài 19) CMR a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác thì: ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Bài 20) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c và có chu vi là CMR: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.( Đề thi HSG 2004-2005) Bài 21) Cho a, b là số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1)2 + ( b - 2)2 = Cm: a + 2b Bài 22) Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện a2 + b2 = + ab 2 CMR: ≤ a +b ≤ Dấu xảy nào? 10 (13) Bài 23) CMR với a, b > thỏa mãn ab = Ta có BĐT: 1 + + ≥3 a b a+b Bài 24) CMR nếu: a) 1≤ a ≤ thì √ a− 1+4 √5 − a ≤10 b) a + b ; b+1 ≥ 0; a+b=2 thì √ a+1+ √ b+1 ≤2 √ Bài 25) Cho biểu thức P= CMR: 0< P< 32 − − 3 x − x + x −1 x + x − x − x − x + x − x + x − với ∀ x ≠ ±1 a a a+ k Bài 26) a) Cho a, b, k là các số dương và b <1 Cmr : b < b+ k b) Cmr a, b, c là độ dài cạnh tam giác thì: a b c + + < b+c c +a a+b Bài 27) Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b = Chứng minh rằng: (1+ 1a )(1+ 1b )≥ (Đề thi HSG V2 2003 - 2004) Bài 28) Chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với x, y là các số thực khác 0: x y2 x y + +4 ≥3 + y x y x ( ) ( Đề thi HSG V2 2006 - 2007) DẠNG 6: CỰC TRỊ Bài 1) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = Tìm GTLN và GTNN biểu thức A = x + y 1 1 Bài 2) Cho x, y > 0, x + y = Tìm GTNN P = x y x x 1 x 1 Bài 3) Cho P = Tìm GTNN, GTLN P và các giá trị tương ứng x Bài 4) Tìm GTLN và GTNN biểu thức A = (x4 + 1)(y4 + 1) biết x,y 0, x + y = 10 Bài 5) Tìm GTLN và GTNN biểu thức B = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ Bài 6) Tìm GTLN và GTNN biểu thức P = x2 + y2 Biết x2(x2 +2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = x2 x 1 Bài 7) Tìm GTLN và GTNN biểu thức P = x x Bài 8) Tìm GTLN A = x + x x y z y z x với x, y, z > Bài 9) Tìm GTLN P = 2 Bài 10) Tìm GTLN P = ( x 1990) ( x 1991) Bài 11) Cho M = a a a 15 a a) Tìm điều kiện a để M xác định b) Tìm GTNN M và giá trị A tương ứng Bài 12) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: (14) 1 2 1 x 1 y 1 z Tìm GTNN P = x.y.z Bài 13) Tìm GTNN P = x x Bài 14) Cho x, y thỏa mãn x2 + 4y2 = 25 Tìm GTLN và GTNN biểu thức P = x + 2y Bài 15) Cho x, y là hai số thỏa mãn: x + 2y = Tìm GTNN E = x2 + 2y2 Bài 16) Cho x > 0, y > thỏa mãn: x + y Tìm GTNN biểu thức 2 P = x y + xy + 4xy x2 x 1 Bài 17) Tìm GTLN và GTNN của: P = x với x Bài 18) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y Tìm GTNN biểu thức 2 A = x y xy 1 1 x y y Bài 19) Cho x,y > 0; x + y = Tìm GTNN biểu thức P = x Bài 20) Cho x,y > 0; x + y = Tìm GTNN biểu thức P = 2(x4 + y4) + 4xy 1 1 Bài 21) Cho x,y > 0; x + y = Tìm GTNN biểu thức P = x y Bài 22) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x2 + y2 = 1 1 x y y x Tìm GTNN biểu thức P = Bài 23) Cho ba số dương a, b, c có a + b + c = Tìm GTNN biểu thức: 2 1 1 1 a b c E = a b c Bài 24) Cho a, b là hai số thực có tổng Tìm GTNN của: P = a + b3 Bài 25) Cho a, b là hai số dương thỏa a + b = 1 Tìm GTNN P = a b x2 y Bài 26) Cho hai số x, y thỏa mãn xy = Tìm GTNN P = x y Bài 27) Cho hai số dương x, y có x + y = Tìm GTNN P = 8(x4 + y4) + xy Bài 28) Cho x, y liên hệ với hệ thức: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 +10 = (15) Tìm GTNN, GTLN biểu thức S = x + y + Bài 29) Tìm GTNN, GTLN biểu thức S = x x + y y biết x + x x 2000 x2 Bài 30) Tìm GTNN biểu thức P = y =1 (16)