Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm tọa độ các điểm : chân đường phân giác trong, chân đường phân giác ngoài kẻ từ A và tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.. a Tìm điểm M trên trục hoành sao cho đường trung trực của đ[r]
(1)Chương II TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VAØ ỨNG DỤNG Bài GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0O ĐẾN 180O Ñònh nghóa Với góc (0o 180o), ta xác định điểm M(x, y) trên đường tròn đơn vị cho y MOx cos x sin y M y y x tan cot x y x O x Nhaän xeùt : tan xaùc ñònh 90o cot xaùc ñònh 0o , 180o Löu yù sin(180o – ) = sin cos(180o – ) = – cos tan(180o – ) = – tan ( 90o) cot(180o – ) = – cot (0o < < 180o) sin > với 0o < < 180o Neáu goùc nhoïn thì cos , tan , cot döông.Neáu goùc tuø thì cos , tan , cot aâm Từ định nghĩa ta có các công thức sau : cos sin 1 tan .cot 1 sin cos tan cot cos sin 1 tan cot cos sin Giá trị lượng giác số góc đặc biệt Goùc 0o 30o Sin Cos Tan Cot kxñ 45o 2 F kxñ a sin 90 b cos 45 2a cos 600 2ab cos1800 b cos 450 1 A sin cos 2 tan 150 2cos 6 với 30 B sin1200 cos 1500 cot1350 C cos 10 cos 120 cos 780 cos 890 D sin 30 sin 150 sin 750 sin 870 E cos 200 cos 400 cos 600 cos1600 cos1800 2 Baøi taäp Bài Tính giá trị các biểu thức: 90o 2 60o G = (2cos230o + sin135o– 3tan120o)(cos180o–cot45o) H = 3sin245o–2cos2135o– 4sin250o–4cos250o+5tan55ocot55o (2) Baøi Tính giaù trò coøn laïi cuûa goùc bieát: sin = với 00 < < 900 cos = 17 cot = 2 sin 150 tan = – sin = 6 = cos = 13 cot = Bài Tính giá trị các biểu thức 3sin 4sin cos cos 2sin 3cos B= , biết cot = 3cos 4sin A = cos sin , biết tan = 2 3cot tan C = cot ta n , biết sin = E = sin cos D= sin4 + cos4 ,biết cot = m, F = sin4 + cos4 , biết sin + cos = a G = tan2 + cot2 H = tan3 + cot3 , biết tan + cot = a sin a 2cos a sin a 3sin cos 3 L = 5sin cos , bieát tan = 3 sin a cos a K= , biết tana = Bài Rút gọn biểu thức B = cos x cos x A = cosx + sinx.tanx C = sina tan a D = cos2a + cos2a.tan2a K= 2cos a sin a cos a sin a cot a 1 cot a G= sin a cot a cos a tan a 2 H = cos a sin a.cos a sin a F= cos a cot a sin a tan a Bài Chứng minh các biểu thức sau độc lập với x tan x 2 A = cos a sin a.cos a sin a B = cos x 2 tan x.cot x tan x 4sin x.cos x cos x C = si n x Bài Chứng minh các đẳng thức sau : sin x cos x 1 2sin x.cos x 1) E= sin x cos x 1 2sin x.cos x 2) (3) 3) sin4 – cos4 = 2sin2 – 5) sin6 + cos6 = – 3sin2 cos2 sin 1 tan 7) sin sin cos cos3 9) = + tan + tan2 + tan3 10) sin2 tan2 + 4sin2 – tan2 + 3cot2 = 11) sin (1 cot ) cos (1 tan ) sin cos 4) sin4 + cos4 = – 2sin2 cos2 4 6) – cot = sin sin tan sin tan 2 8) cot cos cos cos sin cos 12) sin cos Bài TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ I Góc hai vectơ a b Cho hai vectơ và Từ điểm O nào đó, vẽ OA a , OB b Khi đó : Số đo góc AOB gọi là số đo góc hai vectơ a và b , đơn giản là góc hai vectơ a và b Ký a hieäu : ( , b ) a b A Chuù yù b 0 O o AOB 180 hay AOB a 0 a, b cùng hướng, 180 a, b ngược hướng B o Nếu hai vectơ là vectơ thì ta xem góc hai vectơ đó là tùy ý từ đến 180o o a b a Neáu ( , ) = 90 , ta noùi hai vectô vuoâng goùc Kyù hieäu : ( b ) II.Tích vô hướng hai vectơ Ñònh nghóa a b a Tích vô hướng hai vectơ và là số, ký hiệu : b , định nghĩa : a.b = a b cos(a , b) OA.OB = OA.OB.cosAOB Nhö vaäy: 2 2 a a.a a hay AB AB AB AB ( công thức bình phương vô hướng) 0.a a.0 0 với vectơ a Keát quaû (4) a, b 0 a, b a.b a b cùng hướng và a, b 180 a, b a.b a b ngược hướng và a, b 90 a.b a, b 900 a.b vaø a, b 90 a b a.b 0 (đây là điều kiện để hai vec tơ vuông góc với nhau) Tính chaát cuûa tích voâ hướng a b c Với ba vectơ , , , tùy ý và với số thực k 1) a.b = b.a 2) a.b = a b 3) (k a).b = a.(kb) = k(a.b) 4) a.(b ± c) = a.b ± a.c Các đẳng thức 2 2 (a ± b)2 = a ± 2a.b + b 2 2 2 2 a - b = (a + b).(a - b) = a - b Ứng dụng tích vô hướng a) Công thức chiế u Cho hai vectơ OA , OB Gọi B/ là hình chiếu B lên đường thẳng OA Ta có : OA.OB OAOB / b) Phương tích điểm đường tròn Ñònh nghóa Cho đường tròn (O, R) và điểm M cố định Một đường thẳngd thay đổi luôn qua M cắt đường tròn hai điểm A, B Khi đó ta có tích vô hướng MA.MB là số và MO2 – R2 Hằng số này gọi là phương tích điểm M đường tròn (O, R) Ký hieäu : PM/(O) Nếu MT là tiếp tuyến với đường tròn T thì ta có MT = MO2 – R2 MA.MB Vaäy: PM/(O) = = MO2 – R2 = MT2 Biểu thức tọa độ tích vô hướng Cho hai veùc tô a = (x, y) vaø b = (x /, y / ) Ta coù : 1) a.b = x.x / + y.y / 2) a b x.x ' y.y' 0 4) cos(a , b) = x.x / + y.y / x +y / 3) a = x + y 5) AB = (x B - x A )2 + (y B - y A ) / (x ) + (y ) Baøi taäp (5) AB.AC ; AB.BC Bài Cho tam giác ABC cạnh a Tính : a) ÑS : a) a2 ; a2 – ; b) AB(2AB 3AC) b) a2 2a b a ; b Baøi a) Cho caùc veùc tô ñôn vò với Tính a 2 ; b 3 ; a b 1 Tính b) Cho a b ; a 1 ; b (2a c) Cho CMR : Baøi Cho caùc veùc tô a ; b a 3; b 2;(a,b) 120o Tính a b ; 2a 3b a.b ab ÑS : ½ ÑS :5 b) (a b) a) 19 43 a b 2; a b 4;(2a b) (a 3b).Tính a ; b b) c) (3a 5b) (2a b);(a 4b) (a b);Tính cos(a,b) ÑS : a) 19 , ; b) , ; c) Baøi Cho hình vuoâng ABCD caïn h a Tính : AB.AC ; AB.BD (AB AD)(BD BC) (AC AB)(2AD AB) a) b) c) ÑS : a) a2 ; – a2 ; b) a2 ; c) 2a2 Baøi Cho tam giaùc ABC coù troïng taâm G vaø AB = ; BC = ; CA = Tính : a) AB.AC Suy giaù trò cuû a cosA b) AG.BC vaø GA.GB GB.GC GC.GA AD theo AB và AC Tính độ dài đoạn c) Gọi D là chân đường phân giác kẻ từ A.Tính 3 AD AB AC ; AD 5 AD ÑS : a) – 9/2 ; – ¼ ; b) 5/3 ; – 29/6 ; c) Baøi Cho tam giaùc ABC coù AB = ; AC = ; A = 120o a) Tính độ dài đoạn BC tuyeá AM vaø trung n b) Gọi I, J định 2IA IB 0 ; JB 2JC 0 Tính độ dài đoạn IJ.ĐS : a) 19 ; 133 ; b) Baøi Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, BC = a Goïi AM laø trung tuyeán vaø a2 AM.BC Tính độ dài các đoạn AB và AC ÑS : a ; a CHỨNG MINH HAI VÉC TƠ, HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC - CHỨNG MINH MỘT HỆ THỨC Bài Cho tứ giác ABCD, hai đường chéo cắt O Gọi H, K là trực tâm các tam giác ABO, CDO I vaø J laø trung ñieåm AD, BC CMR : HK IJ Bài Cho tam giác ABC CMR : Điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến BM và CN vuông góc với là AC2 + AB2 = 5BC2 Bài 10 Cho tứ giác ABCD a) CMR : AB2 – BC2 + CD2 – DA2 = 2AC.DB b) Suy : Điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với là : AB2 + CD2 = BC2 + AD2 Baøi 11 Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, M tùy ý CMR : a) MA.MC MB.MD b) MA2 + MC2 = MB2 + MD2 c) MA MB.MD 2MA.MO Baøi 12 Cho tam giaùc ABC caân ñænh A, H laø trung ñieåm BC, D laø hình chieáu cuûa H treân AC, M laø trung ñieåm HD CMR : AM BD (6) TÌM QUYÛ TÍCH Baøi 13 Cho tam giaùc ABC, M laø ñieåm tuøy yù a) CMR : Veùc tô V 2MA MB 3MC khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa ñieåm M 2MO.V b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC CMR : 2MA + MB – 3MC = 2 c) Tìm tập hợp điểm M thỏa : 2MA2 + MB2 = 3MC2 Baøi 14 Cho tam giác ABC Tìm tập hợ p cá c điểm M các trường hợp sau : a) MA.MB MA.MC b) MA2 + MA.MB MA.MC 0 c) MA2 = MB.MC Baøi 15 Cho tam giaù c ABC Tìm tập hợp những điể m M các trường hợp sau : (MA MB)(2MB MC) (MA MB)(MB MC) 2MA MA.MB MA.MC a) b) c) Baøi 16 Cho hình vuoâng ABCD caïnh a.Tìm tập hợp điểm M các trường hợp sau : MB.MD a b) MA.MB MC.MD 5a2 c) MA2 + MB2 + MC2 = 3MD2 a) MA.MC d) (MA MB MC)(MC MB) 3a e) 2MA2 + MB2 = MC2 + MD2 CÁC BAØI TOÁN CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG LIÊN QUAN ĐẾN TOẠ ĐỘ Baøi 17 Cho a = (5,3) ; b = (2,0) ; c = (4,2) x a + b +n c = a) Tìm veùc tô x thoûa = 20 vaø x c b) Tìm soá m vaø n cho m c) Bieåu dieãn veùc tô a theo veùc tô b vaø c a ÑS : a) x = (2 ,– 4) hay x = (–2,4); b) m = ; n = –3 ; c) = – b + c Baøi 18 Cho a = (3,2) ; b = (–1,5) ; c = (–2, –5) u = 2a +b – 4c v= –a+ 2b + 5c a) Tìm tọa độ các véc tơ sau : b) Tìm soá p, q cho : c = p a + q b c) Tính : a b ; b c ; a ( b + c ) ; b ( a – c ) 15 11 p , q u v 17 17 ; c) 7; -22; -9; 30 ÑS : a) = (13,29); = (–15,– 17);b) Baøi 19 Cho a = (3,7) ; b = (–3,–1) a b a b a a) Tính góc các cặp véc tơ : và ; + và - b ; a và a + b b) Tìm ñieàu kieän cuûa m, n cho m a + n b vuông góc với a c) Tìm veùc tô bieát a c = 17 vaø b c = – ÑS : b) 29m – 8n = ; c) c = (1,2) Baøi 20 Cho A(3,1) , B(1,3) , C(3,5) , D(5,3) a) Tìm véc tơ đơn vị cùng hướng với AB b) CMR : ABCD laø hình vuoâng 1 c) Tìm E cho ABDE laø hình bình haønh ÑS : a) (– , ) ; c) E(7,1) Baøi 21 Xeùt tính chaát tam giaùc ABC bieát : a) A (–1,1) ; B(1,3) ; C(2,0) b) A(10,5) ; B(3,2) ; C( ,–5) c) CMR : ABCD là hình thang cân với A(–1,–3), B(0,4), C(3,5), D(8,0) Baøi 22 Cho M(1,4) , N(3,0) , P(-1,1) laø trung ñieåm caïnh cuûa tam giaùc a)Tìm tọa độ các đỉnh tam giác b) Tìm tọa độ điểm I, J chia đoạn MN thành đoạn c) Tìm Q cho MNQP laø hình bình haønh ÑS : a) (–3,5) ; (5,3) , (1,–3) ; b) (5/3,8/3) , (7/3,4/3) ; c) (–3,5) Baøi 23 Cho A(–5,6) , B(– 4,–1) , C(4,3) a) CMR : Ba ñieåm ABC taïo thaønh tam giaùc b) Tìm tọa độ chân đường cao A/ kẻ từ A và trực tâm H tam giác (7) c) Tìm tọa độ trọng tâm G và tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC CMR : ba ñieåm I, H, G thaúng haøng d) Tính chu vi vaø dieän tích vaø baù n kínhđường tròn nội tiếp tam giác e) Tìm ñieåm M thoûa : MA + MB + MC = ÑS : b) A/(–2,0),H(–3,2) ; c) G(–5/3,8/3),I(–1,3) ; 60 d) 30 ; +3 10 +4 ; 10 e) M(-1/6,13/6) Bài 24 Cho A(1,5) , B(– 4,–5) , C(4,–1) Tìm tọa độ các điểm : chân đường phân giác trong, chân đường phân giác ngoài kẻ từ A và tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC ÑS : (1,–5/2) ; (16,5) ; (1,0) Baøi 25 Cho A(1,–2), B(3,–1) a) Tìm điểm M trên trục hoành cho đường trung trực đoạn AM qua O b) Tìm C treân Oy cho tam giaùc ABC caân taïi A ÑS : 1) M( ,0), M(– ,0) ; 2) C(0,2) , C(0,–6) CÁC BAØI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TÍCH Bài 26 Cho đường tròn tâm O , bán kính 7cm và điểm I cho OI = 11cm a) Tính phương tích điểm I đường tròn b) Qua I dựng hai các tuyến IAB và ICD với đường tròn b1) Bieát IA = 12cm Tính IBb2) Bieát CD = 1cm Tính IC vaø ID Bài 27 Cho đường tròn tâm O, bán kính R = Lấy điểm I cho OI = Gọi A và B là hai điểm trên đường tròn cho IA = và IB = IA và IB lại cắt đường tròn A1 và B1 Tính IA1 vaø IB1 Bài 28 Cho hai đường tròn (O) và (O1) cắt A và B Một đường thẳng tiếp xúc với (O) M và tiếp xúc với (O1) M1 CMR : đường thẳng AB qua trung điểm MM1 Bài 29 Cho tam giác ABC vuông A, AH là đường cao D và E là hình chiếu H xuống AB và AC CMR : Tứ giác BCED nội tiếp đường tròn Bài 30 Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R Gọi d là tiếp tuyến B với đường tròn và P là trung điểm đoạn OB a) Tìm ñieåm Q cho : AP.AQ = 4R2 b) Một cát tuyến qua A cắt (O) và d M và N CMR : Tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn Bài 31 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tia phân giác góc A cắt đường tròn D và cắt BC E CMR : DB tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE Bài 32 Cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH Trên đường tròn tâm C bán kính CA lấy điểm M không trên đường thẳng BC CMR : CM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giaùc BHM BAØI HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Cho tam giaùc ABC coù BC = a, CA = b, AB = c + Độ dài các đường trung tuyến kẻ từ A, B, C là ma , mb , mc + Độ dài các đường cao kẻ từ A, B, C là , hb , hc + Bán kính các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác là R , r A + S là diện tích tam giác và p là nửa chu vi I Ñònh lyù Coâsin tam giaùc a2 = b2+ c2 – 2bc.cosA b2 = c2 + a2 – 2ac.cosB c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC h a B m a C (8) Heä quaû b2 + c2 - a2 cosA = 2bc II Ñònh lyù sin tam giaùc : c2 + a2 - b2 cosB = 2ca a2 + b - c2 cosC = 2ab a b c = = = 2R sinA sinB sinC III Định lý đường trung tuyến : a b2 2 c + a = 2m b + 2 c 2 a + b = 2m c + 2 2 b + c = 2m a + 2 b c 2 c a2 hay m b = 2 a b hay m c = hay ma = a b2 c - IV Dieän tích tam giaùc : 1 ah a = bh b = ch c 2 abc S= 4R 1 S = absinC = acsinB = bcsinA 2 S = pr S= S = p(p - a)(p - b)(p - c) Baøi tập Bài Tính góc A tam giác ABC các trường hợp : a) b(b2 – a2) = c(c2 – a2) (với b khác c) b) b(b2 – a2) = c(a2 – c2) ÑS : a) 120o ; b) 60o Bài Tính các góc , S , R , r , độ dài các đường cao, đường trung tuyến tam giác ABC biết : ;b=2;c=1+ Bài Tam giác ABC có AB = ; AC = ; S = 3 Tính độ dài BC ĐS : 37 13 o BGC a) a = ; b = ; c = b) a = Baøi Tam giaùc ABC coù hai trung tuyeán BM = vaø CN = vaø goùc = 120 (G laø troïng taâm tam giaùc) Tính caùc caïnh tam giaùc ÑS : 19 ; 13 ; Bài Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm AB và BC 3, AB = , C = 60 o Tính BC ÑS : + 22 Baøi Tam giaùc ABC coù a) AC = , AB = , BC = và đường cao BD Tính CD (9) b) AB = ; BC = , AC = Treân caïnh AB laáy ñieåm M cho BM = 2AM Treân caïnh BC laáy ñieåm K cho 3KB = 2KC Tính MK.ÑS : a) 11/4 ; b) 15 Bài Tam giác ABC vuông B Kéo dài AC phía C đoạn CD = AB = Biết góc CBD = 30 o Tính AC ÑS : Bài Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O, M là trung điểm AB Tính bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác : BDM ; OMC ; CDM a 10 a 10 5a ; ; ÑS : Baøi Tam giaùc ABC coù A = 60o , hc = , R = Tính caùc caïnh cuûa tam giaùc ÑS : ; ; Bài 10 Tam giác ABC có B = 60o , R = Tính bán kính đường tròn qua A, C và tâm đường tròn noäi tieáp tam giaùc ABC ÑS : Bài 11 Tam giác ABC vuông A, AB = , AC = Tính bán kính đường tròn qua B, C và trung ñieåm I cuûa AC Baøi 12 13 ÑS : Tam giác ABC có AB = , AC = , BC = Tính bán kính đường tròn qua B, C và trung ñieåm I cuûa AB 46 ÑS : 15 c mb 1 Baøi 13 Tam giaùc ABC coù b m c CMR : a) 2a2 = b2 + c2 b) 2cotgA = cotgB + cotgC Bài 14 Tứ giác ABCD Gọi I, J là trung điểm AC, BD a) CMR : AB2+ BC2+CD2+DA2 = AC2+ BD2+ 4IJ2 b) Suy điều kiện cần và đủ để tứ giác là hình bình hành Bài 15 Cho tam giác ABC Chứng minh : a) S = 2R2sinAsinBsinC b) S = Rr(sinA + sinB + sinC) a b2 c2 4S c) cotA + cotB + cotC = 1 1 d) h a h b h c r 1 Baøi 16 Tam giaùc ABC coù b + c = 2a CMR : sinB + sinC = 2sinA vaø h a h b h c 3; 2; 6 2 Tính caùc goùc cuûa tam Bài 17 Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c tỷ lệ với giaùc ÑS : a) 120o , 45o , 15o Bài 18 Tam giác ABC có AB = ; AC = ; BC = Tính độ dài các đường phân giác và ngoài góc A 15 15 ; ÑS : (10) Bài 19 Tam giác ABC có các cạnh a, b, c thỏa mãn đẳng thức : c4 – 2(a2 + b2)c2 + a4 + a2b2 + b4 = Chứng minh : C = 60o hay C = 120o Bài 20 Cho hai điểm cố định A, B với AB = 8a > Tìm tập hợp các điểm M cho : MA + MB2 = 82a2 ĐS : Đường tròn (O, 5a) với O là trung điểm AB Bài 21 Cho hai điểm A, B cố định với AB = 4a > Tìm tập hợp các điểm M cho : MA – MB2 = 24a2 ĐS : Đường thẳng vuông góc với AB điểm H với H định OH = 3a (chiều từ A đến B) Bài 22 Cho M là điểm tùy ý tam giác ABC Các đường thẳng AM, BM, CM cắt BC, CA, AB MD ME MF 1 D, E, F CMR : AD BE CF (11)